Caractérisation Interférométrique d'un Plasma de Laboratoire
Contexte : Interaction Laser-Matière et Diagnostic des Milieux Extrêmes.
L'étude de la matière sous conditions extrêmes est un pilier de la physique contemporaine, reliant l'infiniment petit (physique atomique) à l'infiniment grand (astrophysique). Dans ce laboratoire, nous étudions un état particulier de la matière : le PlasmaGaz totalement ou partiellement ionisé, globalement neutre, composé d'électrons libres, d'ions et de neutres..
1. La Genèse du Plasma : Le Claquage Optique
Contrairement aux plasmas froids utilisés dans les néons, notre plasma est généré par un processus violent appelé claquage optique. Une impulsion laser intense est focalisée dans une chambre remplie de gaz Argon. Au foyer, le champ électrique du laser est si intense (> \(10^{10} \text{V/m}\)) qu'il arrache les électrons périphériques des atomes d'Argon (ionisation multiphotonique) et accélère les électrons libres qui, par chocs, en libèrent d'autres (ionisation par avalanche). En quelques nanosecondes, le gaz isolant transparent se transforme en une boule de feu conductrice et lumineuse : c'est un LPP (Laser Produced Plasma).
2. Le Défi du Diagnostic
Ce milieu est hostile (température de plusieurs dizaines de milliers de degrés), transitoire (il se détend et se recombine en quelques microsecondes) et microscopique (taille millimétrique). Il est impossible d'y introduire une sonde physique (type thermocouple ou sonde électrique) sans la détruire ou perturber l'écoulement du plasma. Nous devons donc utiliser un diagnostic non-intrusif : la lumière elle-même.
3. La Réponse Diélectrique du Plasma
Bien que globalement neutre, le plasma contient des électrons libres très légers qui réagissent instantanément aux champs électromagnétiques. Lorsqu'une onde lumineuse (un laser de sonde) traverse ce milieu, elle fait osciller ces électrons. Ce mouvement collectif induit un courant qui modifie la propagation de l'onde.
Macroscopiquement, le plasma se comporte comme un milieu d'indice de réfraction \(n < 1\). Plus il y a d'électrons (\(n_e\) élevé), plus l'indice s'éloigne de 1 (indice du vide). En mesurant précisément de combien l'indice a changé, nous pouvons "compter" les électrons. C'est le principe de l'interférométrie.
Remarque Pédagogique : De l'invisible au visible
Cet exercice est fondamental car il illustre l'un des concepts les plus puissants de la physique expérimentale : la mesure indirecte. Nous cherchons à quantifier une population microscopique invisible à l'œil nu (un gaz d'électrons libres) en observant une manifestation macroscopique purement optique (le déplacement de franges d'interférence).
Pour bien comprendre l'enjeu, il faut saisir trois points clés :
- Le lien Micro-Macro : À l'échelle atomique, le champ électrique du laser agite les électrons. Ce mouvement oscillatoire crée un courant induit qui modifie la façon dont l'onde se propage. À notre échelle, cela se traduit par un indice de réfraction \(n\) inférieur à 1.
- La Sensibilité de l'Interférométrie : La variation de la vitesse de la lumière dans un petit plasma est imperceptible (l'onde arrive quelques femtosecondes plus tôt). Impossible à mesurer avec un chronomètre ! L'interférométrie transforme cette infime différence de temps (ou de phase) en une variation d'intensité lumineuse spatiale (franges), mesurable avec une simple caméra.
- L'Application Universelle : Ce que vous allez calculer ici pour un petit plasma de laboratoire est exactement la même physique utilisée pour sonder la densité de l'ionosphère terrestre (qui permet le GPS), les nébuleuses planétaires en astrophysique, ou le cœur des réacteurs de fusion nucléaire comme ITER.
L'objectif est donc de passer de la théorie électromagnétique (Modèle de Drude) à la réalité expérimentale (Interférogramme).
Objectifs Pédagogiques Détaillés
À l'issue de cet exercice, l'apprenant devra être capable de maîtriser les concepts clés suivants, essentiels à la compréhension de l'interaction laser-matière :
-
1. Compréhension de la Physique Microscopique du Plasma
Il ne s'agit pas seulement d'appliquer des formules, mais de visualiser le comportement des particules. L'objectif est de comprendre comment un gaz d'électrons libres (fluide électronique) réagit à un champ électromagnétique oscillant (modèle de Drude). Vous devrez assimiler comment cette agitation microscopique modifie la permittivité diélectrique du milieu, conduisant à une relation de dispersion spécifique où l'indice de réfraction \(n\) dépend de la fréquence de l'onde. C'est le fondement de l'optique des milieux ionisés. -
2. Maîtrise des Régimes de Propagation (Opacité vs Transparence)
Le concept de densité critique \(n_c\) est la pierre angulaire de l'interaction laser-plasma. L'objectif est d'être capable d'expliquer physiquement pourquoi un plasma devient subitement opaque (réfléchissant comme un miroir) au-delà d'un certain seuil de densité. C'est comprendre la compétition temporelle entre la fréquence de l'onde laser et la fréquence propre d'oscillation du plasma (fréquence de Langmuir \(\omega_p\)). Savoir calculer ce seuil permet de prédire si un laser pourra chauffer le cœur d'un plasma ou s'il sera bloqué en surface. -
3. Lien entre Mesure Macroscopique et Propriété Microscopique
C'est le cœur de la démarche du diagnostic expérimental. Vous apprendrez comment une mesure observable à l'échelle humaine (le décalage de franges d'interférence ou un déphasage en radians) permet de quantifier une grandeur corpusculaire invisible (la densité volumique de particules \(n_e\)). Cela implique de comprendre le lien mathématique linéaire, validé par l'approximation des plasmas sous-critiques, entre le retard de phase accumulé et la densité intégrée sur la ligne de visée. -
4. Rigueur Numérique et Sens Physique des Ordres de Grandeur
La physique des plasmas manipule des échelles extrêmes (des masses de \(10^{-31}\) kg aux densités de \(10^{26} m^{-3}\)). Un objectif majeur est de développer une rigueur absolue dans la conversion des unités (passage du SI aux unités pratiques de laboratoire comme le \(cm^{-3}\)) et d'acquérir une intuition des ordres de grandeur pour valider la cohérence physique de vos résultats : savoir distinguer instantanément un plasma ténu d'un plasma de fusion ou d'un solide, simplement à la lecture de l'exposant.
Données de l'étude et Mise en situation
1. Contexte Scientifique
Dans le cadre de recherches sur la Fusion par Confinement Inertiel (FCI) et le développement de sources de rayonnement UV extrême (EUV) pour la lithographie, la caractérisation précise des plasmas créés par laser est critique. Nous étudions ici un plasma d'Argon généré par claquage optique dans une chambre à vide. Ce plasma est un milieu transitoire (durée de vie : quelques microsecondes) et de petites dimensions (quelques millimètres). L'objectif est de déterminer sa densité électronique \(n_e\), c'est-à-dire le nombre d'électrons libres par unité de volume, qui est le paramètre clé régissant l'absorption de l'énergie et la température du plasma.
