Tension de Hall dans un Semi-conducteur

Contexte : Physique de la matière condensée.

L'Effet HallDifférence de potentiel transversale créée par un champ magnétique. est un phénomène physique fondamental découvert par Edwin Hall en 1879. Il permet aujourd'hui de caractériser les matériaux (type de porteurs de charge, densité) et constitue la base de millions de capteurs utilisés dans l'industrie automobile et l'électronique grand public (détection de position, mesure de courant).

Dans cet exercice, nous allons analyser le comportement d'une plaquette de Germanium dopé N. Le Germanium est un semi-conducteur de la colonne IV (comme le Silicium). Lorsqu'il est dopé "N" (Négatif), on y introduit des impuretés pentavalentes (comme l'Arsenic) qui libèrent des électrons supplémentaires. Ces électrons libres deviennent les porteurs de charge majoritaires, responsables du courant électrique.

Contrairement à un métal comme le cuivre où la densité d'électrons est gigantesque ($\approx 10^{29} \text{ m}^{-3}$), un semi-conducteur dopé possède une densité de porteurs plus faible ($\approx 10^{21} - 10^{24} \text{ m}^{-3}$). Cette particularité est cruciale : moins il y a de porteurs, plus l'effet Hall est prononcé et facile à mesurer. C'est pourquoi les semi-conducteurs sont les matériaux de choix pour les capteurs Hall.

Remarque Pédagogique : L'objectif de cet exercice est de faire le lien entre le monde microscopique (des électrons invisibles soumis à des forces) et le monde macroscopique (une tension mesurable avec un voltmètre). Comprendre ce lien est l'essence même de la physique des matériaux.

Objectifs Pédagogiques

Calculer la vitesse de dérive moyenne des porteurs de charge.
Comprendre l'origine physique de la tension de Hall (équilibre des forces).
Déterminer expérimentalement le type de porteurs via le coefficient de Hall.
Calculer le champ électrique transversal induit.

Données de l'étude

On considère une plaquette de Germanium dopé N (électrons majoritaires) de forme parallélépipédique traversée par un courant $I$ et soumise à un champ magnétique $B$ perpendiculaire.

Fiche Technique / Données

Caractéristique	Valeur
Matériau	Germanium (Ge) Type N
Charge élémentaire ($e$)	$1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$
Densité de porteurs ($n$)	$5 \times 10^{21} \text{ m}^{-3}$

Géométrie de l'Effet Hall

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Intensité	$I$	10	$\text{mA}$
Champ Mag.	$B$	0.2	$\text{T}$
Épaisseur	$d$	0.5	$\text{mm}$
Largeur	$w$	5	$\text{mm}$

Questions à traiter

Calculer la vitesse de dérive ($v_{\text{d}}$) des électrons.
En déduire la tension de Hall ($V_{\text{H}}$) mesurée aux bornes de l'échantillon.
Déterminer la valeur du coefficient de Hall ($R_{\text{H}}$) caractéristique de ce dopage.
Calculer l'intensité du champ électrique de Hall ($E_{\text{H}}$) transversal.

Les bases théoriques

Pour comprendre l'effet Hall, il est essentiel de maîtriser deux concepts physiques majeurs : l'interaction électromagnétique sur une charge (Force de Lorentz) et la nature microscopique du courant électrique (Densité de courant).

1. Force de Lorentz : Le moteur de la déviation
Toute particule chargée se déplaçant dans un champ magnétique subit une force. Cette force n'est pas intuitive car elle est perpendiculaire à la fois à la vitesse de la particule et au champ magnétique.

L'expression vectorielle complète est : $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.
- Le terme électrique $q\vec{E}$ accélère la particule dans la direction du champ.
- Le terme magnétique $q(\vec{v} \times \vec{B})$ la dévie latéralement sans changer son énergie cinétique (car la force est toujours perpendiculaire au mouvement).

C'est ce terme magnétique qui est à l'origine de l'effet Hall : il pousse les charges vers le bord du matériau.

2. Densité de Courant : Du micro au macro
Le courant électrique que l'on mesure (en Ampères) est un débit global de charges. Au niveau microscopique, il correspond à une densité de courant $\vec{j}$ (en $A/m^2$).

La relation clé est : $\vec{j} = n q \vec{v}_{\text{d}}$.
Cette formule nous dit que le courant dépend de trois choses :
- Combien il y a de porteurs ($n$).
- Quelle est leur charge individuelle ($q$).
- À quelle vitesse moyenne ils avancent ($\vec{v}_{\text{d}}$).

C'est le pont indispensable pour passer des mesures de laboratoire aux propriétés atomiques du matériau.

