Application de l'Équation de Van der Waals

Contexte : Le comportement des gaz réelsContrairement aux gaz parfaits, les gaz réels sont constitués de molécules qui ont un volume non nul et interagissent entre elles..

L'équation des gaz parfaits (\(PV=nRT\)) est un excellent modèle pour décrire le comportement des gaz à basse pression et haute température. Cependant, lorsque les conditions deviennent plus extrêmes (haute pression, basse température), les interactions entre les molécules et leur volume propre ne peuvent plus être négligés. L'équation de Van der Waals est une des premières et des plus célèbres tentatives pour corriger le modèle du gaz parfait et décrire plus précisément les gaz réels.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de quantifier l'écart entre le modèle du gaz parfait et celui de Van der Waals, et de comprendre la signification physique des termes correctifs qu'il introduit.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer l'équation des gaz parfaits pour calculer la pression.
Appliquer l'équation de Van der Waals pour un calcul plus précis.
Comparer les deux modèles et analyser la déviation.
Comprendre le rôle des constantes `a` et `b` de Van der Waals.

Données de l'étude

On cherche à déterminer la pression exercée par 2 moles de diazote (\(N_2\)) confinées dans un volume de 5 litres à une température de 300 K. Nous comparerons le résultat obtenu avec le modèle du gaz parfait et celui du gaz réel de Van der Waals.

Fiche Technique du Diazote (\(N_2\))

Caractéristique	Valeur
Constante `a` (interaction)	0.137 Pa·m⁶·mol⁻²
Constante `b` (covolume)	3.87 × 10⁻⁵ m³·mol⁻¹
Masse molaire (M)	28.01 g·mol⁻¹

Représentation d'un volume de gaz réel

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\(n\)	2	mol
Volume du conteneur	\(V\)	5	L
Température	\(T\)	300	K
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8.314	J·mol⁻¹·K⁻¹

Questions à traiter

Calculer la pression \(P_{\text{GP}}\) du diazote en utilisant l'équation des gaz parfaits.
Calculer la pression \(P_{\text{VdW}}\) du diazote en utilisant l'équation de Van der Waals.
Comparer les deux pressions en calculant l'écart relatif en pourcentage.
Expliquer brièvement la signification physique des termes correctifs de pression et de volume dans l'équation de Van der Waals.

Les bases de la Thermodynamique des Gaz

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de maîtriser les deux principaux modèles décrivant l'état d'un gaz.

1. Le Modèle du Gaz Parfait
Ce modèle simplifié suppose que les molécules de gaz sont ponctuelles (volume nul) et n'interagissent pas entre elles. Son comportement est décrit par une équation d'état simple : \[ P \cdot V = n \cdot R \cdot T \]

2. Le Modèle de Van der Waals
Ce modèle affine le précédent en introduisant deux termes correctifs pour tenir compte du volume propre des molécules (covolume `b`) et des forces d'attraction intermoléculaires (`a`). \[ \left( P + a \frac{n^2}{V^2} \right) (V - nb) = nRT \]

Correction : Application de l'Équation de Van der Waals

Question 1 : Calcul par la loi des Gaz Parfaits

Principe

Le concept physique ici est celui du gaz parfaitUn modèle idéal où les particules de gaz sont considérées comme des points sans volume ni interactions., un modèle où la pression résulte uniquement des collisions des molécules (considérées comme ponctuelles) avec les parois du conteneur. On ignore le volume propre des molécules et les forces d'attraction entre elles.

Mini-Cours

L'équation d'état des gaz parfaits, \(PV=nRT\), relie les quatre variables d'état macroscopiques d'un gaz. Elle est une synthèse des lois de Boyle-Mariotte, Charles et Avogadro. La pression (\(P\)) y est directement proportionnelle à la quantité de matière (\(n\)) et à la température absolue (\(T\)), et inversement proportionnelle au volume (\(V\)).

Remarque Pédagogique

Il est toujours bon de commencer par le modèle le plus simple. Le calcul via la loi des gaz parfaits nous donnera une valeur de référence. L'écart avec le calcul plus complexe de Van der Waals nous renseignera sur l'importance des effets réels dans les conditions de l'exercice.

Normes

L'équation des gaz parfaits n'est pas une norme au sens réglementaire, mais une loi physique fondamentale de la thermodynamique. Elle est universellement utilisée comme une première approximation pour le comportement des gaz dans des conditions de faible pression et haute température.

