Étude du Condensat dans Piège Harmonique
📝 Situation du Projet
Vous avez récemment rejoint l'équipe "Gaz Quantiques" du Laboratoire Kastler Brossel, une unité de recherche de renommée mondiale spécialisée dans la manipulation des atomes par la lumière. Le laboratoire vient d'achever la construction d'une nouvelle enceinte à ultra-haut vide (UHV), conçue pour atteindre des pressions inférieures à \(10^{-11} \text{ mbar}\), condition sine qua non pour isoler thermiquement un nuage atomique de l'environnement ambiant. Au cœur de cette enceinte trône un dispositif de piégeage magnétique de type Ioffe-Pritchard, constitué de bobines en configuration "trefle" alimentées par des courants de plusieurs centaines d'ampères.
L'objectif de votre stage est critique : il s'agit de valider théoriquement les paramètres de cette installation avant de lancer les premières séquences expérimentales coûteuses. Plus spécifiquement, vous devez modéliser le comportement d'un nuage d'atomes de Rubidium 87 (\(^{87}\text{Rb}\)) piégé magnétiquement, afin de prédire les conditions exactes (température, densité, taille) nécessaires pour observer la transition de phase vers le Condensat de Bose-Einstein (BEC). C'est une étape de dimensionnement physique fondamentale : si vos calculs révèlent que la densité critique est inatteignable avec la raideur actuelle du piège, l'architecture des bobines devra être modifiée.
En tant qu'Ingénieur Physicien, vous devez caractériser le comportement thermodynamique et spatial du nuage atomique dans le piège harmonique. Votre étude se décompose en trois axes majeurs : calculer la température critique de transition de phase \(T_{\text{c}}\) pour vérifier qu'elle est à la portée de nos systèmes de refroidissement, estimer la taille du condensat à température nulle en tenant compte des fortes interactions répulsives (régime de Thomas-Fermi), et confirmer la cohérence des échelles spatiales pour l'imagerie par absorption.
"Attention, l'enceinte est maintenue à \(10^{-11} \text{ Torr}\). Toute erreur de calcul sur la puissance de piégeage pourrait entraîner la perte du nuage ou, pire, une évaporation inefficace ne permettant pas d'atteindre la dégénérescence quantique. Soyez rigoureux sur les unités !"
L'ensemble des paramètres ci-dessous définit le cadre normatif et matériel du projet, conformément aux normes de physique atomique en vigueur.
📚 Référentiel Scientifique
Physique Statistique QuantiqueÉquation de Gross-Pitaevskii| CONSTANTES PHYSIQUES | |
| Masse atomique (\(m\)) | \(1.443 \times 10^{-25} \text{ kg}\) |
| Longueur de diffusion (\(a\)) | \(5.2 \times 10^{-9} \text{ m}\) (ou 5.2 nm) |
| Constante de Planck réduite (\(\hbar\)) | \(1.054 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\) |
| Constante de Boltzmann (\(k_{\text{B}}\)) | \(1.380 \times 10^{-23} \text{ J/K}\) |
📐 Paramètres du Piège & Échantillon
- Fréquences radiales (\(\nu_x, \nu_y\)): \(200 \text{ Hz}\)
- Fréquence axiale (\(\nu_z\)): \(20 \text{ Hz}\)
- Nombre d'atomes (\(N\)): \(10^5 \text{ atomes}\)
⚖️ Hypothèses de Travail
| Donnée | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Masse 87Rb | \(m\) | \(1.44 \cdot 10^{-25}\) | kg |
| Fréquence Radiale | \(\nu_{\perp}\) | \(200\) | Hz |
| Fréquence Axiale | \(\nu_{z}\) | \(20\) | Hz |
| Population | \(N\) | \(100\,000\) | - |
E. Protocole de Résolution
Pour dimensionner correctement notre expérience, nous devons suivre une démarche analytique rigoureuse allant de la caractérisation du piège jusqu'à l'étude du nuage en interaction.
Caractérisation du Piège
Calcul de la fréquence moyenne géométrique pour réduire le problème anisotrope à un problème effectif isotrope.
Température Critique
Détermination de la température \(T_{\text{c}}\) en dessous de laquelle la transition de phase quantique se produit pour un gaz idéal.
État Fondamental Idéal
Estimation de la taille du nuage sans interaction (longueur de l'oscillateur harmoniques \(a_{\text{ho}}\)).
Régime de Thomas-Fermi
Prise en compte des interactions répulsives et calcul du rayon réel du condensat (\(R_{\text{TF}}\)) et du potentiel chimique.
