ÉTUDE DE PHYSIQUE

Rendement d’un Moteur Diesel Idéal

Rendement d'un Moteur Diesel Idéal

Rendement d'un Moteur Diesel Idéal

Comprendre la Thermodynamique du Moteur Diesel

Le moteur Diesel, inventé par Rudolf Diesel, est un type de moteur à combustion interne. Contrairement au moteur à essence (cycle Otto) où le mélange air-carburant est enflammé par une bougie, dans un moteur Diesel, l'air seul est comprimé à une température suffisamment élevée pour enflammer spontanément le carburant injecté.

Le cycle Diesel idéal est un modèle thermodynamique qui décrit les transformations subies par le fluide de travail (généralement de l'air) dans un tel moteur. Il se compose de quatre processus principaux :

  1. Compression adiabatique réversible (1-2) : L'air est comprimé, sa température et sa pression augmentent.
  2. Admission de chaleur à pression constante (2-3) : Le carburant est injecté et brûle, fournissant de la chaleur au système alors que le piston commence à descendre.
  3. Détente adiabatique réversible (3-4) : Les gaz chauds se détendent, produisant du travail.
  4. Rejet de chaleur à volume constant (4-1) : Les gaz d'échappement sont évacués et le système refroidit.

Le rendement thermodynamique \(\eta\) d'un cycle Diesel idéal est donné par la formule :

\[ \eta = 1 - \frac{1}{r^{k-1}} \left[ \frac{\alpha^k - 1}{k(\alpha - 1)} \right] \]

Où :

  • \(r = V_1/V_2\) est le rapport volumétrique de compression.
  • \(\alpha = V_3/V_2\) est le rapport de détente après combustion (ou rapport d'injection, \(\text{cut-off ratio}\)).
  • \(k = C_p/C_v\) est l'indice adiabatique du fluide de travail (environ \(1.4\) pour l'air).

Énoncé de l'Exercice

Un moteur Diesel idéal fonctionne avec de l'air comme fluide de travail. On considère \(1 \text{ kg}\) d'air. Les conditions et paramètres sont les suivants :

  • Indice adiabatique de l'air, \(k = 1.4\).
  • Rapport volumétrique de compression, \(r = V_1/V_2 = 18\).
  • Température initiale (début de compression, état 1), \(T_1 = 300 \text{ K}\).
  • Pression initiale (état 1), \(P_1 = 100 \text{ kPa}\).
  • Rapport de détente après combustion, \(\alpha = V_3/V_2 = 2\).
  • Capacité thermique massique à volume constant, \(C_v = 0.718 \text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}\).
  • Capacité thermique massique à pression constante, \(C_p = 1.005 \text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}\).

On suppose que l'air se comporte comme un gaz parfait et que les processus sont réversibles.

Diagramme P-V (Pression-Volume) du Cycle Diesel Idéal (Référence)
V (Volume) P (Pression) 1 (V_1, P_1) 2 (V_2, P_2) 3 (V_3, P_2) 4 (V_1, P_4) 1-2 (Compression) 2-3 (Q_in à P=cte) 3-4 (Détente) 4-1 (Q_out à V=cte)

Le diagramme montre les quatre étapes du cycle Diesel idéal.

Questions à traiter

  1. Calculer la température \(T_2\) (en Kelvin) à la fin de la compression adiabatique (état 2).
  2. Calculer la température \(T_3\) (en Kelvin) à la fin de l'admission de chaleur à pression constante (état 3).
  3. Calculer la température \(T_4\) (en Kelvin) à la fin de la détente adiabatique (état 4).
  4. Calculer la quantité de chaleur fournie au système, \(Q_{\text{in}}\) (en kJ), pendant le processus 2-3.
  5. Calculer la quantité de chaleur rejetée par le système, \(Q_{\text{out}}\) (en kJ), pendant le processus 4-1.
  6. Calculer le travail net \(W_{\text{net}}\) (en kJ) produit par le cycle.
  7. Calculer le rendement thermodynamique \(\eta\) du cycle en utilisant les chaleurs calculées.
  8. Vérifier le rendement en utilisant la formule théorique du cycle Diesel.

Correction : Rendement d'un Moteur Diesel Idéal

Question 1 : Température \(T_2\) après compression adiabatique

Principe :

Pour une compression adiabatique réversible d'un gaz parfait, la relation entre température et volume est \(T V^{k-1} = \text{constante}\). Donc, \(T_1 V_1^{k-1} = T_2 V_2^{k-1}\).

Sachant que \(r = V_1/V_2\), on a \(T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{k-1} = T_1 r^{k-1}\).

