Transition de Phase et Équation de Clapeyron

Contexte : La Transition de PhaseChangement d'état de la matière (ex: solide à liquide, liquide à gaz)..

En thermodynamique, une transition de phase est un phénomène fondamental qui régit le comportement de la matière. Comprendre comment la pression ($P$) et la température ($T$) influencent ces transitions (comme l'ébullition ou la fusion) est crucial en ingénierie et en sciences. L'équation de Clapeyron est l'outil mathématique clé qui nous permet de prédire la relation exacte entre $P$ et $T$ le long d'une courbe d'équilibre entre deux phases.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer l'équation de Clapeyron pour déterminer la pente de la courbe de coexistence liquide-vapeur de l'eau et à estimer la variation de la température d'ébullition avec la pression.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la notion de transition de phase et d'équilibre entre phases.
Maîtriser l'équation de Clapeyron et ses composantes (enthalpie et volume de transition).
Appliquer l'équation pour calculer la variation de la température de transition avec la pression.

Données de l'étude : Vaporisation de l'Eau

Nous étudions la transition de phase liquide-vapeur de l'eau ($H_2O$) à sa température d'ébullition standard ($T_{\text{eb}} = 100 \text{ } ^\circ\text{C}$ soit $373.15 \text{ K}$) sous une pression de $1 \text{ atm}$ ($101325 \text{ Pa}$).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Système étudié	Eau ($H_2O$)
Transition	Liquide $\leftrightarrow$ Vapeur
Conditions standard	$1 \text{ atm}$ et $100 \text{ } ^\circ\text{C}$

Diagramme de Phase (Pression vs. Température)

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Enthalpie latente de vaporisationÉnergie nécessaire pour transformer 1 kg de liquide en vapeur à température et pression constantes.	$\Delta H_{\text{vap}}$	2257	$\text{kJ/kg}$
Volume massique (liquide)Volume occupé par 1 kg de liquide.	$v_{\text{liq}}$	0.001044	$\text{m}^3\text{/kg}$
Volume massique (vapeur)Volume occupé par 1 kg de vapeur.	$v_{\text{vap}}$	1.672	$\text{m}^3\text{/kg}$
Température d'ébullition	$T_{\text{eb}}$	373.15	$\text{K}$

Questions à traiter

Convertir l'enthalpie latente de vaporisation $\Delta H_{\text{vap}}$ en $\text{J/kg}$.
Calculer la variation de volume massique $\Delta v = v_{\text{vap}} - v_{\text{liq}}$.
Écrire l'équation de Clapeyron pour la transition liquide-vapeur en utilisant les symboles de l'énoncé.
Calculer la pente $\frac{dP}{dT}$ de la courbe de vaporisation à $100 \text{ } ^\circ\text{C}$ en $\text{Pa/K}$.
En utilisant l'approximation $\frac{\Delta P}{\Delta T} \approx \frac{dP}{dT}$, estimer la nouvelle température d'ébullition $T'_{\text{eb}}$ si la pression augmente de $1\%$ (soit $\Delta P = 1013.25 \text{ Pa}$).

Les bases sur les Transitions de Phase

Lorsqu'un corps pur change de phase (par exemple, de liquide à gaz), les deux phases coexistent en équilibre à une température $T$ et une pression $P$ données. L'ensemble de ces points ($P, T$) forme une "courbe de coexistence" sur le diagramme de phase.

1. Équilibre des phases
À l'équilibre, l'enthalpie libre molaire (ou potentiel chimique $\mu$) des deux phases est égale. Pour une transition liquide-vapeur : \[ \mu_{\text{liq}}(P, T) = \mu_{\text{vap}}(P, T) \] Toute variation de $P$ ou $T$ qui maintient l'équilibre doit satisfaire $d\mu_{\text{liq}} = d\mu_{\text{vap}}$.

2. Équation de Clapeyron
En développant la condition d'équilibre ($d\mu_{\text{liq}} = d\mu_{\text{vap}}$), on obtient la célèbre équation de Clapeyron. Elle donne la pente de la courbe de coexistence $P(T)$ : \[ \frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H}{T \Delta V} \] Où $\Delta H$ est l'enthalpie latente de transition (ex: $\Delta H_{\text{vap}}$) et $\Delta V$ est la variation de volume lors de la transition (ex: $V_{\text{vap}} - V_{\text{liq}}$). On peut aussi l'écrire avec les grandeurs massiques : \[ \frac{dP}{dT} = \frac{\Delta h}{T \Delta v} \]

Correction : Transition de Phase et Équation de Clapeyron

Question 1 : Convertir l'enthalpie latente $\Delta H_{\text{vap}}$ en $\text{J/kg}$.

