Irréversibilité dans un Échangeur Thermique

Contexte : L'Échangeur thermique à contre-courantAppareil permettant de transférer de la chaleur entre deux fluides sans les mélanger, où les fluides circulent en sens opposés..

Un ingénieur doit concevoir un système pour refroidir de l'huile moteur usagée. On utilise un échangeur de chaleur à contre-courant, où l'huile chaude cède sa chaleur à de l'eau froide. Cet exercice vise à analyser l'efficacité et l'irréversibilité de ce processus en appliquant les premier et second principes de la thermodynamique. Le calcul de l'entropie créée est fondamental pour quantifier les pertes et optimiser les systèmes énergétiques.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer le Second Principe de la thermodynamique à un système ouvert (l'échangeur) et à quantifier son irréversibilité via le calcul de la création d'entropie.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer le Premier Principe (bilan d'enthalpie) à un échangeur calorifugé.
Calculer une température de sortie inconnue.
Appliquer le Second Principe (bilan d'entropie) pour un système ouvert en régime permanent.
Calculer la création d'entropie (\(\dot{S}_{\text{créée}}\)) et comprendre sa signification physique (irréversibilité).

Données de l'étude

On étudie un échangeur de chaleur à contre-courant fonctionnant en régime permanent. De l'huile chaude doit être refroidie par de l'eau froide. L'échangeur est supposé parfaitement calorifugé (pas de pertes de chaleur vers l'extérieur).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Fluide 1 (Chaud)	Huile
Fluide 2 (Froid)	Eau
Type d'échangeur	Contre-courant
Hypothèse principale	Parfaitement calorifugé

Schéma de l'échangeur à contre-courant

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Débit massique (Huile)	\(\dot{m}_{\text{h}}\)	2.0	kg/s
Capacité Cal. (Huile)	\(c_{\text{p,h}}\)	2.1	kJ/kg·K
Temp. Entrée (Huile)	\(T_{\text{h,e}}\)	120	°C
Temp. Sortie (Huile)	\(T_{\text{h,s}}\)	60	°C
Débit massique (Eau)	\(\dot{m}_{\text{c}}\)	0.8	kg/s
Capacité Cal. (Eau)	\(c_{\text{p,c}}\)	4.18	kJ/kg·K
Temp. Entrée (Eau)	\(T_{\text{c,e}}\)	20	°C

Questions à traiter

Calculer la puissance thermique échangée, \(\dot{Q}\).
Calculer la température de sortie de l'eau, \(T_{\text{c,s}}\).
Calculer la variation du taux d'entropie du flux d'huile, \(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\).
Calculer la variation du taux d'entropie du flux d'eau, \(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\).
Déterminer le taux de création d'entropie total, \(\dot{S}_{\text{créée}}\), et conclure sur l'irréversibilité du processus.

Les bases sur les Échangeurs Thermiques

Pour résoudre cet exercice, nous avons besoin des deux principes de la thermodynamique appliqués aux systèmes ouverts en régime permanent. Les fluides sont supposés incompressibles et les capacités thermiques massiques \(c_p\) sont constantes.

1. Premier Principe (Bilan d'Enthalpie)
Pour un échangeur calorifugé (\(\dot{Q}_{\text{ext}} = 0\)) et sans travail mécanique (\(\dot{W} = 0\)), le bilan d'énergie en régime permanent se réduit à la conservation de l'enthalpie. La chaleur cédée par le fluide chaud est entièrement absorbée par le fluide froid. \[ \dot{Q}_{\text{h}} + \dot{Q}_{\text{c}} = 0 \] Où \(\dot{Q} = \dot{m} (h_{\text{s}} - h_{\text{e}}) = \dot{m} c_p (T_{\text{s}} - T_{\text{e}})\). La formule complète devient : \[ \dot{m}_{\text{h}} c_{\text{p,h}} (T_{\text{h,s}} - T_{\text{h,e}}) + \dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}} (T_{\text{c,s}} - T_{\text{c,e}}) = 0 \]

2. Second Principe (Bilan d'Entropie)
Pour un système ouvert en régime permanent, le bilan d'entropie s'écrit : \[ \frac{dS_{\text{système}}}{dt} = 0 = \sum_{\text{entrées}} \dot{m} s - \sum_{\text{sorties}} \dot{m} s + \sum_k \frac{\dot{Q}_k}{T_k} + \dot{S}_{\text{créée}} \] Pour notre échangeur (système) calorifugé (\(\dot{Q}_k = 0\)), le bilan se simplifie : \[ 0 = (\dot{m}_{\text{h}} s_{\text{h,e}} + \dot{m}_{\text{c}} s_{\text{c,e}}) - (\dot{m}_{\text{h}} s_{\text{h,s}} + \dot{m}_{\text{c}} s_{\text{c,s}}) + \dot{S}_{\text{créée}} \] Ce qui donne : \[ \dot{S}_{\text{créée}} = (\dot{m}_{\text{h}} s_{\text{h,s}} - \dot{m}_{\text{h}} s_{\text{h,e}}) + (\dot{m}_{\text{c}} s_{\text{c,s}} - \dot{m}_{\text{c}} s_{\text{c,e}}) = \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}} \] Avec la variation d'entropie d'un flux : \(\Delta \dot{S} = \dot{m} (s_{\text{s}} - s_{\text{e}}) = \dot{m} c_p \ln\left(\frac{T_{\text{s}}}{T_{\text{e}}}\right)\).

