ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide

Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide

Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide

Contexte : Le monde étrange des fluides quantiques.

Refroidi en dessous de 2.17 K, l'hélium-4 liquide subit une transition de phase vers un état de la matière appelé superfluide. Dans cet état, une fraction du fluide peut s'écouler sans aucune viscosité, un phénomène purement quantique. Cependant, cette superfluidité n'est pas sans limites. Si l'on essaie de faire passer le superfluide trop rapidement à travers un canal étroit, la viscosité réapparaît brusquement au-delà d'une vitesse critiqueLa vitesse d'écoulement maximale qu'un superfluide peut atteindre avant que des excitations (comme des vortex) ne soient créées, dissipant de l'énergie et détruisant l'état de superfluidité.. Cet exercice se penche sur le calcul de cette vitesse critique, liée à la création de tourbillons quantiques (vortex).

Remarque Pédagogique : Ce problème est une porte d'entrée vers la mécanique quantique macroscopique. Nous allons voir comment des constantes fondamentales comme la constante de Planck (\(\hbar\)) déterminent une propriété observable à notre échelle (une vitesse d'écoulement). L'exercice illustre l'idée de Feynman selon laquelle la dissipation d'énergie dans un superfluide est un processus discret, lié à la création d'excitations quantiques.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le concept de vitesse critique dans un superfluide.
  • Appliquer le critère de Feynman pour la création de vortex.
  • Calculer la vitesse critique pour un écoulement dans un nano-canal.
  • Déterminer le débit massique maximal correspondant.
  • Analyser l'influence des dimensions du canal sur la superfluidité.

Données de l'étude

On étudie l'écoulement d'hélium-4 superfluide à une température proche de 0 K à travers un nano-canal cylindrique de rayon \(R\). La dissipation apparaît lorsque la vitesse de l'écoulement \(v\) est suffisante pour créer un vortex quantiqueUn tourbillon dans un superfluide dont la circulation est quantifiée, c'est-à-dire qu'elle ne peut prendre que des valeurs multiples d'un quantum h/m.. La vitesse critique \(v_c\) pour la nucléation d'un vortex peut être estimée par l'argument de Feynman : $$v_c \approx \frac{\hbar}{m_4 R}$$ où \(\hbar\) est la constante de Planck réduite et \(m_4\) est la masse d'un atome d'hélium-4.

Schéma de l'écoulement superfluide et de la création d'un vortex
Réservoir A Réservoir B Écoulement superfluide (v < v_c) Création d'un vortex (v ≥ v_c)

Les constantes et paramètres physiques sont :

  • Constante de Planck réduite : \(\hbar = 1.054 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • Masse d'un atome d'hélium-4 : \(m_4 = 6.64 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • Rayon du nano-canal : \(R = 50 \, \text{nm}\)
  • Masse volumique de l'hélium superfluide : \(\rho_s = 145 \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-3}\)

Questions à traiter

  1. Calculer la vitesse critique \(v_c\) pour l'hélium-4 dans ce nano-canal.
  2. En déduire le débit massique critique maximal \(D_m^c\) (en kg/s) pouvant traverser le canal sans dissipation.
  3. La température monte légèrement et la densité superfluide chute à \(\rho'_s = 120 \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-3}\). Quel est le nouveau débit massique critique (on suppose que \(v_c\) ne change pas) ?
  4. Pour des raisons expérimentales, on souhaite doubler la vitesse critique. Quel devrait être le nouveau rayon \(R'\) du canal ?

Les bases de la Physique du Solide

Avant la correction, rappelons quelques concepts essentiels pour aborder cet exercice.

1. La Superfluidité :
C'est un état de la matière (une phase quantique) caractérisé par une absence totale de viscosité. Un fluide normal qui s'écoule finit par s'arrêter à cause des frottements internes. Un superfluide, lui, peut s'écouler indéfiniment sans perdre d'énergie. Cet état apparaît pour l'hélium-4 à très basse température (en dessous de 2.17 K) et est une manifestation directe de la mécanique quantique à l'échelle macroscopique.