2. Méthode de Diagnostic : Interférométrie Mach-Zehnder
Pour mesurer \(n_e\) sans perturber le milieu (méthode non-intrusive), nous utilisons un interféromètre de Mach-Zehnder. Le principe est le suivant :
- Une source laser de sonde (Nd:YAG) est séparée en deux faisceaux identiques par une lame séparatrice.
- Le bras de référence traverse le vide ambiant.
- Le bras de sonde traverse le plasma sur une longueur \(L\).
- Les deux faisceaux sont recombinés sur un détecteur (caméra CCD) pour former des franges d'interférence.
La présence des électrons libres dans le plasma modifie l'indice de réfraction du milieu (\(n < 1\)). Cela accélère la vitesse de phase de l'onde sonde par rapport à l'onde de référence. Ce "rattrapage" de phase se traduit par un décalage des franges d'interférence, mesuré sous forme d'un déphasage global \(\Delta \phi\).
3. Justification des Paramètres
Pourquoi 1064 nm ?
Le choix de la longueur d'onde de sonde est stratégique. La sensibilité de la mesure (le déphasage) est proportionnelle à \(\lambda\). Un laser infrarouge (1064 nm) est donc beaucoup plus sensible aux faibles densités électroniques qu'un laser UV (266 nm). Cependant, il faut veiller à ne pas dépasser la densité critique où le plasma deviendrait opaque.
4. Paramètres Expérimentaux
Voici les données relevées lors de la campagne de tir :
| Grandeur Physique | Symbole | Valeur | Remarque |
|---|---|---|---|
| Longueur d'onde du laser sonde | \(\lambda\) | 1064 nm | Laser Nd:YAG (Fondamental) |
| Longueur de traversée du plasma | \(L\) | 5 mm | Supposée homogène (plasma cylindrique) |
| Déphasage mesuré | \(\Delta \phi\) | -1.5 rad | Signe négatif = Avance de phase |
5. Schématisation Géométrique
Vue en Plan (Dessus)
Vue en Coupe (Zoom Interaction)
Questions à traiter
- Densité Critique : Calculer la densité critique \(n_c\) pour la longueur d'onde du laser. Expliquer physiquement ce que représente cette limite pour la propagation de l'onde.
- Indice de Réfraction : Exprimer l'indice de réfraction \(n\) du plasma en fonction de la densité \(n_e\) et de \(n_c\). Pourquoi cet indice est-il inférieur à 1 ?
- Modélisation du Déphasage : Établir la relation analytique entre le déphasage \(\Delta \phi\) mesuré et la densité électronique \(n_e\). On utilisera l'approximation des plasmas sous-critiques (\(n_e \ll n_c\)).
- Application Numérique : En déduire la valeur moyenne de la densité électronique \(n_e\) dans le plasma d'Argon. Le résultat est-il cohérent avec un plasma de laboratoire standard ?
- Validation des Hypothèses : Le plasma est-il transparent pour ce laser ? Justifier en comparant \(n_e\) et \(n_c\).
Les bases théoriques : Électrodynamique des Plasmas
Pour comprendre comment la lumière interagit avec un plasma, nous devons modéliser la réponse microscopique des particules chargées au champ électromagnétique du laser. Nous utilisons ici le modèle de Drude-Lorentz appliqué à un plasma froid, non collisionnel et non magnétisé.
1. Hypothèses Fondamentales
- Ions immobiles : La fréquence du laser (\(10^{15}\) Hz) est trop élevée pour que les ions, lourds, puissent suivre. Ils forment un fond neutralisant statique.
- Plasma froid : La vitesse d'agitation thermique des électrons est négligeable devant la vitesse oscillatoire imposée par le champ laser.
- Sans collisions : Le temps entre deux chocs électron-ion est très long devant la période de l'onde (pas de dissipation d'énergie, milieu transparent).
2. La Fréquence Plasma \(\omega_p\) : L'âme du Plasma
Si l'on déplace un bloc d'électrons par rapport aux ions, un champ électrique de rappel (force de Coulomb) se crée instantanément, tendant à ramener le système à la neutralité. Les électrons, ayant une inertie (masse), dépassent la position d'équilibre et oscillent.
Cette oscillation naturelle se produit à une pulsation caractéristique, la pulsation plasma, qui ne dépend que de la densité et des constantes fondamentales :
Pulsation Plasma \(\omega_p\)
C'est la fréquence de résonance du milieu. En dessous de cette fréquence, les électrons peuvent écranter le champ ; au-dessus, ils ne sont "pas assez rapides" pour le suivre parfaitement.
3. De Newton à Maxwell : La Permittivité Diélectrique
L'équation du mouvement d'un électron soumis au champ électrique \(\vec{E} e^{-i\omega t}\) de l'onde est donnée par la loi de Newton : \(m_e \frac{d\vec{v}}{dt} = -e\vec{E}\).
En résolvant cette équation, on obtient la vitesse des électrons, puis le courant induit \(\vec{J} = -n_e e \vec{v}\).
En injectant ce courant dans les équations de Maxwell, on montre que le plasma se comporte comme un diélectrique de permittivité relative :
C'est ce terme négatif (dû au courant d'électrons) qui réduit la permittivité par rapport au vide (\(\varepsilon_r < 1\)).
4. Relation de Dispersion et Indice de Réfraction
L'indice de réfraction est défini par \(n = \sqrt{\varepsilon_r}\). Deux régimes apparaissent selon la fréquence de l'onde incidente \(\omega\) :
Régime Transparent (Propagation)
Si \(\omega > \omega_p\) (ou \(n_e < n_c\)), la permittivité est positive. L'indice \(n\) est réel et \(0 < n < 1\). L'onde se propage sans atténuation, mais avec une vitesse de phase \(v_{\phi} = c/n > c\).
Régime Opaque (Evanescent)
Si \(\omega < \omega_p\) (ou \(n_e > n_c\)), la permittivité est négative. L'indice \(n\) devient imaginaire pur. L'onde ne peut pas se propager : elle est totalement réfléchie par le plasma (effet de peau), comme sur un miroir métallique.
Correction : Caractérisation Interférométrique d'un Plasma de Laboratoire
Question 1 : Calcul de la densité critique \(n_c\)
Principe Physique Détaillé
La densité critique \(n_c\) est le concept le plus important à saisir en interaction laser-plasma. Imaginez les électrons du plasma comme une mer de petites particules légères. Lorsque l'onde laser arrive, son champ électrique oscille très vite (à la fréquence \(\omega\)) et essaie de faire bouger les électrons au même rythme.
Cependant, le plasma a sa propre fréquence naturelle de "réponse", appelée fréquence plasma \(\omega_p\), qui dépend de combien les électrons sont serrés les uns contre les autres (leur densité \(n_e\)).
Il y a deux scénarios possibles :
- Si le plasma est peu dense (\(\omega_p < \omega\)) : Les électrons n'arrivent pas à s'organiser assez vite pour contrer le champ du laser. L'onde passe à travers : le plasma est transparent.
- Si le plasma est très dense (\(\omega_p > \omega\)) : Les électrons sont si nombreux qu'ils réagissent instantanément pour créer un champ électrique opposé qui annule l'onde incidente. L'onde est bloquée et réfléchie : le plasma devient opaque (comme un miroir métallique).
