Calcul d’Énergie Stockée dans un Condensateur
Comprendre le Calcul d’Énergie Stockée dans un Condensateur
Dans un laboratoire de physique, un condensateur plan est utilisé pour stocker de l’énergie électrique. Ce condensateur est constitué de deux plaques parallèles, chacune de surface \(A\) et séparées par une distance \(d\). Les plaques sont chargées respectivement à des charges \(+Q\) et \(-Q\). L’espace entre les plaques est rempli d’un diélectrique de constante diélectrique \(\epsilon_r\) qui influence le champ électrique \(E\) entre les plaques et la capacité \(C\) du condensateur.
Données:
- Surface des plaques, \(A = 0.1\) m\(^2\)
- Distance entre les plaques, \(d = 0.01\) m
- Charge sur les plaques, \(Q = 10^{-6}\) C (coulombs)
- Constante diélectrique du vide, \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\) F/m (farads par mètre)
- Constante diélectrique relative du matériau, \(\epsilon_r = 2\)
Questions:
1. Calculez le champ électrique \(E\) entre les plaques.
2. Déterminez la capacité \(C\) du condensateur.
3. Calculez l’énergie \(U\) stockée dans le condensateur.
Correction : Calcul d’Énergie Stockée dans un Condensateur
1. Calcul du Champ Électrique \(E\)
Le champ électrique \(E\) entre les plaques d’un condensateur plan est directement proportionnel à la densité de charge superficielle \(\sigma\) et inversement proportionnel à la constante diélectrique du milieu \(\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r\).
Formule:
\[ E = \frac{\sigma}{\epsilon_0 \epsilon_r} \]
Données:
- \(\sigma = \frac{Q}{A}\)
- \(Q = 10^{-6} \, \text{C}\)
- \(A = 0.1 \, \text{m}^2\)
- \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
- \(\epsilon_r = 2\)
Calcul:
\[ \sigma = \frac{10^{-6}}{0.1} = 10^{-5} \, \text{C/m}^2 \]
\[ E = \frac{10^{-5}}{8.85 \times 10^{-12} \times 2} \] \[ E = \frac{10^{-5}}{1.77 \times 10^{-11}} \] \[ E = 564.97 \, \text{V/m} \]
2. Calcul de la Capacité \(C\)
La capacité \(C\) d’un condensateur plan dépend de la géométrie des plaques et des propriétés du diélectrique entre elles.
Formule:
\[ C = \frac{\epsilon_0 \epsilon_r A}{d} \]
Données:
- \(\epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)
- \(\epsilon_r = 2\)
- \(A = 0.1 \, \text{m}^2\)
- \(d = 0.01 \, \text{m}\)
Calcul:
\[ C = \frac{8.85 \times 10^{-12} \times 2 \times 0.1}{0.01} \] \[ C = \frac{1.77 \times 10^{-12} \times 0.1}{0.01} \] \[ C = 1.77 \times 10^{-11} \, \text{F} \] \[ C = 17.7 \, \text{pF} \]
3. Calcul de l’Énergie \(U\)
L’énergie stockée \(U\) dans un condensateur est proportionnelle à la capacité \(C\) et au carré de la tension \(V\) aux bornes des plaques.
Formule:
\[ U = \frac{1}{2} C V^2 \]
Calcul intermédiaire (Tension \(V\)):
\[ V = E \times d \] \[ V = 564.97 \, \text{V/m} \times 0.01 \, \text{m} \] \[ V = 5.6497 \, \text{V} \]
Calcul (Énergie \(U\)):
\[ U = \frac{1}{2} \times 1.77 \times 10^{-11} \times (5.6497)^2 \] \[ U = \frac{1}{2} \times 1.77 \times 10^{-11} \times 31.9194 \] \[ U = 2.826 \times 10^{-13} \, \text{Joules} \]
Calcul d’Énergie Stockée dans un Condensateur
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