2. Le Modèle à Deux Fluides :
Pour décrire l'hélium liquide en dessous de 2.17 K, on utilise un modèle où le fluide est un mélange de deux composantes : une composante "superfluide" de densité \(\rho_s\) qui a une viscosité nulle, et une composante "normale" de densité \(\rho_n\) qui se comporte comme un fluide classique. La proportion de superfluide \(\rho_s\) augmente à mesure que la température baisse, pour atteindre 100% à 0 K.

3. Les Vortex Quantiques et la Vitesse Critique :
Un écoulement superfluide ne peut pas dissiper son énergie par frottement comme un fluide normal. La seule façon pour lui de "ralentir" est de créer des défauts topologiques appelés vortex quantiques. Ce sont de minuscules tourbillons dont la "force" (la circulation) est quantifiée : elle ne peut prendre que des valeurs multiples de \(h/m_4\). Créer un vortex coûte de l'énergie. L'écoulement ne peut fournir cette énergie que s'il va assez vite. La vitesse minimale pour créer un vortex est la vitesse critique \(v_c\).

Correction : Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide

Question 1 : Calcul de la vitesse critique \(v_c\)

Principe (le concept physique)

Nous allons calculer la vitesse maximale à laquelle l'hélium superfluide peut s'écouler dans le nano-canal avant que la "magie" de la superfluidité ne se brise. Cette limite est imposée par la mécanique quantique : pour commencer à dissiper de l'énergie, le fluide doit créer une excitation fondamentale, un tourbillon (vortex). La vitesse critique est la vitesse qui fournit juste assez d'énergie cinétique pour "payer" le coût de création de ce vortex.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'argument de Feynman relie l'énergie cinétique d'un volume de fluide à l'énergie nécessaire pour créer une excitation. Pour un vortex, l'énergie et l'impulsion sont concentrées près de son cœur. La vitesse critique est atteinte lorsque, du point de vue du canal, il devient énergétiquement favorable de "convertir" une partie de l'énergie de l'écoulement pour créer un vortex. La formule \(v_c \approx \hbar/(m_4 R)\) est une simplification qui capture l'essentiel de cette physique : la contrainte géométrique (le rayon \(R\)) et la nature quantique (\(\hbar\)) dictent la vitesse limite.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Remarquez l'étrangeté de cette formule : la vitesse limite ne dépend pas des propriétés du fluide comme sa densité, mais uniquement de la masse de ses atomes, d'une constante universelle et de la géométrie. C'est une signature claire d'un phénomène quantique. De plus, plus le canal est étroit (R petit), plus la vitesse critique est élevée ! C'est contre-intuitif par rapport aux fluides classiques, où un tuyau plus étroit augmente les pertes par friction.

Astuces (Pour aller plus vite)

Le principal défi ici est la gestion des unités. Assurez-vous que toutes vos grandeurs sont dans le Système International (SI) : Joules, secondes, kilogrammes, mètres. Le rayon est donné en nanomètres (nm), il faudra impérativement le convertir en mètres avant le calcul.

Normes (la référence réglementaire)

Il ne s'agit pas d'une norme industrielle, mais d'un modèle théorique fondamental en physique des basses températures. Les constantes physiques utilisées (\(\hbar\), \(m_4\)) sont des valeurs standardisées internationalement par le CODATA (Committee on Data for Science and Technology).

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le modèle de Feynman suppose une température de 0 K (où tout le fluide est superfluide) et que le premier mécanisme de dissipation est la création d'un seul vortex de circulation \(h/m_4\). On néglige les effets de bord et la structure atomique des parois du canal.