La densité critique \(n_c\) est la frontière exacte entre ces deux mondes : c'est la densité pour laquelle \(\omega_p = \omega\).
Mini-Cours Théorique
Mathématiquement, la pulsation plasma est donnée par \(\omega_p = \sqrt{\frac{n_e e^2}{m_e \varepsilon_0}}\).
La condition de coupure est définie par l'égalité des pulsations : \(\omega = \omega_p\).
En élevant au carré : \(\omega^2 = \frac{n_c e^2}{m_e \varepsilon_0}\).
En isolant \(n_c\), on obtient la formule fondamentale utilisée ci-dessous.
Remarque Pédagogique
Il est crucial de comprendre que \(n_c\) ne dépend pas du plasma que vous étudiez ! Elle ne dépend que de la longueur d'onde du laser (\(\lambda\)) que vous utilisez pour le sonder. C'est une propriété de votre "outil de mesure". Si vous changez de laser, vous changez la densité critique.
Normes et Unités
La physique des plasmas est un domaine où l'on jongle entre deux systèmes d'unités :
1. Le Système International (SI) pour les calculs (mètres, secondes, kg).
2. Les Unités Pratiques pour la discussion (\(\text{cm}^{-3}\), \(\text{eV}\), \(\mu\text{m}\)).
Règle d'or : Faites TOUS vos calculs en SI, et convertissez SEULEMENT le résultat final.
Formule(s)
Formules utilisées
1. Relation Pulsation - Longueur d'onde
2. Définition de la Densité Critique
En combinant les deux, on obtient souvent la forme directe : \( n_c = \frac{4 \pi^2 c^2 m_e \varepsilon_0}{e^2 \lambda^2} \)
Hypothèses
Pour que ce calcul soit valide, nous supposons :
- Que le milieu est non magnétique (\(\mu_r = 1\)).
- Que l'onde électromagnétique est plane et monochromatique.
- Que les effets relativistes sont négligeables (l'intensité laser n'est pas "ultra-intense").
Données
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|---|
| Longueur d'onde | \(\lambda\) | 1064 | \(\text{nm} = 10^{-9} \text{m}\) |
| Célérité lumière | \(c\) | \(2.998 \times 10^8\) | \(\text{m/s}\) |
| Masse électron | \(m_e\) | \(9.109 \times 10^{-31}\) | \(\text{kg}\) |
| Charge élem. | \(e\) | \(1.602 \times 10^{-19}\) | \(\text{C}\) |
| Permittivité vide | \(\varepsilon_0\) | \(8.854 \times 10^{-12}\) | \(\text{F/m}\) |
Astuces
Formule Magique : Pour éviter ce calcul fastidieux à chaque fois, les physiciens retiennent cette approximation : \[ n_c [\text{cm}^{-3}] \approx \frac{1.1 \times 10^{21}}{(\lambda [\mu \text{m}])^2} \] Pour \(\lambda = 1 \mu\text{m}\), cela donne immédiatement \(10^{21} \text{cm}^{-3}\). C'est très utile pour vérifier votre calcul SI.
Seuil de coupure (Densité Critique)
Calculs Détaillés
Étape 1 : Conversion et Pulsation
On convertit d'abord \(\lambda\) en mètres, puis on calcule la pulsation angulaire \(\omega\). C'est la vitesse à laquelle la phase de l'onde tourne.
Cette valeur de pulsation est très élevée, caractéristique des ondes optiques.
Étape 2 : Calcul des constantes combinées
Pour éviter les erreurs, calculons d'abord le terme constant \(\frac{m_e \varepsilon_0}{e^2}\) :
Étape 3 : Calcul Final
Il ne reste plus qu'à multiplier par \(\omega^2\) :
Note : La petite différence avec la valeur exacte \(9.7 \times 10^{26}\) vient des arrondis successifs sur \(\pi\), \(c\) et \(\omega\). Nous retiendrons \(9.7 \times 10^{26}\) comme valeur standard pour la suite.
Schéma (Résultat)
Réflexions
Cette densité critique est extrêmement élevée. Elle est proche de la densité électronique d'un solide. Cela signifie que la lumière visible/proche IR peut pénétrer la matière très dense avant d'être réfléchie.
Points de vigilance
Ne pas confondre \(\text{cm}^{-3}\) et \(\text{m}^{-3}\). Le facteur est \(10^6\). Ici \(9.7 \times 10^{26} \, \text{m}^{-3}\) correspond à \(9.7 \times 10^{20} \, \text{cm}^{-3}\). En physique des plasmas, l'usage du \(cm^{-3}\) est prédominant.
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- \(n_c\) est inversement proportionnel au carré de la longueur d'onde (\(n_c \propto 1/\lambda^2\)).
- Pour un laser à 1 \(\mu\text{m}\), la valeur "par cœur" est \(10^{21} \text{cm}^{-3}\).
Le saviez-vous ?
Pour les lasers à rayons X (longueur d'onde très courte), la densité critique est bien supérieure à celle du solide. Cela permet d'utiliser ces lasers pour radiographier l'intérieur de matériaux très denses sans être arrêté par la surface.
FAQ
Pourquoi cette valeur est-elle importante ?
Elle détermine le régime d'interaction. Si le plasma est sous-critique, le laser chauffe tout le volume. S'il est sur-critique, le laser chauffe uniquement la surface (effet de peau).
A vous de jouer
Si \(\lambda\) est divisée par 2 (532 nm), par combien est multiplié \(n_c\) ? (Réponse : 4)
📝 Mémo
Plus la longueur d'onde est courte (vers le bleu/UV), plus la densité critique est élevée (le laser pénètre plus loin).
Question 2 : Indice de réfraction du plasma
1. Principe Physique Fondamental
L'indice de réfraction \(n\) est une mesure de la réponse d'un matériau au passage de la lumière. Il indique comment le milieu se "polarise".
Dans un diélectrique classique (verre, eau), les électrons sont liés aux atomes (modèle de l'oscillateur harmonique). Ils oscillent en phase avec l'onde (ou avec un petit retard), ce qui ralentit la lumière (\(n > 1\), \(v_{\phi} < c\)).
Dans un plasma, les électrons sont libres. Lorsqu'ils sont soumis au champ électrique oscillant du laser, ils sont accélérés librement. À cause de l'inertie, leur vitesse est déphasée de 90° par rapport à la force, et leur position de 180° (opposition de phase).
Le courant électrique généré par ce mouvement d'électrons s'oppose au champ électrique incident (loi de Lenz généralisée). Cela a pour effet "d'écréanter" partiellement le champ, ce qui, paradoxalement, augmente la vitesse de phase de l'onde résultante (\(n < 1\), \(v_{\phi} > c\)).
2. Démonstration du Modèle de Drude (Mini-Cours)
Pour comprendre l'origine de la formule, refaisons la démonstration pas à pas :
- Loi de Newton : On considère un électron de masse \(m_e\) soumis au champ électrique \(E(t) = E_0 e^{-i\omega t}\).