Correction : Irréversibilité et Création d'Entropie dans un Échangeur Thermique

Question 1 : Calculer la puissance thermique échangée, \(\dot{Q}\).

Principe

La puissance thermique échangée (\(\dot{Q}\)) correspond à la quantité d'énergie transférée sous forme de chaleur par unité de temps. Pour la trouver, nous pouvons calculer l'énergie cédée par le fluide chaud (l'huile), car nous disposons de toutes les informations nécessaires (débit, \(c_p\), et températures d'entrée et de sortie).

Mini-Cours

Selon le Premier Principe de la thermodynamique appliqué à un fluide en écoulement (système ouvert) en régime permanent, en négligeant les variations d'énergie cinétique et potentielle, la puissance thermique échangée par le fluide est égale à la variation de son débit d'enthalpie (\(\dot{H}\)). Pour un fluide incompressible avec une capacité thermique massique \(c_p\) constante, cela se simplifie : \[ \dot{Q} = \Delta \dot{H} = \dot{m} (h_{\text{s}} - h_{\text{e}}) = \dot{m} c_p (T_{\text{s}} - T_{\text{e}}) \] Où \(s\) est la sortie (sortie) et \(e\) est l'entrée (entrée).

Remarque Pédagogique

Dans un problème d'échangeur, commencez toujours par identifier le fluide pour lequel vous avez le plus d'informations. Ici, c'est l'huile : nous connaissons son débit, sa nature (donc son \(c_p\)) et ses deux températures. Nous pouvons donc calculer directement la chaleur qu'il cède.

Normes

Le calcul est basé sur le Premier Principe de la thermodynamique (Conservation de l'Énergie) appliqué à un système ouvert en régime permanent.

Formule(s)

La puissance thermique cédée par l'huile (fluide chaud, "h") est :

\dot{Q}_{\text{h}} = \dot{m}_{\text{h}} c_{\text{p,h}} (T_{\text{h,s}} - T_{\text{h,e}})

Hypothèses

Pour appliquer cette formule simplifiée, nous posons les hypothèses suivantes :

L'échangeur fonctionne en régime permanent (les débits et températures ne varient pas dans le temps).
L'huile est un fluide incompressible.
La capacité thermique massique \(c_{\text{p,h}}\) est constante sur la plage de température.
Les variations d'énergie cinétique et potentielle du fluide sont négligeables.
Il n'y a pas de changement de phase.

Donnée(s)

Toutes les données suivantes proviennent directement de la table "Données de l'étude" dans l'énoncé de l'exercice :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Débit massique (Huile)	\(\dot{m}_{\text{h}}\)	2.0	kg/s	Énoncé
Capacité Cal. (Huile)	\(c_{\text{p,h}}\)	2.1	kJ/kg·K	Énoncé
Temp. Entrée (Huile)	\(T_{\text{h,e}}\)	120	°C	Énoncé
Temp. Sortie (Huile)	\(T_{\text{h,s}}\)	60	°C	Énoncé

Astuces

Pour un calcul de variation de température \(\Delta T = T_{\text{s}} - T_{\text{e}}\), la différence est numériquement la même en degrés Celsius (°C) ou en Kelvin (K). \[ \Delta T = (60 \text{ °C} - 120 \text{ °C}) = -60 \text{ °C} \] \[ \Delta T = (60+273.15 \text{ K}) - (120+273.15 \text{ K}) = 333.15 \text{ K} - 393.15 \text{ K} = -60 \text{ K} \] Vous n'avez donc pas besoin de convertir en Kelvin pour cette étape.

Schéma (Avant les calculs)

On modélise le flux d'huile comme un système ouvert (volume de contrôle) qui traverse l'échangeur.

Bilan 1er Principe sur le fluide chaud

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer la variation de température \(\Delta T_{\text{h}}\)

On utilise la définition de la variation de température, \(\Delta T = T_{\text{sortie}} - T_{\text{entrée}}\), avec les valeurs de la section 'Donnée(s)'.

\Delta T_{\text{h}} = T_{\text{h,s}} - T_{\text{h,e}} \] \[ = 60 \text{ °C} - 120 \text{ °C} \] \[ = -60 \text{ K}

Étape 2 : Calculer la puissance \(\dot{Q}_{\text{h}}\)

On applique la formule \(\dot{Q}_{\text{h}} = \dot{m}_{\text{h}} c_{\text{p,h}} \Delta T_{\text{h}}\) en insérant les valeurs des sections 'Donnée(s)' et 'Étape 1'.

\begin{aligned} \dot{Q}_{\text{h}} &= \dot{m}_{\text{h}} \times c_{\text{p,h}} \times \Delta T_{\text{h}} \\ \dot{Q}_{\text{h}} &= (2.0 \text{ kg/s}) \times (2.1 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}) \times (-60 \text{ K}) \\ \dot{Q}_{\text{h}} &= -252 \text{ kJ/s} \\ \dot{Q}_{\text{h}} &= -252 \text{ kW} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul confirme que le flux d'huile cède de la chaleur.

