ÉTUDE DE PHYSIQUE

Composition Relativiste des Vitesses

Composition Relativiste des Vitesses

Composition Relativiste des Vitesses

Comprendre la Composition des Vitesses en Relativité

En mécanique classique (galiléenne), les vitesses s'additionnent simplement. Si une personne marche à 5 km/h dans un train qui roule à 100 km/h, un observateur sur le quai voit la personne se déplacer à 105 km/h. Cependant, cette intuition est mise en défaut à des vitesses proches de celle de la lumière (\(c\)). Si un astronaute allume sa lampe de poche dans un vaisseau allant à 0.9\(c\), un observateur externe ne verra pas la lumière se déplacer à 1.9\(c\), car la vitesse de la lumière est une limite infranchissable et constante pour tous les observateurs inertiels.

La relativité restreinte fournit les formules correctes pour "composer" les vitesses. Ces formules, issues des transformations de Lorentz, garantissent que la vitesse résultante ne dépasse jamais \(c\). Elles diffèrent selon que les vitesses sont colinéaires (dans la même direction) ou non.

Données de l'étude

Soit un référentiel fixe S (le sol) et un référentiel mobile S' (une fusée) se déplaçant à une vitesse \(v\) par rapport à S le long de l'axe des \(x\). Un objet est lancé depuis la fusée avec une vitesse \(u'\) mesurée dans le référentiel S'. On cherche à déterminer la vitesse \(u\) de l'objet mesurée depuis le sol (référentiel S).

Données générales :

  • Vitesse de la fusée S' par rapport au sol S : \(v = 0.9c\)

On étudiera deux cas distincts.

Schéma : Composition des Vitesses
{/* Référentiel S */} Référentiel S (Sol) x y {/* Référentiel S' */} Référentiel S' (Fusée) x' y' {/* Vitesse v */} v = 0.9c {/* Objet et vitesse u' */} Objet u' (à calculer) u' (cas 2)

Un objet est lancé depuis le référentiel mobile S'. Sa vitesse \(u\) est mesurée dans le référentiel fixe S.

Questions à traiter

  1. Cas 1 : Vitesses colinéaires
    L'objet est lancé depuis la fusée S' avec une vitesse \(u'_x = 0.5c\) dans la même direction que la fusée.
    1. Donner la formule de la composition relativiste des vitesses pour des mouvements colinéaires.
    2. Calculer la vitesse \(u_x\) de l'objet mesurée depuis le sol S. Comparer le résultat à une addition galiléenne simple.

  2. Cas 2 : Vitesses non colinéaires (perpendiculaires)
    L'objet est éjecté depuis la fusée S' avec une vitesse purement transversale \(u'_y = 0.6c\) (c'est-à-dire \(u'_x = 0\)).
    1. Donner les formules de transformation des composantes de la vitesse (\(u_x\) et \(u_y\)).
    2. Calculer les composantes \(u_x\) et \(u_y\) de la vitesse de l'objet, telles que mesurées par l'observateur au sol S.
    3. Calculer la norme (ou magnitude) \(|u|\) de la vitesse de l'objet dans le référentiel S.
    4. Vérifier que la vitesse calculée \(|u|\) est bien inférieure à \(c\).

Correction : Composition Relativiste des Vitesses

Question 1 : Cas des Vitesses Colinéaires

a) Formule de composition colinéaire

Pour un objet se déplaçant à une vitesse \(u'_x\) dans un référentiel S' lui-même en mouvement à une vitesse \(v\) par rapport à S (les deux le long du même axe), la vitesse \(u_x\) de l'objet dans S n'est pas simplement \(v + u'_x\). La formule relativiste est :

\[u_x = \frac{v + u'_x}{1 + \frac{v u'_x}{c^2}}\]
b) Calcul de la vitesse \(u_x\)

On applique la formule avec les données de l'énoncé.

Données spécifiques :
  • \(v = 0.9c\)
  • \(u'_x = 0.5c\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} u_x &= \frac{0.9c + 0.5c}{1 + \frac{(0.9c)(0.5c)}{c^2}} \\ &= \frac{1.4c}{1 + \frac{0.45c^2}{c^2}} \\ &= \frac{1.4c}{1 + 0.45} \\ &= \frac{1.4c}{1.45} \\ &\approx 0.9655c \end{aligned} \]

Une addition galiléenne simple aurait donné \(0.9c + 0.5c = 1.4c\), une vitesse impossible car supérieure à \(c\). Le résultat relativiste est bien inférieur à \(c\).

