Calcul du Passage d'Hélium 4 Superfluide
1. Contexte de l'expérience
Cadre du Projet "Kelvin-Zero" :
Cette étude s'inscrit dans le développement de systèmes de cryogénie spatiale pour la prochaine génération de télescopes infrarouges. Ces instruments nécessitent une température de fonctionnement proche du zéro absolu (\(< 2 \text{ K}\)) pour éliminer le bruit thermique. Cependant, les pompes mécaniques classiques génèrent des micro-vibrations inacceptables qui floutent les images.
La Solution Superfluide :
L'Hélium-4, lorsqu'il est refroidi en dessous de sa température critique (\(T_\lambda = 2.17 \text{ K}\)), change radicalement de nature pour devenir un "superfluide" (Hélium-II). Dans cet état quantique macroscopique, il acquiert la capacité unique de convertir directement une différence de température en travail mécanique, sans aucune pièce mobile.
Objet de la Mission de Dimensionnement :
Nous concevons une pompe thermomécanique (ou pompe à effet fontaine). Le principe repose sur l'insertion d'un milieu poreux ultra-fin (superfiltre) dans le circuit. En chauffant simplement l'aval du filtre, nous devons générer une différence de pression (\(\Delta P\)) suffisante pour faire circuler le fluide de refroidissement contre la gravité. Votre tâche est de modéliser ce phénomène pour valider la faisabilité du pompage thermique à \(1.5 \text{ K}\).
- 📍 Site : Laboratoire Cryo-Lab, Zone de Silence Thermique (Grenoble).
- 📅 Programme : KELVIN-ZERO (Architecture Thermique Spatiale).
- 👥 Équipe : Section R&D "Propulsion Quantique & Fluides Exotiques".
- 🚀 Charge Utile : Refroidissement de détecteurs bolométriques (TES) pour télescope IR lointain.
- 🔇 Contrainte Absolue : "Zéro Vibration". Interdiction formelle de compresseurs mécaniques ou pistons.
- ⏳ Durée de Mission : 5 à 10 ans en autonomie totale (circuit fermé).
- 🧪 Fluide : Hélium-4 Superfluide (He-II).
- ⚛️ Pureté : Grade 6.0 (filtrage isotopique He-3 pour éviter la séparation de phase).
- 🌡️ Plage de T : \(1.4 \text{ K}\) (Optimale) à \(2.1 \text{ K}\) (Limite de sécurité avant transition normale).
- ⚙️ Type : Pompe à Effet Fontaine (Fountain Effect Pump).
- 🧱 Élément Actif : Pastille poreuse en alumine frittée (\(\text{Al}_2\text{O}_3\)).
- 🔬 Porosité : Diamètre de pore \(d_p < 0.5 \mu\text{m}\) pour assurer le blocage visqueux total.
- 🔥 Moteur : Résistance chauffante non-inductive en aval du filtre.
- 🌊 Débit Massique : \(> 10 \text{ mg/s}\) requis.
- 📈 Pression Différentielle : Capacité à vaincre une colonne hydrostatique de \(20 \text{ cm}\).
- ⚡ Rendement : Maximisation du rapport Travail Mécanique / Chaleur Fournie.
En tant que Physicien Théoricien, vous devez modéliser le comportement de ce fluide quantique macroscopique. Votre note de calcul servira à dimensionner la pompe thermomécanique du cryostat.
Note de laboratoire (Prof. Kapitsa) : "N'oubliez pas que sous \(T_\lambda\), l'Hélium-4 se comporte comme un mélange de deux fluides interpénétrés : une composante normale (visqueuse, porteuse d'entropie) et une composante superfluide (viscosité nulle, entropie nulle)."
2. Cahier des Charges & Objectifs Techniques
Ce cahier des charges définit le cadre normatif et les exigences fonctionnelles pour la validation théorique de la pompe thermomécanique du cryostat "Kelvin-Zero". L'objectif est de démontrer la viabilité d'un transport de fluide sans pièce mobile, en exploitant exclusivement les propriétés quantiques de l'Hélium-II.
A. Caractérisation Thermodynamique du Fluide (\(T < T_\lambda\))
L'efficacité de la pompe dépend intrinsèquement de la "pureté" quantique du fluide à la température de travail (\(1.5 \text{ K}\)). Il est impératif de quantifier les proportions des phases en présence :
- Analyse de la Composition Biphasique : Vous devez déterminer avec précision la fraction massique de la composante superfluide (\(\rho_{\text{s}} / \rho\)).
Justification : C'est cette composante seule qui traverse le superfiltre. Une fraction trop faible (< 50%) rendrait le pompage inefficace.
Critère de performance : On vise une fraction \(\rho_{\text{s}} > 80\%\) pour garantir un débit suffisant. - Évaluation du Potentiel Entropique (\(S\)) : Estimer l'entropie massique portée par la composante normale.
Justification : Dans l'équation de London (\(dP = \rho S dT\)), l'entropie agit comme le coefficient de couplage. Plus \(S\) est grande (proche de \(T_\lambda\)), plus la pression générée est forte, mais moins il y a de superfluide. Il faut valider le compromis à 1.5 K.
B. Performance du Moteur Thermomécanique
Le système doit convertir une faible différence de température en une pression mécanique exploitable.
- Calcul de la Pression Motrice (\(\Delta P_{\text{Th}}\)) : Appliquer la relation fondamentale de H. London pour prédire la différence de pression statique générée par le gradient thermique imposé (\(\Delta T = 10 \text{ mK}\)).
Exigence : La pression doit être calculée en Pascals (Pa) avec une précision de 3 chiffres significatifs. - Stabilité Thermique : Vérifier que le gradient de température nécessaire pour le pompage reste "petit" (\(\Delta T \ll T\)) pour ne pas déstabiliser le bain cryogénique ou provoquer une transition locale vers la phase normale (He-I), ce qui désamorcerait la pompe.
C. Dimensionnement Hydraulique & Gravitaire
La pression générée n'est pas une fin en soi ; elle doit effectuer un travail contre le champ de pesanteur terrestre.
- Hauteur de Refoulement (\(h\)) : Convertir la pression fontaine en hauteur de colonne de liquide équivalente (Loi de l'hydrostatique \(P = \rho g h\)).
Critère de validation : Pour alimenter l'étage supérieur du cryostat par gravité, l'élévation théorique doit être supérieure à 15 cm. Si le calcul donne moins, le design du filtre ou la température de travail devront être révisés. - Comparaison des Forces : Confirmer que la force de pression thermomécanique domine les forces gravitationnelles pour la densité spécifique de l'Hélium-4 (\(145 \text{ kg/m}^3\)).
D. Limites de Validité (Sécurité)
- Risque de Claquage Superfluide : Bien que non calculé explicitement ici, il faut garder à l'esprit la notion de vitesse critique de Landau. Si la vitesse d'écoulement dépasse un certain seuil (quelques cm/s dans les capillaires), la superfluidité se brise par création de vortex quantiques, rétablissant une viscosité dissipative. Le dimensionnement statique (hauteur max) reste valide tant que le débit n'est pas excessif.
3. Données Physiques & Géométriques Approfondies
Cette section constitue le référentiel technique du projet "Kelvin-Zero". Elle compile les constantes fondamentales issues des standards NIST/ITS-90 ainsi que les spécifications matérielles critiques du dispositif expérimental. Une lecture attentive est indispensable pour saisir les subtilités du couplage thermomécanique.
SPÉCIFICATIONS THERMOPHYSIQUES : HÉLIUM-4 LIQUIDE (Grade 6.0)
Le fluide utilisé est de l'Hélium-4 purifié à 99.9999% pour éviter les perturbations de phase dues à l'isotope He-3 (fermion).
• Nature Quantique : Boson composite (2 protons, 2 neutrons, 2 électrons \(\rightarrow\) Spin total entier \(S=0\)). Obéit à la statistique de Bose-Einstein, permettant l'occupation macroscopique de l'état fondamental.
