ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la Demi-Vie du Xylothium-254

Exercice : Demi-Vie du Xylothium-254

Calcul de la Demi-Vie du Xylothium-254

Contexte : La physique nucléaireBranche de la physique qui étudie les noyaux atomiques, leurs constituants et les forces qui les lient..

La désintégration radioactive est un processus stochastique par lequel un noyau atomique instable perd de l'énergie en émettant un rayonnement. La vitesse de cette désintégration est caractérisée par la demi-vieTemps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent.. Cet exercice se concentre sur la détermination de la demi-vie d'un isotope fictif, le Xylothium-254, à partir de mesures expérimentales de son activitéNombre de désintégrations par seconde dans un échantillon radioactif, mesuré en Becquerels (Bq)..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la loi de décroissance radioactive pour analyser des données expérimentales, une compétence fondamentale en physique nucléaire et dans de nombreux domaines d'application (médecine, datation, etc.).

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre et appliquer la loi de décroissance radioactive : \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\).
  • Calculer la constante de désintégration (\(\lambda\)) à partir de données d'activité.
  • Déterminer la demi-vie (\(T_{1/2}\)) d'un radio-isotope.
  • Prédire l'activité future d'un échantillon radioactif.

Données de l'étude

Un échantillon de Xylothium-254 pur est préparé en laboratoire. Son activité est mesurée à deux instants différents.

Schéma de la Décroissance Radioactive
Temps (t) Activité A(t) A₀ A₀/2 T₁/₂ A₀/4 2T₁/₂
Paramètre Symbole Valeur Unité
Activité initiale (à t=0) \(A_0\) 800 Bq
Temps écoulé \(t\) 60 jours
Activité finale (à t=60 jours) \(A(t)\) 100 Bq

Questions à traiter

  1. Calculer la constante de désintégration \(\lambda\) du Xylothium-254 (en jour⁻¹).
  2. En déduire la demi-vie \(T_{1/2}\) du Xylothium-254 (en jours).
  3. Quelle sera l'activité de l'échantillon après 100 jours ?
  4. Après combien de temps l'activité de l'échantillon sera-t-elle inférieure à 5 Bq ?

Les bases sur la Décroissance Radioactive

La désintégration radioactive suit une loi statistique simple. Le nombre de noyaux qui se désintègrent par unité de temps est proportionnel au nombre de noyaux radioactifs présents.

1. Loi de Décroissance Radioactive
L'évolution du nombre de noyaux radioactifs \(N(t)\) au cours du temps suit une loi exponentielle. La même loi s'applique à l'activité \(A(t)\) de l'échantillon : \[ A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \] Où \(A_0\) est l'activité initiale, \(\lambda\) est la constante de désintégration et \(t\) est le temps.

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2. Demi-vie (\(T_{1/2}\))
La demi-vie est le temps au bout duquel l'activité initiale est divisée par deux. Elle est inversement proportionnelle à la constante de désintégration. On la calcule avec la relation : \[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \]

Correction : Calcul de la Demi-Vie du Xylothium-254

Question 1 : Calcul de la constante de désintégration (\(\lambda\))

Principe

Le concept physique est que la vitesse de décroissance radioactive est constante pour un isotope donné. En mesurant la diminution de l'activité sur une période connue, on peut en déduire cette constante intrinsèque, \(\lambda\), qui gouverne le phénomène.

Mini-Cours

La constante de désintégration \(\lambda\) représente la probabilité qu'un noyau se désintègre par unité de temps. Une valeur de \(\lambda\) élevée signifie que les noyaux sont très instables et se désintègrent rapidement. Elle est la pierre angulaire qui relie mathématiquement le temps à la quantité de matière radioactive restante.

Remarque Pédagogique

L'erreur la plus fréquente est de se tromper en manipulant la fonction exponentielle. Souvenez-vous que pour "annuler" une exponentielle, on utilise sa fonction réciproque : le logarithme népérien (ln). C'est l'étape clé pour isoler \(\lambda\) qui se trouve dans l'exposant.

Normes

En physique nucléaire, les lois et constantes sont établies par des organismes internationaux comme l'Union Internationale de Physique Pure et Appliquée (IUPAP). Les calculs suivent des principes fondamentaux et non des normes de construction comme en ingénierie civile.