Formule(s)

Équation des gaz parfaits pour la pression

P_{\text{GP}} = \frac{nRT}{V}

Hypothèses

Le cadre du calcul repose sur les hypothèses du gaz parfait :

Les molécules sont des points matériels (volume nul).
Il n'existe aucune force d'interaction (attraction ou répulsion) entre les molécules.
Les chocs entre les molécules et avec les parois sont parfaitement élastiques.

Donnée(s)

Les chiffres d'entrée sont ceux fournis dans l'énoncé du problème.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\(n\)	2	mol
Volume	\(V\)	5	L
Température	\(T\)	300	K
Constante	\(R\)	8.314	J·mol⁻¹·K⁻¹

Astuces

Pour aller plus vite et éviter les erreurs, vérifiez toujours les unités de la constante \(R\). Comme elle est en J·mol⁻¹·K⁻¹, et que 1 Joule = 1 Pa·m³, votre volume doit impérativement être en m³ pour obtenir une pression en Pascals (Pa).

Schéma (Avant les calculs)

On modélise le système comme un volume \(V\) contenant \(n\) moles de particules ponctuelles à une température \(T\).

Modèle du Gaz Parfait

Calcul(s)

Conversion du volume

\begin{aligned} V &= 5 \text{ L} \\ &= 5 \times 10^{-3} \text{ m}^3 \end{aligned}

Application de la formule

P_{\text{GP}} = \frac{2 \text{ mol} \times 8.314 \text{ J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \times 300 \text{ K}}{5 \times 10^{-3} \text{ m}^3}

Calcul intermédiaire

P_{\text{GP}} = \frac{4988.4}{0.005} \text{ Pa}

Résultat du calcul en Pascals

P_{\text{GP}} = 997680 \text{ Pa}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est un point positionné sur le diagramme Pression-Volume, le long de la courbe isotherme correspondant à la température de l'étude.

Point sur l'isotherme du gaz parfait

Réflexions

L'interprétation du résultat est que si le diazote était un gaz parfait, il exercerait une pression de près de 1 MPa (environ 10 atmosphères) dans ces conditions. C'est une pression non négligeable, où l'on peut s'attendre à ce que les hypothèses du gaz parfait commencent à montrer leurs limites.

Points de vigilance

La principale erreur à éviter est l'oubli de la conversion du volume de litres en mètres cubes. Une autre erreur courante est d'utiliser une température en degrés Celsius au lieu de Kelvin, ce qui est incorrect car l'équation des gaz parfaits est basée sur l'échelle de température absolue.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez la méthode : 1. Poser la bonne formule (\(P=nRT/V\)). 2. Vérifier et convertir toutes les variables en unités du Système International (V en m³, T en K). 3. Effectuer l'application numérique. Cette procédure est la base de nombreux calculs en thermodynamique.

Le saviez-vous ?

La loi des gaz parfaits a été formulée pour la première fois par Émile Clapeyron en 1834. Cependant, elle est une combinaison de lois empiriques plus anciennes découvertes par des scientifiques comme Robert Boyle, Jacques Charles et Joseph Louis Gay-Lussac. Elle a été un pilier de la physique avant l'avènement de la mécanique statistique.

FAQ

Pour lever les doutes :

Résultat Final

La pression calculée avec le modèle du gaz parfait est de 997.68 kPa.

A vous de jouer

Pour vérifier votre compréhension, quelle serait la pression (en kPa) si la température était de 400 K, en gardant les autres paramètres constants ?

Question 2 : Calcul par l'équation de Van der Waals

Principe

Le concept physique ici est celui du gaz réelUn modèle de gaz qui prend en compte le volume fini des molécules et les forces d'interaction entre elles.. On corrige le modèle idéal en reconnaissant que 1) les molécules ont un volume propre et ne peuvent pas occuper tout l'espace disponible (répulsion), et 2) elles s'attirent mutuellement, ce qui réduit la pression exercée sur les parois.

Mini-Cours

L'équation de Van der Waals, \(\left( P + a \frac{n^2}{V^2} \right) (V - nb) = nRT\), ajuste l'équation des gaz parfaits. Le terme \(V-nb\) représente le volume "libre" réel, réduit du volume occupé par les molécules (covolume \(b\)). Le terme \(a(n/V)^2\) est une "pression interne" qui s'ajoute à la pression externe \(P\) pour représenter l'effet des forces d'attraction intermoléculaires.

Remarque Pédagogique

Le conseil du professeur est de bien identifier les deux corrections et de les calculer séparément avant de les combiner. Calculez d'abord le volume corrigé (\(V-nb\)), puis le terme de pression interne (\(a(n/V)^2\)). Cela rend le calcul final plus clair et moins sujet aux erreurs.