\( m_e \frac{dv}{dt} = -e E(t) \) - Vitesse des électrons : On intègre par rapport au temps (diviser par \(-i\omega\)) :
\( v(t) = \frac{e}{i \omega m_e} E(t) \) - Densité de Courant induit (\(J\)) : Avec \(n_e\) électrons par unité de volume :
\( J = -n_e e v = i \frac{n_e e^2}{m_e \omega} E \) - Équations de Maxwell : On injecte ce courant dans l'équation de propagation. Tout se passe comme si la permittivité du vide \(\varepsilon_0\) était remplacée par une permittivité effective \(\varepsilon\) :
\( \varepsilon(\omega) = \varepsilon_0 \left( 1 - \frac{n_e e^2}{m_e \varepsilon_0 \omega^2} \right) \)
Le terme entre parenthèses est la permittivité relative \(\varepsilon_r\).
3. Remarque Pédagogique
Le paradoxe de la vitesse supraluminique :
Le fait que \(n < 1\) implique \(v_{\phi} = \frac{c}{n} > c\). L'onde semble aller plus vite que la lumière !
Pas de panique : C'est la vitesse de phase (la vitesse des crêtes de la vague). L'énergie et l'information voyagent à la vitesse de groupe \(v_g = c \cdot n\), qui elle, est bien toujours inférieure à \(c\) (car \(n < 1\)). La causalité est respectée.
4. Normes et Conventions
On utilise le modèle du "plasma froid isotrope non magnétisé". C'est l'approximation standard en interaction laser-matière tant que l'intensité n'est pas relativiste (\(I < 10^{18} \text{W/cm}^2\)).
5. Formules Clés
Formules utilisées
A. Relation Indice-Permittivité
B. Fréquence Plasma
C. Lien Densité/Fréquence
6. Hypothèses Détaillées
Pour que la formule finale soit simple, nous supposons :
- Ions immobiles : Ils sont trop lourds pour bouger à la fréquence optique (\(10^{14}\) Hz).
- Pas de collisions : Si les électrons heurtaient les ions, ils perdraient de l'énergie. L'indice deviendrait complexe \(n = n' + i \kappa\) (absorption). Ici, on suppose le plasma parfaitement transparent (indice réel).
7. Données
| Paramètre | Signification |
|---|---|
| \(n_e\) | Variable : densité actuelle du plasma |
| \(n_c\) | Constante : "capacité maximale" de transmission du laser |
8. Astuces de Calcul
Règle de survie : Ne calculez jamais la racine carrée si \(n_e > n_c\). Dans ce cas, le nombre est négatif, la racine est imaginaire pure. Cela a un sens physique (onde évanescente, réflexion), mais cela signifie que l'indice de réfraction "classique" (réel) n'existe plus.
Relation de Dispersion \(\omega(k)\)
9. Calculs Détaillés étape par étape
Étape A : Expression de la permittivité
D'après le modèle de Drude démontré dans le mini-cours, la permittivité relative s'écrit :
Étape B : Introduction de la densité critique
On sait que \(n_c\) est définie telle que \(\omega^2 = \frac{n_c e^2}{m \varepsilon_0}\). De même \(\omega_p^2 = \frac{n_e e^2}{m \varepsilon_0}\).
Le rapport des carrés des fréquences est donc exactement égal au rapport des densités :
Étape C : Formule finale de l'indice
Comme \(n = \sqrt{\varepsilon_r}\), on substitue simplement le rapport trouvé :
Cette équation simple relie une propriété optique macroscopique (\(n\)) à la densité de particules microscopique (\(n_e\)).
Schéma (Synthèse)
10. Réflexions Physiques
Que nous dit cette formule ?
1. Si \(n_e = 0\) (vide) : \(n = \sqrt{1-0} = 1\). On retrouve bien l'indice du vide.
2. Si \(n_e\) augmente : \(n\) diminue. Le plasma agit comme un milieu "moins dense optiquement" que le vide. Une lentille de plasma (densité plus forte au centre) serait une lentille divergente !
3. Si \(n_e \to n_c\) : \(n \to 0\). La longueur d'onde \(\lambda_p = \lambda/n\) tend vers l'infini. L'onde "s'étire" jusqu'à disparaître.
11. Points de vigilance
Ne confondez jamais cette diminution de l'indice (due à la réponse des électrons libres) avec l'augmentation de l'indice que l'on observe dans un gaz neutre comprimé (due aux électrons liés). Un gaz neutre a \(n > 1\). Un gaz ionisé (plasma) a \(n < 1\).
12. Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser pour l'examen :
- Dans un plasma non-magnétisé : \(n = \sqrt{1 - n_e/n_c}\).
- L'indice est toujours inférieur à 1.
- C'est un milieu dispersif (l'indice dépend de la couleur du laser).
13. Le saviez-vous ?
Black-out radio : Lors de la rentrée atmosphérique d'une navette spatiale (Apollo, Soyouz), l'air est tellement chauffé par le frottement qu'il se transforme en plasma dense. Sa densité \(n_e\) dépasse la densité critique \(n_c\) pour les ondes radio de communication. Résultat : silence radio total pendant plusieurs minutes ("black-out").
14. FAQ
L'indice peut-il être négatif ?
Non, pas dans ce modèle simple de plasma froid sans champ magnétique. Un indice négatif nécessiterait des métamatériaux exotiques avec une perméabilité magnétique \(\mu < 0\) en même temps.
A vous de jouer
Si la densité du plasma est \(n_e = 0.75 \, n_c\), que vaut l'indice de réfraction \(n\) ?
Indice : \(\sqrt{1 - 0.75} = \sqrt{0.25}\)
📝 Mémo
Indice du vide = 1. Indice du plasma < 1. Plus le plasma est dense, plus l'indice chute vers 0.
Question 3 : Relation Déphasage - Densité
1. Principe Physique Fondamental
Le déphasage \(\Delta \phi\) est la grandeur physique que l'on mesure expérimentalement avec un interféromètre.
Lorsque la lumière traverse le plasma d'indice \(n < 1\), sa vitesse de phase augmente (\(v_{\phi} = c/n > c\)). Les crêtes de l'onde sortent du plasma "plus tôt" que si elles avaient traversé le vide.
En optique, "arriver plus tôt" signifie être en avance de phase. Mathématiquement, par convention, un retard correspond à un déphasage positif (\(\Delta \phi > 0\)), donc une avance correspond à un déphasage négatif (\(\Delta \phi < 0\)). C'est ce signe moins qui porte l'information physique de la présence d'électrons libres.
2. Mini-Cours : Linéarisation (Taylor)
L'outil mathématique clé :
L'expression exacte de l'indice est \(n = \sqrt{1 - n_e/n_c}\). C'est une fonction racine carrée non linéaire, difficile à manipuler dans des équations inverses.
Cependant, dans la quasi-totalité des plasmas de laboratoire sondés par laser, la densité \(n_e\) est très inférieure à la densité critique \(n_c\) (souvent un facteur \(10^{-2}\) à \(10^{-4}\)).
On peut donc utiliser le développement limité de Taylor au premier ordre pour la fonction \(\sqrt{1-x}\) au voisinage de 0 :
\[ \sqrt{1 - x} \approx 1 - \frac{x}{2} \quad \text{pour } |x| \ll 1 \]
En posant \(x = n_e/n_c\), l'indice devient une fonction affine simple de la densité.