Formule(s) (l'outil mathématique)

On applique directement la formule de la vitesse critique de Feynman :

\[ v_c \approx \frac{\hbar}{m_4 R} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • \(\hbar = 1.054 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • \(m_4 = 6.64 \times 10^{-27} \, \text{kg}\)
  • \(R = 50 \, \text{nm} = 50 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
Schéma (Avant les calculs)
Paramètres de l'écoulement
v_c = ?2R = 100 nm
Calcul(s) (l'application numérique)

On insère les valeurs dans la formule, en s'assurant que tout est en unités SI :

\[ \begin{aligned} v_c &= \frac{1.054 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}}{(6.64 \times 10^{-27} \, \text{kg}) \times (50 \times 10^{-9} \, \text{m})} \\ &= \frac{1.054 \times 10^{-34}}{3.32 \times 10^{-34}} \, \frac{\text{J} \cdot \text{s}}{\text{kg} \cdot \text{m}} \\ &\approx 0.317 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Vitesse critique calculée
v_c ≈ 0.32 m/s2R = 100 nm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

La vitesse critique est de l'ordre de 32 centimètres par seconde. C'est une vitesse assez faible à notre échelle, mais considérable pour un écoulement dans un tube de seulement 100 nanomètres de diamètre. Ce résultat montre que les effets quantiques peuvent imposer des limites très concrètes sur les écoulements à l'échelle nanométrique.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La vitesse critique d'un superfluide dans un canal est inversement proportionnelle au rayon du canal. C'est un résultat fondamental de la physique des fluides quantiques.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Le calcul de la vitesse critique est la première étape pour comprendre les limites d'un dispositif utilisant un écoulement superfluide. C'est cette vitesse qui déterminera le débit maximal, la réponse en fréquence, et d'autres paramètres de performance clés.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est la conversion des unités. Un nanomètre (nm) est \(10^{-9}\) mètres. Une erreur d'un ordre de grandeur sur cette conversion entraînera une erreur d'un ordre de grandeur sur la vitesse finale.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Des dispositifs basés sur l'écoulement de superfluide à travers des nano-jonctions, appelés SQUIDs à hélium (Superconducting QUantum Interference Devices), sont développés pour créer des gyroscopes d'une précision extrême, bien supérieure aux systèmes mécaniques ou optiques actuels.

FAQ (pour lever les doutes)
Cette vitesse critique est-elle la seule qui existe ?

Non. Il existe d'autres critères, comme le critère de Landau basé sur la création d'autres excitations (phonons, rotons), qui donne une vitesse critique beaucoup plus élevée (environ 60 m/s). Cependant, dans des canaux confinés, la création de vortex est un mécanisme de dissipation beaucoup plus facile et se produit à une vitesse bien plus faible, qui est donc la limite pertinente.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
La vitesse critique pour cet écoulement est \(v_c \approx 0.317 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quelle serait la vitesse critique si on utilisait de l'hélium-3 superfluide, dont la masse atomique est environ 3/4 de celle de l'hélium-4 ?

Question 2 : Débit massique critique maximal \(D_m^c\)

Principe (le concept physique)

Maintenant que nous connaissons la vitesse maximale à laquelle le fluide peut s'écouler, nous pouvons calculer la quantité maximale de matière (la masse) qui peut traverser le canal chaque seconde. C'est le débit massique. Il dépend de la vitesse, de la densité du fluide et de la section du "tuyau".

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le débit massique \(D_m\) est une mesure du flux de masse. Pour un écoulement uniforme à travers une surface \(A\), il est donné par \(D_m = \rho \times A \times v\), où \(\rho\) est la masse volumique et \(v\) est la vitesse du fluide. Dans notre cas, nous utilisons la densité de la composante superfluide \(\rho_s\) car seule cette partie de l'hélium s'écoule sans friction à 0 K.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette question fait le lien entre un concept quantique (la vitesse critique) et une grandeur d'ingénierie classique (le débit massique). C'est un bon exemple de la manière dont la physique fondamentale sous-tend des applications pratiques.

Astuces (Pour aller plus vite)

N'oubliez pas que l'aire d'un disque est \(\pi R^2\). Une erreur fréquente est d'oublier le \(\pi\) ou d'utiliser le diamètre au lieu du rayon. Vérifiez bien que toutes vos unités sont en SI (mètres, kg, secondes) pour obtenir un résultat final en kg/s.

