ÉTUDE DE PHYSIQUE

Détente de Joule-Thomson et Coefficient

Détente de Joule-Thomson : Calcul du Coefficient

Détente de Joule-Thomson et Coefficient

Comprendre l'Effet Joule-Thomson

La détente de Joule-Thomson (ou "throttling") est un processus au cours duquel un fluide est forcé à passer à travers une valve ou un bouchon poreux, subissant une chute de pression sans échange de chaleur avec l'extérieur. Ce processus est fondamentalement isenthalpique (l'enthalpie reste constante). Pour un gaz réel, cette détente s'accompagne d'une variation de température. Le coefficient de Joule-Thomson, noté \(\mu_{\text{JT}}\), quantifie ce changement de température par rapport au changement de pression. Selon le signe de ce coefficient, le gaz peut se refroidir (ce qui est crucial pour la liquéfaction des gaz) ou se réchauffer.

Données de l'étude

On étudie la détente de Joule-Thomson du diazote (\(\text{N}_2\)) modélisé comme un gaz de van der Waals.

Conditions initiales et finales :

  • État initial : Pression \(P_1 = 200 \, \text{bar}\), Température \(T_1 = 300 \, \text{K}\).
  • État final : Pression \(P_2 = 1 \, \text{bar}\).

Propriétés du diazote :

  • Capacité thermique molaire à pression constante : \(C_{p,m} = 29.12 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
  • Constantes de van der Waals :
    • \(a = 0.1370 \, \text{Pa} \cdot \text{m}^6 \cdot \text{mol}^{-2}\)
    • \(b = 3.87 \times 10^{-5} \, \text{m}^3 \cdot \text{mol}^{-1}\)
  • Constante des gaz parfaits (\(R\)) : \(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Schéma : Processus de Détente de Joule-Thomson
Valve P₁, T₁ P₂, T₂

Un gaz s'écoule d'une région de haute pression (gauche) à une région de basse pression (droite) à travers une valve ou un bouchon poreux. Le processus est isenthalpique.

Questions à traiter

  1. Définir le coefficient de Joule-Thomson \(\mu_{\text{JT}}\).
  2. Donner l'expression de \(\mu_{\text{JT}}\) pour un gaz de van der Waals et la calculer pour le diazote aux conditions initiales.
  3. Le diazote va-t-il se refroidir ou se réchauffer lors de cette détente ? Justifier.
  4. Estimer la température finale \(T_2\) du diazote après la détente.

Correction : Détente de Joule-Thomson du Diazote

Question 1 : Définition du Coefficient de Joule-Thomson

Principe :

Le coefficient de Joule-Thomson \(\mu_{\text{JT}}\) mesure la variation de température d'un fluide résultant d'un processus isenthalpique (à enthalpie constante, \(H\)) par rapport à la variation de pression. Il est défini par la dérivée partielle de la température par rapport à la pression à enthalpie constante.

Formule(s) :
\[ \mu_{\text{JT}} = \left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_H \]

Question 2 : Calcul du Coefficient pour un Gaz de Van der Waals

Principe :

Pour un gaz de van der Waals, on peut démontrer que le coefficient de Joule-Thomson s'exprime en fonction des paramètres du gaz et de la température. On utilisera les données de l'énoncé en veillant à la cohérence des unités SI.

Formule(s) :
\[ \mu_{\text{JT}} = \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right) \]
Calcul :

Calculons d'abord le terme \(\frac{2a}{RT}\) :

\[ \begin{aligned} \frac{2a}{RT} &= \frac{2 \times (0.1370 \, \text{Pa} \cdot \text{m}^6 \cdot \text{mol}^{-2})}{(8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}) \times (300 \, \text{K})} \\ &= \frac{0.274}{2494.2} \, \frac{\text{Pa} \cdot \text{m}^6 \cdot \text{mol}^{-2}}{\text{J} \cdot \text{mol}^{-1}} \\ &\approx 1.0986 \times 10^{-4} \, \text{m}^3 \cdot \text{mol}^{-1} \end{aligned} \]

Note : \(\text{J} = \text{Pa} \cdot \text{m}^3\), donc l'unité est bien \(\text{m}^3/\text{mol}\).