Principe

Le concept physique ici est l'homogénéité des unités dans les équations. Les lois physiques fondamentales, comme l'équation de Clapeyron, sont établies dans un système d'unités cohérent, généralement le Système International (SI). Pour que l'équation donne un résultat correct, toutes les grandeurs doivent être exprimées dans les unités SI appropriées. L'énergie ($\Delta H$) doit être en Joules (J), pas en kiloJoules (kJ).

Mini-Cours

Le Système International d'unités (SI) est le système métrique moderne, standardisé au niveau mondial pour la science et la technologie. Il est basé sur sept unités fondamentales (mètre, kilogramme, seconde, Ampère, Kelvin, mole, candela). Toutes les autres unités (comme le Joule pour l'énergie, le Pascal pour la pression, etc.) sont dérivées de ces unités de base. L'utilisation de préfixes (kilo-, méga-, milli-, micro-, etc.) permet de manipuler des ordres de grandeur variés, mais les calculs fondamentaux doivent être faits avec les unités de base ou dérivées sans préfixe (sauf le kilogramme).

Remarque Pédagogique

C'est la première étape cruciale dans de nombreux problèmes de physique et d'ingénierie : l'analyse dimensionnelle et la conversion des unités. Prenez l'habitude de lister vos données et de les convertir *immédiatement* en unités SI avant même de penser à appliquer une formule. Cela évite 90% des erreurs d'ordre de grandeur !

Normes

Cette question relève de la manipulation des unités du Système International (SI), défini et maintenu par le Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) selon les résolutions de la Conférence Générale des Poids et Mesures (CGPM). Il n'y a pas de norme d'ingénierie spécifique ici, juste l'application correcte des préfixes SI.

Formule(s)

La conversion est basée sur la définition du préfixe "kilo".

Relation Kilo-Joule et Joule

1 \text{ kJ} = 1000 \text{ J} = 10^3 \text{ J}

Hypothèses

Aucune hypothèse physique n'est nécessaire pour une simple conversion d'unités. On suppose que la définition du préfixe "kilo" est universellement acceptée.

Donnée(s)

Nous partons de la valeur de l'enthalpie latente fournie dans l'énoncé de l'exercice.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Enthalpie latente de vaporisation	ΔHvap	2257	kJ/kg

Astuces

Pour passer de "kilo-X" à "X", multipliez par 1000. Pour passer de "X" à "kilo-X", divisez par 1000. C'est valable pour les Joules, les grammes (kg $\rightarrow$ g), les mètres (km $\rightarrow$ m), etc. (Attention : pour les unités au carré ou au cube, le facteur 1000 est aussi au carré ou au cube ! Ex: $1 m^3 = (100 cm)^3 = 10^6 cm^3$).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation conceptuelle de l'énergie en kiloJoules. Chaque bloc représente 1 kJ. La quantité totale est 2257 kJ/kg.

Énergie en KiloJoules (kJ)

Calcul(s)

Conversion d'unité : kJ $\rightarrow$ J

\begin{aligned} \Delta H_{\text{vap}} &= 2257 \text{ kJ/kg} \\ &= 2257 \times 1000 \text{ J/kg} \quad (\text{car } 1 \text{ kJ} = 1000 \text{ J}) \\ &= 2257000 \text{ J/kg} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation conceptuelle de la même quantité d'énergie, mais exprimée en Joules. Chaque petit point représente 1 J. Il y en a 1000 fois plus que de blocs kJ.

Énergie en Joules (J)

Réflexions

La valeur numérique $2257000$ est plus grande que $2257$, ce qui est logique car le Joule est une unité plus petite que le kiloJoule. L'enthalpie de vaporisation représente l'énergie nécessaire pour rompre les liaisons hydrogène maintenant les molécules d'eau ensemble dans la phase liquide ; c'est une quantité d'énergie considérable.

Points de vigilance

L'erreur la plus courante est d'oublier cette conversion et d'utiliser directement la valeur en kJ/kg dans l'équation de Clapeyron. Cela conduirait à une pente $dP/dT$ mille fois trop faible. Une autre erreur serait de diviser par 1000 au lieu de multiplier.

Points à retenir

La cohérence des unités (Système International) est fondamentale en physique.
L'unité SI d'énergie est le Joule (J).
Le préfixe "kilo" (k) signifie multiplier par $10^3$.
Toujours convertir les données en unités SI avant d'appliquer les formules physiques.

Le saviez-vous ?

L'enthalpie de vaporisation de l'eau est exceptionnellement élevée comparée à d'autres liquides de masse molaire similaire. C'est dû aux fortes liaisons hydrogène entre les molécules d'eau. Cette propriété a des conséquences majeures, notamment sur la régulation du climat terrestre (évaporation des océans) et sur les systèmes de refroidissement ( transpiration).