Calcul :

Données : \(T_1 = 300 \text{ K}\), \(r = 18\), \(k = 1.4\).

\[ \begin{aligned} T_2 &= T_1 r^{k-1} \\ &= 300 \text{ K} \times (18)^{1.4 - 1} \\ &= 300 \times (18)^{0.4} \\ &\approx 300 \times 3.1767 \quad (\text{sachant que } (18)^{0.4} \approx 3.1767) \\ &\approx 953.01 \text{ K} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La température à la fin de la compression est \(T_2 \approx 953.01 \text{ K}\).

Question 2 : Température \(T_3\) après admission de chaleur

Principe :

L'admission de chaleur (processus 2-3) se fait à pression constante. Pour un gaz parfait, à pression constante, \(V/T = \text{constante}\). Donc, \(V_2/T_2 = V_3/T_3\).

Sachant que \(\alpha = V_3/V_2\), on a \(T_3 = T_2 (V_3/V_2) = T_2 \alpha\).

Calcul :

Données : \(T_2 \approx 953.01 \text{ K}\), \(\alpha = 2\).

\[ \begin{aligned} T_3 &= T_2 \alpha \\ &= 953.01 \text{ K} \times 2 \\ &\approx 1906.02 \text{ K} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : La température à la fin de l'admission de chaleur est \(T_3 \approx 1906.02 \text{ K}\).

Question 3 : Température \(T_4\) après détente adiabatique

Principe :

La détente (processus 3-4) est adiabatique réversible. Donc, \(T_3 V_3^{k-1} = T_4 V_4^{k-1}\).

On sait que \(V_4 = V_1\). Le rapport \(V_3/V_4 = V_3/V_1 = (V_3/V_2) \times (V_2/V_1) = \alpha / r\).

Donc, \(T_4 = T_3 (V_3/V_4)^{k-1} = T_3 (\alpha/r)^{k-1}\).

Calcul :

Données : \(T_3 \approx 1906.02 \text{ K}\), \(\alpha = 2\), \(r = 18\), \(k = 1.4\).

\[ \begin{aligned} T_4 &= T_3 \left(\frac{\alpha}{r}\right)^{k-1} \\ &= 1906.02 \text{ K} \times \left(\frac{2}{18}\right)^{1.4 - 1} \\ &= 1906.02 \times \left(\frac{1}{9}\right)^{0.4} \\ &\approx 1906.02 \times 0.4169 \quad (\text{sachant que } (1/9)^{0.4} \approx 0.4169) \\ &\approx 794.56 \text{ K} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La température à la fin de la détente est \(T_4 \approx 794.56 \text{ K}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Durant quelle phase du cycle Diesel idéal la chaleur est-elle fournie au système ?

Question 4 : Chaleur fournie \(Q_{\text{in}}\)

Principe :

La chaleur est fournie à pression constante (processus 2-3). Pour \(m=1 \text{ kg}\) d'air : \(Q_{\text{in}} = C_p (T_3 - T_2)\).

Calcul :

Données : \(C_p = 1.005 \text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}\), \(T_3 \approx 1906.02 \text{ K}\), \(T_2 \approx 953.01 \text{ K}\).

\[ \begin{aligned} Q_{\text{in}} &= C_p (T_3 - T_2) \\ &= 1.005 \text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)} \times (1906.02 \text{ K} - 953.01 \text{ K}) \\ &= 1.005 \times 953.01 \text{ kJ/kg} \\ &\approx 957.77 \text{ kJ/kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La chaleur fournie est \(Q_{\text{in}} \approx 957.77 \text{ kJ/kg}\).

Question 5 : Chaleur rejetée \(Q_{\text{out}}\)

Principe :

La chaleur est rejetée à volume constant (processus 4-1). Pour \(m=1 \text{ kg}\) d'air : \(Q_{\text{out}} = C_v (T_4 - T_1)\).

Calcul :

Données : \(C_v = 0.718 \text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)}\), \(T_4 \approx 794.56 \text{ K}\), \(T_1 = 300 \text{ K}\).

\[ \begin{aligned} Q_{\text{out}} &= C_v (T_4 - T_1) \\ &= 0.718 \text{ kJ/(kg}\cdot\text{K)} \times (794.56 \text{ K} - 300 \text{ K}) \\ &= 0.718 \times 494.56 \text{ kJ/kg} \\ &\approx 355.10 \text{ kJ/kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La chaleur rejetée est \(Q_{\text{out}} \approx 355.10 \text{ kJ/kg}\).

Question 6 : Travail net \(W_{\text{net}}\)

Principe :

Le travail net produit par le cycle est la différence entre la chaleur fournie et la chaleur rejetée : \(W_{\text{net}} = Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}}\).

Calcul :

Données : \(Q_{\text{in}} \approx 957.77 \text{ kJ/kg}\), \(Q_{\text{out}} \approx 355.10 \text{ kJ/kg}\).

\[ \begin{aligned} W_{\text{net}} &= Q_{\text{in}} - Q_{\text{out}} \\ &= 957.77 \text{ kJ/kg} - 355.10 \text{ kJ/kg} \\ &\approx 602.67 \text{ kJ/kg} \end{aligned} \]
Résultat Question 6 : Le travail net produit par le cycle est \(W_{\text{net}} \approx 602.67 \text{ kJ/kg}\).