• Masse Volumique (\(\rho\)) : \(145.3 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}\) à \(1.5 \text{ K}\).
Note technique : Cette densité est remarquablement faible (7 fois moins que l'eau) en raison de la forte "énergie de point zéro" quantique qui "gonfle" le volume atomique par répulsion de Pauli/Heisenberg.
• Pression de Vapeur Saturante : \(\approx 470 \text{ Pa}\) à \(1.5 \text{ K}\). Le système est quasi-vide au-dessus du liquide.
• Point Critique (\(T_\lambda\)) : \(2.1768 \text{ K}\) (sous pression de vapeur).
• Signature Thermodynamique : Transition de phase de second ordre (classification d'Ehrenfest). Il n'y a pas de chaleur latente de transformation (pas de palier de température), mais une divergence logarithmique de la capacité calorifique \(C_p\) (\(\rightarrow \infty\)) et de la compressibilité isotherme.
Le fluide est décrit comme la superposition quantique de deux champs de vitesse :
• Le Fluide Normal (\(\rho_{\text{n}}\)) : Gaz de quasi-particules (excitations élémentaires). À \(T < 0.6 \text{ K}\), ce sont des phonons (ondes sonores). Près de \(T_\lambda\), ce sont des rotons (vortex microscopiques). Viscosité dynamique \(\eta_{\text{n}} \approx 1.2 \cdot 10^{-5} \text{ Pa}\cdot\text{s}\).
• Le Superfluide (\(\rho_{\text{s}}\)) : État fondamental cohérent. Viscosité rigoureusement nulle (\(\eta_{\text{s}} = 0\)). Entropie rigoureusement nulle (\(S_{\text{s}} = 0\)).
• Lois d'Évolution Empirique :
\(\frac{\rho_{\text{n}}}{\rho} = \left(\frac{T}{T_\lambda}\right)^{5.6}\) (Fraction visqueuse)
L'entropie totale \(S\) du liquide est portée exclusivement par la fraction normale : \(S(T) \approx S_\lambda (\frac{\rho_n}{\rho})\).
Composant : Pastille de céramique poreuse (Alumine \(\text{Al}_2\text{O}_3\) frittée).
• Géométrie des Pores : Canaux tortueux de diamètre moyen \(d \approx 0.5 \dots 1.0 \mu\text{m}\).
• Condition de "Blocage Visqueux" (Clé du fonctionnement) : Pour qu'un fluide visqueux traverse un pore de diamètre \(d\), il faut une différence de pression \(\Delta P \propto \eta \cdot v / d^2\). Avec \(d\) très petit, cette résistance est gigantesque pour le fluide normal. Il est "clampé" (immobilisé) par frottement pariétal. Le superfluide, ayant \(\eta=0\), ignore cette contrainte géométrique.
A. Protocole Expérimental et Environnement Cryogénique
L'expérience se déroule au sein d'un cryostat à bain pompé, conçu pour éliminer toute perturbation thermique parasite (\(Q_{\text{parasite}} < 1 \mu\text{W}\)). Les conditions aux limites sont définies comme suit :
- Source Froide (Réservoir Infini) : Le bain principal est régulé à \(T_{\text{bain}} = 1.500 \pm 0.001 \text{ K}\). Cette température est maintenue stable par une pompe à vide Roots qui évapore l'hélium (refroidissement évaporatif) pour compenser les entrées de chaleur. On considère le volume du bain comme infini par rapport au volume pompé.
- Actionneur Thermique (Source Chaude) : Le chauffage est assuré par une résistance en fil de Manganine (alliage Cu-Mn-Ni) enroulée non-inductivement. Ce matériau est choisi car sa résistance électrique ne varie quasiment pas avec la température, assurant une puissance \(P = U^2/R\) constante et connue avec précision.
- Métrologie de Précision :
- La température est mesurée par des sondes Cernox™ (résistances à film mince d'oxynitrure de zirconium), insensibles aux champs magnétiques et très sensibles à basse température (\(dR/dT\) élevé).
- Le niveau de liquide est mesuré par une jauge capacitive coaxiale supraconductrice (Niobium) dont la capacité change linéairement avec la hauteur de la colonne diélectrique d'hélium.
- Hypothèse de Régime : Nous raisonnons en régime stationnaire. Les flux de chaleur et de matière sont constants. Nous négligeons les phénomènes transitoires (ondes de second son) et les turbulences quantiques (vortex) tant que la vitesse d'écoulement reste sous la vitesse critique de Landau (\(v < v_c \approx 5 \text{ cm/s}\) dans ces capillaires).
B. Synthèse Analytique des Variables du Problème
Le tableau suivant définit les variables d'entrée pour le modèle mathématique. Chaque valeur possède une justification physique précise dans le contexte de la superfluidité.
| Symbole | Désignation | Valeur de Référence | Justification Physique / Rôle |
|---|---|---|---|
| \(\rho\) | Masse Volumique Globale | \(145.3 \text{ kg}\cdot\text{m}^{-3}\) | Paramètre d'inertie. Constante car l'hélium liquide est peu compressible sous faible \(\Delta P\). |
| \(T_\lambda\) | Température Critique | \(2.1768 \text{ K}\) | Point de brisure de symétrie. Au-dessus, le fluide est désordonné. En dessous, l'ordre quantique s'installe. |
| \(T_{\text{op}}\) | Point de Fonctionnement | \(1.50 \text{ K}\) | Température optimale : suffisamment basse pour avoir beaucoup de superfluide (\(\rho_s\)), mais assez haute pour avoir encore de l'entropie (\(S\)) pour créer la pression. |
| \(S_\lambda\) | Entropie Limite | \(1550 \text{ J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\) | Valeur de l'entropie au point de transition. |
| \(\Delta T\) | Gradient Imposé | \(10 \text{ mK} = 0.010 \text{ K}\) | Perturbation thermodynamique contrôlée. C'est la "source d'énergie" que le système tente de neutraliser par pompage de masse. |
| \(g\) | Accélération Pesanteur | \(9.81 \text{ m}\cdot\text{s}^{-2}\) | Force de rappel conservative. Elle définit la hauteur maximale (\(h\)) atteignable pour une pression donnée. |
C. Données Géométriques (Superfiltre & Capillaire)
Les dimensions géométriques de l'élément poreux, extraites des plans de fabrication du cryostat, sont définies comme suit. Ces valeurs conditionnent le régime d'écoulement (blocage du fluide normal).
| Paramètre | Symbole | Valeur | Remarque |
|---|---|---|---|
| Diamètre des Pores | \(d_p\) | \(0.5 \mu\text{m}\) | Suffisamment fin pour bloquer la viscosité \(\eta_n\) |
| Longueur du Filtre | \(L\) | \(5.00 \text{ mm}\) | Épaisseur de la pastille de céramique |
| Section Totale | \(A\) | \(1.00 \text{ cm}^2\) | Surface frontale d'échange |
| Porosité | \(\epsilon\) | \(30\%\) | Volume de vide / Volume total |
D. Fiche Technique Synthétique (Récapitulatif)
Pour faciliter la lecture du dossier, l'ensemble des contraintes techniques et réglementaires spécifiques au système "Kelvin-Zero" est condensé dans la fiche d'identité suivante :
| FICHE D'IDENTITÉ - POMPE FEP-01 | |||
|---|---|---|---|
| Système | Pompe à Effet Fontaine | Régime | Stationnaire (He-II) |
| Type de Moteur | Thermomécanique | Localisation | Étage Froid (1.5 K) |
| Actionneur | Résistance Chauffante | Charge Utile | Colonne Liquide |
| Fluide | Hélium-4 (Isotope pur) | Environnement | Vide Poussé (Cryostat) |
| Sécurité | Pas de surchauffe (> \(T_\lambda\)) | Point Critique | Vitesse Landau (\(v_c\)) |
| Objectif | Élévation \(h > 15 \text{ cm}\) avec \(\Delta T = 10 \text{ mK}\) | ||
Dispositif Expérimental (Cryostat)
Architecture de la Cellule : Le tube intérieur est isolé par le vide du Dewar. La communication avec le bain se fait uniquement via le superfiltre en céramique frittée. Le chauffage interne crée le déséquilibre.