3. Remarque Pédagogique
Cette linéarisation est fondamentale : elle transforme une relation complexe en une simple règle de trois. Si vous mesurez deux fois plus de décalage de franges, c'est qu'il y a deux fois plus d'électrons. Sans cette approximation, l'interprétation des interférogrammes serait beaucoup plus lourde numériquement.
4. Normes et Conventions
La convention standard en interférométrie est : \(\Delta \phi = \phi_{\text{objet}} - \phi_{\text{référence}}\). Ici, l'objet est le plasma et la référence est le vide.
5. Formules Clés
Formules utilisées
A. Phase d'une onde
B. Différence de phase
C. Approximation Sous-critique
6. Hypothèses Détaillées
Pour que la démonstration tienne, il faut valider :
- Plasma sous-critique : \(n_e \ll n_c\), condition sine qua non pour le développement limité.
- Homogénéité longitudinale : La densité \(n_e\) est constante sur toute la longueur \(L\). Si la densité variait (\(n_e(z)\)), le déphasage serait proportionnel à l'intégrale \(\int n_e(z) dz\) (densité colonnaire).
- Trajet rectiligne : On néglige la réfraction (courbure des rayons) qui allongerait le chemin géométrique \(L\).
7. Données
| Paramètre | Symbole | Unité |
|---|---|---|
| Déphasage | \(\Delta \phi\) | \(\text{rad}\) |
| Longueur traversée | \(L\) | \(\text{m}\) |
| Indice du vide | \(n_{\text{vide}}\) | 1 (exact) |
8. Astuces
Vérification dimensionnelle : Un angle (\(\Delta \phi\)) est sans dimension. Le terme \(\frac{2\pi L}{\lambda}\) est sans dimension (longueur sur longueur). Donc le terme \((n-1)\) doit être sans dimension, ce qui est bien le cas pour un indice. Tout va bien !
Comparaison des Chemins Optiques
9. Calculs Détaillés étape par étape
Étape A : Écriture de la différence de phase
Le déphasage est la différence entre la phase accumulée dans le plasma \(\phi_p\) et celle dans le vide \(\phi_v\). La phase est le produit du vecteur d'onde \(k\) par la distance \(L\).
Étape B : Introduction de la physique du plasma
On remplace \(n\) par son approximation de Taylor (\(n \approx 1 - \frac{n_e}{2 n_c}\)) validée précédemment :
Étape C : Simplification
Les termes "1" et "-1" s'annulent. Le facteur 2 au numérateur et au dénominateur se simplifie aussi :
Cette formule relie directement ce qu'on mesure (\(\Delta \phi\)) à ce qu'on cherche (\(n_e\)).
Étape D : Inversion pour isoler la densité
On multiplie par \(-1\) et on fait passer les termes de l'autre côté pour exprimer \(n_e\) :
Schéma (Synthèse)
10. Réflexions Physiques
Analysons le résultat :
Signe : \(\Delta \phi\) est négatif. Le signe \("-"\) devant la formule compense cela pour donner une densité \(n_e\) positive. C'est cohérent.
Proportionnalité : La densité est directement proportionnelle au déphasage. C'est idéal pour un diagnostic : la réponse est linéaire.
Sensibilité : Le facteur \(\lambda\) est au numérateur. Plus \(\lambda\) est grand (infrarouge), plus le déphasage est grand pour une même densité. L'IR est plus sensible que l'UV.
11. Points de vigilance
Limite de validité : Cette formule n'est précise que si \(n_e < 0.1 \, n_c\). Si la densité approche \(n_c\), l'approximation de Taylor devient fausse et il faut utiliser la formule complète (non linéaire).
12. Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Déphasage \(\Delta \phi \propto n_e \times L\).
- Le déphasage est négatif (avance de phase).
- Formule pratique : \(\Delta \phi \approx - \pi \frac{L}{\lambda} \frac{n_e}{n_c}\).
13. Le saviez-vous ?
Dans les très grands plasmas comme ceux des tokamaks (ITER), le déphasage peut dépasser \(2\pi\). On ne mesure plus un simple décalage, mais on compte le nombre de "tours" de phase (franges qui défilent) en temps réel.
14. FAQ
Et si la densité n'est pas constante sur L ?
La mesure donne la valeur moyenne \(\langle n_e \rangle\). Si le plasma est cylindrique, on peut reconstruire le profil radial \(n_e(r)\) en faisant une transformation mathématique appelée Inversion d'Abel.
A vous de jouer
Si la longueur L double à densité constante, comment varie le déphasage ? (Réponse : 2)
📝 Mémo
Déphasage = Densité x Longueur x Constante. Relation linéaire simple et robuste.
Question 4 : Calcul de \(n_e\)
Principe et Enjeu
Nous arrivons à l'étape décisive : transformer une mesure optique abstraite (un déphasage de -1.5 radian) en une grandeur physique concrète (la densité de particules).
C'est ici que la théorie de l'électromagnétisme (Maxwell) rencontre la réalité expérimentale. Le but est de "peser" le nombre d'électrons présents sur le trajet du laser.
Le signe négatif du déphasage nous a déjà indiqué qualitativement la présence d'électrons (indice \(<1\)). Maintenant, nous allons quantifier précisément cette population.
Mini-Cours : L'Art du Calcul en Physique
Gestion des Puissances de 10 :
En physique des plasmas, nous manipulons des échelles extrêmes : des longueurs d'onde de \(10^{-6}\) m et des densités de \(10^{26} m^{-3}\).
Une erreur classique est de tout entrer d'un bloc dans la calculatrice. La bonne méthode consiste à séparer le problème en deux :
- La Mantisse : Calculer les chiffres significatifs (\(1.5 \times 1.064 \dots\)).
- L'Exposant : Calculer de tête les puissances de 10 (\(10^{-6} \times 10^{26} = 10^{20}\)).
Cela permet de détecter instantanément une erreur d'ordre de grandeur (par exemple un facteur \(10^6\) manquant).
Remarque Pédagogique
Le sens physique du Radian :
Un déphasage de 1 radian signifie que l'onde a été "avancée" d'environ 1/6ème de période (\(1/2\pi\)). Cela semble peu, mais c'est énorme à l'échelle atomique. Cela implique que sur 5 mm de traversée (environ 5000 longueurs d'onde), l'effet cumulatif des électrons a réussi à décaler l'onde de façon significative.
Normes et Chiffres Significatifs
Nos données ont 2 ou 3 chiffres significatifs (\(-1.5\), \(5 \text{ mm}\)). Le résultat final ne doit pas afficher une précision illusoire (ex: \(9.854321...\)). Nous arrondirons le résultat final à 2 chiffres significatifs, mais nous garderons la précision intermédiaire pour les calculs.
Formule(s)
Formule d'Inversion
Note : Le facteur 2 a disparu car nous avions \(2\pi\) au numérateur et \(2n_c\) au dénominateur lors de la simplification en Q3.
Hypothèses
On suppose :
- Que \(n_c\) a été calculé sans erreur en Q1 (\(9.7 \times 10^{26} m^{-3}\)).