Étude du Condensat dans Piège Harmonique
🎯 Objectif
L'objectif de cette première étape fondamentale est de synthétiser les paramètres anisotropes de notre piège magnétique en une grandeur unique et utilisable pour l'ensemble des calculs thermodynamiques ultérieurs : la fréquence (ou pulsation) moyenne géométrique. Bien que le piège physique soit tridimensionnel et anisotrope (avec un confinement fort radialement et faible axialement), la plupart des lois d'échelle de la thermodynamique des gaz quantiques (densité d'états, température critique) peuvent s'exprimer simplement en utilisant cette moyenne géométrique.
📚 Référentiel
Mécanique ClassiquePotentiel Harmonique 3DNous sommes face à un piège dit "en forme de cigare" (prolate). Les fréquences radiales (\(x, y\)) sont élevées (confinement serré), ce qui empêche le nuage de s'étaler latéralement, tandis que la fréquence axiale (\(z\)) est faible (confinement mou), laissant le nuage s'allonger. Pour calculer des grandeurs globales comme la condensation, ce qui compte est le "volume" global de l'espace des phases accessible aux atomes à une énergie donnée. Mathématiquement, ce volume est inversement proportionnel au produit des fréquences. C'est pourquoi nous devons calculer la moyenne géométrique, et non arithmétique.
L'énergie potentielle vue par un atome dans le piège s'écrit :
En physique statistique, la fonction de partition \(Z\) d'un tel système se factorise en \(Z = Z_x Z_y Z_z\). Comme \(Z_i \propto 1/\omega_i\), la fonction de partition totale est proportionnelle à \(1/(\omega_x \omega_y \omega_z)\). On peut donc définir un oscillateur harmonique isotrope "équivalent" qui aurait la même fonction de partition, avec une fréquence \(\bar{\omega}\) telle que \(\bar{\omega}^3 = \omega_x \omega_y \omega_z\).
📜 Démonstration : Pourquoi la moyenne géométrique ?
La fonction de partition canonique \(Z\) d'un atome unique dans un piège harmonique 3D à température \(T\) est donnée par l'intégrale sur l'espace des phases :
Pour un piège isotrope de fréquence \(\bar{\omega}\), nous aurions \(Z_{\text{iso}} = (k_{\text{B}} T / \hbar \bar{\omega})^3\). En égalant \(Z = Z_{\text{iso}}\), nous obtenons directement \(\bar{\omega}^3 = \omega_x \omega_y \omega_z\).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Fréquence radiale (\(\nu_x, \nu_y\)) | \(200 \text{ Hz}\) |
| Fréquence axiale (\(\nu_z\)) | \(20 \text{ Hz}\) |
Toujours convertir les fréquences (\(\nu\), en Hertz) en pulsations (\(\omega\), en rad/s) AVANT d'effectuer des calculs impliquant \(\hbar\). Le facteur \(2\pi\) est une source d'erreur classique.
Calculs Détaillés
1. Détermination de la pulsation radiale \(\omega_{\perp}\) :
Nous convertissons d'abord la fréquence radiale de Hertz en radians par seconde.
C'est la pulsation de confinement fort, responsable de la compression radiale du "cigare".
2. Détermination de la pulsation axiale \(\omega_z\) :
De même pour l'axe faible.
Notez le facteur 10 exact entre les axes, typique des conceptions magnétiques simples.
3. Calcul de la Moyenne Géométrique \(\bar{\omega}\) :
Nous combinons maintenant les trois axes. Comme \(\omega_x = \omega_y\), la formule devient \((\omega_{\perp}^2 \omega_z)^{1/3}\).
La pulsation effective du piège est de \(583.2 \text{ rad/s}\).
✅ Interprétation Globale
Nous avons réduit notre piège complexe à 3 dimensions à un paramètre unique : \(\bar{\omega} = 583.2 \text{ rad/s}\). Cela correspond à une fréquence moyenne de \(\bar{\nu} \approx 92.8 \text{ Hz}\). Pour la suite des calculs (température critique notamment), nous pourrons considérer le système comme un piège sphérique isotrope vibrant à cette fréquence unique, ce qui simplifie considérablement les équations sans perdre en précision physique sur les grandeurs thermodynamiques globales.
La fréquence moyenne (\(92.8 \text{ Hz}\)) est logiquement comprise entre la borne basse (\(20 \text{ Hz}\)) et la borne haute (\(200 \text{ Hz}\)). Elle est plus proche de \(200 \text{ Hz}\) car deux dimensions sur trois sont à cette fréquence haute (\(2/3\) du poids géométrique).