Formule(s)

L'outil mathématique principal est la loi de décroissance radioactive.

\[ A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \]

En la manipulant, on obtient la formule pour calculer \(\lambda\).

\[ \lambda = -\frac{1}{t} \ln\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) \]
Hypothèses

Le calcul repose sur plusieurs hypothèses : l'échantillon est pur et ne contient que du Xylothium-254 au départ, aucune source externe n'ajoute de nouveaux noyaux radioactifs, et les appareils de mesure sont précis.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Activité initiale\(A_0\)800Bq
Activité finale\(A(t)\)100Bq
Temps écoulé\(t\)60jours
Astuces

Pour aller plus vite et éviter une erreur de signe, on peut inverser la fraction dans le logarithme, ce qui change son signe : \(\lambda = \frac{1}{t} \ln\left(\frac{A_0}{A(t)}\right)\). C'est mathématiquement équivalent et souvent plus intuitif.

Schéma (Avant les calculs)
Représentation du problème
t = 0 joursA₀ = 800 Bqt = 60 joursA(t) = 100 Bqλ = ?
Calcul(s)

Détermination de la constante λ

\[ \begin{aligned} \lambda &= -\frac{1}{60\ \text{jours}} \ln\left(\frac{100\ \text{Bq}}{800\ \text{Bq}}\right) \\ &= -\frac{1}{60\ \text{jours}} \ln(0.125) \\ &= -\frac{1}{60\ \text{jours}} \times (-2.07944) \\ &\approx 0.034657\ \text{jour}^{-1} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Signification de la constante de désintégration
Probabilité de désintégration journalièreλ ≈ 3.47% / jour
Réflexions

Une constante de 0.0347 jour⁻¹ signifie qu'environ 3.47% des noyaux restants se désintègrent chaque jour. C'est une mesure de la "vitesse" intrinsèque de la désintégration, indépendante de la quantité de matière.

Points de vigilance

Le piège principal est l'inversion du rapport \(A(t)/A_0\). Assurez-vous de toujours mettre la valeur finale sur la valeur initiale dans la formule avec le signe négatif. Une autre erreur commune est d'oublier que le logarithme d'un nombre inférieur à 1 est négatif.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez que la loi exponentielle de décroissance est l'unique outil nécessaire. Savoir l'isoler pour trouver n'importe laquelle de ses variables (\(A(t)\), \(A_0\), \(\lambda\), ou \(t\)) est la compétence clé.

Le saviez-vous ?

Le Becquerel (Bq) a été nommé en l'honneur d'Henri Becquerel, qui a découvert la radioactivité "par accident" en 1896 en étudiant la phosphorescence de sels d'uranium. Il a partagé le prix Nobel de physique en 1903 avec Marie et Pierre Curie.

FAQ
Pourquoi utilise-t-on le logarithme népérien (ln) et non le log base 10 ?

La loi de décroissance est naturellement décrite par une fonction exponentielle de base 'e' (nombre d'Euler). Le logarithme népérien est la fonction réciproque de \(e^x\), c'est donc l'outil mathématique direct pour résoudre ces équations.

Résultat Final
La constante de désintégration du Xylothium-254 est \(\lambda \approx 0.0347\ \text{jour}^{-1}\).
A vous de jouer

Si après 60 jours, l'activité était de 200 Bq au lieu de 100 Bq, quelle serait la nouvelle constante \(\lambda\) ?

Question 2 : Calcul de la demi-vie (\(T_{1/2}\))

Principe

La demi-vie est une autre façon, plus intuitive, d'exprimer la vitesse de désintégration. C'est une durée directement et uniquement dépendante de la constante \(\lambda\). Si on connaît l'une, on peut trouver l'autre.

Mini-Cours

La relation \(T_{1/2} = \ln(2)/\lambda\) est fondamentale. Elle provient de la définition même de la demi-vie : trouver le temps \(t=T_{1/2}\) pour lequel \(A(t) = A_0/2\). En résolvant \(A_0/2 = A_0 e^{-\lambda T_{1/2}}\), on aboutit à cette formule. Elle montre que la demi-vie est une propriété constante de l'isotope.

Remarque Pédagogique

Pensez à la demi-vie comme à un "chronomètre" de la radioactivité. Chaque fois que ce "chronomètre" sonne, la quantité de matière radioactive est divisée par deux. C'est une image simple pour comprendre une décroissance exponentielle.

Normes

Les valeurs de demi-vies des isotopes connus sont standardisées et publiées dans des bases de données internationales, comme celles de l'Agence Internationale de l'Énergie Atomique (AIEA).

Formule(s)

L'outil mathématique est la relation directe entre la demi-vie et la constante de désintégration.

\[ T_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda} \]
Hypothèses

Le calcul suppose que la valeur de \(\lambda\) que nous avons calculée est correcte et précise. La validité de ce calcul dépend donc directement de la qualité de la mesure précédente.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Constante de désintégration\(\lambda\)0.034657jour⁻¹
Astuces

Pour une vérification rapide : en 60 jours, l'activité a été divisée par 8 (\(800 \to 100\)). Puisque \(8 = 2^3\), cela signifie que 3 demi-vies se sont écoulées en 60 jours. Donc, \(T_{1/2}\) doit être \(60 / 3 = 20\) jours. C'est un excellent moyen de valider le calcul.