Modèle Microscopique (Landau)
Dualité Fluide : \(\rho_n\) (rouge) est un gaz d'excitations qui frotte sur les parois. \(\rho_s\) (bleu) est le fond continu quantique qui glisse sans viscosité. Seul le bleu peut passer le filtre fin.
Modélisation des Flux Thermodynamiques
Bilan Thermique : L'apport de chaleur \(Q\) crée un déséquilibre entropique local. Le système réagit en aspirant de la matière "froide" (superfluide à entropie nulle) pour diluer cet excès d'entropie, générant ainsi le flux \(J_s\).
E. Bilan des Pressions & Analyse Dimensionnelle :
Avant de lancer les calculs, il est crucial d'identifier les ordres de grandeur des différentes contributions pour savoir quels termes sont dominants et lesquels sont négligeables. Voici le bilan prévisionnel :
| Contribution Physique | Formule Théorique | Ordre de Grandeur (Pa) | Statut pour le calcul |
|---|---|---|---|
| Pression Thermomécanique (Moteur) | \(\Delta P = \rho S \Delta T\) | ~300 Pa | Dominant (À calculer) |
| Pression Hydrostatique (Résistant) | \(\Delta P = \rho g h\) | ~300 Pa (à l'équilibre) | Variable d'ajustement |
| Perte de Charge Visqueuse | Poiseuille (Fluide Normal) | \(\to \infty\) | Bloque le fluide normal (Hypothèse \(v_n=0\)) |
| Pression de Vapeur Saturante | \(P_{sat}(T)\) | ~470 Pa | Fond constant (s'annule en différentiel) |
| Bilan Forces | Équilibre : Moteur = Résistant | ||
*Note : Pour simplifier l'exercice interactif, nous négligeons les effets de tension superficielle (montée capillaire classique) qui sont faibles devant l'effet fontaine massif.
F. Méthodologie d'Investigation
Pour valider le dimensionnement de la pompe fontaine, vous adopterez la démarche déductive suivante, typique de la thermodynamique des processus irréversibles :
- Analyse de Composition : Calculer les fractions massiques \(\rho_{\text{s}}/\rho\) et \(\rho_{\text{n}}/\rho\) à \(1.5 \text{ K}\) pour valider que le régime est dominé par le superfluide.
- Bilan Entropique : Évaluer l'entropie massique \(S\) du fluide à cette température, car c'est elle qui couple la thermique à la mécanique (\(dP = \rho S dT\)).
- Calcul de la Force Motrice : Appliquer la relation de H. London pour quantifier la différence de pression \(\Delta P\) générée par le gradient \(\Delta T\).
- Dimensionnement Hydraulique : Convertir cette différence de pression en hauteur de colonne de fluide (charge hydrostatique) pour vérifier si elle suffit à vaincre la gravité sur la hauteur requise.
Les Fondements Théoriques (Hydrodynamique Quantique)
L'étude de l'Hélium-II sort du cadre de la mécanique des fluides classique (Navier-Stokes). Elle nécessite l'introduction de l'Hydrodynamique Quantique. Voici les trois piliers théoriques indispensables pour modéliser le cryostat.
1. Le Modèle à Deux Fluides (Tisza & Landau, 1941)
Contrairement à un mélange classique (comme l'eau et l'huile), l'Hélium-II est une substance chimique unique qui présente simultanément deux comportements cinématiques distincts. On postule que la densité totale \(\rho\) est la somme de deux densités partielles virtuelles qui s'interpénètrent sans friction mutuelle :
Postulat d'Additivité
Elle représente la masse effective du "gaz d'excitations thermiques" (phonons et rotons).
• Porte toute l'entropie \(S\) et la chaleur.
• Possède une viscosité \(\eta_{\text{n}}\).
• Comportement : Bloquée par les filtres poreux fins.
Elle représente la fraction du liquide condensée dans l'état fondamental quantique.
• Entropie nulle (\(S_{\text{s}}=0\)).
• Viscosité nulle (\(\eta_{\text{s}}=0\)).
• Comportement : Traverse les nanopores sans résistance.
2. Thermodynamique du Superfluide (Équation de H. London)
Pourquoi le fluide remonte-t-il vers la chaleur ? La force motrice n'est pas une différence de densité (convection classique), mais un gradient de Potentiel Chimique (\(\mu\)).
L'équation du mouvement pour la composante superfluide (sans dissipation) s'écrit (en négligeant les termes quadratiques de vitesse) :
À l'équilibre stationnaire (\(\partial_t = 0\)), le potentiel chimique \(\mu\) doit être uniforme dans tout le superfluide connecté : \(\vec{\nabla} \mu = \vec{0}\).
Or, la relation thermodynamique de Gibbs-Duhem relie les variations de \(\mu\) à celles de la pression \(P\) et de la température \(T\) (par unité de masse) :
La condition d'équilibre \(d\mu = 0\) impose donc que toute variation de température soit compensée par une variation de pression opposée :
Relation de London (Pression Thermomécanique)
Interprétation Physique : Le superfluide "fuit" spontanément les zones à haut potentiel chimique. Or, l'entropie abaisse le potentiel chimique (\(\mu = H - TS\)). Donc, le superfluide est attiré vers les zones chaudes pour y minimiser son énergie libre, créant une surpression mécanique.
3. Équilibre Hydrostatique (Conversion d'Énergie)
La pression thermomécanique générée dans le bulbe chaud agit comme une pompe. Le liquide monte dans le tube de sortie jusqu'à ce que le poids de la colonne de liquide (Pression Hydrostatique) compense exactement la force motrice thermodynamique.
Loi de Pascal (Bilan des Forces)
En simplifiant par \(\rho\) (qui est constant de part et d'autre de l'équation), on obtient une relation remarquable qui lie directement l'énergie thermique à l'énergie potentielle gravitationnelle, indépendamment de la densité du fluide :
Où :
- \(S\) est l'entropie spécifique du liquide [\( \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1} \)].
- \(\Delta T\) est l'écart de température [\( \text{K} \)].
- \(g\) est l'accélération de la pesanteur [\( \text{m}\cdot\text{s}^{-2} \)].
Correction : Calcul du Passage d'Hélium 4 Superfluide
Question 1 : Fraction Superfluide à 1.5 K
Principe Fondamental
La première étape de tout dimensionnement cryogénique en régime superfluide consiste à déterminer "qui fait quoi" dans le liquide. Selon le modèle à deux fluides de Tisza et Landau, l'Hélium-II n'est pas une substance uniforme mais une superposition quantique de deux états dynamiques.
Notre objectif ici est de quantifier la Densité Superfluide (\(\rho_{\text{s}}\)). C'est une étape critique car c'est uniquement cette fraction de la matière qui est capable de traverser le superfiltre sans frottement. Si cette fraction est trop faible, la pompe ne s'amorcera pas. Si elle est élevée, le transport de matière sera efficace. Le calcul repose sur la position relative de la température de travail \(T\) par rapport à la température critique \(T_\lambda\).
Mini-Cours : La Transition de Phase
La Physique du Point Lambda :
La transition à \(T_\lambda = 2.17 \text{ K}\) est une transition de phase de second ordre. Contrairement à l'ébullition de l'eau (premier ordre) où il y a coexistence de deux phases distinctes (liquide/vapeur) avec une chaleur latente, ici le liquide change de structure interne de manière continue mais brutale.
Au-dessus de \(T_\lambda\), l'agitation thermique domine (désordre). En dessous, une "condensation" s'opère dans l'espace des moments : une fraction macroscopique des atomes s'effondre dans l'état d'énergie minimale. C'est cette fraction condensée qui forme la composante superfluide. La loi en puissance \( (T/T_\lambda)^{5.6} \) est un ajustement empirique précis qui décrit comment le "nuage" d'excitations thermiques (fluide normal) s'évapore progressivement quand on refroidit.