FAQ

Questions fréquentes sur la conversion d'unités.

Résultat Final

$\Delta H_{\text{vap}} = 2.257 \times 10^6 \text{ J/kg}$

A vous de jouer

La $\Delta H_{\text{vap}}$ de l'eau est aussi donnée comme $40.66 \text{ kJ/mol}$ à $100 \text{ } ^\circ\text{C}$. Sachant que la masse molaire de l'eau ($H_2O$) est d'environ $18.015 \text{ g/mol}$, retrouvez la valeur en $\text{J/kg}$ (arrondir à l'entier). Note : $1 \text{ mol} = 18.015 \times 10^{-3} \text{ kg}$.

Question 2 : Calculer la variation de volume massique $\Delta v = v_{\text{vap}} - v_{\text{liq}}$.

Principe

L'équation de Clapeyron relie la pente $dP/dT$ à la variation d'enthalpie $\Delta H$ et à la variation de volume $\Delta V$ (ou $\Delta v$ pour les grandeurs massiques) *lors de la transition*. Il est donc essentiel de calculer cette *différence* de volume entre l'état final (vapeur) et l'état initial (liquide) pour une même masse (ici, 1 kg).

Mini-Cours

Le volume massique ($v$) est une propriété intensive (elle ne dépend pas de la quantité de matière) définie comme le volume $V$ occupé par une masse $m$ : $v = V/m$. C'est l'inverse de la masse volumique $\rho = m/V$. Lors d'une transition de phase à $P$ et $T$ constants, la substance passe d'un volume massique $v_1$ à $v_2$. La variation $\Delta v = v_2 - v_1$ représente l'expansion ($\Delta v > 0$) ou la contraction ($\Delta v < 0$) de la matière par unité de masse durant ce changement d'état.

Remarque Pédagogique

Visualisez la transition : imaginez une seringue contenant 1 kg d'eau liquide à 100°C sous 1 atm. Son volume est très petit ($v_{liq}$). Si vous tirez le piston en maintenant la température et la pression (en fournissant de la chaleur), l'eau va se vaporiser et occupera un volume beaucoup plus grand ($v_{vap}$). $\Delta v$ est l'augmentation de volume dans la seringue. Attention à l'ordre : c'est toujours $v_{final} - v_{initial}$.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une définition thermodynamique standard issue des propriétés des substances pures.

Formule(s)

Définition de la variation de volume massique pour la vaporisation

\Delta v = v_{\text{vap}} - v_{\text{liq}}

Hypothèses

On suppose que les valeurs tabulées de $v_{\text{liq}}$ et $v_{\text{vap}}$ à 100°C et 1 atm sont les valeurs d'équilibre correctes pour l'eau pure.

Donnée(s)

On utilise les volumes massiques spécifiques de l'eau liquide et de la vapeur d'eau à 100°C et 1 atm, tirés de l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Volume massique (liquide)	vliq	0.001044	m³/kg
Volume massique (vapeur)	vvap	1.672	m³/kg

Astuces

Pour la vaporisation loin du point critique, $v_{\text{vap}}$ est typiquement des centaines ou des milliers de fois plus grand que $v_{\text{liq}}$. On peut souvent faire l'approximation $\Delta v \approx v_{\text{vap}}$ sans commettre une erreur importante. Ici $1.672$ vs $0.001044$, la différence est de $1.670956$. L'erreur relative en négligeant $v_{liq}$ est $\frac{0.001044}{1.671} \approx 0.0006$, soit 0.06%. C'est très faible.

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre la différence drastique de volume entre 1 kg d'eau liquide et 1 kg de vapeur à 100°C et 1 atm. Le volume du liquide est représenté par un très petit cube bleu, tandis que le volume de la vapeur est un grand cube rouge transparent. L'objectif du calcul est de quantifier la différence $\Delta v$.

Comparaison Qualitative des Volumes Massiques (Non à l'échelle)

Calcul(s)

Soustraction des volumes massiques

\begin{aligned} \Delta v &= v_{\text{vap}} - v_{\text{liq}} \\ &= 1.672 \text{ m}^3\text{/kg} - 0.001044 \text{ m}^3\text{/kg} \\ &= 1.670956 \text{ m}^3\text{/kg} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme que la différence de volume $\Delta v$ est presque entièrement due au volume de la vapeur. Ce schéma représente $\Delta v$ comme un volume (vert) qui est visuellement indiscernable du volume de la vapeur, avec une minuscule portion retirée pour $v_{liq}$.

Visualisation de la Variation de Volume Δv

Réflexions

Le fait que $\Delta v$ soit grand et positif pour la vaporisation de l'eau est crucial. Couplé à une enthalpie de vaporisation $\Delta H_{vap}$ également grande et positive, cela mène à une pente $dP/dT$ positive et significative, comme nous le verrons. Si $\Delta v$ était petit ou négatif, le comportement de la courbe d'ébullition serait très différent.