Résultat Question 1 : La vitesse de l'objet mesurée depuis le sol est \(u_x \approx 0.966c\).

Question 2 : Cas des Vitesses Non Colinéaires

a) Formules de transformation des vitesses

Lorsque la vitesse de l'objet dans S' a des composantes parallèles (\(u'_x\)) et perpendiculaires (\(u'_y\)) au mouvement de S', les composantes de la vitesse dans S (\(u_x\) et \(u_y\)) sont données par :

\[u_x = \frac{v + u'_x}{1 + \frac{v u'_x}{c^2}}\] \[u_y = \frac{u'_y}{\gamma \left(1 + \frac{v u'_x}{c^2}\right)} \quad \text{avec } \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\]
b) Calcul des composantes \(u_x\) et \(u_y\)

On applique ces formules au cas où l'objet a une vitesse purement transversale dans S'.

Données spécifiques :
  • \(v = 0.9c\)
  • \(u'_x = 0\)
  • \(u'_y = 0.6c\)
Calcul :

D'abord, calculons le facteur de Lorentz \(\gamma\) pour la fusée :

\[ \begin{aligned} \gamma &= \frac{1}{\sqrt{1 - (0.9)^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{1 - 0.81}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{0.19}} \\ &\approx 2.294 \end{aligned} \]

Maintenant, calculons les composantes de la vitesse :

\[ \begin{aligned} u_x &= \frac{0.9c + 0}{1 + \frac{(0.9c)(0)}{c^2}} \\ &= \frac{0.9c}{1} = 0.9c \\ \\ u_y &= \frac{0.6c}{\gamma \left(1 + \frac{(0.9c)(0)}{c^2}\right)} \\ &= \frac{0.6c}{\gamma} \\ &= \frac{0.6c}{2.294} \\ &\approx 0.2615c \end{aligned} \]

Fait intéressant : même si l'objet est lancé perpendiculairement dans la fusée, un observateur au sol voit la vitesse transversale \(u_y\) réduite par le facteur de Lorentz.

c) Calcul de la norme de la vitesse \(|u|\)
\[ \begin{aligned} |u| &= \sqrt{u_x^2 + u_y^2} \\ &= \sqrt{(0.9c)^2 + (0.2615c)^2} \\ &= \sqrt{0.81c^2 + 0.0684c^2} \\ &= \sqrt{0.8784c^2} \\ &= c\sqrt{0.8784} \\ &\approx 0.9372c \end{aligned} \]
d) Vérification par rapport à \(c\)

Le résultat \(|u| \approx 0.937c\) est bien inférieur à \(c\). L'addition galiléenne aurait donné \(\sqrt{(0.9c)^2 + (0.6c)^2} = \sqrt{0.81c^2 + 0.36c^2} = \sqrt{1.17}c \approx 1.08c\), un résultat physiquement impossible.

Résultat Question 2 : Les composantes de la vitesse sont \(u_x = 0.9c\) et \(u_y \approx 0.262c\). La norme de la vitesse est \(|u| \approx 0.937c\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Si un objet est lancé à \(v_1=0.7c\) depuis une fusée allant à \(v_2=0.8c\) (vitesses colinéaires), sa vitesse vue du sol sera :

2. Le fait que le résultat de la composition de deux vitesses soit toujours inférieur ou égal à \(c\) est une conséquence directe :

3. Dans le cas non colinéaire, pourquoi la composante de vitesse transversale \(u_y\) est-elle perçue différemment dans le référentiel S ?

Glossaire

Composition des Vitesses
Processus de détermination de la vitesse d'un objet dans un référentiel donné, connaissant sa vitesse dans un autre référentiel mobile et la vitesse relative entre les deux référentiels.
Référentiel Inertiel
Système de coordonnées dans lequel un corps non soumis à des forces extérieures est soit au repos, soit en mouvement rectiligne uniforme. La relativité restreinte s'applique dans ces référentiels.
Transformation de Lorentz
Ensemble d'équations en relativité restreinte qui décrivent comment les mesures d'espace et de temps d'un événement changent d'un référentiel inertiel à un autre.
Vitesse Colinéaire
Se dit de vitesses qui ont la même direction (parallèles ou anti-parallèles).
Vitesse Transversale
Composante de la vitesse d'un objet qui est perpendiculaire à la direction du mouvement relatif entre les référentiels.
Composition Relativiste des Vitesses - Exercice d'Application

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