Normes

Comme pour la loi des gaz parfaits, l'équation de Van der Waals est une loi fondamentale de la physique, pas une norme industrielle. C'est un modèle d'équation d'état parmi d'autres (Redlich-Kwong, Peng-Robinson) utilisé en ingénierie et en chimie pour des calculs plus précis sur les fluides.

Formule(s)

Équation de Van der Waals pour la pression

P_{\text{VdW}} = \frac{nRT}{V-nb} - a\frac{n^2}{V^2}

Hypothèses

Le cadre du calcul est celui du modèle de Van der Waals :

Les molécules sont modélisées comme des sphères dures de volume fini.
Il existe un champ de force attractif à longue portée entre les molécules.

Donnée(s)

On utilise toutes les données pertinentes pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Quantité de matière	\(n\)	2	mol
Volume	\(V\)	5	L
Température	\(T\)	300	K
Constante des gaz parfaits	\(R\)	8.314	J·mol⁻¹·K⁻¹
Constante d'interaction	\(a\)	0.137	Pa·m⁶·mol⁻²
Covolume	\(b\)	3.87 × 10⁻⁵	m³·mol⁻¹

Astuces

Pour aller plus vite, remarquez que le terme \(nRT\) a déjà été calculé à la question 1 (c'est le numérateur de \(P_{\text{GP}}\)). Vous pouvez réutiliser la valeur 4988.4 pour simplifier le calcul.

Schéma (Avant les calculs)

La modélisation est plus complexe : les particules ont un volume et des forces (représentées par des lignes pointillées) les relient.

Modèle de Gaz de Van der Waals

Calcul(s)

Calcul du volume corrigé (\(V-nb\))

\begin{aligned} V - nb &= (5 \times 10^{-3} \text{ m}^3) - 2 \text{ mol} \times (3.87 \times 10^{-5} \text{ m}^3 \cdot \text{mol}^{-1}) \\ &= 0.005 \text{ m}^3 - 0.0000774 \text{ m}^3 \\ &= 0.0049226 \text{ m}^3 \end{aligned}

Calcul du terme de pression cinétique corrigé

\begin{aligned} \frac{nRT}{V-nb} &= \frac{4988.4 \text{ J}}{0.0049226 \text{ m}^3} \\ &\approx 1013365.1 \text{ Pa} \end{aligned}

Calcul de la pression interne (\(a(n/V)^2\))

\begin{aligned} a\frac{n^2}{V^2} &= 0.137 \text{ Pa} \cdot \text{m}^6 \cdot \text{mol}^{-2} \times \frac{(2 \text{ mol})^2}{(5 \times 10^{-3} \text{ m}^3)^2} \\ &= 0.137 \times \frac{4 \text{ mol}^2}{2.5 \times 10^{-5} \text{ m}^6} \\ &= 21920 \text{ Pa} \end{aligned}

Calcul de la pression finale

\begin{aligned} P_{\text{VdW}} &= 1013365.1 \text{ Pa} - 21920 \text{ Pa} \\ &= 991445.1 \text{ Pa} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le nouveau point de pression se situe sur l'isotherme du gaz réel, légèrement décalé par rapport au point du gaz parfait.

Point sur l'isotherme de Van der Waals

Réflexions

Le résultat de 991.45 kPa est légèrement inférieur à celui du gaz parfait (997.68 kPa). Cela signifie que dans ces conditions, l'effet des forces d'attraction (qui diminuent la pression) est plus important que l'effet du volume propre des molécules (qui tend à l'augmenter). Le gaz est "plus compressible" que prévu par le modèle idéal.

Points de vigilance

L'erreur classique est d'oublier les carrés dans le terme de pression interne (\(n^2\) et \(V^2\)). Faites également attention aux parenthèses lors du calcul du volume corrigé. Une calculatrice avec une bonne gestion des priorités opératoires est recommandée.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, il faut mémoriser la structure de la correction de VdW : une correction sur le volume (\(V \Rightarrow V-nb\)) et une sur la pression (\(P \Rightarrow P+a(n/V)^2\)). Comprendre que `b` est lié à la répulsion et `a` à l'attraction est la clé de l'interprétation physique.

Le saviez-vous ?

Johannes Diderik van der Waals a reçu le prix Nobel de physique en 1910 pour son travail sur l'équation d'état des gaz et des liquides. Son modèle, bien que simple, a été le premier à décrire qualitativement la transition de phase liquide-gaz et l'existence d'un point critique.

FAQ

Pour lever les doutes :

Résultat Final

La pression calculée avec l'équation de Van der Waals est de 991.45 kPa.

A vous de jouer

Quel serait l'impact sur la pression VdW (en kPa) si vous utilisiez de l'ammoniac (\(a=0.422, b=3.71 \times 10^{-5}\)) dans les mêmes conditions ?