Résultat : Puissance cédée par l'huile

Réflexions

Le résultat \(\dot{Q}_{\text{h}}\) est négatif (\(-252 \text{ kW}\)). Cela a un sens physique : le signe "moins" indique que le fluide (l'huile) *cède* de la chaleur au système (l'échangeur). La puissance thermique *échangée*, \(\dot{Q}\), est la valeur absolue de cette quantité, car elle représente le flux d'énergie transféré.

Points de vigilance

Faites attention au sens du \(\Delta T\). C'est toujours \((T_{\text{sortie}} - T_{\text{entrée}})\). Un fluide qui refroidit aura un \(\Delta T\) négatif et donc un \(\dot{Q}\) négatif (il cède de la chaleur). Un fluide qui chauffe aura un \(\Delta T\) positif et un \(\dot{Q}\) positif (il reçoit de la chaleur).

Points à retenir

La formule de la puissance thermique pour un fluide est \(\dot{Q} = \dot{m} c_p (T_{\text{s}} - T_{\text{e}})\).
\(\dot{Q} < 0\) signifie que le fluide cède de la chaleur.
\(\dot{Q} > 0\) signifie que le fluide reçoit de la chaleur.

Le saviez-vous ?

Le "kW" (kiloWatt) est une unité de *puissance*, c'est-à-dire une énergie par unité de temps (1 kW = 1 kJ/s). C'est pourquoi on parle de *puissance* thermique (un débit d'énergie) et non d'*énergie* thermique (une quantité, en kJ).

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La puissance thermique échangée (cédée par l'huile) est \(\dot{Q} = |\dot{Q}_{\text{h}}| = 252 \text{ kW}\).

A vous de jouer

Que deviendrait la puissance échangée si le débit d'huile \(\dot{m}_{\text{h}}\) était de 3 kg/s (toutes autres choses égales) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Concept Clé : Bilan d'enthalpie (1er Principe).
Formule Essentielle : \(\dot{Q} = \dot{m} c_p (T_{\text{s}} - T_{\text{e}})\).
Point de Vigilance : Le signe de \(\dot{Q}\) a un sens physique (cédé ou reçu).

Question 2 : Calculer la température de sortie de l'eau, \(T_{\text{c,s}}\).

Principe

Nous utilisons le Premier Principe appliqué à l'ensemble de l'échangeur. L'énoncé précise que l'échangeur est *parfaitement calorifugé*, ce qui signifie qu'il n'y a aucune perte de chaleur vers l'extérieur. Par conséquent, toute la chaleur cédée par l'huile (\(\dot{Q}_{\text{h}}\), calculée en Q1) est entièrement absorbée par l'eau (\(\dot{Q}_{\text{c}}\)).

Mini-Cours

Le bilan d'énergie global sur l'échangeur (notre système) s'écrit : \[ \sum \dot{Q}_{\text{fluides}} = \dot{Q}_{\text{ext}} \] Puisque \(\dot{Q}_{\text{ext}} = 0\) (calorifugé), on a : \[ \dot{Q}_{\text{h}} + \dot{Q}_{\text{c}} = 0 \] Cela implique que la puissance reçue par l'eau est l'opposé de celle cédée par l'huile : \[ \dot{Q}_{\text{c}} = -\dot{Q}_{\text{h}} \] En combinant avec la formule \(\dot{Q}_{\text{c}} = \dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}} (T_{\text{c,s}} - T_{\text{c,e}})\), on peut isoler la température inconnue \(T_{\text{c,s}}\).

Remarque Pédagogique

C'est l'étape de "fermeture" du bilan. L'énergie est conservée. Ce qui est perdu par l'un est gagné par l'autre. Nous utilisons la puissance \(\dot{Q}\) calculée à la Q1 comme un pont pour trouver l'information manquante sur le second fluide.

Normes

Le calcul est basé sur le Premier Principe de la thermodynamique (Conservation de l'Énergie) pour un système global calorifugé.

Formule(s)

Bilan global

\dot{Q}_{\text{c}} = -\dot{Q}_{\text{h}} = -(-252 \text{ kW}) = +252 \text{ kW}

Formule pour l'eau (fluide froid, "c")

\dot{Q}_{\text{c}} = \dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}} (T_{\text{c,s}} - T_{\text{c,e}})

Isolation de \(T_{\text{c,s}}\)

T_{\text{c,s}} = T_{\text{c,e}} + \frac{\dot{Q}_{\text{c}}}{\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}}

Hypothèses

L'hypothèse cruciale ici est que l'échangeur est parfaitement calorifugé (\(\dot{Q}_{\text{ext}} = 0\)). Les autres hypothèses de la Q1 (régime permanent, fluides incompressibles, \(c_p\) constants) s'appliquent aussi à l'eau.

Donnée(s)

Les données proviennent de sources différentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Puissance (Eau)	\(\dot{Q}_{\text{c}}\)	+252	kW	Résultat Q1 (avec \(\dot{Q}_{\text{c}} = -\dot{Q}_{\text{h}}\))
Débit massique (Eau)	\(\dot{m}_{\text{c}}\)	0.8	kg/s	Énoncé
Capacité Cal. (Eau)	\(c_{\text{p,c}}\)	4.18	kJ/kg·K	Énoncé
Temp. Entrée (Eau)	\(T_{\text{c,e}}\)	20	°C	Énoncé

Astuces

Le terme \(\dot{m} c_p\) est souvent appelé "débit de capacité thermique" (en kW/K). Il est utile de le calculer séparément, car il représente la puissance nécessaire pour élever ce débit de fluide de 1 Kelvin (ou 1°C).