Remarque Pédagogique
Analogie Intuitive : Imaginez une autoroute. Le fluide normal, ce sont les voitures (encombrantes, se cognent, créent des bouchons). Le superfluide, ce sont des motos fantômes qui peuvent traverser les voitures et le décor sans jamais rien toucher. À 1.5 K, nous allons voir que l'autoroute est presque vide de voitures, laissant la place aux motos fantômes.
Normes et Standards
Les calculs sont basés sur l'échelle de température internationale ITS-90. Les propriétés de l'Hélium-4 sont tabulées par le NIST (National Institute of Standards and Technology). L'exposant 5.6 est la valeur standard retenue pour l'ingénierie cryogénique dans la plage \(1 \text{ K} - 2 \text{ K}\).
Formules Utilisées
1. Loi de Puissance Empirique (Densité Normale)
Cette formule donne la proportion de fluide "visqueux" (normal). Elle augmente très vite quand on chauffe.
2. Conservation de la Masse (Densité Superfluide)
La densité totale est invariante. Tout ce qui n'est pas normal est nécessairement superfluide.
Hypothèses de Calcul
Pour valider ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- Équilibre Thermodynamique Local : On suppose que le fluide est parfaitement thermalisé à la température \(T\).
- Pression de Vapeur Saturante : Les paramètres \(T_\lambda\) et \(\rho\) sont pris à la pression de saturation (le liquide est en équilibre avec sa vapeur). Sous pression (ex: 20 bars), \(T_\lambda\) baisserait.
- Validité du Modèle : La loi en puissance est une excellente approximation tant que l'on ne s'approche pas trop près du point critique (à \(10^{-6} \text{ K}\) près, la loi diverge légèrement). À 1.5 K, l'erreur est négligeable.
Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Température de Travail | \(T\) | 1.50 | Kelvin (K) | Consigne Régulation |
| Température Critique | \(T_\lambda\) | 2.1768 | Kelvin (K) | Constante Physique |
| Exposant du Modèle | \(n\) | 5.6 | Sans dim. | Loi Empirique |
Astuces de Calcul
Vérification Mentale : Si \(T = T_\lambda\), le ratio vaut 1, donc 100% normal. Si \(T = 0\), le ratio vaut 0, donc 100% superfluide. Notre température (1.5 K) est plus proche de 0 que de 2.17, on s'attend donc à une majorité de superfluide (> 50%).
Schémas Situation Initiale (Avant Calcul)
État du Fluide (T < Tλ)
On cherche à quantifier la part bleue (superfluide) et la part rouge (normale).
Calcul(s) Détaillés et Commentés
Étape 1 : Calcul de la Température Réduite
Nous commençons par normaliser la température. Cela permet de travailler avec une grandeur sans dimension qui représente "à quel point" nous sommes proches de la transition. C'est le ratio fondamental de la transition de phase.
Interprétation : Nous sommes à environ 69% de la température critique. Cela peut sembler élevé, mais en cryogénie, les effets non-linéaires sont très forts.
Étape 2 : Détermination de la Fraction Normale (Visqueuse)
Nous appliquons maintenant la loi de puissance. L'exposant 5.6 traduit la décroissance très rapide des excitations thermiques (phonons et rotons). Plus on refroidit, plus les excitations disparaissent vite.
Résultat Intermédiaire : La composante normale ne représente plus que 12.8 % de la masse totale du fluide. C'est cette fraction qui porte l'entropie et la viscosité. Elle est minoritaire.
Étape 3 : Déduction de la Fraction Superfluide (Utile)
La fraction superfluide est simplement le complément à 1 de la fraction normale. C'est la part du liquide qui s'est "condensée" dans l'état fondamental.
Résultat Final : 87.2 % du liquide est à l'état superfluide.
Schémas Validation (Après Calcul)
Composition Validée
Réflexions et Analyse
Le résultat est très favorable. Avec près de 90% de superfluide, le liquide est dans un état hautement quantique. Cela signifie que :
1. Le filtre poreux laissera passer la grande majorité du fluide sans résistance.
2. La "matière active" pour le pompage est abondante.
Si nous avions travaillé à 2.1 K (juste sous la transition), la fraction superfluide aurait été proche de 0%, rendant la pompe inefficace malgré une forte entropie. Le point de fonctionnement à 1.5 K est un excellent compromis.
Points de vigilance
Validité de la Loi : Attention, la loi en puissance \(T^{5.6}\) est une approximation. Pour des calculs de métrologie de haute précision (\(< 1\%\)), on utiliserait des tables polynomiales complexes ou des intégrales sur le spectre des phonons et rotons (Landau). Pour un dimensionnement ingénieur, l'approximation est largement suffisante.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser pour l'examen :
- La proportion de fluide normal et superfluide dépend uniquement de la température (pour une pression donnée).
- La transition n'est pas linéaire : la fraction normale chute très vite dès qu'on passe sous \(T_\lambda\).
- À \(T=0\), le liquide est 100% superfluide (un pur condensat).
Le saviez-vous ?
Le Troisième Fluide ? Dans les années 2000, on a découvert que si on injecte de l'Hélium-3 dans l'Hélium-4 superfluide, l'Hélium-3 se comporte comme un gaz parfait dissous dans le vide mécanique du superfluide, ajoutant une "troisième" composante de densité !
FAQ
Pourquoi l'exposant est-il 5.6 et pas un nombre entier ?
C'est un paramètre d'ajustement (fit). La théorie pure des phonons prédit \(T^4\) à très basse température (\(< 0.6 \text{ K}\)). Mais près de \(T_\lambda\), les excitations de type "rotons" (tourbillons) dominent et modifient la pente de la courbe, ce qui donne cet exposant moyen effectif de 5.6 dans la zone intermédiaire.
Peut-on séparer physiquement les deux fluides ?
Oui et non. On ne peut pas les mettre dans deux bouteilles différentes car ils occupent le même espace. Mais dynamiquement, on peut les séparer : le superfiltre laisse passer l'un et bloque l'autre, agissant comme un "tamis dynamique".
A vous de jouer
Quelle serait la fraction superfluide approximative si la température descendait à 1.0 K ? (\(T_\lambda \approx 2.17\))
Indice : calculez \((1/2.17)^{5.6}\) pour la part normale.
📝 Mémo
\(\rho_s + \rho_n = \rho_{\text{totale}}\).
Le superfluide est "froid" (ordre), le normal est "chaud" (désordre).
Question 2 : Calcul de l'Entropie Massique \(S\) (Potentiel Thermodynamique)
Principe Fondamental
Dans le cadre du modèle à deux fluides, l'entropie \(S\) n'est pas une propriété uniformément répartie dans la matière. Elle est exclusivement portée par la composante normale (\(\rho_n\)). La composante superfluide (\(\rho_s\)), étant dans l'état quantique fondamental, possède une entropie rigoureusement nulle (\(S_s = 0\)).
Calculer l'entropie totale du fluide revient donc à "compter" la densité d'excitations thermiques (phonons et rotons) présentes à \(1.5 \text{ K}\). C'est une grandeur cruciale car, dans l'équation de London, l'entropie joue le rôle de coefficient de couplage : c'est elle qui détermine avec quelle intensité une différence de température se convertit en force mécanique (\(F \propto S \cdot \Delta T\)).
Mini-Cours : Thermodynamique Statistique des Quasiparticules
D'où vient l'entropie ?
À très basse température (\(T < 0.6 \text{ K}\)), les seules excitations sont des ondes sonores longitudinales (phonons). La thermodynamique de Debye prédit alors \(S \propto T^3\).
À plus haute température (\(T > 1 \text{ K}\)), des tourbillons microscopiques appelés rotons apparaissent. Ils possèdent une grande inertie et une grande entropie. Leur population croît exponentiellement (\(\propto e^{-\Delta/k_B T}\)).