Question 3 : Comparaison et Écart Relatif

Principe

Le concept physique est la quantification de la "déviation de l'idéalité". On cherche à savoir si, dans les conditions données, l'approximation du gaz parfait est "bonne" ou "mauvaise", en mesurant l'écart en pourcentage par rapport au modèle plus réaliste de Van der Waals.

Mini-Cours

L'écart relatif est un outil mathématique standard pour comparer une valeur expérimentale ou approchée (\(P_{\text{GP}}\)) à une valeur théorique ou de référence (\(P_{\text{VdW}}\)). Il exprime la différence en proportion de la valeur de référence, ce qui permet d'évaluer l'ampleur de l'erreur de manière adimensionnelle et facilement interprétable.

Remarque Pédagogique

Le conseil du professeur est de toujours choisir la valeur la plus "juste" ou "fiable" comme dénominateur. Ici, le modèle de Van der Waals est considéré comme plus précis que le gaz parfait, c'est donc \(P_{\text{VdW}}\) qui sert de référence pour le calcul du pourcentage.

Normes

Il n'y a pas de norme réglementaire, mais en ingénierie et en sciences, un écart est souvent considéré comme "faible" ou "négligeable" s'il est inférieur à 1% ou 5%, selon le niveau de précision requis par l'application.

Formule(s)

Écart relatif en pourcentage

\text{Écart Relatif} (\%) = \left| \frac{P_{\text{approchée}} - P_{\text{référence}}}{P_{\text{référence}}} \right| \times 100

Hypothèses

Le cadre du calcul suppose que la valeur de Van der Waals est une représentation suffisamment précise de la réalité pour servir de référence dans cette comparaison.

Donnée(s)

Les chiffres d'entrée sont les deux pressions calculées précédemment.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression du Gaz Parfait	\(P_{\text{GP}}\)	997.68	kPa
Pression de Van der Waals	\(P_{\text{VdW}}\)	991.45	kPa

Astuces

Pour aller plus vite, vous pouvez calculer directement \((P_{\text{GP}}/P_{\text{VdW}} - 1) \times 100\). Cela peut être plus rapide à taper sur une calculatrice et donne le même résultat (en signe).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma consiste à visualiser les deux valeurs que nous allons comparer, l'une servant de référence pour mesurer l'écart de l'autre.

Comparaison des pressions (valeurs de référence)

Calcul(s)

Formule de l'écart relatif avec valeurs

\text{Écart} (\%) = \left| \frac{997.68 \text{ kPa} - 991.45 \text{ kPa}}{991.45 \text{ kPa}} \right| \times 100

Calcul intermédiaire

\text{Écart} (\%) = \frac{6.23}{991.45} \times 100

Résultat final de l'écart

\text{Écart} (\%) \approx 0.628 \%

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est un pourcentage. On peut le schématiser en réutilisant les barres comparatives et en ajoutant une flèche qui matérialise la différence.

Visualisation de l'écart

Réflexions

L'interprétation du résultat est qu'un écart de 0.63% est faible. Pour de nombreuses applications d'ingénierie non critiques, l'utilisation du modèle plus simple des gaz parfaits serait justifiée dans ces conditions. Cela montre que même si le diazote est un gaz réel, son comportement est très proche de l'idéalité à 300K et pour un volume molaire de 2.5 L/mol.

Points de vigilance

L'erreur à éviter est de diviser par la mauvaise valeur. On doit diviser par la référence, pas par la valeur approchée. Une autre erreur est d'oublier la valeur absolue si on ne s'intéresse qu'à l'ampleur de l'écart.

Points à retenir

Pour maîtriser cette question, retenez que l'écart relatif est l'outil pour juger de la validité d'un modèle. Un faible écart signifie que le modèle simple est suffisant ; un écart élevé signifie qu'un modèle plus complexe (comme Van der Waals) est nécessaire.

Le saviez-vous ?

Le "facteur de compressibilité" Z = PV/(nRT) est une autre façon de mesurer l'écart à l'idéalité. Pour un gaz parfait, Z=1 en toutes circonstances. Pour notre diazote, Z ≈ 0.994, ce qui confirme qu'il est légèrement plus compressible que le gaz parfait (Z < 1), en accord avec nos calculs de pression.

FAQ

Pour lever les doutes :

Résultat Final

L'écart relatif entre le modèle du gaz parfait et celui de Van der Waals est d'environ 0.63%.

A vous de jouer

Quel serait l'écart relatif (%) si le volume était de seulement 0.5 L (conditions de plus haute pression) ?