Une erreur fréquente consiste à faire la moyenne arithmétique des fréquences (\(\frac{200+200+20}{3} = 140 \text{ Hz}\)). Cela surestimerait la fréquence moyenne de 50%, faussant gravement le calcul de la température critique.
🎯 Objectif
L'objectif est de déterminer la température critique \(T_{\text{c}}\), paramètre le plus important de l'expérience. C'est la température précise en dessous de laquelle une fraction macroscopique des atomes va s'effondrer "brutalement" dans l'état fondamental du piège pour former le condensat. Cette valeur dicte les performances requises pour notre chaîne de refroidissement (MOT + Mélasse optique + Évaporation).
📚 Référentiel
Statistique de Bose-EinsteinFonction Zêta de RiemannPour dimensionner le système, nous utilisons l'approximation du gaz idéal (sans interaction). Pourquoi ? Parce qu'à la transition de phase, la densité du nuage thermique est encore "modérée", et les interactions ne décalent la température critique que de quelques pourcents (\(\Delta T_{\text{c}} / T_{\text{c}} \sim 1-3\%\)). Pour une étude de faisabilité, le modèle du gaz parfait dans un piège harmonique est donc excellent et robuste. La transition se produit lorsque le potentiel chimique \(\mu\) atteint l'énergie du fondamental (prise à 0), moment où la population des états excités sature.
Dans un piège harmonique 3D, le nombre maximum d'atomes que peuvent accueillir les états excités thermiques est donné par l'intégrale de la distribution de Bose-Einstein :
Lorsque l'on refroidit le gaz, ce nombre diminue. Si le nombre total d'atomes \(N\) dépasse ce maximum possible (\(N > N_{\text{ex}}^{\text{max}}(T)\)), l'excédent doit nécessairement s'accumuler dans l'état fondamental : c'est la condensation.
📜 Démonstration : Origine de \(\zeta(3)\)
Le nombre d'atomes critiques est calculé en intégrant la densité d'états \(\rho(\epsilon) = \epsilon^2 / (2 (\hbar \bar{\omega})^3)\) avec la distribution de Bose :
L'intégrale standard \(\int_0^\infty \frac{x^{s-1}}{e^x - 1} dx\) vaut \(\Gamma(s)\zeta(s)\). Ici pour \(s=3\), \(\Gamma(3) = 2\), ce qui simplifie le facteur \(1/2\). On obtient finalement \(N = \zeta(3) (k_{\text{B}} T / \hbar \bar{\omega})^3\).
Cette formule analytique est obtenue en inversant la relation de saturation. \(\zeta(3) \approx 1.202\) est la valeur de la fonction Zêta de Riemann.
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Pulsation moyenne (\(\bar{\omega}\)) | \(583.2 \text{ rad/s}\) |
| Nombre d'atomes (\(N\)) | \(10^5\) |
| Constante de Planck réduite (\(\hbar\)) | \(1.054 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\) |
| Constante de Boltzmann (\(k_{\text{B}}\)) | \(1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}\) |
Pour des calculs rapides en laboratoire, retenez que \(T_{\text{c}} \approx 0.94 \frac{\hbar \omega}{k_{\text{B}}} N^{1/3}\). Le facteur \(N^{1/3}\) est souvent de l'ordre de 50 à 100 pour des expériences typiques.
Calcul de \(T_{\text{c}}\)
1. Calcul du facteur de population \(N^{1/3}\) :
Le nombre d'atomes intervient par sa racine cubique, ce qui rend \(T_{\text{c}}\) relativement peu sensible aux fluctuations du nombre d'atomes.
Un nuage de \(100\,000\) atomes augmente la température critique d'un facteur 46 par rapport à l'énergie d'un seul atome.
2. Calcul de l'énergie thermique critique \(E_{\text{c}} = k_{\text{B}} T_{\text{c}}\) :
Nous assemblons les termes : \(0.94 \times \hbar \times \bar{\omega} \times 46.41\).
C'est l'énergie thermique microscopique à la transition.
3. Conversion en Température (Kelvin) :
On divise l'énergie par la constante de Boltzmann \(k_{\text{B}}\).
Le résultat final.
✅ Interprétation Globale
Nous obtenons une température critique de \(194 \text{ nano-Kelvins (nK)}\). C'est une valeur standard pour ce type d'expérience. Elle est suffisamment élevée pour être atteinte par une rampe d'évaporation radio-fréquence de 10 à 20 secondes après une phase de mélasse optique. Si nous avions trouvé une valeur de l'ordre du pico-Kelvin, l'expérience aurait été irréalisable.
Comparons à l'énergie de recul d'un atome de Rb qui est de l'ordre de \(100\)-\(300 \text{ nK}\). Nous sommes dans le bon ordre de grandeur des températures ultra-froides manipulables en laboratoire.