Points de vigilance

Assurez-vous que les deux volumes sont dans la même unité (ici, $m^3/kg$) avant de les soustraire. Une erreur fréquente est de mélanger des volumes massiques et des volumes molaires, ou d'utiliser des unités différentes ($cm^3/g$ vs $m^3/kg$). Vérifiez aussi l'ordre de la soustraction : toujours $v_{final} - v_{initial}$.

Points à retenir

La variation de volume $\Delta v$ est une composante essentielle de l'équation de Clapeyron.
Pour la vaporisation, $\Delta v = v_{\text{vap}} - v_{\text{liq}}$ est généralement grand et positif.
Le volume massique du liquide ($v_{liq}$) est souvent négligeable devant celui de la vapeur ($v_{vap}$).
L'unité SI pour le volume massique est $m^3/kg$.

Le saviez-vous ?

L'une des anomalies de l'eau est que pour la fusion (glace $\rightarrow$ liquide), $\Delta v = v_{\text{liq}} - v_{\text{solide}}$ est *négatif* (la glace est moins dense que l'eau liquide à 0°C). Cela a des conséquences importantes, comme le fait que la glace flotte et que le point de fusion diminue avec la pression.

FAQ

Questions sur la variation de volume.

Résultat Final

$\Delta v \approx 1.671 \text{ m}^3\text{/kg}$ (en gardant 4 chiffres significatifs)

A vous de jouer

Pour la fusion de la glace à 0°C, $v_{\text{solide}} \approx 0.001091 \, m^3/kg$ et $v_{\text{liq}} \approx 0.001000 \, m^3/kg$. Calculez $\Delta v_{\text{fusion}} = v_{\text{liq}} - v_{\text{solide}}$.

Question 3 : Écrire l'équation de Clapeyron pour la transition liquide-vapeur.

Principe

Il s'agit d'appliquer la formule générale de Clapeyron, qui décrit la pente de la courbe d'équilibre entre deux phases quelconques, au cas spécifique de la transition liquide $\rightarrow$ vapeur (vaporisation). Cela implique d'identifier correctement l'enthalpie et la variation de volume correspondant à cette transition particulière.

Mini-Cours

L'équation de Clapeyron est dérivée de l'égalité des potentiels chimiques ($\mu$) des deux phases à l'équilibre ($\mu_1(P,T) = \mu_2(P,T)$). Pour un déplacement infinitésimal $dP, dT$ le long de la courbe de coexistence, on a $d\mu_1 = d\mu_2$. En utilisant la relation fondamentale $d\mu = -s dT + v dP$ (où $s$ est l'entropie massique/molaire et $v$ le volume massique/molaire), on obtient $-s_1 dT + v_1 dP = -s_2 dT + v_2 dP$. En réarrangeant, on trouve $(v_2 - v_1) dP = (s_2 - s_1) dT$, soit $\frac{dP}{dT} = \frac{s_2 - s_1}{v_2 - v_1} = \frac{\Delta s}{\Delta v}$. Comme la transition se fait à température $T$ constante, la variation d'entropie est liée à l'enthalpie de transition par $\Delta s = \Delta h / T$. En substituant, on retrouve la forme usuelle : $\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta h}{T \Delta v}$.

Remarque Pédagogique

Identifiez bien chaque terme pour *cette transition spécifique* : $dP/dT$ est la pente de la courbe d'ébullition. $\Delta H_{\text{vap}}$ (ou $\Delta h_{vap}$) est l'enthalpie de vaporisation (chaleur nécessaire pour vaporiser 1kg ou 1 mole). $T_{\text{eb}}$ est la température d'ébullition *en Kelvin*. $\Delta v$ est la variation de volume massique $v_{\text{vap}} - v_{\text{liq}}$ lors de la vaporisation.

Formule(s)

Formule générale de Clapeyron (grandeurs massiques)

\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta h_{\alpha \rightarrow \beta}}{T (\ v_{\beta} - v_{\alpha})}

Application à la vaporisation (avec les symboles de l'énoncé)

\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H_{\text{vap}}}{T_{\text{eb}} (v_{\text{vap}} - v_{\text{liq}})}

Notation simplifiée (avec $\Delta v$ de Q2)

\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H_{\text{vap}}}{T_{\text{eb}} \Delta v}

Hypothèses

L'équation est écrite en supposant que la transition se produit à l'équilibre thermodynamique entre les phases liquide et vapeur.