Correction : Calcul de la Tension de Hall dans un Semi-conducteur

Question 1 : Calculer la vitesse de dérive ($v_{\text{d}}$)

Principe

Le courant électrique macroscopique, que nous mesurons avec un ampèremètre, correspond en réalité à un déplacement collectif et ordonné des porteurs de charge (ici, les électrons). Bien que ces électrons soient soumis à une agitation thermique chaotique extrêmement rapide (de l'ordre de $10^5 \text{ m/s}$ à température ambiante), ce mouvement aléatoire ne crée pas de courant net car la moyenne des vecteurs vitesse est nulle. En revanche, lorsqu'un champ électrique est appliqué, une petite composante de vitesse dirigée se superpose à ce chaos : c'est la vitesse de dérive ($v_{\text{d}}$). C'est cette vitesse moyenne d'ensemble que nous cherchons à calculer, car c'est elle qui transporte la charge électrique d'un bout à l'autre du matériau.

Mini-Cours

Modèle de Drude et Conduction :
Le modèle de Drude (1900) traite les électrons de conduction comme un gaz classique de particules libres. Ces électrons entrent constamment en collision avec les ions fixes du réseau cristallin.

Entre deux collisions, l'électron est accéléré par le champ électrique. Lors d'une collision, il perd cette énergie cinétique acquise et repart dans une direction aléatoire. Ce processus de "freinage" constant conduit à une vitesse limite moyenne, exactement comme un parachutiste atteint une vitesse limite sous l'effet de la gravité et des frottements de l'air.

La relation fondamentale qui lie le courant macroscopique $I$ (débit de charges) aux grandeurs microscopiques est : $\vec{j} = n q \vec{v}_{\text{d}}$, où $\vec{j}$ est le vecteur densité de courant.

Remarque Pédagogique

Une erreur fréquente est de confondre la section transversale $S$ avec la surface latérale. Le courant traverse le matériau dans le sens de la longueur. Il "voit" donc une surface définie par la découpe perpendiculaire à son flux. Ici, cette surface est le rectangle formé par la largeur $w$ et l'épaisseur $d$. La longueur $L$ de la plaquette n'a aucune influence sur la densité de courant locale.

Normes

Les calculs respectent les définitions de la grandeur physique "Densité de courant électrique" telles que définies dans la norme ISO 80000-6:2008 (Grandeurs et unités — Partie 6: Électromagnétisme). Les unités utilisées sont celles du Système International (SI).

Formule(s)

On part de la définition de l'intensité $I = \frac{dQ}{dt}$ (débit de charge). Considérons un volume de longueur $L = v_{\text{d}} \cdot t$. La charge totale dans ce volume est $Q = n \cdot (S \cdot L) \cdot q$. En divisant par le temps $t$, on retrouve :

Vitesse de dérive

v_{\text{d}} = \frac{I}{n \cdot e \cdot S} = \frac{I}{n \cdot e \cdot (w \cdot d)}

Hypothèses

Pour que ce calcul soit valide, nous posons les hypothèses simplificatrices suivantes :

Homogénéité : La densité de porteurs $n$ est strictement constante dans tout le volume du semi-conducteur (pas de gradient de dopage).
Uniformité : La densité de courant est uniforme sur toute la section $S$ (on néglige les effets de peau ou de bord).
Porteur unique : On considère que le courant est transporté exclusivement par les électrons (Type N majoritaire), en négligeant la contribution des trous minoritaires.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité SI
Courant	$I$	0.010	$\text{A}$ (Ampère)
Densité volumique	$n$	$5 \times 10^{21}$	$\text{m}^{-3}$
Charge élémentaire	$e$	$1.6 \times 10^{-19}$	$\text{C}$ (Coulomb)
Section	$S$	$2.5 \times 10^{-6}$	$\text{m}^2$

Astuces

Astuce de conversion : Les dimensions sont souvent données en millimètres dans les sujets d'examen (mm). Pour passer en mètres (m), multipliez par $10^{-3}$. Pour une surface en mm², le facteur est $(10^{-3})^2 = 10^{-6}$. N'oubliez jamais cette conversion avant d'injecter les valeurs dans la formule, sinon votre résultat sera faux d'un facteur 1 million !

Schéma : Flux d'électrons (Modèle de Drude)

Calcul(s)

Conversions préliminaires

Avant tout calcul, nous devons nous assurer que toutes les grandeurs sont exprimées dans les unités de base du Système International (SI). Ici, nous convertissons les milliampères (mA) en Ampères (A) et les millimètres (mm) en mètres (m).

\begin{aligned} I &= 10 \text{ mA} = 0.010 \text{ A} \\ w &= 5 \text{ mm} = 0.005 \text{ m} \\ d &= 0.5 \text{ mm} = 0.0005 \text{ m} \end{aligned}

Ces conversions sont indispensables car les formules physiques standard ne fonctionnent qu'avec des unités cohérentes (A, m, s, kg, etc.). Utiliser des "mm" directement fausserait le résultat d'un facteur 1000 ou 1 million.