Normes (la référence réglementaire)

Non applicable.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que la vitesse de l'écoulement est uniforme sur toute la section du canal, ce qui est une bonne approximation pour un écoulement superfluide non turbulent.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Le débit massique est le produit de la masse volumique, de la section et de la vitesse. La section \(A\) d'un canal cylindrique est \(\pi R^2\).

\[ D_m^c = \rho_s \times A \times v_c = \rho_s \times (\pi R^2) \times v_c \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Vitesse critique, \(v_c \approx 0.317 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\) (calculée à la Q1)
  • Masse volumique superfluide, \(\rho_s = 145 \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-3}\)
  • Rayon du canal, \(R = 50 \times 10^{-9} \, \text{m}\)
Schéma (Avant les calculs)
Flux de matière à travers la section du canal
Aire ADébit Dm = ?
Calcul(s) (l'application numérique)

1. Calcul de la section \(A\) du canal :

\[ \begin{aligned} A &= \pi R^2 \\ &= \pi \times (50 \times 10^{-9} \, \text{m})^2 \\ &= \pi \times (2500 \times 10^{-18} \, \text{m}^2) \\ &\approx 7.85 \times 10^{-15} \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul du débit massique critique \(D_m^c\) :

\[ \begin{aligned} D_m^c &= \rho_s \times A \times v_c \\ &= (145 \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-3}) \times (7.85 \times 10^{-15} \, \text{m}^2) \times (0.317 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1}) \\ &\approx 3.61 \times 10^{-13} \, \text{kg} \cdot \text{s}^{-1} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Valeur du débit massique critique
Aire AD_m^c ≈ 3.6 x 10⁻¹³ kg/s
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le débit massique maximal est extrêmement faible, de l'ordre du dixième de picogramme par seconde. C'est attendu, étant donné la taille minuscule du canal. Ce calcul est crucial pour la conception de nano-dispositifs fluidiques quantiques, car il quantifie la quantité de matière que l'on peut manipuler.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le débit massique critique est le produit de la densité superfluide, de la section du canal et de la vitesse critique. Il combine les propriétés du fluide, la géométrie et la limite quantique de l'écoulement.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Alors que la vitesse critique est un concept fondamental, le débit massique est une grandeur d'ingénierie directement mesurable et utile. Calculer \(D_m^c\) permet de traduire la physique fondamentale en une performance de dispositif quantifiable.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus courante est de se tromper dans le calcul de la surface (\(A = \pi R^2\) et non \(2\pi R\) ou \(\pi D^2\)). Assurez-vous également que le rayon est en mètres pour être cohérent avec les autres unités SI.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept d'écoulement à travers une nano-ouverture est au cœur des techniques de séquençage d'ADN de nouvelle génération. Une molécule d'ADN est forcée de passer à travers un "nanopore", et la perturbation d'un courant ionique permet de lire la séquence des bases. La physique des fluides à l'échelle nanométrique est donc un domaine de pointe.

FAQ (pour lever les doutes)
Pourquoi utiliser la densité superfluide \(\rho_s\) et non la densité totale ?

Dans le modèle à deux fluides, la composante "normale" a une viscosité et est considérée comme immobile dans un canal très fin (elle "colle" aux parois). Seule la composante superfluide, sans viscosité, peut s'écouler librement. Par conséquent, seul \(\rho_s\) contribue au débit de matière.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le débit massique critique maximal est \(D_m^c \approx 3.61 \times 10^{-13} \, \text{kg} \cdot \text{s}^{-1}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si le rayon du canal était de 100 nm au lieu de 50 nm, quel serait le nouveau débit massique critique ? (Attention, la vitesse critique et la surface changent toutes les deux !)