- Que le plasma est homogène sur le trajet \(L\). (Si le plasma était une boule avec un profil de densité gaussien, ce calcul donnerait la densité moyenne sur la corde).
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur SI | Commentaire |
|---|---|---|---|
| Déphasage | \(\Delta \phi\) | -1.5 rad | Mesure expérimentale |
| Longueur d'onde | \(\lambda\) | \(1.064 \times 10^{-6}\) m | Laser YAG |
| Longueur plasma | \(L\) | \(5 \times 10^{-3}\) m | Largeur du jet de gaz |
| Densité Critique | \(n_c\) | \(9.7 \times 10^{26} \, \text{m}^{-3}\) | Calculée en Q1 |
Astuces
Astuce Conversion : Pour passer de \(m^{-3}\) à \(cm^{-3}\), visualisez un cube de 1m de côté rempli de billes. Si vous coupez un petit cube de 1cm de côté, il y en a un million de fois moins (\(10^6\)). Donc on divise par \(10^6\).
Diagramme des flux de données
Calculs Détaillés Pas à Pas
Étape 1 : Substitution Numérique
On remplace chaque symbole par sa valeur numérique SI. Le signe moins de la formule est conservé devant la fraction.
Étape 2 : Regroupement Stratégique
Pour simplifier, nous séparons les termes "chiffrés" (mantisses) des puissances de 10. Les signes moins s'annulent \((- \times - = +)\) :
Étape 3 : Calcul des parties
A. Calcul des Puissances de 10 :
On applique les règles des exposants : multiplication = addition, division = soustraction.
B. Calcul de la Mantisse (Partie Chiffrée) :
On effectue le produit et la division des nombres.
Étape 4 : Résultat Brut en SI
On recombine les deux parties :
Étape 5 : Conversion en unité usuelle
Les physiciens parlent en \(cm^{-3}\). On divise par \(10^6\) :
Schéma (Visualisation du Résultat)
Positionnement sur l'échelle des densités
Réflexions et Interprétation
Le résultat \(9.8 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\) est très intéressant :
1. C'est une densité élevée pour un plasma de laboratoire standard (type décharge luminescente), indiquant un claquage efficace.
2. C'est une densité faible par rapport à l'air atmosphérique (\(2.5 \times 10^{19} \text{cm}^{-3}\)). Le plasma est donc fortement ionisé (si la pression initiale était basse) ou faiblement ionisé (si la pression était atmosphérique).
3. C'est surtout très loin de la densité critique (\(10^{21}\)), ce qui valide a posteriori notre approximation "sous-critique" faite en Question 3.
Points de vigilance
Le piège de l'unité : Un résultat de \(10^{22}\) peut sembler faux si on pense en \(cm^{-3}\), mais il est juste en \(m^{-3}\). Toujours écrire l'unité à côté du chiffre !
Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- La densité est linéairement proportionnelle au déphasage.
- Un déphasage de l'ordre du radian correspond typiquement à \(10^{17} \, \text{cm}^{-3}\) pour un plasma de quelques mm.
- Toujours vérifier que \(n_e \ll n_c\) à la fin du calcul.
Le saviez-vous ?
L'air ambiant : La densité de molécules dans l'air que vous respirez est d'environ \(2.7 \times 10^{19} \, \text{cm}^{-3}\) (Nombre de Loschmidt). Notre plasma a donc une densité d'électrons qui représente environ 1% de la densité de l'air ambiant. C'est suffisant pour le rendre totalement conducteur et opaque aux ondes radio, mais transparent au laser visible.
FAQ
Pourquoi le déphasage est-il négatif dans l'énoncé ?
Car l'indice du plasma est \(n < 1\). La vitesse de phase \(v_{\phi} = c/n\) est supérieure à \(c\). Les crêtes de l'onde sortent "en avance" par rapport au vide. Une avance temporelle correspond à une phase \(\Delta \phi < 0\) selon la convention \(\exp(-i\omega t + ikz)\).
A vous de jouer
Si le déphasage mesuré était de -3.0 rad (soit le double), quelle serait la densité en \(10^{16} \text{cm}^{-3}\) ? (Indice : la relation est linéaire, pas besoin de tout recalculer !)
📝 Mémo
Le calcul numérique confirme que nous sommes bien en régime sous-critique (car \(10^{16} \ll 10^{21}\)). Tout est cohérent.
Question 5 : Transparence du milieu
1. Principe Physique Fondamental
La transparence d'un plasma n'est pas une propriété binaire (oui/non) fixe, mais dépend d'une compétition dynamique entre deux fréquences :
1. La fréquence de l'onde lumineuse \(\omega\) (le "stimulus").
2. La fréquence propre du plasma \(\omega_p\) (la "réponse").
Si la densité d'électrons est trop élevée, les électrons forment un écran parfait (écrantage). Ils ont le temps de se déplacer pour annuler le champ électrique de l'onde avant qu'elle ne puisse pénétrer. Le milieu devient alors un conducteur parfait pour cette fréquence. Nous devons vérifier si notre densité calculée place le plasma dans le régime "diélectrique transparent" ou "métallique opaque".
2. Mini-Cours : Propagation vs Evanescence
L'équation de propagation de l'onde dans le plasma fait apparaître un vecteur d'onde \(k\). La nature de \(k\) détermine le régime :
- Si \(n_e < n_c\) (Sous-critique) : L'indice \(n\) est réel (\(n^2 > 0\)). Le vecteur d'onde \(k = n \omega/c\) est réel. La solution est une onde oscillante \(\exp(i(kz - \omega t))\). L'onde se propage : le milieu est TRANSPARENT.
- Si \(n_e > n_c\) (Sur-critique) : L'indice \(n\) est imaginaire pur (\(n^2 < 0\)). Le vecteur d'onde devient imaginaire \(k = i\kappa\). La solution devient \(\exp(-\kappa z) \exp(-i\omega t)\). L'onde ne se propage plus, elle décroît exponentiellement en entrant dans le milieu (onde évanescente). Elle est totalement réfléchie : le milieu est OPAQUE.
Cette transition est très brutale et s'appelle le "Cut-off plasma".
3. Remarque Pédagogique
La validation a posteriori : Cette vérification est indispensable pour valider l'utilisation de l'interférométrie. Notre méthode de mesure (Q3) suppose que la lumière traverse le plasma. Si le calcul montrait que le plasma est opaque, notre hypothèse de départ serait fausse et tout le raisonnement s'effondrerait. C'est une étape de contrôle de cohérence obligatoire.
4. Normes
On utilise le critère de coupure plasma (Cut-off frequency), concept universel qui s'applique de la même manière aux ondes radio dans l'ionosphère qu'aux lasers UV dans les cibles de fusion.
5. Formules Clés
Critère de Transparence
Ratio de densité (Opacité)
Si R < 1 : Transparent. Si R > 1 : Opaque.
6. Hypothèses
On suppose le plasma homogène et sans absorption collisionnelle importante (plasma froid), ce qui simplifie l'analyse à la partie réelle de l'indice. Si les collisions étaient fortes, le plasma serait absorbant même en dessous de la densité critique (comme un verre fumé).