Étape 1 : Calcul de la Section $S$

Nous cherchons d'abord la surface "active" traversée par le flux d'électrons. On calcule la surface traversée par le courant, qui est le produit de la largeur et de l'épaisseur.

\begin{aligned} S &= w \times d \\ &= 0.005 \text{ m} \times 0.0005 \text{ m} \\ &= 2.5 \times 10^{-6} \text{ m}^2 \end{aligned}

Cette surface est minuscule ($2.5 \text{ mm}^2$), ce qui va concentrer le flux de charges.

Étape 2 : Calcul de la Densité linéique de charge effective

Calculons la charge totale contenue dans un volume de 1m de long pour cette section. Pour éviter les erreurs de calculatrice, calculons d'abord le terme $n \cdot e \cdot S$ séparément :

\begin{aligned} D &= n \cdot e \cdot S \\ &= (5 \times 10^{21}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.5 \times 10^{-6}) \\ &= (5 \times 1.6 \times 2.5) \times 10^{(21 - 19 - 6)} \\ &= 20 \times 10^{-4} \\ &= 0.002 \text{ C/m} \end{aligned}

Cela signifie qu'il y a 0.002 Coulombs de charges mobiles par mètre de longueur de plaquette. C'est la "capacité de transport" du matériau par unité de longueur.

Étape 3 : Division Finale

La vitesse est le rapport entre le débit (Courant) et la densité linéique de charge. C'est comme calculer la vitesse de l'eau dans un tuyau connaissant le débit et la section. Il ne reste plus qu'à diviser le courant par ce résultat :

Calcul final

\begin{aligned} v_{\text{d}} &= \frac{I}{D} \\ &= \frac{0.010 \text{ A}}{0.002 \text{ C/m}} \\ &= 5 \text{ m/s} \end{aligned}

Le résultat est directement en m/s, l'unité standard de vitesse. 5 m/s est une vitesse significative, rendue possible ici par la densité de porteurs relativement modérée du semi-conducteur.

Résultat : Vitesse

v = 5 m/s

Réflexions

Nous obtenons une vitesse de 5 m/s. C'est une valeur assez élevée pour une vitesse de dérive, mais cohérente avec une densité de porteurs "faible" ($10^{21}$) typique d'un semi-conducteur dopé, comparée à celle d'un métal ($10^{28}$). Dans un métal, pour le même courant, la vitesse serait un million de fois plus faible (quelques $\mu\text{m/s}$).

Points de vigilance

Ne confondez pas célérité de l'onde et vitesse des particules. Quand vous ouvrez le robinet, l'eau sort tout de suite (onde de pression), mais la molécule d'eau qui sortait du château d'eau mettra des heures à arriver (vitesse de dérive).

Points à Retenir

La vitesse de dérive est inversement proportionnelle à la densité de porteurs $n$. Moins il y a de porteurs, plus ils doivent aller vite pour assurer le même courant.
Elle est proportionnelle à la densité de courant $J = I/S$.

Le saviez-vous ?

Si les électrons allaient à la vitesse de la lumière dans vos câbles, leur énergie cinétique serait telle qu'ils détruiraient instantanément le fil par impact ! C'est leur lenteur et leurs collisions qui provoquent l'effet Joule (échauffement).

FAQ

Pourquoi la densité $n$ est-elle si élevée ($10^{21}$) ?

Cela semble énorme, mais c'est une densité volumique. Dans un solide, les atomes sont très serrés. Il y a environ $10^{22}$ à $10^{23}$ atomes par cm³. Même si on dope faiblement (1 atome pour 1 million), on obtient facilement $10^{16}$ à $10^{17}$ porteurs par cm³ (soit $10^{22}$ par m³).

La vitesse de dérive est $v_{\text{d}} = 5 \text{ m/s}$.

A vous de jouer
Si le courant double ($I = 20 \text{ mA}$), quelle sera la nouvelle vitesse en m/s ?

📝 Mémo
Courant plus fort = Électrons plus rapides (pour une même densité de porteurs).

Question 2 : En déduire la Tension de Hall ($V_{\text{H}}$)

Principe

La tension de Hall naît d'un phénomène d'accumulation de charges. Sous l'effet du champ magnétique, les électrons en mouvement (vitesse $v_{\text{d}}$) subissent une force magnétique latérale (Lorentz) : $\vec{F}_{\text{m}} = q \vec{v} \times \vec{B}$.
2. La Réaction : Cette force pousse les électrons vers l'un des bords de la plaquette. Ils s'y accumulent, créant une charge locale négative. Par conséquent, l'autre bord devient positivement chargé (déficit d'électrons).
3. L'Équilibre : Cette séparation de charges crée un champ électrique interne $E_{\text{H}}$. Ce champ exerce une force électrique $\vec{F}_{\text{e}} = q \vec{E}_{\text{H}}$ opposée à la force magnétique. L'accumulation s'arrête quand les deux forces s'annulent exactement : $F_{\text{e}} + F_{\text{m}} = 0$.