Schéma (Avant les calculs)

On modélise le flux d'eau comme un système ouvert (volume de contrôle) qui reçoit de la chaleur.

Bilan 1er Principe sur le fluide froid

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer le produit \(\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}\) (capacité thermique du débit)

On substitue les valeurs de \(\dot{m}_{\text{c}}\) et \(c_{\text{p,c}}\) de la section 'Donnée(s)'.

\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}} \] \[ = (0.8 \text{ kg/s}) \times (4.18 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K})\] \[ = 3.344 \text{ kW/K}

Étape 2 : Calculer l'élévation de température \(\Delta T_{\text{c}}\)

On utilise la formule \(\dot{Q}_{\text{c}} = (\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}) \times \Delta T_{\text{c}}\), que l'on réarrange pour isoler \(\Delta T_{\text{c}}\). On insère \(\dot{Q}_{\text{c}}\) (du 'Bilan global' dans 'Formule(s)') et le résultat de l'Étape 1.

\begin{aligned} \Delta T_{\text{c}} &= \frac{\dot{Q}_{\text{c}}}{\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}} \\ \Delta T_{\text{c}} &= \frac{252 \text{ kW}}{3.344 \text{ kW/K}} \\ \Delta T_{\text{c}} &\approx 75.36 \text{ K} \end{aligned}

Étape 3 : Calculer \(T_{\text{c,s}}\)

On repart de la définition \(\Delta T_{\text{c}} = T_{\text{c,s}} - T_{\text{c,e}}\) et on isole \(T_{\text{c,s}}\). On insère \(T_{\text{c,e}}\) (de 'Donnée(s)') et \(\Delta T_{\text{c}}\) (de 'Étape 2').

\begin{aligned} T_{\text{c,s}} &= T_{\text{c,e}} + \Delta T_{\text{c}} \\ T_{\text{c,s}} &= 20 \text{ °C} + 75.36 \text{ °C} \\ T_{\text{c,s}} &= 95.36 \text{ °C} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le bilan énergétique de l'échangeur calorifugé est maintenant complet.

Bilan Énergétique Global (Résultat Q1 & Q2)

Réflexions

La température de l'eau augmente de 20°C à 95.36°C. Ce résultat est physiquement cohérent : 1. \(T_{\text{c,s}} > T_{\text{c,e}}\) (l'eau se réchauffe). 2. \(T_{\text{c,s}} < T_{\text{h,e}}\) (la sortie froide 95.36°C est inférieure à l'entrée chaude 120°C). C'est une condition nécessaire pour que le transfert de chaleur soit possible.

Points de vigilance

Assurez-vous que les unités sont cohérentes. \(\dot{Q}_{\text{c}}\) est en kW (soit kJ/s) et \(c_{\text{p,c}}\) est en kJ/kg·K. Le produit \(\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}\) sera en (kg/s) \(\times\) (kJ/kg·K) = kJ/s·K = kW/K. Le rapport \(\dot{Q}_{\text{c}} / (\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}})\) sera donc en kW / (kW/K) = K. Le résultat est une variation de température, qui peut être ajoutée indifféremment en K ou en °C.

Points à retenir

Pour un échangeur calorifugé, la conservation de l'énergie s'écrit \(\dot{Q}_{\text{chaud}} + \dot{Q}_{\text{froid}} = 0\).
Cela se traduit par : \(|\dot{Q}_{\text{cédé}}| = |\dot{Q}_{\text{reçu}}|\).

Le saviez-vous ?

Dans un échangeur à *contre-courant* (comme ici), la température de sortie du fluide froid (\(T_{\text{c,s}} = 95.36\text{°C}\)) peut être *supérieure* à la température de sortie du fluide chaud (\(T_{\text{h,s}} = 60\text{°C}\)). C'est ce qui rend ce type d'échangeur plus efficace qu'un modèle à *co-courant*.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La température de sortie de l'eau est \(T_{\text{c,s}} \approx 95.36 \text{ °C}\).

A vous de jouer

Que deviendrait \(T_{\text{c,s}}\) si on doublait le débit d'eau (\(\dot{m}_{\text{c}} = 1.6 \text{ kg/s}\)) ? (La puissance \(\dot{Q}_{\text{c}}\) reste 252 kW).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Concept Clé : Bilan d'énergie global (calorifugé).
Formule Essentielle : \(\dot{Q}_{\text{h}} + \dot{Q}_{\text{c}} = 0\).
Point de Vigilance : \(\dot{Q}_{\text{reçu}}\) est positif, \(\dot{Q}_{\text{cédé}}\) est négatif.

Question 3 : Calculer la variation du taux d'entropie du flux d'huile, \(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\).

Principe

Nous appliquons le Second Principe de la thermodynamique, spécifiquement le calcul de la variation d'entropie pour un flux de fluide incompressible dont la température change. Cette valeur mesure la variation du "désordre" du fluide huile seul.

Mini-Cours

La variation de l'entropie massique (\(s\), en kJ/kg·K) pour un liquide ou un solide supposé incompressible (\(dv \approx 0\)) est donnée par la relation : \[ ds = \frac{c_p}{T} dT \] En intégrant entre l'entrée (\(e\)) et la sortie (\(s\)), on obtient : \[ s_{\text{s}} - s_{\text{e}} = c_p \ln\left(\frac{T_{\text{s}}}{T_{\text{e}}}\right) \] Pour obtenir le *taux* de variation d'entropie (\(\Delta \dot{S}\), en kW/K), on multiplie par le débit massique \(\dot{m}\).