Astuces

Pour mémoriser la formule, pensez à l'analyse dimensionnelle : $dP/dT$ ($Pa/K$). Le membre de droite est $\frac{\Delta H \text{ (J/kg)}}{T \text{ (K)} \times \Delta v \text{ (m}^3\text{/kg)}} = \frac{J}{K \cdot m^3}$. Comme $J = N \cdot m$ et $Pa = N/m^2$, on a $\frac{N \cdot m}{K \cdot m^3} = \frac{N}{K \cdot m^2} = Pa/K$. Les dimensions correspondent bien.

Schéma

Le diagramme de phase P-T est la représentation la plus pertinente. L'équation de Clapeyron décrit mathématiquement la pente de la courbe de coexistence entre le liquide et la vapeur.

Équation de Clapeyron et Diagramme P-T

Réflexions

Cette équation est l'une des plus importantes en thermodynamique des transitions de phase. Elle montre comment la pente de la courbe d'équilibre est déterminée par les propriétés thermodynamiques ($\Delta H$, $T$) et volumiques ($\Delta v$) des phases en présence. Elle est applicable à toute transition de phase du premier ordre (fusion, vaporisation, sublimation).

Points de vigilance

Ne pas confondre avec l'équation de Clausius-Clapeyron, qui est une forme *approximée* de l'équation de Clapeyron, valable spécifiquement pour la vaporisation ou la sublimation loin du point critique, et souvent utilisée sous forme intégrée. L'équation demandée ici est la forme différentielle exacte.

Points à retenir

L'équation de Clapeyron s'écrit $\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H}{T \Delta V}$ (ou avec grandeurs massiques/molaires).
Pour la vaporisation : $\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H_{vap}}{T_{eb} (v_{vap} - v_{liq})}$.
Elle est exacte le long de la courbe de coexistence.
Tous les termes doivent être dans des unités cohérentes (SI).

Le saviez-vous ?

L'équation de Clapeyron peut aussi être utilisée pour les transitions solide-solide (changements de structure cristalline). Dans ce cas, $\Delta H$ est l'enthalpie de transition allotropique et $\Delta v$ la variation de volume massique entre les deux phases solides.

Résultat Final

L'équation est : $\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H_{\text{vap}}}{T_{\text{eb}} \Delta v}$

Question 4 : Calculer la pente $\frac{dP}{dT}$ de la courbe de vaporisation à $100 \text{ } ^\circ\text{C}$.

Principe

Il s'agit d'effectuer l'application numérique de l'équation de Clapeyron établie à la question précédente, en utilisant les valeurs des grandeurs thermodynamiques ($\Delta H_{vap}$, $T_{eb}$, $\Delta v$) au point considéré (100°C, 1 atm) et en veillant à utiliser des unités SI cohérentes.

Mini-Cours

La pente $dP/dT$ est une propriété locale de la courbe de coexistence. Sa valeur dépend du point (T, P) où on l'évalue, car $\Delta H_{vap}$ et $\Delta v$ varient eux-mêmes le long de la courbe. Le calcul que nous effectuons ici donne la valeur *exacte* de la pente spécifiquement à $T = 373.15 K$ et $P = 101325 Pa$. Cette valeur représente la variation de pression de vapeur saturante pour une variation infinitésimale de température autour de ce point.

Remarque Pédagogique

Soyez méticuleux avec les unités lors de l'application numérique. Vérifiez que chaque terme est bien en unité SI : $\Delta H_{vap}$ en J/kg (Q1), $T_{eb}$ en K (énoncé), et $\Delta v$ en $m^3/kg$ (Q2). Le résultat sera alors directement en Pa/K, l'unité SI de la pente.

Normes

Pas de norme spécifique, application d'une loi physique avec des données expérimentales (ou tabulées).

Formule(s)

Équation de Clapeyron (Q3)

\frac{dP}{dT} = \frac{\Delta H_{\text{vap}}}{T_{\text{eb}} \Delta v}

Hypothèses

On utilise les valeurs des propriétés ($\Delta H_{vap}$, $T_{eb}$, $\Delta v$) au point d'ébullition standard, considérées comme exactes pour ce point spécifique.

Donnée(s)

Nous rassemblons les résultats numériques des questions précédentes et les données de l'énoncé, en unités SI.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Enthalpie de vaporisation	ΔHvap	2257000	J/kg
Variation de volume massique	Δv	1.670956	m³/kg
Température d'ébullition	Teb	373.15	K

Astuces

Avant de faire le calcul final, faites une estimation rapide de l'ordre de grandeur (comme vu à la Q4 précédente) : $\frac{2 \times 10^6}{400 \times 1.7} \approx 3000$ Pa/K. Cela permet de détecter une erreur grossière (par exemple, si vous oubliez la conversion de $\Delta H$ et trouvez une valeur 1000 fois plus petite).