La loi empirique en \(T^{5.6}\) est une approximation ingénieuse qui combine ces deux régimes (phonons + rotons) pour offrir une formule simple utilisable par les ingénieurs entre 1K et 2.17K.
Remarque Pédagogique
Analogie de la "Charge Thermique" : En électrostatique, une force électrique dépend de la charge \(q\) et du champ \(E\) (\(F = qE\)). Ici, la force thermomécanique dépend de la "charge entropique" \(S\) et du "champ de température" \(\nabla T\) (\(F = \rho S \nabla T\)). Plus le fluide est "chargé" en entropie, plus il réagit violemment à la chaleur.
Normes et Références
Les valeurs de référence sont tirées des tables "Thermodynamic Properties of Helium" (Arp et al., NIST). L'entropie est exprimée en unité SI : Joule par kilogramme par Kelvin (\(\text{J}\cdot\text{kg}^{-1}\cdot\text{K}^{-1}\)).
Formules Utilisées
Loi d'Échelle Empirique
Cette formule postule que l'entropie suit la même loi de décroissance que la densité normale. C'est une approximation robuste car l'entropie est physiquement liée à la quantité de fluide normal.
Hypothèses de Calcul
- Validité : L'approximation est valide tant que \(T\) n'est pas trop proche de 0 (où la loi devient \(T^3\)) ni trop proche de \(T_\lambda\) (où des effets critiques divergentes apparaissent). À 1.5 K, on est dans la "zone d'or" de cette formule.
Données d'Entrée
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité | Source |
|---|---|---|---|---|
| Entropie Critique (\(T=T_\lambda\)) | \(S_\lambda\) | 1550 | J/(kg·K) | Table NIST |
| Température de Travail | \(T\) | 1.50 | K | Consigne |
| Température Lambda | \(T_\lambda\) | 2.1768 | K | Constante |
Astuces
Réutilisation Intelligente : Dans la Question 1, nous avons calculé le terme \((T/T_\lambda)^{5.6}\) pour trouver la fraction normale \(x_n \approx 0.128\).
Or, la formule de l'entropie est exactement \(S(T) = S_\lambda \times x_n\). Il suffit donc de multiplier l'entropie max par la fraction normale calculée précédemment ! Pas besoin de refaire les puissances.
Schémas Situation Initiale
Diagramme Entropique de l'Hélium (T-S)
On cherche l'ordonnée du point noir sur la courbe bleue.
Calcul(s) Détaillés et Commentés
Étape 1 : Récupération du facteur d'échelle (Fraction Normale)
Comme expliqué dans les astuces, le terme de puissance \((T/T_\lambda)^{5.6}\) a déjà été calculé à la Question 1. C'est la proportion de fluide qui "porte" l'entropie.
Cela signifie que l'entropie à 1.5 K ne représente que 12.8 % de l'entropie maximale possible (celle au point Lambda). Le fluide est thermodynamiquement "très calme".
Étape 2 : Dimensionnement (Application Numérique)
On applique ce pourcentage à la valeur de référence \(S_\lambda\). C'est une simple règle de proportionnalité non-linéaire.
Nous arrondirons cette valeur à 198 J/(kg·K) pour les calculs suivants, ce qui est cohérent avec la précision des données d'entrée.
Schémas Validation (Après Calcul)
Représentation des Réservoirs d'Entropie
L'effondrement de l'entropie montre que le système s'est "cristallisé" dans l'espace des moments, bien qu'il reste liquide.
Réflexions et Analyse
La valeur obtenue (\(198\) J/kg/K) est relativement faible. À titre de comparaison, l'eau liquide à température ambiante a une entropie d'environ \(4000\) J/kg/K.
Conséquence pour la pompe : Comme la pression générée est \(\Delta P = \rho S \Delta T\), un \(S\) faible signifie que la pompe est "moins puissante" à basse température qu'elle ne le serait près de \(T_\lambda\). C'est le paradoxe de conception : à basse température, on a beaucoup de carburant (superfluide \(\rho_s\)) mais un moteur faible (\(S\)). Près de \(T_\lambda\), on a un moteur puissant (\(S\) élevé) mais peu de carburant (\(\rho_s \to 0\)). L'optimum se situe souvent autour de 1.8 K.
Points de vigilance
Ne pas confondre avec \(C_p\) : Bien que liées, l'entropie (\(S\)) et la capacité calorifique (\(C_p\)) sont distinctes. Pour l'effet fontaine, c'est bien \(S\) qui compte (relation de Gibbs-Duhem), pas l'énergie stockée (\(C_p\)).
Points à Retenir
- L'entropie de He-II chute très rapidement avec la température (\(T^{5.6}\)).
- À 0 K, l'entropie est nulle (état fondamental pur).
- L'entropie est le "levier" qui permet de convertir la température en pression.
Le saviez-vous ?
L'Effet Mécanocalorique (Inverse) : Si on force mécaniquement le superfluide à sortir du réservoir à travers le filtre (en tirant sur un piston), seul le superfluide sort (entropie nulle). L'entropie initiale reste piégée dans un volume plus petit : la température du réservoir augmente ! On peut chauffer un cryostat simplement en le vidant.
FAQ
Pourquoi l'entropie n'est-elle pas nulle à 1.5 K ?
Parce que la température n'est pas nulle ! Il reste 12.8% de fluide normal (phonons/rotons) qui s'agitent et portent cette entropie résiduelle.
Cette valeur est-elle précise ?
C'est une bonne approximation technique. Pour la métrologie de précision, on utiliserait des polynômes d'ordre élevé ajustés sur les données expérimentales, mais l'écart serait < 2%.
A vous de jouer
Quelle serait l'entropie approximative si la température descendait à \(1.0 \text{ K}\) ?
(Indice : le ratio \(T/T_\lambda\) devient \(1/2.17 \approx 0.46\). Calculez \(1550 \times 0.46^{5.6}\))
Note : À 1 K, l'entropie est minuscule, l'effet fontaine devient très difficile à exploiter.
📝 Mémo
Entropie = "Levier Thermomécanique".
Pas d'entropie = Pas de pression fontaine.
Question 3 : Pression Fontaine (Thermomécanique)
Principe
L'équation de London relie directement les gradients. Pour maintenir l'équilibre du potentiel chimique, une différence de température \(\Delta T\) crée une différence de pression \(\Delta P\).
Mini-Cours
Historique : L'effet fontaine a été découvert fortuitement par J.F. Allen en 1938. En éclairant simplement un tube contenant de l'hélium superfluide avec une lampe de poche (apport de chaleur), un jet de liquide jaillissait spontanément jusqu'à 30 cm de hauteur !
Remarque Pédagogique
Analogie Électrique : Cet effet est l'analogue hydrodynamique de l'effet Seebeck en thermoélectricité, où une différence de température crée une différence de potentiel électrique (voltage). Ici, la "charge" est la masse, et le "voltage" est la pression.
Normes et Unités
Le résultat sera une pression. L'unité légale est le Pascal (Pa), équivalent à \(1 \text{ N/m}^2\).
Ordres de grandeur : \(1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}\). \(1 \text{ cm d'eau} \approx 98 \text{ Pa}\).
Formules Utilisées
Relation de London (Linéarisée)
Valide pour \(\Delta T \ll T\). Si le gradient est grand, on doit intégrer : \(\Delta P = \rho \int S(T) dT\).
Hypothèses de Calcul
- Incompressibilité : La densité \(\rho\) est supposée constante malgré la surpression (l'hélium est assez compressible, mais 287 Pa est négligeable devant le module de compressibilité).
- Étanchéité Parfaite : On suppose que le filtre bloque à 100% le fluide normal. S'il y a des "fuites" (pores trop gros), le fluide normal reflue, emportant l'entropie, et la pression s'effondre (court-circuit thermique).