Remarque Pédagogique

Nous passons du Premier Principe (conservation de l'énergie) au Second Principe (principe d'évolution et d'irréversibilité). L'entropie est la grandeur clé. Notez que nous calculons la variation d'entropie *du fluide*, et non la création d'entropie (qui viendra à la Q5).

Normes

Le calcul est basé sur la définition de la variation d'entropie pour un fluide incompressible (une conséquence du Second Principe).

Formule(s)

\Delta \dot{S}_{\text{h}} = \dot{m}_{\text{h}} (s_{\text{h,s}} - s_{\text{h,e}}) = \dot{m}_{\text{h}} c_{\text{p,h}} \ln\left(\frac{T_{\text{h,s}}}{T_{\text{h,e}}}\right)

Hypothèses

Les mêmes hypothèses que la Q1 (régime permanent, incompressible, \(c_p\) constant) sont nécessaires pour utiliser cette formule intégrée.

Donnée(s)

Les données de débit et de \(c_p\) proviennent de l'énoncé. Les températures proviennent de l'énoncé et sont converties en Kelvin, ce qui est obligatoire pour ce calcul.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Débit massique (Huile)	\(\dot{m}_{\text{h}}\)	2.0	kg/s	Énoncé
Capacité Cal. (Huile)	\(c_{\text{p,h}}\)	2.1	kJ/kg·K	Énoncé
Temp. Entrée (Huile)	\(T_{\text{h,e}}\)	393.15	K	Conversion (120°C + 273.15)
Temp. Sortie (Huile)	\(T_{\text{h,s}}\)	333.15	K	Conversion (60°C + 273.15)

Conversion de \(T_{\text{h,e}}\) (Température Entrée Huile)

On utilise la formule de conversion \(T(\text{K}) = T(\text{°C}) + 273.15\). Cette conversion est obligatoire pour les calculs d'entropie.

T_{\text{h,e}} = 120 \text{ °C} + 273.15 = 393.15 \text{ K}

Conversion de \(T_{\text{h,s}}\) (Température Sortie Huile)

On applique la même formule de conversion.

T_{\text{h,s}} = 60 \text{ °C} + 273.15 = 333.15 \text{ K}

Astuces

Un fluide qui refroidit (\(T_{\text{s}} < T_{\text{e}}\)) aura un rapport \((T_{\text{s}}/T_{\text{e}}) < 1\). Le logarithme d'un nombre < 1 est toujours négatif. Vous devez donc vous attendre à un résultat \(\Delta \dot{S}_{\text{h}} < 0\).

Schéma (Avant les calculs)

On modélise le flux d'huile comme un système ouvert (volume de contrôle) pour calculer sa variation d'entropie.

Bilan Entropique sur le fluide chaud

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer le produit \(\dot{m}_{\text{h}} c_{\text{p,h}}\) (capacité thermique du débit)

On substitue les valeurs \(\dot{m}_{\text{h}}\) et \(c_{\text{p,h}}\) de la section 'Donnée(s)'.

\dot{m}_{\text{h}} c_{\text{p,h}} \] \[ = (2.0 \text{ kg/s}) \times (2.1 \text{ kJ/kg} \cdot \text{K}) \] \[ = 4.2 \text{ kW/K}

Étape 2 : Calculer \(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\)

On applique la formule \(\Delta \dot{S}_{\text{h}} = (\dot{m}_{\text{h}} c_{\text{p,h}}) \times \ln(T_{\text{h,s}} / T_{\text{h,e}})\). On insère le résultat de l'Étape 1 et les températures en Kelvin de la section 'Donnée(s)'.

\begin{aligned} \Delta \dot{S}_{\text{h}} &= (\dot{m}_{\text{h}} c_{\text{p,h}}) \times \ln\left(\frac{T_{\text{h,s}}}{T_{\text{h,e}}}\right) \\ \Delta \dot{S}_{\text{h}} &= (4.2 \text{ kW/K}) \times \ln\left(\frac{333.15 \text{ K}}{393.15 \text{ K}}\right) \\ \Delta \dot{S}_{\text{h}} &= (4.2 \text{ kW/K}) \times \ln(0.8474) \\ \Delta \dot{S}_{\text{h}} &= (4.2 \text{ kW/K}) \times (-0.1656) \\ \Delta \dot{S}_{\text{h}} &\approx -0.6955 \text{ kW/K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est négatif, signifiant que l'entropie est "retirée" du flux d'huile.

Résultat : Variation d'entropie de l'huile

Réflexions

Le signe est négatif (\(-0.696 \text{ kW/K}\)). C'est physiquement logique : le fluide chaud se refroidit, ses particules s'agitent moins, donc son désordre (son entropie) diminue. De l'entropie est "retirée" du flux d'huile en même temps que la chaleur.

Points de vigilance

ERREUR CLASSIQUE FATALE : Les calculs d'entropie impliquant un logarithme de températures (\(\ln(T_{\text{s}}/T_{\text{e}})\)) ou un transfert de chaleur (\(\dot{Q}/T\)) doivent TOUJOURS utiliser une échelle de température absolue. Vous devez impérativement convertir les degrés Celsius (°C) en Kelvin (K) avant de faire le calcul. \[ T(\text{K}) = T(\text{°C}) + 273.15 \] Utiliser les °C (ex: \(\ln(60/120)\)) donnera un résultat complètement faux.