Schéma (Avant les calculs)

Le schéma illustre le concept : on cherche la pente de la tangente (en rouge) à la courbe de coexistence liquide-vapeur (en bleu) au point spécifique ($T_{eb}, P_{atm}$). La valeur de cette pente est ce que l'on calcule.

Pente de la Courbe de Coexistence au Point d'Ébullition

Calcul(s)

Étape 1 : Substitution des valeurs SI dans l'équation de Clapeyron

\frac{dP}{dT} = \frac{2257000 \text{ J/kg}}{373.15 \text{ K} \times 1.670956 \text{ m}^3\text{/kg}}

Étape 2 : Calcul du produit au dénominateur

T_{\text{eb}} \times \Delta v = 373.15 \times 1.670956 \approx 623.60 \text{ K}\cdot\text{m}^3\text{/kg}

Étape 3 : Calcul final de la pente

\begin{aligned} \frac{dP}{dT} &= \frac{2257000}{623.60} \\ &\approx 3619.6 \text{ Pa/K} \end{aligned}

Vérification des unités : $J = N \cdot m$ et $Pa = N/m^2$. Donc $\frac{J}{K \cdot m^3} = \frac{N \cdot m}{K \cdot m^3} = \frac{N}{K \cdot m^2} = \frac{Pa}{K}$. Les unités sont correctes.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre la valeur numérique de la pente calculée en représentant le "triangle" formé par un petit déplacement $dT$ sur l'axe des T et le déplacement $dP$ correspondant le long de la tangente.

Valeur Calculée de la Pente dP/dT

Réflexions

La pente est positive, ce qui est attendu pour la vaporisation (il faut chauffer plus pour faire bouillir à pression plus élevée). Sa valeur ($\approx 3620 \text{ Pa/K}$ ou $0.0357 \text{ atm/K}$) quantifie cette dépendance. C'est une pente assez forte, montrant que la température d'ébullition de l'eau est relativement sensible aux variations de pression autour de 1 atm.

Points de vigilance

La principale source d'erreur est l'utilisation d'unités incorrectes, en particulier pour $\Delta H$ (kJ/kg au lieu de J/kg) ou $T$ (°C au lieu de K). Vérifiez également que $\Delta v$ est bien $v_{vap} - v_{liq}$ et non l'inverse. Une erreur de signe sur $\Delta v$ ou $\Delta H$ changerait le signe de la pente.

Points à retenir

Le calcul numérique de la pente $dP/dT$ nécessite $\Delta H$, $T$ et $\Delta v$ en unités SI.
La pente est positive pour la vaporisation de la plupart des substances, indiquant que $T_{eb}$ augmente avec $P$.
L'ordre de grandeur ($\sim 10^3$ Pa/K) est typique pour l'eau à ces conditions.

Le saviez-vous ?

Au sommet du Mont Blanc (altitude $\sim 4800$ m), la pression atmosphérique est d'environ $0.54$ atm ($\sim 55000$ Pa). En utilisant l'équation de Clapeyron (ou plutôt son intégrale, Clausius-Clapeyron), on peut calculer que l'eau y bout à environ 85°C !

FAQ

Questions sur la pente.

Résultat Final

La pente de la courbe de vaporisation est $\frac{dP}{dT} \approx 3620 \text{ Pa/K}$.

A vous de jouer

Si l'enthalpie de vaporisation était de $3000 \text{ kJ/kg}$ au lieu de $2257 \text{ kJ/kg}$ (toutes autres choses égales : $T_{eb}=373.15K$, $\Delta v=1.671 m^3/kg$), quelle serait la nouvelle pente $dP/dT$ en Pa/K (arrondir à l'entier) ?

Question 5 : Estimer la nouvelle $T'_{\text{eb}}$ si la pression augmente de $1\%$.

Principe

La dérivée $dP/dT$, calculée à la question précédente, représente le taux de variation instantané de $P$ par rapport à $T$. Pour de *petites* variations ($\Delta P$, $\Delta T$) autour d'un point ($P_0, T_0$) sur la courbe, on peut approximer la courbe par sa tangente. La relation devient alors $\Delta P \approx (dP/dT)_{P_0, T_0} \times \Delta T$. Connaissant la variation de pression $\Delta P$ (qui est donnée comme 1% de $P_{atm}$) et la pente $dP/dT$ au point initial, on peut inverser cette relation pour estimer la variation de température $\Delta T$ qui en résulte.