Question 3 : Nouveau débit massique à \(T > 0\)

Principe (le concept physique)

Lorsque la température augmente (tout en restant en dessous de 2.17 K), une partie de la composante superfluide se transforme en composante "normale", qui est visqueuse et ne s'écoule pas. La densité de la partie qui peut s'écouler sans friction, \(\rho_s\), diminue donc. Nous allons calculer l'impact de cette réduction de la "quantité de superfluide" sur le débit massique total.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La fraction de densité superfluide, \(\rho_s(T)/\rho\), où \(\rho\) est la densité totale, est un paramètre d'ordre pour la transition de phase superfluide. Elle vaut 1 à 0 K et diminue progressivement jusqu'à atteindre 0 à la température de transition \(T_\lambda = 2.17\) K. Près de \(T_\lambda\), sa décroissance suit une loi de puissance, typique des transitions de phase du second ordre.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette question introduit l'effet de la température, qui est crucial dans le monde réel. Elle montre que même si la limite de vitesse quantique \(v_c\) reste la même, la performance du dispositif (le débit) se dégrade à mesure que l'on s'éloigne du zéro absolu, car il y a "moins de superfluide" disponible pour le transport.

Astuces (Pour aller plus vite)

Puisqu'on suppose que \(v_c\) et \(A\) ne changent pas, le nouveau débit massique \(D'_m{}^c\) est simplement proportionnel à la nouvelle densité superfluide \(\rho'_s\). Vous pouvez calculer le résultat directement en faisant une règle de trois : \(D'_m{}^c = D_m^c \times (\rho'_s / \rho_s)\).

Normes (la référence réglementaire)

Non applicable.

Hypothèses (le cadre du calcul)

L'hypothèse clé ici est que la vitesse critique \(v_c\) ne dépend pas de la densité superfluide. C'est une approximation raisonnable, car \(v_c\) est principalement déterminée par la création d'un vortex, un processus local, tandis que \(\rho_s\) est une propriété globale du fluide.

Formule(s) (l'outil mathématique)

La formule du débit massique reste la même, mais avec la nouvelle densité superfluide \(\rho'_s\) :

\[ D'_m{}^c = \rho'_s \times A \times v_c \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Nouvelle densité superfluide, \(\rho'_s = 120 \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-3}\)
  • Section, \(A \approx 7.85 \times 10^{-15} \, \text{m}^2\) (de la Q2)
  • Vitesse critique, \(v_c \approx 0.317 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1}\) (de la Q1)
Schéma (Avant les calculs)
Modèle à deux fluides à T > 0 K
Superfluide (ρ_s)Normal (ρ_n)Fluide total (ρ = ρ_s + ρ_n)
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique la formule avec la nouvelle densité :

\[ \begin{aligned} D'_m{}^c &= (120 \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-3}) \times (7.85 \times 10^{-15} \, \text{m}^2) \times (0.317 \, \text{m} \cdot \text{s}^{-1}) \\ &\approx 2.98 \times 10^{-13} \, \text{kg} \cdot \text{s}^{-1} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Réduction du débit massique
Débit à 0 K (100%)Débit à T > 0 K (≈ 83%)
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le débit massique a diminué d'environ 17%, ce qui correspond directement à la diminution de la densité superfluide (de 145 à 120 kg/m³). Cela montre que la performance de transport de matière d'un dispositif superfluide est directement liée à la fraction de la population d'atomes qui se trouvent dans l'état de condensat de Bose-Einstein.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le débit massique superfluide est directement proportionnel à la densité de la composante superfluide, \(\rho_s\), qui est une fonction décroissante de la température.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette question ajoute le paramètre "température" à notre modèle, le rendant plus réaliste. Les expériences sur les superfluides sont toujours menées à des températures finies, et il est essentiel de comprendre comment ce paramètre affecte les mesures.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur serait d'oublier d'utiliser la NOUVELLE densité \(\rho'_s\) et de refaire le calcul avec l'ancienne. Lisez toujours attentivement les données spécifiques à chaque question.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'effet thermomécanique, ou "effet fontaine", est une conséquence directe du modèle à deux fluides. Si l'on chauffe un côté d'un capillaire rempli d'hélium superfluide, la composante normale (qui transporte l'entropie, donc la chaleur) s'écoule loin de la source de chaleur, tandis que la composante superfluide s'écoule vers elle pour compenser. Cela peut créer une pression si forte qu'un jet d'hélium jaillit, formant une "fontaine".

FAQ (pour lever les doutes)
En réalité, la vitesse critique change-t-elle avec la température ?