Points à retenir

La variation d'entropie d'un flux est \(\Delta \dot{S} = \dot{m} c_p \ln(T_{\text{s}} / T_{\text{e}})\).
Cette variation peut être négative (si \(T_{\text{s}} < T_{\text{e}}\)) ou positive (si \(T_{\text{s}} > T_{\text{e}}\)).
Les températures DOIVENT être en Kelvin.

Le saviez-vous ?

L'entropie est parfois décrite comme "la flèche du temps". Le Second Principe (qui dit que l'entropie de l'univers augmente) est la seule loi fondamentale de la physique qui distingue le passé du futur. Tous les processus irréversibles (mélange, frottement, transfert de chaleur) créent de l'entropie et ne sont pas réversibles dans le temps.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La variation du taux d'entropie du flux d'huile est \(\Delta \dot{S}_{\text{h}} \approx -0.696 \text{ kW/K}\).

A vous de jouer

Calculez \(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\) si la température de sortie de l'huile était de 80°C au lieu de 60°C. (T_e = 393.15 K, T_s = 80+273.15 = 353.15 K)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Concept Clé : Variation d'entropie d'un flux.
Formule Essentielle : \(\Delta \dot{S} = \dot{m} c_p \ln(T_{\text{s}} / T_{\text{e}})\).
Point de Vigilance : **KELVIN OBLIGATOIRE** pour le \(\ln\).

Question 4 : Calculer la variation du taux d'entropie du flux d'eau, \(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\).

Principe

Le principe est identique à celui de la question 3. Nous calculons la variation d'entropie pour le fluide froid (l'eau) en utilisant ses températures d'entrée et de sortie, qui sont maintenant toutes connues (grâce à la Q2).

Mini-Cours

Nous réutilisons la même relation que pour la question 3, mais appliquée au fluide froid ("c") : \[ \Delta \dot{S}_{\text{c}} = \dot{m}_{\text{c}} (s_{\text{c,s}} - s_{\text{c,e}}) = \dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}} \ln\left(\frac{T_{\text{c,s}}}{T_{\text{c,e}}}\right) \] Cette valeur représentera l'augmentation du "désordre" du flux d'eau, qui reçoit la chaleur cédée par l'huile.

Remarque Pédagogique

C'est le deuxième volet de notre bilan d'entropie. Nous avons calculé la "perte" d'entropie de l'huile ; nous calculons maintenant le "gain" d'entropie de l'eau. La comparaison des deux nous donnera l'irréversibilité.

Normes

Le calcul est basé sur la définition de la variation d'entropie pour un fluide incompressible (une conséquence du Second Principe).

Formule(s)

\Delta \dot{S}_{\text{c}} = \dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}} \ln\left(\frac{T_{\text{c,s}}}{T_{\text{c,e}}}\right)

Hypothèses

Les mêmes hypothèses que la Q1 (régime permanent, incompressible, \(c_p\) constant) sont nécessaires pour utiliser cette formule intégrée.

Donnée(s)

Les données proviennent de l'énoncé, de la Q2, et de conversions en Kelvin :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Cap. Therm. Débit	\(\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}\)	3.344	kW/K	Calcul Q2, Étape 1
Temp. Entrée (Eau)	\(T_{\text{c,e}}\)	293.15	K	Conversion (20°C Énoncé + 273.15)
Temp. Sortie (Eau)	\(T_{\text{c,s}}\)	368.51	K	Conversion (Résultat Q2 + 273.15)

Astuces

Ici, le fluide se réchauffe (\(T_{\text{c,s}} > T_{\text{c,e}}\)), le rapport \((T_{\text{c,s}}/T_{\text{c,e}})\) sera donc supérieur à 1. Le logarithme d'un nombre > 1 est toujours positif. Vous devez donc vous attendre à un résultat \(\Delta \dot{S}_{\text{c}} > 0\).

Schéma (Avant les calculs)

On modélise le flux d'eau comme un système ouvert (volume de contrôle) pour calculer sa variation d'entropie.

Bilan Entropique sur le fluide froid

Calcul(s)

Étape 1 : Utiliser le produit \(\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}\) (de Q2)

On réutilise la valeur de \(\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}\) calculée à l'Étape 1 de la Question 2, qui provient des données de l'énoncé.

\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}} \] \[ = 3.344 \text{ kW/K}

Étape 2 : Calculer \(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\)

On applique la formule \(\Delta \dot{S}_{\text{c}} = (\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}) \times \ln(T_{\text{c,s}} / T_{\text{c,e}})\). On insère le résultat de l'Étape 1 et les températures en Kelvin de la section 'Donnée(s)'.

\begin{aligned} \Delta \dot{S}_{\text{c}} &= (\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}) \times \ln\left(\frac{T_{\text{c,s}}}{T_{\text{c,e}}}\right) \\ \Delta \dot{S}_{\text{c}} &= (3.344 \text{ kW/K}) \times \ln\left(\frac{368.51 \text{ K}}{293.15 \text{ K}}\right) \\ \Delta \dot{S}_{\text{c}} &= (3.344 \text{ kW/K}) \times \ln(1.2570) \\ \Delta \dot{S}_{\text{c}} &= (3.344 \text{ kW/K}) \times (+0.2287) \\ \Delta \dot{S}_{\text{c}} &\approx +0.7649 \text{ kW/K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est positif, signifiant que de l'entropie est "ajoutée" au flux d'eau.