Données d'Entrée
| Variable | Symbole | Valeur | Unité | Origine |
|---|---|---|---|---|
| Masse Volumique | \(\rho\) | 145 | kg/m³ | Datasheet |
| Entropie Spécifique | \(S\) | 198 | J/(kg·K) | Résultat Q2 |
| Différence Temp. | \(\Delta T\) | 0.010 | K | Cahier des Charges |
Astuces de Calcul
Analyse Dimensionnelle : Vérifions les unités : \([\text{kg}/\text{m}^3] \times [\text{J}/(\text{kg}\cdot\text{K})] \times [\text{K}] = \text{J}/\text{m}^3\).
Or, \(1 \text{ Joule} = 1 \text{ N}\cdot\text{m}\), donc \(\text{J}/\text{m}^3 = \text{N}/\text{m}^2 = \text{Pa}\). La formule est homogène !
Schémas Situation Initiale (Avant Calcul)
Forces Thermodynamiques
À l'équilibre, la surpression mécanique créée du côté chaud (flèche bleue) empêche le superfluide de continuer à entrer (flèche rouge).
Calcul(s) Détaillés et Commentés
Étape 1 : Calcul du Coefficient Thermomécanique (\(\sigma\))
Nous regroupons d'abord les termes constants du fluide (\(\rho\) et \(S\)). Ce produit représente la "sensibilité" du fluide à la température en termes de pression.
Interprétation : Ce chiffre est colossal. Il signifie que pour chaque degré Kelvin de différence, le fluide générerait une pression de près de 0.3 bar (soit 3 mètres d'eau) ! Heureusement, nous travaillons avec des milli-Kelvins.
Étape 2 : Application du Gradient Thermique
Nous appliquons maintenant la perturbation \(\Delta T\) imposée par la résistance chauffante. Attention à la conversion des unités (mK vers K).
Schémas Validation (Après Calcul)
Résultat : La Pression Motrice
- ≈ 2.9 mbar
- ≈ 2.2 mmHg
- ≈ 30 mm d'eau
Réflexions et Analyse
Efficacité Énergétique : Cette pression est obtenue quasi-gratuitement d'un point de vue mécanique (pas de pièces mobiles, pas de frottements visqueux du moteur). La seule "dépense" est la chaleur fournie, qui est de toute façon évacuée par le bain.
Comparaison : Pour obtenir 287 Pa avec de l'air par simple convection naturelle (montgolfière), il faudrait des écarts de température énormes. Ici, 0.01°C suffit. C'est la signature de la densité d'énergie élevée du fluide quantique.
Points de vigilance
Limite de saturation : Si on augmente trop \(\Delta T\), on finit par atteindre la température critique \(T_\lambda\) dans la chambre chaude. À ce moment-là, le liquide redevient normal, la superfluidité disparaît, et la pompe se désamorce brutalement (souvent avec une ébullition violente).
Points à Retenir
- La Pression Fontaine est proportionnelle à l'Entropie du fluide.
- L'effet fonctionne comme un convertisseur thermique -> mécanique direct.
- Le sens de l'écoulement est vers la chaleur (contre-intuitif).
Le saviez-vous ?
Ce principe est utilisé pour refroidir les capteurs du télescope spatial Herschel et du satellite Planck. En micropesanteur, où la convection naturelle ne fonctionne pas, l'effet fontaine est le seul moyen fiable de déplacer des fluides cryogéniques.
FAQ
Est-ce que la pression dépend de la surface du filtre ?
Non. La pression (\(\Delta P\)) est intensive, elle ne dépend que de la température. En revanche, le débit (kg/s) dépendra de la surface totale des pores et de la puissance de chauffe.
Peut-on utiliser cet effet pour produire de l'électricité ?
Théoriquement oui (c'est un moteur thermique), mais le rendement de Carnot \(\eta = 1 - T_{\text{froid}}/T_{\text{chaud}}\) serait minuscule car \(\Delta T\) est très faible (quelques mK).
A vous de jouer
Si on doublait l'écart de température à 20 mK (0.02 K), quelle serait la pression générée (en supposant \(S\) constant) ?
Raisonnement : La relation est linéaire tant que \(\Delta T\) est petit.
📝 Mémo
Formule magique : \(dP = \rho S dT\).
Question 4 : Hauteur du Jet (Théorique)
Principe
Cette surpression \(\Delta P\) va pousser le liquide vers le haut dans le tube. La hauteur maximale \(h\) est atteinte quand la pression hydrostatique (le poids de la colonne de liquide) compense exactement la pression fontaine générée.
Mini-Cours
Hydrostatique : La pression au fond d'une colonne de fluide au repos est donnée par le poids de la colonne divisé par la surface : \(P = \rho g h\).
Remarque Pédagogique
C'est la même loi qui régit la hauteur d'eau dans un château d'eau ou un baromètre.
Normes
Utilisation de \(g = 9.81\) m/s² (Standard terrestre).
Formule(s)
Équilibre Hydrostatique
Hypothèses
- Le liquide est au repos (vitesse ascensionnelle nulle à l'équilibre).
- La densité \(\rho\) est constante sur toute la hauteur (incompressible).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Pression (calc. Q3) | \(\Delta P\) | 287.1 | Pa |
| Masse volumique | \(\rho\) | 145 | kg/m³ |
| Gravité | \(g\) | 9.81 | m/s² |
Astuces
L'hélium est très léger (145 kg/m³). Pour une même pression, il monte 7 fois plus haut que l'eau (\(1000\) kg/m³).
Schémas Situation Initiale
Bilan des Forces sur la Colonne
Le système se stabilise quand la flèche rouge (thermique) est égale à la flèche noire (gravité).
Calcul(s) Détaillés
On commence par calculer le poids volumique (\(\gamma = \rho g\)), qui représente la force de gravité par mètre cube :
Ensuite, on divise la pression motrice par ce poids volumique pour trouver la hauteur de colonne capable de générer cette contre-pression :
Enfin, pour une meilleure visualisation, on convertit le résultat en centimètres :
Schémas Validation (Après Calcul)
Visualisation à l'Échelle
Réflexions
20 cm est une hauteur très confortable pour une pompe. Cela valide largement la faisabilité d'alimenter un étage supérieur du cryostat.
Points de vigilance
Ce calcul suppose que le tube est vertical. S'il est incliné, la longueur de liquide sera plus grande (\(L = h / \sin \alpha\)).
Points à Retenir
- La hauteur est indépendante de la section du tube (paradoxe hydrostatique).
- La hauteur dépend inversement de la gravité \(g\) (dans l'espace, \(h \to \infty\), la pression propulse le fluide).
Le saviez-vous ?
Dans l'espace (microgravité), l'effet fontaine est utilisé pour gérer les fluides cryogéniques car il n'y a pas de "haut" ou de "bas" pour utiliser la gravité. La pression thermomécanique remplace la pompe.
FAQ
Et si on éteint le chauffage ?
La différence de température disparaît, \(\Delta P \to 0\), et le liquide redescend instantanément au niveau du bain.
A vous de jouer
Sur la Lune (\(g \approx 1.6\) m/s²), quelle serait la hauteur ?
📝 Mémo
\(h = \frac{\Delta P}{\rho g}\).
Question 5 : Analyse de Cohérence & Validité du Dimensionnement
Principe Fondamental
En physique appliquée et en ingénierie, obtenir un chiffre ne suffit pas. Il faut valider sa pertinence.
Cette dernière étape consiste à réaliser une analyse critique selon deux axes :
1. Validité Mathématique : Nous avons utilisé une formule linéarisée (\(\Delta P = \rho S \Delta T\)) alors que l'entropie \(S(T)\) varie très vite (\(\propto T^{5.6}\)). Avons-nous commis une erreur inacceptable en considérant \(S\) comme constante sur l'intervalle de chauffe ?
2. Faisabilité Technologique : La hauteur calculée (\(20 \text{ cm}\)) est-elle compatible avec les dimensions physiques d'un cryostat spatial standard ?