7. Données
| Grandeur | Symbole | Valeur (\(\text{cm}^{-3}\)) | Origine |
|---|---|---|---|
| Densité Réelle | \(n_e\) | \(9.8 \times 10^{16}\) | Calculée en Q4 |
| Densité Critique | \(n_c\) | \(9.7 \times 10^{20}\) | Calculée en Q1 |
8. Astuces
Comparaison Rapide : Pour comparer deux nombres en notation scientifique, ne regardez d'abord que les exposants (puissances de 10). Ici, on compare \(10^{16}\) et \(10^{20}\). L'écart est de 4 ordres de grandeur (facteur 10 000). Pas besoin de calculatrice pour conclure : c'est très largement inférieur.
Visualisation des Échelles de Densité
9. Calculs de Vérification
Rappel des valeurs
Nous avons calculé précédemment :
Calcul du Ratio de Densité
Le rapport de densité est un indicateur adimensionnel de "proximité du cut-off" :
Conclusion Mathématique
Le rapport est \(0.0001\). Comme \( R \ll 1 \) (très petit devant 1), la condition \( n_e < n_c \) est très largement vérifiée. Nous sommes profondément dans le régime transparent.
Schéma (Conclusion Physique)
État du Faisceau Laser
10. Réflexions
Le plasma perturbe la phase de l'onde (c'est ce que l'on mesure) mais n'empêche pas sa propagation. C'est un milieu à indice purement réel dans cette approximation. Cela signifie que la lumière qui sort du plasma a la même intensité que celle qui est entrée (pas d'absorption), seule sa phase a changé. L'information est conservée.
11. Points de vigilance
Attention aux inhomogénéités ! Ce calcul est basé sur une densité moyenne. Si le plasma contient un "point chaud" (hot spot) très localisé où la densité bondit d'un facteur 10 000 (choc violent ou compression), ce petit volume deviendrait subitement opaque et bloquerait une partie du faisceau.
12. Points à Retenir
L'essentiel à mémoriser :
- Milieu Transparent = Sous-critique (\(n_e \ll n_c\)). L'interférométrie fonctionne.
- Milieu Opaque/Réfléchissant = Sur-critique (\(n_e > n_c\)). L'interférométrie ne marche plus, on utilise la réflectométrie.
13. Le saviez-vous ?
Miroirs Plasma : Cette propriété d'opacité brutale est utilisée pour créer des miroirs indestructibles. En focalisant un laser très intense sur une surface solide, on crée instantanément un plasma sur-critique (\(n_e \approx 10^{23}\)). Ce plasma agit comme un miroir presque parfait, capable de réfléchir la lumière sans être endommagé (car il est déjà détruit !). On utilise ces miroirs pour "nettoyer" les impulsions lasers les plus puissantes du monde.
14. FAQ
Est-ce vraiment 100% transparent ?
En réalité, non. Il y a toujours une petite absorption résiduelle due aux collisions entre électrons et ions (effet Bremsstrahlung inverse). Mais dans ce régime de faible densité (\(10^{-4} n_c\)), cette absorption est négligeable (< 1%). On peut considérer le milieu comme transparent en première approximation.
A vous de jouer
Avec un laser CO2 (\(\lambda=10.6\mu\text{m}\)), la densité critique chute drastiquement à \(n_c \approx 10^{19} \text{cm}^{-3}\). Notre plasma (\(10^{17} \text{cm}^{-3}\)) resterait-il transparent ? (Réponse : Oui, car \(10^{17} < 10^{19}\))
📝 Mémo
Transparence validée : l'approximation de l'indice faite en Q3 était pleinement justifiée par ce calcul. Le diagnostic est fiable.
Schéma Bilan : Synthèse de l'Interaction Laser-Plasma
Ce schéma récapitule l'ensemble de la chaîne physique étudiée dans cet exercice. Il illustre comment une propriété microscopique invisible (la densité d'électrons \(n_e\)) est convertie en une grandeur macroscopique mesurable (le déphasage \(\Delta \phi\)) par l'intermédiaire de l'indice de réfraction \(n\). L'interaction est décomposée en trois zones distinctes : l'émission, la traversée du milieu ionisé, et la détection du front d'onde modifié.
Analyse Détaillée : De la Cause à l'Effet
1. L'Excitation (Laser)
Le laser sonde arrive avec une pulsation \(\omega\) et une longueur d'onde \(\lambda\) parfaitement définies. Il transporte un champ électrique oscillant.
Rôle : Agiter les électrons du plasma.
2. La Réponse (Plasma)
Les \(n_e\) électrons libres oscillent et créent un courant. Ce courant modifie la permittivité du milieu : l'indice de réfraction \(n\) chute en dessous de 1.
Conséquence : La vitesse de phase augmente (\(v_{\phi} > c\)). L'onde "glisse" plus vite.
3. La Mesure (Déphasage)
En sortie, les fronts d'onde sont en avance sur ceux qui auraient traversé le vide. Ce décalage temporel est le déphasage \(\Delta \phi\).
Résultat : \(\Delta \phi\) est directement proportionnel à la quantité de matière traversée (\(n_e \times L\)).
Tableau de Synthèse des Résultats
| Grandeur | Symbole | Valeur Calculée | Signification Physique |
|---|---|---|---|
| Densité Critique | \(n_c\) | \(9.7 \times 10^{20} \, \text{cm}^{-3}\) | Plafond de transparence. Au-delà, le plasma devient un miroir. |
| Densité Réelle | \(n_e\) | \(9.8 \times 10^{16} \, \text{cm}^{-3}\) | Quantité de matière mesurée (1% de l'air ambiant). |
| État | \(n_e / n_c\) | \(\approx 10^{-4}\) | Transparent (Sous-critique). L'onde passe sans absorption. |
Conclusion du Bilan :
L'expérience est validée. Nous avons utilisé un laser infrarouge (1064 nm) pour sonder un plasma de densité modérée (\(10^{17} \text{cm}^{-3}\)). Le choix de cette longueur d'onde était pertinent car elle offre une grande sensibilité (déphasage mesurable de -1.5 rad) tout en restant très loin de la coupure critique, garantissant que le diagnostic ne perturbe pas le milieu (transparence totale).
📝 Grand Mémo : Physique des Plasmas & Diagnostic
Voici la synthèse approfondie des concepts clés de l'interaction onde-plasma abordés dans cet exercice :
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🛑
1. La Densité Critique \(n_c\) : La Frontière Transparence/Opacité
C'est le concept le plus important à maîtriser. \(n_c\) représente la densité électronique "plafond" pour une longueur d'onde donnée.
• Physiquement : À cette densité, la fréquence propre d'oscillation des électrons (\(\omega_p\)) égale la fréquence de la lumière (\(\omega\)). Les électrons entrent en résonance et créent un courant qui annule parfaitement l'onde incidente.
• Conséquence : Si \(n_e < n_c\) (sous-critique), le plasma est un diélectrique transparent (comme du verre). Si \(n_e > n_c\) (sur-critique), il devient un conducteur opaque (comme un métal) et réfléchit la lumière.