Oui, légèrement. La structure du cœur du vortex et son énergie de création dépendent un peu de la densité superfluide. Cependant, cette dépendance est beaucoup plus faible que la dépendance directe du débit sur \(\rho_s\), donc notre approximation est raisonnable pour une première approche.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le nouveau débit massique critique est \(D'_m{}^c \approx 2.98 \times 10^{-13} \, \text{kg} \cdot \text{s}^{-1}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Si la température était telle que \(\rho'_s = 72.5 \, \text{kg} \cdot \text{m}^{-3}\) (la moitié de la valeur à 0 K), quel serait le débit massique ?

Question 4 : Nouveau rayon \(R'\) pour doubler \(v_c\)

Principe (le concept physique)

Nous revenons à la formule de base de la vitesse critique pour explorer sa dépendance à la géométrie. La question est : comment devons-nous modifier la taille du canal pour autoriser une vitesse d'écoulement deux fois plus grande ? Comme la vitesse critique est inversement proportionnelle au rayon, on s'attend à devoir réduire la taille du canal.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La relation \(v_c \propto 1/R\) est une caractéristique fondamentale des écoulements quantiques confinés. Elle signifie que le confinement géométrique stabilise l'état superfluide et le protège contre la création de vortex. Plus le système est confiné, plus il est "rigide" et plus il faut d'énergie (donc une vitesse plus élevée) pour y créer une excitation topologique comme un vortex.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Cette question vous apprend à manipuler les relations de proportionnalité. Si une quantité A est inversement proportionnelle à B (\(A \propto 1/B\)), alors pour multiplier A par un facteur X, il faut diviser B par ce même facteur X. C'est un raisonnement très puissant qui permet souvent de trouver la réponse sans refaire tout le calcul.

Astuces (Pour aller plus vite)

Puisque \(v_c = \hbar / (m_4 R)\), on a \(R = \hbar / (m_4 v_c)\). Si on veut une nouvelle vitesse \(v'_c = 2v_c\), le nouveau rayon sera \(R' = \hbar / (m_4 (2v_c)) = (\hbar / (m_4 v_c)) / 2 = R/2\). Pour doubler la vitesse, il faut diviser le rayon par deux.

Normes (la référence réglementaire)

Non applicable.

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le modèle de Feynman reste valide pour le nouveau rayon. Ceci est vrai tant que le rayon reste significativement plus grand que la "longueur de cohérence" du superfluide (la taille du cœur d'un vortex, environ 0.1 nm).

Formule(s) (l'outil mathématique)

On part de la relation entre la nouvelle vitesse \(v'_c\) et l'ancienne \(v_c\), et on exprime les rayons correspondants :

\[ v'_c = 2 v_c \Rightarrow \frac{\hbar}{m_4 R'} = 2 \frac{\hbar}{m_4 R} \]

En simplifiant, on obtient la relation entre les rayons :

\[ \frac{1}{R'} = \frac{2}{R} \Rightarrow R' = \frac{R}{2} \]
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
  • Rayon initial, \(R = 50 \, \text{nm}\)
  • Facteur d'augmentation de la vitesse : 2
Schéma (Avant les calculs)
Comparaison des deux canaux
Canal initial (R, v_c)Nouveau canal (R', 2v_c)
Calcul(s) (l'application numérique)

On applique directement la relation trouvée :

\[ \begin{aligned} R' &= \frac{R}{2} \\ &= \frac{50 \, \text{nm}}{2} \\ &= 25 \, \text{nm} \end{aligned} \]
Schéma (Après les calculs)
Dimension du nouveau canal
R = 50 nmR' = 25 nm
Réflexions (l'interprétation du résultat)

Pour permettre au superfluide de s'écouler deux fois plus vite sans dissipation, il faut rendre le canal deux fois plus étroit. Ce résultat contre-intuitif est une conséquence directe de la nature quantique de la dissipation par création de vortex.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La vitesse critique est inversement proportionnelle au rayon (\(v_c \propto 1/R\)). Doubler la vitesse requiert de diviser le rayon par deux. Diviser la vitesse par deux requiert de doubler le rayon.