Question 4 : Signification des termes correctifs

Principe

Cette question est conceptuelle. Elle demande de revenir sur la théorie pour expliquer ce que représentent physiquement les corrections apportées par Van der Waals au modèle du gaz parfait.

Mini-Cours

Correction de Volume (\(V - nb\)): Le terme \(nb\) est appelé le covolume. Il représente le volume total inaccessible au mouvement des molécules, car les molécules elles-mêmes occupent un certain espace. Le volume réellement disponible pour le gaz est donc \(V - nb\), et non \(V\). Cette correction tient compte de la répulsion à courte distance entre les particules.

Correction de Pression (\(P + a(n/V)^2\)): Le terme \(a(n/V)^2\) est appelé la pression interne. Il représente l'effet des forces d'attraction intermoléculaires. Ces forces (de type Van der Waals) tendent à "retenir" les molécules qui s'approchent de la paroi, diminuant ainsi la force de leur impact. La pression mesurée \(P\) est donc inférieure à la pression cinétique réelle. L'équation corrige cela en ajoutant ce terme à la pression mesurée.

Réflexions

L'importance de ces deux termes est qu'ils introduisent la physique des interactions moléculaires dans un modèle qui, à l'origine, les ignorait. Le terme b reconnaît que les molécules ne sont pas de simples points, mais des objets ayant une taille, un concept fondamental lorsque la densité augmente. Le terme a reconnaît que les molécules ne se déplacent pas en ligne droite sans se soucier des autres ; elles s'attirent, ce qui est la raison même pour laquelle un gaz peut se liquéfier. C'est la prise en compte de ces deux effets qui a permis à Van der Waals de décrire non seulement les gaz réels mais aussi la transition de phase vers l'état liquide.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est de confondre les deux termes. Retenez bien : b pour "brique" ou "boule", c'est le volume, donc l'encombrement. a pour "attraction", ce sont les forces intermoléculaires. Une autre confusion est de penser que le terme a augmente la pression. C'est l'inverse : il est soustrait dans la formule de P, ce qui signifie que les attractions diminuent la pression finale par rapport à un gaz qui n'en aurait pas.

Points à retenir

Le terme b corrige le volume et est lié à la taille des molécules (effet de répulsion).
Le terme a corrige la pression et est lié à l'attraction entre les molécules.

Résultat Final

En résumé, le terme a modélise l'attraction intermoléculaire qui diminue la pression, tandis que le terme b modélise la répulsion due au volume propre des molécules, qui augmente la pression.

Outil Interactif : Simulateur Pression N₂

Utilisez les curseurs pour faire varier la température et le volume de 2 moles de diazote (\(N_2\)) et observez en temps réel l'impact sur les pressions calculées par les deux modèles, ainsi que leur écart.

Paramètres d'Entrée

Température (K) 300 K

Volume (L) 5 L

Résultats Clés

Pression Gaz Parfait (kPa) -

Pression Van der Waals (kPa) -

Écart Relatif (%) -

Glossaire

Gaz Parfait: Modèle théorique d'un gaz où les particules sont considérées comme des points matériels sans volume et sans interaction entre elles. Son comportement est décrit par l'équation \(PV=nRT\).
Gaz Réel: Gaz dont le comportement dévie de celui du gaz parfait, notamment à haute pression et basse température. Ses particules possèdent un volume propre et interagissent via des forces intermoléculaires.
Forces intermoléculaires (Forces de Van der Waals): Forces d'attraction ou de répulsion à distance entre les molécules. Elles sont responsables de la cohésion de la matière à l'état liquide et solide, et corrigent le comportement des gaz réels.
Covolume: Dans l'équation de Van der Waals, le terme `b` qui représente le volume molaire exclu, c'est-à-dire le volume inaccessible au mouvement des molécules dû à leur propre taille.

Application de l’Équation de Van der Waals

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique du Diazote (\(N_2\))

Représentation d'un volume de gaz réel

Questions à traiter

Les bases de la Thermodynamique des Gaz

Correction : Application de l'Équation de Van der Waals

Question 1 : Calcul par la loi des Gaz Parfaits

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Modèle du Gaz Parfait

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Point sur l'isotherme du gaz parfait

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Calcul par l'équation de Van der Waals

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Modèle de Gaz de Van der Waals

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Point sur l'isotherme de Van der Waals

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Comparaison et Écart Relatif

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison des pressions (valeurs de référence)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de l'écart

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 4 : Signification des termes correctifs

Principe

Mini-Cours

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Résultat Final

Outil Interactif : Simulateur Pression N₂

Paramètres d'Entrée