Conduction Thermique avec Source de Chaleur Interne
Comprendre la Conduction avec Source Interne
La conduction thermique est le transfert de chaleur à travers un matériau sans déplacement de matière. Lorsque ce matériau génère lui-même de la chaleur (par exemple, un fil électrique parcouru par un courant générant de la chaleur par effet Joule), on parle de conduction avec source de chaleur interne. Cette génération de chaleur modifie le profil de température à l'intérieur du matériau. En régime permanent, la chaleur générée doit être évacuée vers l'extérieur, ce qui crée un gradient de température dont la forme dépend de la géométrie du système et de la distribution de la source de chaleur.
Données de l'étude
- Rayon du fil (\(R\)) : \(2 \, \text{mm}\).
- Conductivité thermique du cuivre (\(k\)) : \(400 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
- Taux de génération de chaleur volumique (\(q'''\)) : \(5 \times 10^7 \, \text{W/m}^3\).
- La température de la surface externe du fil est maintenue constante à \(T_s = 80 \, ^\circ\text{C}\).
Schéma : Section d'un Fil avec Source de Chaleur
Questions à traiter
- Écrire l'équation de la chaleur en coordonnées cylindriques et la simplifier pour le cas étudié (régime permanent, 1D radial, avec source).
- Intégrer deux fois l'équation simplifiée pour obtenir l'expression générale du profil de température \(T(r)\).
- Appliquer les conditions aux limites pour déterminer les constantes d'intégration et donner l'équation finale de \(T(r)\).
- Calculer la température maximale dans le fil, \(T_{\text{max}}\), et préciser sa localisation.
- Calculer le flux de chaleur (\(q''\)) à la surface du fil (\(r=R\)).
Correction : Conduction dans un Fil Cylindrique
Question 1 : Équation de la Chaleur Simplifiée
Principe :
L'équation générale de la conduction de chaleur en coordonnées cylindriques avec une source interne est \(\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 T}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} + \frac{q'''}{k} = \frac{1}{\alpha}\frac{\partial T}{\partial t}\). Pour notre problème, le régime est permanent (\(\frac{\partial T}{\partial t} = 0\)), et le transfert est unidimensionnel radial (pas de variation selon \(\phi\) ou \(z\)).
Calcul :
L'équation se simplifie donc considérablement :
Question 2 : Intégration de l'Équation
Principe :
On intègre l'équation différentielle ordinaire obtenue deux fois par rapport à la variable radiale \(r\) pour trouver la forme générale de la température \(T(r)\).
Calcul :
Première intégration :
Seconde intégration :
Question 3 : Application des Conditions aux Limites
Principe :
On utilise les informations physiques du problème pour trouver les constantes \(C_1\) et \(C_2\). La première condition est la symétrie thermique au centre du fil (le flux de chaleur y est nul). La seconde est la température connue à la surface du fil.
Calcul :
Condition 1 : Symétrie au centre (\(r=0\)). Le flux de chaleur doit y être fini, ce qui implique que le gradient de température \(\frac{dT}{dr}\) doit être nul. Or, \(\frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{2k}r + \frac{C_1}{r}\). Pour que cette expression ne diverge pas en \(r=0\), il faut que \(C_1=0\).
L'équation devient : \(T(r) = -\frac{q'''}{4k}r^2 + C_2\).
Condition 2 : Température de surface connue. À \(r=R\), on a \(T(R) = T_s\).
En remplaçant \(C_2\) dans l'équation de T(r), on obtient :
Question 4 : Température Maximale
Principe :
Le profil de température est une parabole inversée. La température est donc maximale au centre du fil, en \(r=0\).
Calcul :
On convertit d'abord les unités : \(R = 2 \, \text{mm} = 0.002 \, \text{m}\) et \(T_s = 80 \, ^\circ\text{C}\).
Une augmentation de température de 0.125 K est identique à une augmentation de 0.125 °C.
Question 5 : Flux de Chaleur à la Surface
Principe :
Le flux de chaleur est donné par la loi de Fourier : \(q'' = -k \frac{dT}{dr}\). On évalue cette expression à la surface, en \(r=R\).
Calcul :
On a \(\frac{dT}{dr} = -\frac{q'''}{2k}r\).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. Quelle est la forme du profil de température dans le fil ?
2. Si la conductivité thermique (\(k\)) du matériau augmente, la température maximale dans le fil va :
3. Le flux de chaleur est maximal :
Glossaire
- Conduction thermique
- Mode de transfert thermique provoqué par une différence de température entre deux régions d'un même milieu ou entre deux milieux en contact, sans déplacement appréciable de matière.
- Loi de Fourier
- Loi qui stipule que le flux de chaleur par conduction (\(q''\)) est proportionnel au gradient de température. \(q'' = -k \nabla T\).
- Conductivité thermique (\(k\))
- Propriété d'un matériau qui quantifie sa capacité à conduire la chaleur. Une valeur élevée de \(k\) signifie que le matériau est un bon conducteur. Unité : \(\text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
- Source de chaleur interne (\(q'''\))
- Taux de génération d'énergie thermique par unité de volume à l'intérieur d'un matériau. Unité : \(\text{W/m}^3\).
- Flux de chaleur (\(q''\))
- Taux de transfert de chaleur par unité de surface. Unité : \(\text{W/m}^2\).
- Régime permanent
- État d'un système où les propriétés (comme la température) en tout point ne varient pas dans le temps.
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