Justifications (le pourquoi de cette étape)

Cette question renforce la compréhension de la relation entre la géométrie de confinement et les propriétés quantiques. Elle est essentielle pour le "design" de dispositifs nano-fluidiques, où l'on choisit les dimensions pour obtenir les performances désirées.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur serait de penser que la relation est directe (\(v_c \propto R\)) et de conclure qu'il faut doubler le rayon. Il faut toujours bien analyser la position des variables dans la formule avant de faire des raisonnements de proportionnalité.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Cette augmentation de la vitesse critique dans les canaux étroits est une des raisons pour lesquelles les "nanofils" supraconducteurs peuvent supporter des densités de courant beaucoup plus élevées que les câbles massifs. Le principe est le même : le confinement géométrique empêche la formation de vortex (magnétiques, cette fois), qui sont la source de la résistance électrique dans un supraconducteur.

FAQ (pour lever les doutes)
Que se passe-t-il si le rayon devient de l'ordre de la taille d'un atome ?

Le modèle simple que nous utilisons cesse d'être valide. Il faut alors utiliser des simulations numériques beaucoup plus complexes qui tiennent compte de la nature atomique du fluide et des parois. Cependant, la tendance générale (\(v_c\) augmente quand \(R\) diminue) reste qualitativement vraie jusqu'à des échelles de quelques atomes.

Résultat Final (la conclusion chiffrée)
Le nouveau rayon du canal devrait être \(R' = 25 \, \text{nm}\).
A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant parrapport a la question)

Quel serait le nouveau rayon \(R''\) si l'on voulait que la vitesse critique soit de \(1 \, \text{m/s}\) ?

Outil Interactif : Simulateur de Vitesse Critique

Modifiez le rayon du canal pour observer son influence sur la vitesse critique de l'hélium superfluide.

Paramètres d'Entrée
50 nm
145 kg/m³
Résultats Calculés
Vitesse critique v_c (m/s) -
Débit massique critique (kg/s) -

Le Saviez-Vous ?

L'hélium-4 est un "boson" (son spin nucléaire est entier), ce qui lui permet de former un condensat de Bose-Einstein et de devenir superfluide. L'autre isotope stable, l'hélium-3, est un "fermion" (spin demi-entier). Il ne peut pas condenser de la même manière. Pour qu'il devienne superfluide, les atomes doivent d'abord s'apparier pour former des "paires de Cooper", un mécanisme similaire à celui qui produit la supraconductivité des électrons dans les métaux.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi l'hélium ne gèle-t-il pas à 0 K ?

À cause des "fluctuations quantiques du point zéro". D'après le principe d'incertitude d'Heisenberg, un atome ne peut pas être parfaitement immobile à une position précise. Les atomes d'hélium sont si légers et interagissent si faiblement entre eux que cette énergie de point zéro est suffisante pour les empêcher de se fixer dans une structure cristalline solide, même à la température la plus basse possible (sauf sous une pression d'environ 25 atmosphères).

Qu'est-ce que la "circulation quantifiée" d'un vortex ?

Dans un fluide classique, un tourbillon peut avoir n'importe quelle vitesse de rotation. Dans un superfluide, la fonction d'onde quantique qui décrit tous les atomes doit être continue. Cette condition impose que la "quantité de rotation" (la circulation) autour d'un vortex ne puisse prendre que des valeurs discrètes, multiples d'un quantum fondamental \(h/m_4\), où \(h\) est la constante de Planck.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Si on divise le rayon d'un nano-canal par 3, la vitesse critique sera...

2. La superfluidité de l'hélium-4 est un phénomène qui s'explique par...

Superfluidité
État de la matière caractérisé par un écoulement sans viscosité et d'autres effets quantiques macroscopiques.
Vortex Quantique
Défaut topologique dans un superfluide, correspondant à un tourbillon dont la circulation est quantifiée en unités de \(h/m\).
Vitesse Critique
Vitesse d'écoulement maximale au-delà de laquelle un superfluide commence à dissiper de l'énergie, généralement par la création de vortex.
Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide

D’autres exercices de physique de la matiere condensée:

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