Attention à la confusion fréquente entre \(\hbar\) (h-barre) et \(h\) (constante de Planck). L'oubli de la division par \(2\pi\) entraînerait une erreur d'un facteur 6, prédisant une température critique faussement élevée et optimiste.
🎯 Objectif
L'objectif est de calculer la "taille naturelle" que prendrait la fonction d'onde d'un atome unique placé au fond de ce piège. Cette grandeur, appelée longueur de l'oscillateur harmonique (\(a_{\text{ho}}\)), sert de mètre étalon pour toute la physique du piège. Elle nous permettra de quantifier, dans l'étape suivante, à quel point le nuage est "gonflé" par les interactions entre atomes.
📚 Référentiel
Mécanique QuantiquePrincipe d'Incertitude d'HeisenbergDans un piège, un atome ne peut pas être parfaitement immobile au fond du puits (\(r=0, v=0\)) car cela violerait le principe d'incertitude (\(\Delta x \Delta p \ge \hbar/2\)). Il possède une "énergie de point zéro" et fluctue spatialement. La longueur \(a_{\text{ho}}\) correspond à l'écart-type de la gaussienne de densité de probabilité de cet état fondamental. Plus la masse est grande ou plus le piège est raide (\(\omega\) grand), plus cette longueur est petite.
La solution de l'équation de Schrödinger pour l'état fondamental de l'oscillateur harmonique est une gaussienne :
La taille \(a_{\text{ho}}\) représente le point où l'énergie potentielle égale l'énergie cinétique.
📜 Démonstration : Analyse Dimensionnelle
L'énergie totale d'un état gaussien de largeur \(a\) s'écrit comme la somme de l'énergie cinétique et potentielle :
En minimisant cette énergie, on trouve que le minimum est atteint pour :
La longueur caractéristique moyenne \(a_{\text{ho}}\) dépend de la masse \(m\), de la fréquence moyenne \(\bar{\omega}\) et de \(\hbar\).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Pulsation moyenne (\(\bar{\omega}\)) | \(583.2 \text{ rad/s}\) |
| Masse du Rubidium 87 (\(m\)) | \(1.443 \times 10^{-25} \text{ kg}\) |
| Constante de Planck réduite | \(1.054 \times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}\) |
La masse atomique doit être convertie en kg. Utilisez \(m = \frac{M_{\text{mol}}}{N_{\text{A}}}\) où \(M_{\text{mol}} = 87 \text{ g/mol}\) pour le Rubidium 87.
Calcul de \(a_{\text{ho}}\)
1. Calcul du dénominateur (produit masse-fréquence) :
Ce terme représente la "raideur inertielle" du système.
2. Calcul de la fraction \(\hbar / m\omega\) :
Nous divisons l'action quantique par le terme inertiel. Le résultat est en \(\text{m}^2\).
3. Calcul final (Racine carrée) :
Extraction de la longueur.
La longueur harmonique est d'environ \(1.12 \text{ micromètres (\(\mu\)m)}\).
✅ Interprétation Globale
Si les atomes n'interagissaient pas entre eux (gaz parfait), le condensat formé de \(100\,000\) atomes s'empilerait exactement dans cette même fonction d'onde gaussienne de taille \(1.12 \text{ \(\mu\)m}\). C'est extrêmement petit, proche de la limite de résolution des systèmes optiques standard, ce qui rendrait l'observation directe difficile sans temps de vol (Time-of-Flight).
Pour des fréquences de l'ordre de \(100 \text{ Hz}\) et des atomes alcalins, \(a_{\text{ho}}\) est toujours de l'ordre du micromètre. Une valeur de \(1 \text{ mm}\) ou de \(1 \text{ nm}\) serait suspecte.
Cette longueur \(a_{\text{ho}}\) est une moyenne géométrique. La longueur réelle selon l'axe \(z\) (faible fréquence) sera plus grande (\(a_z = a_{\text{ho}} \sqrt{\bar{\omega}/\omega_z}\)) et plus petite selon les axes radiaux.
🎯 Objectif
Nous entrons ici dans le cœur de la physique des ondes de matière réelles. Les atomes de Rubidium ne sont pas des fantômes qui s'ignorent : ils se repoussent violemment à courte portée (longueur de diffusion \(a > 0\)). Cette énergie de répulsion va chercher à faire exploser le nuage pour diminuer la densité, luttant contre le piège qui cherche à le comprimer. L'objectif est de calculer le "vrai" rayon du condensat, dit rayon de Thomas-Fermi (\(R_{\text{TF}}\)), qui résulte de cet équilibre compétitif.
📚 Référentiel
Approximation Thomas-FermiInteraction Mean-FieldAvec \(N = 10^5\) atomes, l'énergie d'interaction devient gigantesque par rapport à la petite énergie cinétique de confinement (le terme \(N a / a_{\text{ho}}\) est grand). L'approximation de Thomas-Fermi consiste à négliger purement et simplement le terme d'énergie cinétique (Laplacien) dans l'équation de Gross-Pitaevskii. Le profil de densité n'est alors plus une gaussienne, mais prend la forme exacte du potentiel renversé : c'est une parabole inversée.
L'équation fondamentale qui régit le condensat est :
Dans le régime TF, on néglige le premier terme (cinétique). On obtient alors algébriquement la densité :
Le rayon \(R_{\text{TF}}\) est le point où cette densité s'annule.
📜 Démonstration : Dérivation du Rayon TF
La densité est donnée par \(n(r) = (\mu - \frac{1}{2}m\omega^2r^2)/g\) pour \(r < R_{\text{TF}}\), avec \(R_{\text{TF}} = \sqrt{2\mu / m\omega^2}\). La normalisation du nombre d'atomes impose :
Le calcul de cette intégrale mène à la relation suivante pour le potentiel chimique :
Le rayon \(R_{\text{TF}}\) s'exprime en fonction de la longueur harmonique \(a_{\text{ho}}\) gonflée par un facteur adimensionnel dépendant de \(N\).
📋 Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Longueur harmonique (\(a_{\text{ho}}\)) | \(1.118 \cdot 10^{-6} \text{ m}\) |
| Longueur de diffusion (\(a\)) | \(5.2 \cdot 10^{-9} \text{ m}\) |
| Nombre d'atomes (\(N\)) | \(10^5\) |
Calculez d'abord le terme entre parenthèses (le rapport d'interaction). C'est un nombre sans dimension qui vous indique immédiatement si l'approximation TF est valide (il doit être \(\gg 1\)).
Calcul du Rayon \(R_{\text{TF}}\)
1. Calcul du paramètre d'interaction adimensionnel :
Nous évaluons le terme \(\frac{15 N a}{a_{\text{ho}}}\).
Ce rapport est énorme (\(\approx 7000\)). Cela confirme brillamment que nous sommes profondément dans le régime de Thomas-Fermi.
2. Calcul de la puissance 1/5 :
La dépendance est très faible (racine cinquième).
Les interactions dilatent le nuage d'un facteur 5.86 par rapport au cas idéal.
3. Calcul final de \(R_{\text{TF}}\) :
Multiplication par la longueur harmonique de base.
Le rayon physique du nuage est d'environ \(6.6 \text{ \(\mu\)m}\).
✅ Interprétation Globale
Le rayon final de \(6.6 \text{ \(\mu\)m}\) est très confortable pour l'observation. Un système d'imagerie standard (objectif avec une résolution de \(1\) à \(2 \text{ \(\mu\)m}\)) pourra résoudre spatialement le condensat in situ, sans même avoir besoin de le relâcher (temps de vol). Cela simplifie grandement la conception de la chambre expérimentale.
Le facteur d'expansion est de 5.86. C'est significatif mais pas démesuré. Si nous avions moins d'atomes (ex: \(10^3\)), le régime TF ne serait plus valide et il faudrait résoudre l'équation de Gross-Pitaevskii complète numériquement.
Ce rayon \(R_{\text{TF}}\) est le rayon moyen. Dans le piège réel anisotrope, le nuage sera une ellipsoïde : plus fin radialement (\(R_{\perp} < R_{\text{TF}}\)) et plus long axialement (\(R_z > R_{\text{TF}}\)) selon le ratio des fréquences \(\omega_z / \omega_{\perp}\).
📄 Livrable Final (Note de Synthèse)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Rédacteur |
|---|---|---|---|
| A | 24/05/2024 | Calculs initiaux pour piège Ioffe-Pritchard | Ing. Physicien |
| Paramètre | Symbole | Résultat |
| Pulsation Moyenne | \(\bar{\omega}\) | \(583.2 \text{ rad/s}\) |
| Température Critique | \(T_{\text{c}}\) | \(194 \text{ nK}\) |
| Longueur Harmonique | \(a_{\text{ho}}\) | \(1.12 \text{ \(\mu\)m}\) |
| Rayon Thomas-Fermi | \(R_{\text{TF}}\) | \(6.56 \text{ \(\mu\)m}\) |
Dr. A. Einstein
Pr. C. Cohen-Tannoudji
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