Question 7 : Rendement \(\eta\) (calculé)

Principe :

Le rendement thermodynamique est le rapport du travail net produit à la chaleur fournie : \(\eta = W_{\text{net}} / Q_{\text{in}}\).

Calcul :

Données : \(W_{\text{net}} \approx 602.67 \text{ kJ/kg}\), \(Q_{\text{in}} \approx 957.77 \text{ kJ/kg}\).

\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{W_{\text{net}}}{Q_{\text{in}}} \\ &= \frac{602.67 \text{ kJ/kg}}{957.77 \text{ kJ/kg}} \\ &\approx 0.62925 \end{aligned} \]
Résultat Question 7 : Le rendement calculé du cycle est \(\eta \approx 0.6293\) (soit \(62.93\%\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Si le rapport volumétrique de compression (\(r\)) augmente (les autres paramètres restant constants), comment varie généralement le rendement d'un cycle Diesel idéal ?

Question 8 : Rendement \(\eta\) (formule théorique)

Principe :

La formule théorique du rendement d'un cycle Diesel idéal est : \(\eta = 1 - \frac{1}{r^{k-1}} \left[ \frac{\alpha^k - 1}{k(\alpha - 1)} \right]\).

Calcul :

Données : \(r = 18\), \(k = 1.4\), \(\alpha = 2\).

Termes intermédiaires : \(r^{k-1} = (18)^{0.4} \approx 3.1767\). \(\alpha^k = (2)^{1.4} \approx 2.6390\). \(k(\alpha - 1) = 1.4 \times (2 - 1) = 1.4\).

\[ \begin{aligned} \eta &= 1 - \frac{1}{r^{k-1}} \left[ \frac{\alpha^k - 1}{k(\alpha - 1)} \right] \\ &= 1 - \frac{1}{(18)^{0.4}} \left[ \frac{(2)^{1.4} - 1}{1.4(2 - 1)} \right] \\ &\approx 1 - \frac{1}{3.1767} \left[ \frac{2.6390 - 1}{1.4 \times 1} \right] \\ &= 1 - \frac{1}{3.1767} \left[ \frac{1.6390}{1.4} \right] \\ &\approx 1 - \frac{1}{3.1767} \times 1.170714 \\ &\approx 1 - 0.31480 \times 1.170714 \\ &\approx 1 - 0.36853 \\ &\approx 0.63147 \end{aligned} \]

La légère différence avec le résultat de la question 7 est due aux arrondis dans les calculs intermédiaires des températures et des chaleurs.

Résultat Question 8 : Le rendement théorique du cycle est \(\eta \approx 0.6315\) (soit \(63.15\%\)).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Quel processus N'EST PAS présent dans un cycle Diesel idéal ?

2. Que représente le rapport \(\alpha = V_3/V_2\) dans le cycle Diesel ?

3. Si le rapport de détente après combustion \(\alpha\) augmente (les autres paramètres \(r\) et \(k\) restant constants), comment évolue le rendement \(\eta\) du cycle Diesel idéal ?

Glossaire

Cycle Diesel Idéal
Modèle thermodynamique décrivant les transformations d'un fluide dans un moteur Diesel, composé de deux processus adiabatiques, un processus isobare (pression constante) et un processus isochore (volume constant).
Rapport Volumétrique de Compression (\(r\))
Rapport entre le volume maximal (\(V_1\)) et le volume minimal (\(V_2\)) dans le cylindre : \(r = V_1/V_2\).
Rapport de Détente après Combustion (\(\alpha\))
Aussi appelé rapport d'injection ou \(\text{cut-off ratio}\). Rapport entre le volume à la fin de l'admission de chaleur (\(V_3\)) et le volume à la fin de la compression (\(V_2\)) : \(\alpha = V_3/V_2\).
Indice Adiabatique (\(k\))
Rapport des capacités thermiques massiques à pression constante (\(C_p\)) et à volume constant (\(C_v\)) : \(k = C_p/C_v\). Pour l'air, \(k \approx 1.4\).
Processus Adiabatique
Transformation thermodynamique sans échange de chaleur avec l'extérieur (\(Q=0\)).
Processus Isobare
Transformation thermodynamique se déroulant à pression constante.
Processus Isochore
Transformation thermodynamique se déroulant à volume constant.
Rendement Thermodynamique (\(\eta\))
Rapport entre le travail net utile fourni par le cycle et la quantité de chaleur fournie au cycle : \(\eta = W_{\text{net}}/Q_{\text{in}}\).
Exercice : Rendement d'un Moteur Diesel Idéal

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