Maintenant, calculons le coefficient :

\[ \begin{aligned} \mu_{\text{JT}} &= \frac{1}{29.12 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}} \left( 1.0986 \times 10^{-4} - 3.87 \times 10^{-5} \right) \text{m}^3 \cdot \text{mol}^{-1} \\ &= \frac{1}{29.12} (7.116 \times 10^{-5}) \, \frac{\text{K} \cdot \text{m}^3}{\text{J}} \\ &\approx 2.444 \times 10^{-6} \, \text{K/Pa} \end{aligned} \]

Il est souvent plus pratique d'exprimer ce coefficient en K/bar. Sachant que 1 bar = \(10^5\) Pa :

\[ \mu_{\text{JT}} = 2.444 \times 10^{-6} \, \frac{\text{K}}{\text{Pa}} \times \frac{10^5 \, \text{Pa}}{1 \, \text{bar}} = 0.2444 \, \text{K/bar} \]
Résultat Question 2 : Le coefficient de Joule-Thomson du diazote dans ces conditions est \(\mu_{\text{JT}} \approx 0.244 \, \text{K/bar}\).

Question 3 : Refroidissement ou Réchauffement ?

Principe :

Le signe du coefficient \(\mu_{\text{JT}}\) détermine le comportement du gaz. La détente correspond à une chute de pression, donc \(\Delta P = P_2 - P_1 < 0\). La variation de température est \(\Delta T \approx \mu_{\text{JT}} \Delta P\).

Analyse :
  • On a calculé \(\mu_{\text{JT}} \approx +0.244 \, \text{K/bar}\), donc \(\mu_{\text{JT}} > 0\).
  • La détente est une diminution de pression, donc \(\Delta P < 0\).
  • Le produit \(\Delta T = \mu_{\text{JT}} \times \Delta P\) sera donc négatif (\(\Delta T < 0\)).
Résultat Question 3 : Puisque \(\mu_{\text{JT}}\) est positif et que la pression diminue, la température va diminuer. Le diazote va se refroidir.

Question 4 : Estimation de la Température Finale

Principe :

Pour une variation de pression pas trop grande, on peut approximer la variation de température en considérant le coefficient de Joule-Thomson comme constant sur l'intervalle de pression.

Formule(s) :
\[ \Delta T = T_2 - T_1 \approx \mu_{\text{JT}} \times (P_2 - P_1) \]
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta P &= P_2 - P_1 = 1 \, \text{bar} - 200 \, \text{bar} = -199 \, \text{bar} \\ \Delta T &\approx (0.2444 \, \text{K/bar}) \times (-199 \, \text{bar}) \\ &\approx -48.64 \, \text{K} \end{aligned} \]

Calcul de la température finale :

\[ \begin{aligned} T_2 &= T_1 + \Delta T \\ &= 300 \, \text{K} - 48.64 \, \text{K} \\ &= 251.36 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La température finale estimée du diazote est \(T_2 \approx 251.4 \, \text{K}\) (soit environ -22 °C).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Un coefficient de Joule-Thomson \(\mu_{\text{JT}} < 0\) signifie que le gaz :

2. Quel serait le coefficient de Joule-Thomson pour un gaz parfait ?

3. La température d'inversion est la température à laquelle :

Glossaire

Détente de Joule-Thomson
Processus de détente d'un fluide à travers une restriction (valve, bouchon poreux) sans échange de chaleur avec l'extérieur. C'est un processus isenthalpique.
Processus isenthalpique
Transformation thermodynamique qui se produit à enthalpie constante (\(\Delta H = 0\)).
Coefficient de Joule-Thomson (\(\mu_{\text{JT}}\))
Mesure de la variation de température par rapport à la variation de pression lors d'une détente de Joule-Thomson. \(\mu_{\text{JT}} = (\partial T / \partial P)_H\).
Température d'inversion
Température spécifique à chaque gaz au-dessus de laquelle \(\mu_{\text{JT}}\) est négatif (le gaz se réchauffe par détente) et en dessous de laquelle \(\mu_{\text{JT}}\) est positif (le gaz se refroidit par détente).
Gaz de van der Waals
Modèle de gaz réel qui améliore le modèle du gaz parfait en tenant compte du volume propre des molécules (covolume \(b\)) et des forces d'attraction intermoléculaires (pression interne \(a/V^2\)).
Détente de Joule-Thomson - Exercice d'Application

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