La tension de Hall $V_{\text{H}}$ est simplement la différence de potentiel générée par ce champ électrique transversal.

Mini-Cours

Règle de la main droite (ou des trois doigts) :
Pour déterminer le sens de la force :
- Le pouce indique la vitesse $v$.
- L'index indique le champ $B$.
- Le majeur indique la force $F$ pour une charge positive.
Attention : Pour des électrons (charge négative), la force est dans le sens opposé au majeur ! C'est ce qui fait que le signe de la tension Hall change selon le type de porteur.

Remarque Pédagogique

C'est une situation d'équilibre dynamique. Le courant continue de circuler longitudinalement, mais transversalement, il n'y a plus de mouvement net de charges une fois la tension $V_{\text{H}}$ établie.

Normes

La géométrie standard pour mesurer l'effet Hall est la "barre de Hall" (comme notre schéma) ou la structure en croix de Van der Pauw (pour les disques), définie par la norme ASTM F76.

Formule(s)

À l'équilibre, $q E_{\text{H}} = q v_{\text{d}} B$, donc $E_{\text{H}} = v_{\text{d}} B$. La tension est le produit du champ par la distance (largeur $w$) :

Loi de Hall

V_{\text{H}} = E_{\text{H}} \cdot w = (v_{\text{d}} \cdot B) \cdot w

Si l'on substitue $v_{\text{d}}$ par l'expression trouvée à la question 1 ($v_{\text{d}} = \frac{I}{n e w d}$), on obtient la formule la plus utilisée en pratique :

V_{\text{H}} = \left( \frac{I}{n e w d} \right) B w = \frac{I \cdot B}{n \cdot e \cdot d}

Hypothèses

Nous supposons ici que :

Le régime permanent est atteint (quelques nanosecondes en réalité).
Le champ magnétique $B$ est parfaitement perpendiculaire à la surface de la plaquette.
La largeur $w$ est suffisante pour négliger les effets de bords quantiques.

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Vitesse (calc. Q1)	$v_{\text{d}}$	5	$\text{m/s}$
Champ Mag.	$B$	0.2	$\text{T}$ (Tesla)
Largeur	$w$	0.005	$\text{m}$

Astuces

Simplification majeure : Regardez la deuxième formule $V_{\text{H}} = \frac{IB}{ned}$. La largeur $w$ a disparu ! Cela signifie que pour une même épaisseur, une plaquette large de 1 cm ou de 1 mètre donnera la même tension de Hall. C'est une propriété très utile en métrologie : la dimension latérale n'est pas critique, seule l'épaisseur $d$ compte.

Schéma : Équilibre des Forces

Calcul(s)

Conversions et Rappel des valeurs

Pour ce calcul, nous n'avons pas besoin de nouvelle conversion si nous utilisons les valeurs en unités SI déjà obtenues : la vitesse est en m/s, le champ en Tesla, et la largeur en mètres.

Application de la formule produit

Le champ magnétique agit sur les charges en mouvement. La tension résulte du produit de la vitesse, du champ et de la distance transversale. Nous utilisons la vitesse $v_{\text{d}}$ calculée en Q1. Le calcul est un simple produit de trois termes :

Calcul de VH

\begin{aligned} V_{\text{H}} &= v_{\text{d}} \times B \times w \\ &= 5 \text{ m/s} \times 0.2 \text{ T} \times 0.005 \text{ m} \\ &= 1 \text{ (V/m)} \times 0.005 \text{ m} \\ &= 0.005 \text{ V} \end{aligned}

Le résultat brut est de $0.005 Volts$. Ici, le terme intermédiaire $1 \text{ V/m}$ correspond physiquement au Champ Électrique de Hall. On multiplie ensuite par la largeur pour obtenir des Volts.

Pour une lecture plus aisée en ingénierie, on utilise les sous-multiples. Convertissons ce résultat en millivolts ($\text{mV}$) :

\begin{aligned} V_{\text{H}} &= 0.005 \text{ V} \\ &= 5 \times 10^{-3} \text{ V} \\ &= 5 \text{ mV} \end{aligned}

Le résultat est clairement lisible : 5 millivolts.

Résultat : Multimètre

Réflexions

Le résultat est de 5 mV. C'est une tension très confortable à mesurer ! Contrairement au cas des métaux (où $V_{\text{H}}$ est en $\mu\text{V}$ ou $\text{nV}$), les semi-conducteurs produisent un effet Hall fort, ce qui explique leur omniprésence dans les capteurs.