Schéma (Avant les calculs)
Relation entre Lambda et Demi-vie
λDésintégrationRAPIDET₁/₂Demi-vieCOURTEln(2)Relation Inverse
Calcul(s)

Détermination de la demi-vie T₁/₂

\[ \begin{aligned} T_{1/2} &= \frac{\ln(2)}{\lambda} \\ &= \frac{0.69315}{0.034657\ \text{jour}^{-1}} \\ &\approx 20\ \text{jours} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Visualisation des Demi-Vies Successives
TempsActivité800Bq0j400Bq20j200Bq40j100Bq60j+1 T₁/₂+1 T₁/₂+1 T₁/₂
Réflexions

Un résultat de 20 jours signifie que si nous partons avec 800 Bq, après 20 jours il en restera 400 Bq, après 40 jours 200 Bq, et après 60 jours 100 Bq, ce qui correspond exactement aux données de l'énoncé. Le résultat est cohérent.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune ici est d'utiliser une valeur de \(\lambda\) dans une mauvaise unité. Si \(\lambda\) est en s⁻¹, la demi-vie sera en secondes. Assurez-vous que les unités sont cohérentes tout au long de l'exercice.

Points à retenir

La relation inverse entre \(\lambda\) et \(T_{1/2}\) est un point essentiel. Retenez qu'un isotope très instable (grand \(\lambda\)) aura une demi-vie très courte, et vice-versa.

Le saviez-vous ?

La datation au Carbone-14, utilisée en archéologie, est basée sur ce principe. Le Carbone-14 a une demi-vie d'environ 5730 ans. En mesurant la quantité restante dans un fossile, on peut estimer son âge.

FAQ
La demi-vie change-t-elle si on a plus de matière au départ ?

Non, et c'est un point crucial. La demi-vie est une propriété intrinsèque de l'isotope. Que vous ayez 1 gramme ou 1 tonne de Xylothium-254, il faudra toujours 20 jours pour que la moitié de la quantité se désintègre.

Résultat Final
La demi-vie du Xylothium-254 est de 20 jours.
A vous de jouer

En utilisant la valeur de \(\lambda\) trouvée dans le "A vous de jouer" précédent (0.0231 jour⁻¹), quelle serait la nouvelle demi-vie ?

Question 3 : Activité après 100 jours

Principe

Il s'agit d'une application directe de la loi de décroissance pour prédire l'état futur d'un système. Connaissant les caractéristiques de l'isotope (\(\lambda\) ou \(T_{1/2}\)) et son état initial (\(A_0\)), on peut calculer son état à n'importe quel instant \(t\).

Mini-Cours

La nature prédictive de la loi \(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\) est l'une de ses plus grandes forces. En physique, être capable de modéliser l'évolution d'un système dans le temps est fondamental. C'est ce qui permet, par exemple, de calculer la dose correcte en médecine nucléaire ou de dater des objets anciens.

Remarque Pédagogique

Il y a deux chemins pour arriver au résultat : soit utiliser la formule avec l'exponentielle, soit raisonner en nombre de demi-vies. La deuxième méthode est souvent plus rapide et moins sujette aux erreurs de calcul si le temps est un multiple simple de la demi-vie.

Normes

Les calculs de prédiction d'activité sont cruciaux dans la réglementation sur la gestion des déchets nucléaires (normes AIEA) et la radioprotection (normes CIPR), qui fixent des seuils d'activité à ne pas dépasser.

Formule(s)

On peut utiliser soit la formule principale, soit une formule équivalente utilisant le nombre de demi-vies, \(n = t/T_{1/2}\).

\[ A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \quad \text{ou} \quad A(t) = A_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n \]
Hypothèses

On suppose que la décroissance se poursuit sans interruption et que les constantes \(\lambda\) et \(T_{1/2}\) restent valables pour toute la durée de l'expérience.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Activité initiale\(A_0\)800Bq
Constante de désintégration\(\lambda\)0.034657jour⁻¹
Demi-vie\(T_{1/2}\)20jours
Temps écoulé\(t\)100jours
Astuces

Calculez d'abord le nombre de demi-vies : \(n = 100 / 20 = 5\). C'est un entier, donc le calcul sera simple. L'activité sera divisée par \(2\) cinq fois de suite, soit une division totale par \(2^5 = 32\).