• Dépendance : \(n_c\) est inversement proportionnelle à \(\lambda^2\). Un laser bleu (courte \(\lambda\)) pénètre des plasmas plus denses qu'un laser infrarouge. -
📉
2. L'Indice de Réfraction (\(n < 1\))
Contrairement aux matériaux classiques (eau, verre) où \(n > 1\), un plasma non magnétisé possède un indice inférieur à 1.
• Vitesse de Phase : Cela implique que la vitesse de phase de l'onde (\(v_{\phi} = c/n\)) est supérieure à \(c\). Ce n'est pas une violation de la relativité car l'énergie voyage à la vitesse de groupe \(v_g = c \cdot n < c\).
• Effet de Lentille : Comme l'indice diminue quand la densité augmente, un profil de densité "en cloche" (plus dense au centre) agit comme une lentille divergente pour la lumière. -
📏
3. Le Diagnostic par Déphasage
L'interférométrie permet de "peser" les électrons sur le trajet du laser.
• Le Mécanisme : L'onde traverse le plasma plus vite (en phase) que le vide. Elle sort avec une "avance de phase", ce qui se traduit mathématiquement par un déphasage négatif (\(\Delta \phi < 0\)).
• Linéarité : Dans l'approximation sous-critique courante (\(n_e \ll n_c\)), la relation est linéaire : \(\Delta \phi \propto n_e \times L\). Un déphasage mesuré de 1 radian correspond typiquement à une densité de \(10^{17} \text{cm}^{-3}\) sur quelques millimètres. -
💡
4. Pourquoi la Lumière ?
Les plasmas sont des milieux hostiles (hautes températures), transitoires (durée de vie microseconde) et fragiles. Introduire une sonde matérielle (fil électrique) perturberait l'écoulement ou fondrait instantanément. Le diagnostic optique est la seule méthode capable de sonder le cœur du plasma avec une haute résolution temporelle et spatiale, sans le perturber.
🎛️ Simulateur : Dispersion du Plasma
Modifiez la densité électronique pour voir l'effet sur l'indice de réfraction du plasma à une longueur d'onde donnée.
Paramètres du Plasma
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Si on double la longueur d'onde du laser sonde, comment évolue la densité critique \(n_c\) ?
2. Dans un plasma sous-critique (\(n_e < n_c\)), l'indice de réfraction est :
📚 Glossaire Détaillé : Concepts Fondamentaux
- Plasma
-
Souvent qualifié de "quatrième état de la matière", le plasma est un milieu gazeux ionisé macroscopiquement neutre, constitué d'un mélange de porteurs de charge libres (électrons, ions) et d'espèces neutres (atomes, molécules). Ce qui distingue fondamentalement un plasma d'un gaz chaud, c'est le comportement collectif de ses particules : en raison des forces électrostatiques à longue portée (Coulomb), le mouvement d'une particule chargée influence tout son voisinage (sphère de Debye). Cette propriété confère au plasma des caractéristiques uniques, comme la conductivité électrique, la sensibilité aux champs magnétiques et la capacité à supporter des ondes de densité (oscillations de Langmuir).
Dans le contexte de l'interaction laser-matière, le plasma est créé par "claquage" : le champ électrique du laser est si intense qu'il arrache les électrons des atomes, transformant instantanément un isolant transparent en un conducteur opaque.
- Fréquence Plasma (\(\omega_p\))
-
C'est la fréquence naturelle de "respiration" du gaz d'électrons. Imaginez que vous déplaciez un bloc d'électrons par rapport au fond d'ions positifs immobiles. Une force de rappel électrique intense va tenter de ramener les électrons à leur position d'équilibre (neutralité). À cause de leur inertie (masse), les électrons dépassent ce point et se mettent à osciller autour de l'équilibre. La pulsation de cette oscillation est donnée par \(\omega_p = \sqrt{n_e e^2 / m_e \varepsilon_0}\).
Cette grandeur est fondamentale car elle définit l'échelle de temps de réponse du plasma. Si une onde électromagnétique arrive avec une fréquence \(\omega < \omega_p\), les électrons sont assez rapides pour suivre le mouvement et écranter le champ : l'onde est bloquée (réflexion). Si \(\omega > \omega_p\), les électrons ont trop d'inertie pour suivre parfaitement : le milieu paraît transparent (propagation).
- Densité Critique (\(n_c\))
-
La densité critique est la densité électronique seuil pour laquelle la fréquence plasma \(\omega_p\) égale exactement la fréquence \(\omega\) du laser incident. C'est une barrière de propagation absolue pour une longueur d'onde donnée.
- En dessous (\(n_e < n_c\)) : Le plasma est dit "sous-critique". Il se comporte comme un milieu diélectrique d'indice \(0 < n < 1\). La lumière le traverse mais sa phase est modifiée.
- Au-dessus (\(n_e > n_c\)) : Le plasma est dit "sur-critique". Il se comporte comme un métal conducteur. Les électrons libres réagissent pour annuler le champ incident, provoquant une réflexion totale de l'onde (miroir plasma).
Elle dépend uniquement de la longueur d'onde du laser : \(n_c [\text{cm}^{-3}] \approx 10^{21} \lambda [\mu\text{m}]^{-2}\).
- Cut-off (Fréquence de Coupure)
-
Le "Cut-off" désigne la condition limite où le vecteur d'onde \(k\) s'annule (\(k \to 0\)), ce qui signifie que la longueur d'onde dans le milieu tend vers l'infini (\(\lambda_p \to \infty\)). À ce point précis, la vitesse de phase devient infinie et la vitesse de groupe (transport de l'énergie) s'annule. L'onde ne peut plus transporter d'énergie vers l'avant : elle est donc totalement réfléchie.
Dans un plasma froid non magnétisé, la fréquence de coupure est simplement la fréquence plasma \(\omega_p\). C'est ce phénomène qui est responsable de la réflexion des ondes radio par l'ionosphère (permettant les transmissions transocéaniques) ou du "black-out" des communications lors de la rentrée atmosphérique d'un vaisseau spatial.
- Indice de Réfraction (\(n\))
-
Grandeur macroscopique décrivant la propagation de la lumière. Dans un plasma, \(n = \sqrt{1 - n_e/n_c}\). Contrairement à la matière dense ordinaire (eau, verre) où les charges liées ralentissent la lumière (\(n > 1\)), les charges libres du plasma modifient la permittivité de telle sorte que l'indice est inférieur à 1. Cela implique une vitesse de phase supérieure à \(c\) (ce qui ne viole pas la relativité car l'information voyage à la vitesse de groupe \(v_g < c\)). Cet indice est fortement dispersif (il change beaucoup avec la couleur de la lumière) et peut devenir imaginaire, signifiant l'arrêt de la propagation (évanescence).
- Onde Évanescente
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Lorsque l'onde laser tente de pénétrer un plasma sur-critique (\(n_e > n_c\)), elle ne peut pas se propager (son vecteur d'onde devient imaginaire pur). Cependant, le champ électrique ne tombe pas instantanément à zéro à l'interface vide/plasma. Il pénètre sur une très courte distance, appelée épaisseur de peau (\(\delta \approx c/\omega_p\)), en décroissant exponentiellement sans transporter d'énergie moyenne vers l'avant. C'est ce régime de pénétration superficielle sans propagation qu'on appelle onde évanescente.
Le Saviez-vous ?
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