Points de vigilance

Le piège du signe : Si les porteurs étaient des trous (positifs), ils iraient dans le sens du courant $I$. Avec le même champ $B$, la force de Lorentz $q\vec{v}\times\vec{B}$ les pousserait du même côté que les électrons ! (Car $q$ change de signe, mais $\vec{v}$ change aussi de sens, donc le produit $q\vec{v}$ reste de même sens).
Cependant, accumuler des charges (+) sur le bord crée un champ électrique $E_{\text{H}}$ opposé à celui créé par l'accumulation d'électrons (-). C'est donc bien le signe de la tension qui s'inverse.

Points à Retenir

$V_{\text{H}}$ est proportionnelle au champ magnétique $B$ : c'est le principe des Teslamètres (appareils de mesure de champ magnétique).
$V_{\text{H}}$ est inversement proportionnelle à l'épaisseur $d$. Pour avoir un gros signal, il faut utiliser des couches minces.

Le saviez-vous ?

L'effet Hall est utilisé dans les gâchettes des manettes de consoles de jeux modernes (effet Hall joysticks) pour éviter l'usure mécanique des potentiomètres classiques (le fameux "drift" des joysticks).

FAQ

Peut-on mesurer cette tension avec un voltmètre de bricolage ?

Oui ! 5 mV est détectable par la plupart des multimètres numériques standards (calibre 200mV), bien que la précision puisse être limitée par le bruit.

La tension de Hall est $V_{\text{H}} = 5 \text{ mV}$.

A vous de jouer
Si le champ magnétique double ($B = 0.4 \text{ T}$), quelle sera la tension en mV ? (Indice : c'est linéaire).

📝 Mémo
Plus c'est fin, plus la tension est forte. Plus le champ est fort, plus la tension est forte.

Question 3 : Déterminer le Coefficient de Hall ($R_{\text{H}}$)

Principe

Jusqu'à présent, nos calculs dépendaient de la géométrie (largeur, épaisseur) et des conditions expérimentales (courant, champ magnétique). Le Coefficient de Hall ($R_{\text{H}}$) est une grandeur plus puissante car elle est intrinsèque au matériau. C'est une constante physique propre à ce morceau de Germanium dopé, indépendante de la taille de l'échantillon ou du courant qu'on y fait passer. C'est la "signature" électrique du matériau.

Mini-Cours

Le coefficient de Hall est défini formellement comme le rapport entre le champ électrique transversal induit et le produit de la densité de courant par le champ magnétique : $R_{\text{H}} = \frac{E_{\text{y}}}{j_{\text{x}} B_{\text{z}}}$.

Dans la pratique, pour un matériau à un seul type de porteurs, il simplifie l'analyse en reliant directement la physique macroscopique à la densité microscopique : $R_{\text{H}} \propto \frac{1}{n}$.

C'est l'outil numéro 1 des physiciens pour déterminer la concentration de dopage d'un semi-conducteur inconnu.

Remarque Pédagogique

Le signe de $R_{\text{H}}$ est crucial. Si $R_{\text{H}} < 0$, la conduction est assurée par des électrons (Type N). Si $R_{\text{H}} > 0$, elle est assurée par des trous (Type P). C'était une anomalie incompréhensible pour la physique classique avant la découverte de la mécanique quantique !

Normes

La notation $R_{\text{H}}$ est standardisée par l'Union internationale de chimie pure et appliquée (IUPAC) et utilisée universellement en physique du solide.

Formule(s)

Dans le modèle des électrons libres, la définition est très simple :

Coefficient de Hall

R_{\text{H}} = \frac{1}{n \cdot q}

Avec $q = -e$ pour les électrons. On obtient donc théoriquement une valeur négative. En ingénierie, on s'intéresse souvent à sa valeur absolue pour calculer la densité : $|R_{\text{H}}| = \frac{1}{n \cdot e}$.

Hypothèses

Ce modèle simple n'est valide que si :

Le matériau n'est pas "intrinsèque" (où $n \approx p$), mais bien dopé (où $n \gg p$).
Les surfaces d'énergie (surfaces de Fermi) sont sphériques (cas du modèle isotrope).
La température est telle que tous les dopants sont ionisés (régime de saturation).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur	Unité
Densité $n$	$5 \times 10^{21}$	m⁻³
Charge $q$ (absolue)	$1.6 \times 10^{-19}$	C

Astuces

L'unité SI du coefficient de Hall est le $m^3/C$ (mètre cube par Coulomb). Pensez-y comme "le volume de matériau qui contient 1 Coulomb de charges libres". Si la densité est forte (métal), il faut un tout petit volume pour avoir 1 Coulomb, donc $R_{\text{H}}$ est petit. Si la densité est faible (semi-conducteur), il faut un grand volume, donc $R_{\text{H}}$ est grand.