Schéma (Avant les calculs)
Prédiction de l'Activité Future
t = 0A₀ = 800 Bqt = 100 joursA(t) = ?
Calcul(s)

Méthode 1 : Application de la formule exponentielle

\[ \begin{aligned} A(100\ \text{jours}) &= 800\ \text{Bq} \times e^{-0.034657\ \text{jour}^{-1} \times 100\ \text{jours}} \\ &= 800\ \text{Bq} \times e^{-3.4657} \\ &= 800\ \text{Bq} \times 0.03125 \\ &= 25\ \text{Bq} \end{aligned} \]

Méthode 2 : Calcul du nombre de demi-vies (n)

\[ \begin{aligned} n &= \frac{t}{T_{1/2}} \\ &= \frac{100\ \text{jours}}{20\ \text{jours}} \\ &= 5 \end{aligned} \]

Calcul de l'activité finale avec n

\[ \begin{aligned} A(t) &= \frac{A_0}{2^n} \\ &= \frac{800\ \text{Bq}}{2^5} \\ &= \frac{800\ \text{Bq}}{32} \\ &= 25\ \text{Bq} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat de la Prédiction
t = 0A₀ = 800 Bqt = 100 joursA(t) = 25 Bq
Réflexions

Le résultat montre la rapidité de la décroissance exponentielle. En seulement 100 jours, l'activité a été réduite à 3.125% de sa valeur initiale. C'est pourquoi les isotopes à demi-vie courte sont utiles en médecine (ils disparaissent vite du corps) mais posent des défis pour le stockage à long terme.

Points de vigilance

Attention à ne pas faire une règle de trois ! La décroissance n'est pas linéaire. L'activité ne diminue pas de la même quantité chaque jour ; elle diminue d'un même pourcentage chaque jour. C'est la différence fondamentale entre une décroissance linéaire et exponentielle.

Points à retenir

Maîtriser les deux méthodes de calcul (avec \(\lambda\) et avec \(T_{1/2}\)) est important. Le raisonnement par demi-vies est un outil puissant pour l'estimation rapide et la vérification de la cohérence d'un résultat.

Le saviez-vous ?

L'isotope le plus stable, le Tellure-128, a une demi-vie estimée à \(2.2 \times 10^{24}\) ans, soit environ 160 mille milliards de fois l'âge de l'Univers ! Sa désintégration est si rare qu'elle n'a jamais été observée directement.

FAQ
Que se passe-t-il si le temps n'est pas un multiple de la demi-vie ?

Si \(t = 50\) jours par exemple, le raisonnement par demi-vies est moins direct (\(n=2.5\)). Il faut alors utiliser la formule \(A(t) = A_0 / (2^{2.5})\), ce qui est équivalent à utiliser la formule avec l'exponentielle, qui fonctionne for n'importe quelle valeur de \(t\).

Résultat Final
L'activité de l'échantillon après 100 jours sera de 25 Bq.
A vous de jouer

Avec les données initiales (\(A_0 = 800\) Bq, \(T_{1/2} = 20\) jours), quelle serait l'activité après 90 jours ?

Question 4 : Temps pour atteindre moins de 5 Bq

Principe

C'est la question inverse de la précédente. On connaît l'état initial et l'état final, et on cherche la durée nécessaire pour passer de l'un à l'autre. Le concept physique est le même, mais l'inconnue mathématique a changé.

Mini-Cours

Résoudre pour le temps \(t\) est une application courante, notamment en radioprotection pour déterminer combien de temps un déchet doit être stocké avant que son activité ne soit considérée comme inoffensive, ou en médecine pour savoir combien de temps un patient reste "radioactif" après un examen.

Remarque Pédagogique

Tout comme pour trouver \(\lambda\), la clé est d'isoler \(t\) en utilisant le logarithme népérien. La structure du calcul est très similaire à celle de la première question, ce qui montre la polyvalence d'une seule et même équation.

Normes

La notion de "seuil d'activité" est réglementée. Par exemple, les autorités de sûreté nucléaire définissent des niveaux d'activité en dessous desquels des matériaux peuvent être libérés du contrôle réglementaire. Notre calcul de "moins de 5 Bq" simule ce type de démarche.

Formule(s)

On part de la loi de décroissance pour isoler \(t\).

\[ A(t) = A_0 e^{-\lambda t} \Rightarrow t = -\frac{1}{\lambda} \ln\left(\frac{A(t)}{A_0}\right) \]
Hypothèses

On suppose que les conditions de l'échantillon restent stables et que la loi de décroissance est valable sur toute la plage de temps et d'activité considérée.