Mini-Cours : Perturbations et Linéarisation
L'Approximation du Premier Ordre :
Toute fonction physique dérivable \(f(x)\) peut être approximée localement par sa tangente : \(f(x + \delta x) \approx f(x) + f'(x)\delta x\).
Dans notre cas, intégrer la pression revient à calculer l'aire sous la courbe \(S(T)\). En supposant \(S\) constant, nous calculons l'aire d'un rectangle au lieu de celle d'un trapèze courbe. L'erreur commise dépend de la "courbure" de la fonction (sa dérivée seconde) et de la largeur du pas \(\Delta T\).
Remarque Pédagogique
Sensibilité aux Exposants : Les lois en puissance (\(y = x^n\)) sont des "amplificateurs d'erreur". Une petite variation de \(x\) de \(1\%\) entraîne une variation de \(y\) de \(n\%\). Ici, avec \(n=5.6\), le système est très sensible : la moindre fluctuation de température a un impact presque 6 fois plus grand sur l'entropie !
Normes et Tolérances
Dans le pré-dimensionnement de systèmes spatiaux (Phase A/B), une marge d'erreur théorique inférieure à 5% est requise. Au-delà, des simulations numériques complètes sont nécessaires.
Formules Utilisées
Propagation des Incertitudes (Dérivée Logarithmique)
Cette formule permet d'estimer rapidement l'erreur relative commise sur \(S\) en fonction de la perturbation relative sur \(T\).
Hypothèses de Validation
- Linéarité Locale : On suppose que la courbure de \(S(T)\) est négligeable sur \(\Delta T = 10 \text{ mK}\).
- Adiabaticité : On suppose que toute la puissance de chauffe sert à créer le gradient, sans fuites latérales.
Données de Vérification
| Paramètre | Valeur | Justification |
|---|---|---|
| Température de base \(T\) | \(1.50 \text{ K}\) | Point de fonctionnement |
| Perturbation \(\Delta T\) | \(0.01 \text{ K}\) | Consigne Chauffage |
| Exposant de la loi \(n\) | \(5.6\) | Modèle Landau |
| Seuil de tolérance | \(5.0 \%\) | Norme Ingénierie |
Astuces de Calcul
Règle de Trois Mentale : \(\Delta T\) est le centième de 1 (0.01). \(T\) est 1.5. Le ratio est donc \(1/150\), soit un peu moins de 1%. Multiplié par l'exposant (env. 6), on s'attend à une erreur autour de 4-5%. C'est limite, mais ça devrait passer !
Schémas Situation Initiale (Analyse d'Erreur)
Visualisation de l'Approximation
L'écart entre la droite bleue (notre calcul) et la courbe rouge (réalité) représente l'erreur commise. Sur un petit intervalle, elles sont presque confondues.
Calcul(s) Détaillés et Commentés
Étape 1 : Calcul de la Perturbation Relative (\(\varepsilon_T\))
Nous quantifions d'abord "l'intensité" de notre chauffage par rapport à la température absolue du bain. C'est le ratio de la perturbation.
Interprétation : Nous avons perturbé le système de moins de 1%. C'est un excellent point de départ pour une analyse linéaire ("petites perturbations").
Étape 2 : Amplification de l'Erreur sur l'Entropie (\(\varepsilon_S\))
Comme l'entropie dépend de \(T\) à la puissance 5.6, l'erreur relative sur \(T\) est multipliée par 5.6. C'est la propagation d'incertitude.
Résultat : Si nous avions fait le calcul intégral exact, le résultat aurait différé d'environ 3.75%.
Étape 3 : Verdict Technique
L'erreur estimée est de 3.75%. Cette valeur est inférieure à la limite de tolérance fixée à 5% dans le cahier des charges.
Conclusion : L'hypothèse de linéarisation est validée. Le modèle simplifié est suffisant pour cette phase de l'étude.
Schémas Validation (Checklist)
Bilan de Faisabilité (Go / No-Go)
- ✅ Régime Superfluide : 87% (Objectif > 80%)
- ✅ Erreur Modèle : 3.75% (Objectif < 5%)
- ✅ Hauteur de Pompe : 20.2 cm (Objectif > 15 cm)
- ✅ Intégration : Compatible dimensions Cryostat
Réflexions et Analyse
Dimensionnement Spatial : Un cryostat spatial typique a un diamètre d'environ 60 à 100 cm. Une pompe capable de monter le fluide de 20 cm avec seulement 10 mK de consommation énergétique est une solution très élégante. Elle permet de faire circuler le fluide entre différents étages thermiques sans aucune vibration mécanique, ce qui est critique pour la stabilité des images télescopiques.
Points de vigilance
Saturation : Si on essayait d'atteindre 50 cm en augmentant \(\Delta T\), l'erreur de linéarité exploserait (> 15%) et le calcul deviendrait faux. Il faudrait utiliser l'intégrale complète de London.
Points à Retenir
- Toujours vérifier que \(\Delta x \ll x\) avant de linéariser une fonction physique.
- Les fonctions en loi de puissance sont très "raides" : petite cause \(\rightarrow\) grand effet (et grande erreur potentielle).
- La validité d'un modèle dépend du point de fonctionnement (ici 1.5 K).
Le saviez-vous ?
Cascades : Pour atteindre des pressions plus élevées sans surchauffer le fluide, les ingénieurs mettent plusieurs pompes fontaines en série, comme des étages de compresseur, chaque étage ajoutant une petite \(\Delta P\) avec un petit \(\Delta T\).
FAQ
Pourquoi ne pas travailler à 2.1 K pour avoir plus d'entropie ?
À 2.1 K, l'entropie est maximale, donc la pression serait énorme. MAIS la fraction superfluide tombe à 0. Le filtre se "boucherait" (plus de porteurs de charge superfluide). De plus, la loi en \(T^{5.6}\) diverge et devient instable. 1.5 K est le "sweet spot".
A vous de jouer : Analyse de Sensibilité
Si l'exposant de la loi n'était que de 3 (comme pour un gaz de phonons purs), quelle serait l'erreur relative approximative ?
Indice : \(\text{Erreur} \approx n \times \varepsilon_T\). Avec \(n=3\) et \(\varepsilon_T = 0.67\%\).
📝 Mémo
La physique, c'est l'art de l'approximation contrôlée.
Synthèse Approfondie : Mécanique de la Pompe Thermique
1. Analyse Microscopique : La Ségrégation des Fluides
Pour comprendre pourquoi le liquide monte, il faut descendre à l'échelle atomique. Le modèle à deux fluides de Landau explique ce comportement par une séparation des rôles dynamiques :
-
La Composante Normale (\(\rho_{\text{n}}\)) - "Les Excitations" :
Elle est constituée de phonons (vibrations sonores) et de rotons (tourbillons microscopiques). C'est un gaz de quasi-particules qui se comporte comme un fluide visqueux classique. Elle transporte toute l'entropie \(S\) du système. Dans notre filtre poreux de \(1 \mu\text{m}\), la viscosité \(\eta_{\text{n}}\) la "colle" aux parois. Elle est immobile. -
La Composante Superfluide (\(\rho_{\text{s}}\)) - "Le Fondamental" :
C'est l'état fondamental quantique macroscopique. Elle a une entropie nulle (\(S=0\)) et une viscosité strictement nulle (\(\eta_{\text{s}}=0\)). Elle "ignore" la géométrie complexe du filtre poreux et peut le traverser sans aucune résistance, comme si le filtre n'existait pas.
2. Moteur Thermodynamique : L'Osmose Thermique
Le moteur de l'effet fontaine est la tendance fondamentale de la nature à maximiser l'entropie (Second Principe) et à égaliser les potentiels chimiques.
Analogie avec l'Osmose :
Imaginez deux compartiments d'eau séparés par une membrane, avec du sel d'un seul côté. L'eau pure traverse la membrane pour diluer le sel. Ici :
- Le Soluté = Les excitations thermiques (Chaleur/Fluide Normal).