Mini-Cours

Cette méthode est une application directe de l'approximation linéaire d'une fonction via sa dérivée, issue du développement de Taylor au premier ordre : $f(x_0 + \Delta x) \approx f(x_0) + f'(x_0) \Delta x$. Ici, la fonction est $P(T)$ (ou inversement $T(P)$). Si on considère $P(T)$, alors $P(T_0 + \Delta T) \approx P(T_0) + \frac{dP}{dT}\vert_{T_0} \times \Delta T$. La variation de pression est $\Delta P = P(T_0 + \Delta T) - P(T_0)$. Ainsi, $\Delta P \approx \frac{dP}{dT}\vert_{T_0} \times \Delta T$. En inversant, on obtient $\Delta T \approx \frac{\Delta P}{dP/dT\vert_{T_0}}$. Cette approximation est très utilisée en physique et en ingénierierie pour estimer l'effet de petites perturbations.

Remarque Pédagogique

L'approximation linéaire revient à considérer que sur un petit intervalle, la courbe de coexistence se comporte comme une droite (la tangente). La pente de cette droite est $dP/dT$. Si on connaît la variation sur l'axe vertical ($\Delta P$), on peut déduire la variation sur l'axe horizontal ($\Delta T$) en utilisant la pente : $\Delta T = \Delta P / \text{pente}$.

Normes

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une technique mathématique d'approximation basée sur le calcul différentiel.

Formule(s)

On utilise l'approximation linéaire et la définition de la nouvelle température.

Approximation de la variation de température

\Delta T \approx \frac{\Delta P}{dP/dT}

Calcul de la nouvelle température d'ébullition

T'_{\text{eb}} = T_{\text{eb}} + \Delta T

Hypothèses

L'hypothèse principale est que la variation de pression $\Delta P = 1\%$ est suffisamment petite pour que la pente $dP/dT$ puisse être considérée comme constante sur l'intervalle $\Delta T$ correspondant. On suppose donc que la courbe P(T) est approximativement linéaire autour du point ($T_{eb}, P_{atm}$).

Donnée(s)

On utilise la pression initiale, la variation relative de pression, la température initiale et la pente calculée précédemment.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Pression initiale	Patm	101325	Pa
Variation relative P	%ΔP	+1% (0.01)	-
Pente	dP/dT	3619.6	Pa/K
Température initiale	Teb	373.15	K

Astuces

Vérifiez le signe du résultat. Puisque la pente $dP/dT$ est positive et que l'on a une augmentation de pression ($\Delta P > 0$), alors $\Delta T = \Delta P / (dP/dT)$ doit être positif. La température d'ébullition doit augmenter, ce qui est physiquement cohérent (c'est le principe de l'autocuiseur).

Schéma (Avant les calculs)

Ce schéma illustre l'utilisation de la tangente (dont on connaît la pente $dP/dT$) pour estimer $\Delta T$ à partir d'une variation connue $\Delta P$. On part du point ($T_{eb}, P_{atm}$) et on "monte" de $\Delta P$ sur l'axe P, puis on suit horizontalement jusqu'à la tangente pour trouver le $T'_{eb}$ correspondant.

Estimation de ΔT à partir de ΔP via la Pente

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la variation de pression $\Delta P$

\begin{aligned} \Delta P &= 1\% \times P_{atm} \\ &= 0.01 \times 101325 \text{ Pa} \\ &= 1013.25 \text{ Pa} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la variation de température $\Delta T$ (via l'approximation linéaire)

\begin{aligned} \Delta T &\approx \frac{\Delta P}{dP/dT} \\ &= \frac{1013.25 \text{ Pa}}{3619.6 \text{ Pa/K}} \\ &\approx 0.2799 \text{ K} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la nouvelle température d'ébullition $T'_{\text{eb}}$ en Kelvin

\begin{aligned} T'_{\text{eb}} &= T_{\text{eb}} + \Delta T \\ &= 373.15 \text{ K} + 0.2799 \text{ K} \\ &\approx 373.43 \text{ K} \end{aligned}

Étape 4 : Conversion de la nouvelle température en degrés Celsius (pour information)

\begin{aligned} T'_{\text{eb}} (°C) &= T'_{\text{eb}}(K) - 273.15 \\ &= 373.43 - 273.15 \\ &\approx 100.28 \text{ } ^\circ\text{C} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma montre le résultat du calcul : le point final estimé ($T'_{eb}, P_{atm}+\Delta P$) sur la droite tangente, avec les valeurs numériques trouvées pour $\Delta T$ et $T'_{eb}$.

Résultat de l'Estimation de T'eb

Réflexions

L'augmentation de température calculée ($0.28 \text{ K}$ ou $0.28 \text{ } ^\circ\text{C}$) est faible mais significative. Elle illustre concrètement le lien entre pression et température d'ébullition décrit par la pente de Clapeyron. Ce résultat est cohérent avec l'expérience quotidienne : l'eau bout un peu au-dessus de 100°C dans un autocuiseur (pression > 1 atm) et un peu en dessous de 100°C en altitude (pression < 1 atm).