Donnée(s)
ParamètreSymboleValeurUnité
Activité initiale\(A_0\)800Bq
Activité cible\(A(t)\)5Bq
Constante de désintégration\(\lambda\)0.034657jour⁻¹
Astuces

On peut estimer la réponse. \(800 \to 400 \to 200 \to 100 \to 50 \to 25 \to 12.5 \to 6.25\). On voit qu'il faut un peu plus de 7 demi-vies (\(7 \times 20 = 140\) jours) pour arriver vers 6 Bq. La réponse doit donc être légèrement supérieure à 140 jours.

Schéma (Avant les calculs)
Recherche du Temps pour une Activité Cible
t = 0A₀ = 800 Bqt = ?A(t) = 5 Bq
Calcul(s)

Détermination du temps t

\[ \begin{aligned} t &= -\frac{1}{0.034657\ \text{jour}^{-1}} \ln\left(\frac{5\ \text{Bq}}{800\ \text{Bq}}\right) \\ &= -\frac{1}{0.034657\ \text{jour}^{-1}} \ln(0.00625) \\ &= -\frac{1}{0.034657\ \text{jour}^{-1}} \times (-5.07517) \\ &\approx 146.44\ \text{jours} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Résultat du Temps de Décroissance
t = 0A₀ = 800 Bqt ≈ 146.4 joursA(t) = 5 Bq
Réflexions

Le résultat de 146.44 jours est cohérent avec notre estimation rapide. Il montre qu'il faut un temps significatif (plus de 7 demi-vies) pour réduire l'activité à un niveau très bas par rapport à l'activité initiale (ici, une réduction d'un facteur 160).

Points de vigilance

Une erreur classique est d'oublier que l'activité n'atteindra mathématiquement jamais zéro. La loi exponentielle ne fait que tendre vers zéro. On calcule donc le temps pour atteindre un certain seuil, et non pour atteindre zéro.

Points à retenir

Savoir manipuler la loi de décroissance pour isoler n'importe laquelle de ses variables est la compétence fondamentale à retenir de cet exercice complet. Chaque question n'est qu'une variation sur le même thème.

Le saviez-vous ?

Dans les réacteurs nucléaires, certains produits de fission comme l'Iode-131 ont des demi-vies courtes (8 jours), ce qui les rend très radioactifs au début mais leur activité chute rapidement. D'autres, comme le Césium-137 (30 ans), posent un problème de contamination à long terme.

FAQ
Peut-on utiliser la demi-vie pour ce calcul ?

Oui. On peut d'abord calculer le nombre de demi-vies \(n\) via l'équation \(A(t)/A_0 = (1/2)^n\), ce qui donne \(n = -\log_2(A(t)/A_0)\). Ensuite, on calcule \(t = n \times T_{1/2}\). Le résultat est identique.

Résultat Final
Il faudra environ 146,5 jours pour que l'activité de l'échantillon soit inférieure à 5 Bq.
A vous de jouer

Combien de temps faudrait-il pour que l'activité passe de 800 Bq à 200 Bq ?

Outil Interactif : Simulateur de Décroissance

Utilisez les curseurs pour modifier l'activité initiale et la demi-vie d'un échantillon. Observez comment ces paramètres influencent la courbe de décroissance radioactive et les valeurs clés.

Paramètres d'Entrée
800 Bq
20 jours
Résultats Clés
Constante de désintégration (λ) - jour⁻¹
Activité après 50 jours - Bq

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Qu'est-ce que la demi-vie radioactive ?

2. Si un échantillon a une demi-vie de 15 jours, quelle fraction de l'activité initiale restera-t-il après 45 jours ?

3. Une grande constante de désintégration (\(\lambda\)) implique...

4. Quelle est l'unité standard de l'activité radioactive dans le Système International ?

5. La loi de décroissance radioactive est de nature...

Glossaire

Activité (A)
Le nombre de désintégrations de noyaux instables par unité de temps dans un échantillon radioactif. Son unité SI est le Becquerel (Bq), où 1 Bq = 1 désintégration par seconde.
Constante de désintégration (\(\lambda\))
La probabilité par unité de temps qu'un noyau se désintègre. Elle est propre à chaque isotope radioactif. Son unité est l'inverse d'une unité de temps (ex: s⁻¹, jour⁻¹).
Demi-vie (\(T_{1/2}\))
Le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou de manière équivalente, pour que l'activité de l'échantillon soit divisée par deux.
Becquerel (Bq)
L'unité du Système International pour l'activité radioactive, équivalente à une désintégration par seconde.
Exercice de Physique Nucléaire : Demi-Vie

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