Schéma : Densité de porteurs

Calcul(s)

Conversions

Aucune conversion préalable n'est nécessaire ici car nous utilisons des constantes fondamentales en unités SI (MKS).

Étape 1 : Calcul du Dénominateur (Densité volumique de charge)

Le coefficient dépend uniquement de la densité de charge volumique. Calculons d'abord cette densité $\rho = n \times e$ en regroupant les coefficients et les puissances de 10 :

\begin{aligned} \rho_{charge} &= n \times e \\ &= (5 \times 10^{21}) \times (1.6 \times 10^{-19}) \\ &= (5 \times 1.6) \times (10^{21} \times 10^{-19}) \\ &= 8 \times 10^{2} \\ &= 800 \text{ C/m}^3 \end{aligned}

Chaque mètre cube de Germanium contient 800 Coulombs de charges mobiles.

Étape 2 : Inversion

Le coefficient de Hall est mathématiquement l'inverse de cette densité de charge. Il ne reste qu'à effectuer l'inversion :

Calcul de RH

\begin{aligned} |R_{\text{H}}| &= \frac{1}{\rho_{charge}} \\ &= \frac{1}{800} \\ &= 0.00125 \text{ m}^3/\text{C} \end{aligned}

Le résultat s'exprime en mètres cubes par Coulomb.

Résultat : Valeur

COEFFICIENT DE HALL

1.25 mC⁻¹·m³

(Type N)

Réflexions

La valeur de $1.25 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{C}$ est typique d'un semi-conducteur fortement dopé. Pour comparaison, le cuivre a un $R_{\text{H}} \approx -5 \times 10^{-11} \text{ m}^3/\text{C}$. Il y a 8 ordres de grandeur de différence ! C'est ce qui rend l'effet Hall mesurable et exploitable dans le Germanium et le Silicium, et presque invisible dans les câbles électriques ordinaires.

Points de vigilance

Dans un rapport technique, n'oubliez jamais le signe. Ici, pour un type N, on devrait écrire $R_{\text{H}} = -1.25 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{C}$. Ce signe "-" porte l'information physique la plus importante sur la nature des porteurs.

Points à Retenir

$R_{\text{H}} = 1 / (ne)$.
C'est une constante du matériau, indépendante de la géométrie de l'échantillon.

Le saviez-vous ?

La découverte que certains matériaux avaient un coefficient de Hall positif (comme si les porteurs étaient positifs) fut une énigme majeure avant la mécanique quantique et le concept de "trous".

FAQ

Que se passe-t-il si la température augmente ?

Si la température augmente beaucoup, le semi-conducteur devient "intrinsèque" : des paires électrons-trous se créent thermiquement. Les trous (positifs) et les électrons (négatifs) sont déviés du même côté et leurs tensions de Hall s'opposent ! Le coefficient de Hall chute alors drastiquement vers zéro.

Le coefficient de Hall est $|R_{\text{H}}| = 1.25 \times 10^{-3} \text{ m}^3/\text{C}$.

A vous de jouer
Si la densité de porteurs $n$ est divisée par 2 (dopage plus faible), quelle sera la nouvelle valeur de $R_{\text{H}}$ (en $10^{-3} \text{ m}^3/\text{C}$) ?

📝 Mémo
Petite densité = Grand coefficient. C'est l'atout des semi-conducteurs.

Question 4 : Calculer le Champ Électrique de Hall ($E_{\text{H}}$)

Principe

La tension de Hall $V_{\text{H}}$ calculée précédemment n'est que la manifestation macroscopique d'une réalité locale : le champ électrique de Hall $E_{\text{H}}$. Ce champ règne à l'intérieur du matériau, perpendiculairement au courant. C'est lui qui exerce la force physique réelle qui empêche les électrons de continuer à s'accumuler sur les bords.

Mini-Cours

Relation Champ-Potentiel : En électrostatique uniforme (cas du condensateur plan), la relation entre la différence de potentiel $U$ aux bornes de deux plaques et le champ électrique $E$ entre ces plaques est : $U = E \times d_{\text{istance}}$.

Dans notre cas :
- La différence de potentiel est $V_{\text{H}}$.
- La distance sur laquelle elle s'applique est la largeur $w$ de la plaquette.
Donc $V_{\text{H}} = E_{\text{H}} \cdot w$.

Remarque Pédagogique

Ce champ est purement transversal. Il ne participe pas au déplacement des électrons le long du fil (ce rôle est tenu par le champ électrique longitudinal du générateur). $E_{\text{H}}$ ne fournit aucune puissance au circuit, il ne fait que "guider" les électrons droit.