Résultat : Variation d'entropie de l'eau

Réflexions

Le signe est positif, comme attendu. Le fluide froid se réchauffe, ses particules gagnent en agitation thermique, et son désordre (entropie) augmente. Notez que \(|\Delta \dot{S}_{\text{c}}| \approx 0.765 \text{ kW/K}\) est supérieur à \(|\Delta \dot{S}_{\text{h}}| \approx 0.696 \text{ kW/K}\). L'eau a gagné *plus* d'entropie que l'huile n'en a perdu. C'est cette différence qui est au cœur de la question 5.

Points de vigilance

N'oubliez pas d'utiliser la température \(T_{\text{c,s}}\) calculée à la Q2. Une erreur à la Q2 se répercutera ici. Et, encore une fois, utilisez les Kelvin !

Points à retenir

Le calcul est identique à celui du fluide chaud, mais avec les données du fluide froid.
Le \(\Delta \dot{S}\) d'un fluide chauffé est positif.

Le saviez-vous ?

La capacité thermique de l'eau (\(4.18 \text{ kJ/kg·K}\)) est particulièrement élevée. C'est pourquoi elle est un excellent "fluide caloporteur" : elle peut absorber ou céder beaucoup d'énergie pour une faible variation de température. C'est aussi ce qui régule le climat terrestre.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

La variation du taux d'entropie du flux d'eau est \(\Delta \dot{S}_{\text{c}} \approx +0.765 \text{ kW/K}\).

A vous de jouer

Recalculez \(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\) en utilisant le \(T_{\text{c,s}}\) de la Q2 "A vous de jouer" (T_e=293.15 K, T_s=57.68+273.15=330.83 K). \(\dot{m}_{\text{c}} c_{\text{p,c}}\) vaut \(2 \times 3.344 = 6.688 \text{ kW/K}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Concept Clé : Variation d'entropie d'un flux chauffé.
Formule Essentielle : \(\Delta \dot{S} = \dot{m} c_p \ln(T_{\text{s}} / T_{\text{e}})\).
Point de Vigilance : Utiliser la bonne \(T_{\text{c,s}}\) et toujours les Kelvin.

Question 5 : Déterminer le taux de création d'entropie total, \(\dot{S}_{\text{créée}}\).

Principe

Le taux de création d'entropie \(\dot{S}_{\text{créée}}\) (aussi noté \(\dot{S}_{\text{gen}}\) pour génération) quantifie l'irréversibilité d'un processus. Pour un système isolé comme notre échangeur calorifugé, il s'agit simplement de la somme des variations d'entropie de toutes ses composantes (ici, les deux flux).

Mini-Cours

Le bilan entropique complet pour le système "échangeur" en régime permanent est : \[ \frac{dS_{\text{système}}}{dt} = \sum \dot{S}_{\text{entrantes}} - \sum \dot{S}_{\text{sortantes}} + \sum_k \frac{\dot{Q}_k}{T_k} + \dot{S}_{\text{créée}} \] Ici :

\(dS_{\text{système}}/dt = 0\) (régime permanent).
\(\sum \dot{Q}_k/T_k = 0\) (calorifugé, pas d'échange de chaleur avec l'extérieur).
\(\sum \dot{S}_{\text{entrantes}} - \sum \dot{S}_{\text{sortantes}} = (\dot{S}_{\text{h,e}} + \dot{S}_{\text{c,e}}) - (\dot{S}_{\text{h,s}} + \dot{S}_{\text{c,s}}) = -(\Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}})\).

Le bilan devient : \(0 = -(\Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}}) + \dot{S}_{\text{créée}}\). D'où la formule : \(\dot{S}_{\text{créée}} = \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}}\).

Remarque Pédagogique

C'est l'aboutissement de l'exercice. Nous additionnons les deux variations d'entropie (l'une négative, l'autre positive). Le résultat, s'il est positif, représente l'entropie qui a été "créée de nulle part" par le simple fait que le transfert de chaleur s'est produit de manière imparfaite (irréversible).

Normes

Le calcul est l'application directe du Second Principe de la Thermodynamique à un système isolé (l'échangeur calorifugé).

Formule(s)

\dot{S}_{\text{créée}} = \Delta \dot{S}_{\text{univers}} = \Delta \dot{S}_{\text{système}} = \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}}

Hypothèses

L'hypothèse principale est que le système "échangeur" est isolé (calorifugé), donc \(\Delta \dot{S}_{\text{univers}} = \Delta \dot{S}_{\text{système}}\).

Donnée(s)

On utilise les résultats finaux des deux questions précédentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Var. Entropie Huile	\(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\)	-0.6955	kW/K	Résultat Q3 (valeur non arrondie)
Var. Entropie Eau	\(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\)	+0.7649	kW/K	Résultat Q4 (valeur non arrondie)

Astuces

Le résultat doit être positif. S'il est négatif, vous avez une erreur de calcul. S'il est nul, le processus serait "réversible", ce qui est physiquement impossible pour un transfert de chaleur réel avec un \(\Delta T\) non nul.