- Le Solvant = Le Superfluide.
- La Membrane = Le bouchon poreux (perméable au superfluide, imperméable au normal).
En chauffant l'intérieur, on augmente la "concentration" d'excitations thermiques. Le superfluide extérieur se précipite alors à l'intérieur pour "diluer" cette chaleur.
3. Dérivation Thermodynamique (Relation de London)
Mathématiquement, l'équilibre est dicté par la constance du potentiel chimique \(\mu\). La relation de Gibbs-Duhem relie les variations de \(\mu\) à celles de la pression \(P\) et de la température \(T\) (par unité de masse) :
À l'équilibre, le potentiel chimique doit être uniforme (\(d\mu = 0\)). En imposant \(d\mu = 0\), on force une relation entre la pression et la température :
C'est la démonstration rigoureuse de la formule de H. London. Elle prouve qu'un gradient de température \(dT\) doit être accompagné d'un gradient de pression \(dP\) pour maintenir le superfluide à l'équilibre.
4. Bilan des Forces et Énergétique
Le système convertit de l'énergie thermique en énergie potentielle gravitationnelle avec une efficacité remarquable.
Générée par le gradient d'entropie. C'est une pression réelle, mesurable mécaniquement. Pour un écart de seulement 0.01 K, elle vaut 287 Pa. Si on chauffait de 1 K, la pression serait de plusieurs bars (suffisant pour faire exploser le dispositif si non ouvert !).
Générée par le poids de la colonne de liquide. Le niveau monte jusqu'à ce que \(\rho g h\) égale exactement la pression fontaine. C'est l'état stationnaire calculé dans l'exercice.
Réversibilité (Effet Mécanocalorique) : Ce processus est théoriquement réversible. Si, au lieu de chauffer, on forçait mécaniquement le liquide à sortir du réservoir à travers le filtre (en appuyant sur un piston), seul le superfluide (froid) sortirait. L'entropie resterait piégée à l'intérieur, ce qui ferait chauffer le réservoir. C'est l'effet inverse !
📄 Livrable Final (Note de Calculs Cryogéniques)
VALIDÉ Visa : L.LANDAU
Date : 25/12/2025
Laboratoire P2 - Grenoble
Tél : 04 76 00 00 00
Ref : HE4-FLOW-001
Phase : Calcul Théorique
NOTE DE DIMENSIONNEMENT - POMPE FONTAINE
1. Hypothèses Générales
| • Modèle : | Deux Fluides (Landau) |
| • Fluide : | Hélium-4 Liquide (\(T_\lambda=2.17\) K) |
| • Température : | \(T = 1.50\) K |
| • Gradient : | \(\Delta T = 10\) mK |
2. Données Thermodynamiques
Fraction Normale : 12.8 %
Fraction Superfluide : 87.2 %
3. Résultats de Dimensionnement
| Désignation | Formule | Résultat |
|---|---|---|
| Pression Thermomécanique | \( \Delta P = \rho S \Delta T \) | 287 Pa |
| HAUTEUR DU JET | \( h = \Delta P / (\rho g) \) | 20.1 cm |
Le dispositif permet de générer une différence de pression significative avec un très faible écart de température (10 mK). Le principe de la pompe à effet fontaine est validé pour le transfert d'Hélium liquide sans pièces mécaniques mobiles.
Nota : L'efficacité diminuera à l'approche de \(T_\lambda\) car \(\rho_{\text{s}}\) tend vers 0.
L'Étudiant(e)
Physicien Junior
P. KAPITSA
Directeur Laboratoire
🎛️ Laboratoire Virtuel : Effet Fontaine
Manipulez la température du bain d'Hélium-4 pour observer la transition de phase et l'émergence du jet superfluide.
Température du Bain (T)
1.50 K* Le gradient thermique appliqué est fixe : ΔT = 10 mK.
Composition du Fluide
📚 Glossaire Cryogénique Approfondi
- Superfluidité (État Quantique Macroscopique)
-
État de la matière apparaissant chez l'hélium-4 liquide en dessous de 2.17 K. Contrairement à un fluide classique, un superfluide s'écoule sans aucune viscosité (frottement interne nul). Cela lui permet de passer à travers des capillaires extrêmement fins (\(< 10^{-7}\)m) sans perte d'énergie, de former des films qui remontent les parois des récipients (film de Rollin) et de maintenir des courants perpétuels.
Physiquement, c'est la manifestation macroscopique de la mécanique quantique : une fraction significative des atomes "tombe" dans l'état quantique fondamental de plus basse énergie, formant un ensemble cohérent décrit par une fonction d'onde unique.
- Point Lambda (\(T_\lambda\))
-
Température critique précise (\(2.1768\) K à pression de vapeur saturante) marquant la transition de phase entre l'Hélium-I (liquide normal) et l'Hélium-II (liquide superfluide). Cette transition est dite de "second ordre" (sans chaleur latente, mais avec une discontinuité de la capacité calorifique).
Le nom "Lambda" provient de la forme de la courbe de la capacité calorifique (\(C_p\)) en fonction de la température, qui ressemble à la lettre grecque \(\lambda\) : elle diverge vers l'infini à l'approche de la température critique, signalant un changement profond de l'organisation interne de la matière.
- Modèle à Deux Fluides (Tisza-Landau)
-
Modèle phénoménologique proposé pour expliquer les propriétés paradoxales de l'Hélium-II. Il postule que le liquide est composé de deux fluides interpénétrés qui occupent tout le volume simultanément mais n'interagissent pas par frottement :
- Composante Normale (\(rho_n\)) : Comporte des excitations thermiques (phonons, rotons). Elle possède une viscosité, transporte de l'entropie et se comporte comme un gaz classique.
- Composante Superfluide (\(rho_s\)) : Représente le "condensat" dans l'état fondamental. Elle a une viscosité nulle, une entropie nulle, et ne transporte pas de chaleur au sens classique.
- Effet Fontaine (Pression Thermomécanique)
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Phénomène spectaculaire où une différence de température \(\Delta T\) est directement convertie en différence de pression mécanique \(\Delta P\). Dans un système connecté par un "superfiltre" (bloquant le fluide normal mais pas le superfluide), chauffer un côté provoque l'aspiration violente du superfluide vers la zone chaude.
Mécanisme : Le superfluide (entropie nulle) se déplace pour diluer la concentration d'excitations thermiques (fluide normal) créée par le chauffage, analogue à une pression osmotique où la température joue le rôle de la concentration en soluté.
- Entropie et Transport de Chaleur
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Dans l'Hélium-II, la chaleur ne se propage pas par diffusion (loi de Fourier classique) mais par un mouvement de convection interne extrêmement efficace : le fluide normal (chaud) s'éloigne de la source de chaleur tandis que le superfluide (froid) afflue à contre-courant pour le remplacer.
Cela confère à l'Hélium superfluide une conductivité thermique apparente qui peut être des milliers de fois supérieure à celle du cuivre le plus pur, rendant impossible l'existence de gradients de température importants dans le volume (sauf à travers des étranglements comme dans l'effet fontaine).
- Second Son
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Mode de propagation ondulatoire spécifique aux superfluides. Alors que le "Premier Son" est une onde de densité (pression) classique où les deux fluides oscillent en phase, le "Second Son" est une onde de température (ou d'entropie) où les composantes normale et superfluide oscillent en opposition de phase, maintenant la densité constante mais faisant varier la température locale.
- Vase Dewar (Cryostat)
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Récipient conçu pour l'isolation thermique extrême, inventé par James Dewar. Il minimise les trois modes de transfert thermique :
- Conduction : Par l'utilisation de doubles parois en verre ou inox séparées par un vide poussé.
- Convection : Supprimée par le vide inter-parois.
- Rayonnement : Réduit par argenture des parois (miroir) ou utilisation de super-isolants multicouches (MLI) pour réfléchir le rayonnement thermique infrarouge.
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