Normes

L'unité dérivée SI du champ électrique est le Volt par mètre (V/m). En physique fondamentale, on utilise parfois le Newton par Coulomb (N/C), ce qui est strictement équivalent ($1 \text{ V} = 1 \text{ J/C} = 1 \text{ N}\cdot\text{m/C}$).

Formule(s)

Nous pouvons calculer ce champ de deux manières indépendantes, ce qui permet de vérifier nos résultats :

Champ Hall (via Tension)

E_{\text{H}} = \frac{V_{\text{H}}}{w}

Ou via la physique microscopique (équilibre des forces $qE = qvB$) :

E_{\text{H}} = v_{\text{d}} \times B

Hypothèses

Ce calcul suppose que :

Le champ $E_{\text{H}}$ est constant sur toute la largeur $w$.
Les bords de la plaquette sont parallèles.
On néglige la "zone de charge d'espace" microscopique collée aux parois.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur	Unité
Tension $V_{\text{H}}$ (Q2)	$5 \times 10^{-3}$	V
Largeur $w$	0.005	m
Vitesse $v_{\text{d}}$ (Q1)	5	m/s
Champ $B$	0.2	T

Astuces

Vérification dimensionnelle : Un Tesla (T) correspond à $\frac{\text{V}\cdot\text{s}}{\text{m}^2}$.
Si on multiplie une vitesse (m/s) par un champ (T), on a :
$\frac{\text{m}}{\text{s}} \times \frac{\text{V}\cdot\text{s}}{\text{m}^2} = \frac{\text{V}}{\text{m}}$.
On retombe bien sur l'unité d'un champ électrique !

Schéma : Champ E Transversal

Calcul(s)

Conversions

On vérifie les unités. Nous avons :
$V_{\text{H}} = 5 \text{ mV} = 5 \times 10^{-3} \text{ V}$
$w = 5 \text{ mm} = 0.005 \text{ m}$

Méthode 1 : Relation macroscopique (Tension/Distance)

Imaginons la plaquette comme un condensateur chargé. Le champ électrique est la tension divisée par l'écartement des bords. On divise la tension Hall par la largeur. Attention à utiliser les unités SI (mètres) :

Calcul de EH

\begin{aligned} E_{\text{H}} &= \frac{V_{\text{H}}}{w} \\ &= \frac{5 \times 10^{-3} \text{ V}}{5 \times 10^{-3} \text{ m}} \\ &= 1 \text{ V/m} \end{aligned}

Cela correspond à une variation de potentiel de 1 Volt par mètre.

Méthode 2 : Relation microscopique (Vitesse x Champ)

Vérifions par la physique des forces : le champ électrique doit compenser exactement le terme magnétique $v \times B$. On utilise la vitesse de dérive et le champ magnétique :

\begin{aligned} E_{\text{H}} &= v_{\text{d}} \times B \\ &= 5 \text{ m/s} \times 0.2 \text{ T} \\ &= 1 \text{ V/m} \end{aligned}

Les deux méthodes donnent exactement le même résultat (1 V/m), ce qui confirme la cohérence de l'ensemble de l'exercice.

Résultat : Valeur

Réflexions

Nous obtenons 1 V/m. C'est un champ électrique modéré. Pour comparaison :
- Le champ magnétique terrestre est de 50 µT.
- Le champ électrique sous une ligne haute tension est de plusieurs kV/m.
- Le champ de claquage de l'air (étincelle) est de 3 000 000 V/m.
Ce champ $E_{\text{H}}$ est bien confiné à l'intérieur du matériau.

Points de vigilance

Ne confondez pas la largeur $w$ (distance sur laquelle s'établit $E_{\text{H}}$) et l'épaisseur $d$ (dimension "inutile" pour le champ mais critique pour la tension). Le champ $E_{\text{H}}$ est indépendant de l'épaisseur $d$ !

Points à Retenir

$E_{\text{H}}$ est perpendiculaire au vecteur densité de courant $\vec{J}$.
$E_{\text{H}}$ est perpendiculaire au champ magnétique $\vec{B}$.
C'est la cause directe de la déviation nulle en régime permanent (somme des forces nulle).

Le saviez-vous ?

Dans l'Effet Hall Quantique (à très basse température et fort champ magnétique), ce champ électrique ne varie pas linéairement mais par "sauts" quantifiés. La résistance de Hall devient alors un étalon universel de résistance, dépendant uniquement de $h$ (constante de Planck) et $e$ (charge de l'électron).

FAQ

Ce champ modifie-t-il le courant ?

Non, car il est perpendiculaire au mouvement. Il ne travaille pas ($W = \vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ car $F \perp v$). Il courbe la trajectoire, mais ne change pas l'énergie cinétique.