Schéma (Avant les calculs)

On modélise l'échangeur complet comme un système isolé pour trouver l'entropie créée.

Bilan Entropique Global (Système Isolé)

Calcul(s)

On applique la formule du bilan d'entropie \(\dot{S}_{\text{créée}} = \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}}\). On insère les résultats finaux (non arrondis) des Questions 3 et 4.

\begin{aligned} \dot{S}_{\text{créée}} &= \Delta \dot{S}_{\text{h}} + \Delta \dot{S}_{\text{c}} \\ \dot{S}_{\text{créée}} &= (-0.6955 \text{ kW/K}) + (+0.7649 \text{ kW/K}) \\ \dot{S}_{\text{créée}} &= +0.0694 \text{ kW/K} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le bilan entropique montre que l'entropie "sortante" des flux est supérieure à l'"entrante", la différence étant l'entropie créée.

Résultat : Bilan Entropique Global

Réflexions

Le résultat est positif (\(+0.0694 \text{ kW/K}\)). Cela confirme que le transfert de chaleur est un processus irréversible, ce qui est toujours le cas dans la réalité. L'irréversibilité provient du fait que la chaleur est transférée à travers un écart de température (\(\Delta T\)) fini entre les deux fluides. À chaque point de l'échangeur, l'huile est plus chaude que l'eau. Ce \(\Delta T\) "moteur" du transfert est aussi la source de la création d'entropie.

Points de vigilance

Selon le Second Principe de la Thermodynamique, \(\dot{S}_{\text{créée}}\) doit toujours être positive (\(> 0\)) pour un processus réel (irréversible) ou nulle (\(= 0\)) pour un processus idéal et réversible. Si votre calcul donne \(\dot{S}_{\text{créée}} < 0\), vous avez fait une erreur de calcul (probablement une erreur de K/°C ou une erreur de signe) ou le processus que vous étudiez est physiquement impossible.

Points à retenir

\(\Delta S_{\text{fluide chaud}}\) est négative.
\(\Delta S_{\text{fluide froid}}\) est positive.
L'augmentation d'entropie du fluide froid est *plus grande* en magnitude que la diminution d'entropie du fluide chaud. La différence est l'entropie "créée" par l'irréversibilité du transfert.
\(\dot{S}_{\text{créée}} \ge 0\) est le critère d'existence d'un processus.

Le saviez-vous ?

L'objectif de l'ingénierie est de *minimiser* la création d'entropie pour un transfert de chaleur donné. Un échangeur "parfait" (réversible) aurait \(\dot{S}_{\text{créée}} = 0\). Cela nécessiterait une surface d'échange infinie pour que le transfert de chaleur se fasse avec un \(\Delta T\) infiniment petit (\(dT \to 0\)) à chaque point.

FAQ

Questions fréquentes pour cette étape :

Résultat Final

Le taux de création d'entropie est \(\dot{S}_{\text{créée}} \approx +0.069 \text{ kW/K}\). Le processus est irréversible.

A vous de jouer

Calculez \(\dot{S}_{\text{créée}}\) pour le cas "A vous de jouer" de la Q4 (\(\Delta \dot{S}_{\text{h}}\) de Q3 et \(\Delta \dot{S}_{\text{c}}\) de Q4-jouer). \(\Delta \dot{S}_{\text{h}} = -0.696 \text{ kW/K}\) (inchangé) et \(\Delta \dot{S}_{\text{c}} \approx +0.825 \text{ kW/K}\).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Concept Clé : Irréversibilité et création d'entropie.
Formule Essentielle : \(\dot{S}_{\text{créée}} = \sum \Delta \dot{S}_{\text{flux}}\) (pour un système calorifugé).
Point de Vigilance : \(\dot{S}_{\text{créée}}\) doit être \(\ge 0\).

Outil Interactif : Impact des Températures

Utilisez le simulateur pour voir comment la température de sortie de l'huile (\(T_{\text{h,s}}\)) et la température d'entrée de l'eau (\(T_{\text{c,e}}\)) influencent la création d'entropie \(\dot{S}_{\text{créée}}\).

Paramètres d'Entrée

Temp. Sortie Huile \(T_{\text{h,s}}\) (°C) (Fixe \(T_{\text{h,e}}\)=120°C) 60 °C

Temp. Entrée Eau \(T_{\text{c,e}}\) (°C) 20 °C

Résultats Clés

Temp. Sortie Eau \(T_{\text{c,s}}\) (°C) -

Création d'Entropie \(\dot{S}_{\text{créée}}\) (kW/K) -

Glossaire

Entropie (\(S\)): Une fonction d'état thermodynamique qui est une mesure du désordre d'un système. Sa variation est liée aux échanges de chaleur et à l'irréversibilité.
Irréversibilité: Caractéristique d'un processus réel (ex: transfert de chaleur avec un \(\Delta T\) fini) qui ne peut pas revenir en arrière spontanément. Elle est quantifiée par la création d'entropie.
Premier Principe: Principe de conservation de l'énergie. Pour un système, \(\Delta E = W + Q\). En régime permanent, le bilan d'enthalpie est souvent utilisé.
Second Principe: Principe d'évolution. Il stipule que l'entropie de l'univers (système + alentours) ne peut qu'augmenter (\(\Delta S_{\text{univers}} = S_{\text{créée}} \ge 0\)) pour tout processus.