Points de vigilance

L'approximation $\Delta P / \Delta T \approx dP/dT$ n'est valable que parce que $\Delta P$ (1% de $P_{atm}$) est considéré comme petit. Si on voulait calculer la température d'ébullition à 2 atm ($\Delta P \approx 101325$ Pa), cette approximation ne serait plus précise car la pente $dP/dT$ change notablement entre 1 et 2 atm.

Points à retenir

La pente $dP/dT$ issue de l'équation de Clapeyron permet d'estimer les variations de température de transition ($\Delta T$) pour de *petites* variations de pression ($\Delta P$) via l'approximation linéaire : $\Delta T \approx \Delta P / (dP/dT)$.
Pour la vaporisation de l'eau, $T_{eb}$ augmente avec $P$.
Une augmentation de pression de 1% autour de 1 atm augmente $T_{eb}$ d'environ 0.28 K.

Le saviez-vous ?

Le fonctionnement de l'autocuiseur (ou cocotte-minute) est basé sur ce principe. En empêchant la vapeur de s'échapper, la pression à l'intérieur augmente (jusqu'à environ 2 atm), ce qui élève la température d'ébullition de l'eau (autour de 120°C). À cette température plus élevée, les aliments cuisent beaucoup plus rapidement.

FAQ

Questions sur l'approximation et l'application.

Résultat Final

La nouvelle température d'ébullition estimée est $T'_{\text{eb}} \approx 373.43 \text{ K}$ (soit $100.28 \text{ } ^\circ\text{C}$).

A vous de jouer

En utilisant la même pente ($dP/dT \approx 3620 \text{ Pa/K}$), estimez la température d'ébullition (en Kelvin, 2 décimales) si la pression *diminue* de 2000 Pa par rapport à la pression atmosphérique standard ($P_{atm} = 101325$ Pa).

Outil Interactif : Simulateur de Pente de Clapeyron

Explorez comment l'enthalpie de vaporisation ($\Delta H$) et la variation de volume ($\Delta v$) influencent la pente $\frac{dP}{dT}$. Nous fixerons la température à $T = 373.15 \text{ K}$ pour cette simulation.

Paramètres d'Entrée

Enthalpie $\Delta H_{\text{vap}}$ ($\text{kJ/kg}$) 2257 kJ/kg

Variation de Volume $\Delta v$ ($\text{m}^3\text{/kg}$) 1.671 m³/kg

Résultats Clés (à $T=373.15 \text{ K}$)

Pente $dP/dT$ (Pa/K) -

$\Delta T$ pour $\Delta P = 1000 \text{ Pa}$ (K) -

Glossaire

Transition de Phase: Un changement de l'état physique d'un système (par exemple, de solide à liquide (fusion) ou de liquide à gaz (vaporisation)) qui se produit à une température et une pression spécifiques.
Équation de Clapeyron: Une relation thermodynamique fondamentale qui donne la pente ($dP/dT$) de la courbe de coexistence entre deux phases sur un diagramme Pression-Température.
Enthalpie Latente ($\Delta H$): Aussi appelée chaleur latente. C'est l'énergie (chaleur) absorbée ou libérée par une substance lors d'une transition de phase, à température et pression constantes.
Volume Massique ($v$): Le volume occupé par unité de masse d'une substance ($v = V/m$). C'est l'inverse de la masse volumique ($\rho$).
Point Triple: Le point unique sur un diagramme de phase où les trois phases (solide, liquide et gaz) d'une substance coexistent en équilibre thermodynamique.

Transition de Phase et Équation de Clapeyron

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude : Vaporisation de l'Eau

Fiche Technique

Diagramme de Phase (Pression vs. Température)

Questions à traiter

Les bases sur les Transitions de Phase

Correction : Transition de Phase et Équation de Clapeyron

Question 1 : Convertir l'enthalpie latente \(\Delta H_{\text{vap}}\) en \(\text{J/kg}\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Énergie en KiloJoules (kJ)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Énergie en Joules (J)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 2 : Calculer la variation de volume massique \(\Delta v = v_{\text{vap}} - v_{\text{liq}}\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Comparaison Qualitative des Volumes Massiques (Non à l'échelle)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Visualisation de la Variation de Volume Δv

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Question 3 : Écrire l'équation de Clapeyron pour la transition liquide-vapeur.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Hypothèses

Astuces

Schéma

Équation de Clapeyron et Diagramme P-T

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

Résultat Final

Question 4 : Calculer la pente \(\frac{dP}{dT}\) de la courbe de vaporisation à \(100 \text{ } ^\circ\text{C}\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Pente de la Courbe de Coexistence au Point d'Ébullition

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Valeur Calculée de la Pente dP/dT

Réflexions

Points de vigilance