Le champ électrique de Hall est $E_{\text{H}} = 1 \text{ V/m}$.

A vous de jouer
Si la tension $V_{\text{H}}$ double, quelle sera la valeur de $E_{\text{H}}$ en V/m ?

📝 Mémo
Force électrique = Force magnétique. C'est la clé de l'équilibre.

Schéma Bilan

Synthèse des grandeurs calculées dans l'exercice.

📝 Grand Mémo

🔑
L'Effet Hall : Une fenêtre sur l'infiniment petit
Ce phénomène n'est pas qu'une curiosité de laboratoire. Il prouve que le courant électrique est constitué de particules chargées en mouvement. En mesurant une simple tension macroscopique (quelques millivolts), nous accédons à des propriétés microscopiques fondamentales comme la densité de porteurs ($n \approx 10^{21} \text{ m}^{-3}$) et leur vitesse de dérive ($v_d \approx \text{m/s}$).
📐
La Formule Magique : Indépendance de la Largeur
La relation $V_{\text{H}} = \frac{I \cdot B}{n \cdot e \cdot d}$ est contre-intuitive mais puissante. Elle montre que la tension de Hall ne dépend pas de la largeur $w$ de la plaquette, mais uniquement de son épaisseur $d$. C'est pourquoi les capteurs Hall industriels sont conçus sous forme de couches ultra-minces (films minces) pour maximiser le signal de sortie.
⚠️
Le Signe : La Signature du Matériau
Le signe de la tension de Hall (ou du coefficient $R_{\text{H}}$) est l'une des rares expériences de physique classique capable de distinguer si le courant est porté par des charges négatives (électrons, semi-conducteurs N) ou positives (trous, semi-conducteurs P). C'est un outil de diagnostic incontournable en physique des semi-conducteurs.
💡
Applications Quotidiennes
Grâce à sa robustesse (pas de contact mécanique) et sa sensibilité, l'effet Hall est partout :
- Dans votre smartphone (boussole, détection de l'étui).
- Dans votre voiture (capteurs ABS, position de l'arbre à cames).
- Dans l'industrie (mesure de courants forts sans couper les câbles).

"L'effet Hall : quand un aimant force l'électricité à révéler ses secrets les plus intimes."

🎛️ Simulateur Interactif

Jouez avec les paramètres pour voir l'évolution de la tension de Hall en temps réel.

Paramètres

Champ B (T) : 0.2

Courant I (mA) : 10

Tension Hall :-

📝 Quiz final

1. Si l'épaisseur d de la plaquette augmente, la tension Hall...

Augmente
Diminue
Reste constante

2. Quelle force dévie initialement les électrons ?

Force de Lorentz (Magnétique)
Force de Coulomb (Électrique)

📚 Glossaire

Type N: Semi-conducteur dopé avec des donneurs d'électrons, rendant les électrons majoritaires.
Vitesse de dérive: Vitesse moyenne du flux de porteurs de charge sous l'effet d'un champ électrique.
Force de Lorentz: Force subie par une charge électrique en mouvement dans un champ magnétique.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité SI
Courant	\(I\)	0.010	\(\text{A}\) (Ampère)
Densité volumique	\(n\)	\(5 \times 10^{21}\)	\(\text{m}^{-3}\)
Charge élémentaire	\(e\)	\(1.6 \times 10^{-19}\)	\(\text{C}\) (Coulomb)
Section	\(S\)	\(2.5 \times 10^{-6}\)	\(\text{m}^2\)

Tension de Hall dans un Semi-conducteur

BOÎTE À OUTILS

Titre Outil

À DÉCOUVRIR SUR LE SITE

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique / Données

Géométrie de l'Effet Hall

Questions à traiter

Les bases théoriques

Correction : Calcul de la Tension de Hall dans un Semi-conducteur

Question 1 : Calculer la vitesse de dérive (\(v_{\text{d}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Flux d'électrons (Modèle de Drude)

Calcul(s)

Conversions préliminaires

Étape 1 : Calcul de la Section \(S\)

Étape 2 : Calcul de la Densité linéique de charge effective

Étape 3 : Division Finale

Résultat : Vitesse

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : En déduire la Tension de Hall (\(V_{\text{H}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Équilibre des Forces

Calcul(s)

Conversions et Rappel des valeurs

Application de la formule produit

Résultat : Multimètre

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Déterminer le Coefficient de Hall (\(R_{\text{H}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Densité de porteurs

Calcul(s)

Conversions

Étape 1 : Calcul du Dénominateur (Densité volumique de charge)

Étape 2 : Inversion

Résultat : Valeur

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Calculer le Champ Électrique de Hall (\(E_{\text{H}}\))

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces