Équilibre Liquide-Vapeur d'un Mélange Binaire Idéal

Contexte : Le Mélange Binaire IdéalUn mélange de deux composants (A et B) où les interactions A-A, B-B et A-B sont considérées comme identiques. Il suit la loi de Raoult..

La séparation des mélanges liquides est une opération fondamentale en génie chimique, notamment via la distillation. Comprendre comment les phases liquide et vapeur coexistent à l'équilibre est la première étape pour concevoir une colonne de distillation. Nous étudions ici le cas le plus simple : un mélange binaire idéal (par exemple, Benzène-Toluène) à température constante, régi par la Loi de RaoultLoi stipulant que la pression de vapeur partielle d'un composant dans un mélange idéal est égale à sa fraction molaire liquide multipliée par sa pression de vapeur saturante à l'état pur..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer la pression totale et la composition de la vapeur à l'équilibre pour un mélange binaire, et à interpréter le diagramme isotherme (P-x-y) qui est la "carte d'identité" de l'équilibre de ce mélange.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre et appliquer la Loi de Raoult pour la phase liquide.
Comprendre et appliquer la Loi de Dalton pour la phase vapeur.
Calculer la pression totale d'équilibre et la composition de la vapeur (\(y_i\)) à partir de la composition du liquide (\(x_i\)).
Construire et interpréter un diagramme d'équilibre isotherme (Pression en fonction des compositions).

Données de l'étude

On considère un mélange binaire idéal des composants A (Benzène) et B (Toluène) à une température constante de 90 °C.

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Température de l'étude (T)	90 °C
Type de mélange	Idéal (suit la loi de Raoult)

Système à l'équilibre Liquide-Vapeur

Composant	Pression de vapeur saturante à 90°C	Symbole	Valeur	Unité
A (Benzène)	Pression de vapeur saturante du Benzène pur	\(P_A^*\)	136.1	kPa
B (Toluène)	Pression de vapeur saturante du Toluène pur	\(P_B^*\)	54.2	kPa

Questions à traiter

Rappeler l'expression de la pression partielle de chaque composant (A et B) dans la phase vapeur, selon la Loi de Raoult (en fonction de la composition du liquide \(x_i\)).
Donner l'expression de la pression totale \(P_{\text{tot}}\) en fonction de la fraction molaire liquide \(x_A\) uniquement.
Calculer la pression totale \(P_{\text{tot}}\) et la composition de la phase vapeur (\(y_A\) et \(y_B\)) lorsque la phase liquide a une composition \(x_A = 0.6\).
Calculer la composition de la phase liquide (\(x_A\) et \(x_B\)) et de la phase vapeur (\(y_A\) et \(y_B\)) lorsque le mélange est à l'équilibre sous une pression totale \(P_{\text{tot}} = 101.3\) kPa.
Quel composant est le plus volatil ? Justifiez.

Les bases sur l'Équilibre Liquide-Vapeur Idéal

Pour un mélange binaire idéal, l'équilibre entre la phase liquide et la phase vapeur est décrit par deux lois fondamentales, que nous appliquons à température constante (isotherme).

1. Pression de Vapeur Saturante (\(P_i^*\))
C'est la pression à laquelle un composant pur \(i\) bout à une température \(T\) donnée. Un composant avec un \(P_i^*\) élevé est dit très volatilCapacité d'une substance à s'évaporer. Un composé très volatil a une pression de vapeur saturante élevée à une température donnée. (il s'évapore facilement).

2. Loi de Raoult (pour le Liquide Idéal)
Elle relie la composition de la phase liquide (\(x_i\), fraction molaire) à la pression partielle (\(P_i\)) que ce composant exerce dans la phase vapeur. \[ P_i = x_i \cdot P_i^* \] Où :

\(P_i\) est la pression partielle du composant \(i\) dans la vapeur.
\(x_i\) est la fraction molaire du composant \(i\) dans le liquide.
\(P_i^*\) est la pression de vapeur saturante du composant \(i\) pur à la température T.

3. Loi de Dalton (pour la Vapeur Idéale)
Elle stipule que la pression totale \(P_{\text{tot}}\) d'un mélange gazeux est la somme des pressions partielles de ses composants. Elle relie aussi la composition de la vapeur (\(y_i\)) à la pression. \[ P_{\text{tot}} = \sum P_i = P_A + P_B \] Et la pression partielle est aussi définie par : \[ P_i = y_i \cdot P_{\text{tot}} \] Où \(y_i\) est la fraction molaire du composant \(i\) dans la vapeur.

Correction : Équilibre Liquide-Vapeur : Mélange Binaire Idéal

Question 1 : Expression des pressions partielles (Loi de Raoult)

Principe

La loi de Raoult est le point de départ de tout calcul d'équilibre liquide-vapeur idéal. Elle affirme que la "contribution" de chaque composant à la pression de la vapeur est proportionnelle à sa quantité dans le liquide (\(x_i\)) et à sa tendance naturelle à s'évaporer (\(P_i^*\)).

Mini-Cours

La loi de Raoult suppose que les molécules de A et B interagissent entre elles (A-B) de la même manière qu'elles interagissent avec leurs propres molécules (A-A et B-B). C'est l'hypothèse du mélange idéal, qui fonctionne bien pour des molécules de structures similaires comme le benzène et le toluène (deux hydrocarbures aromatiques).

Remarque Pédagogique

C'est une question de rappel de cours. L'objectif est de s'assurer que la formule fondamentale est connue avant de l'appliquer. C'est le pilier sur lequel repose tout l'exercice.

Formule(s)

On applique la formule générale \(P_i = x_i \cdot P_i^*\) à nos deux composants A (Benzène) et B (Toluène).

Pression partielle du Benzène (A)

P_A = x_A \cdot P_A^*

Pression partielle du Toluène (B)

P_B = x_B \cdot P_B^*

Hypothèses

L'application de cette loi suppose que :

Le mélange liquide est idéal.
La température T est constante (ce qui rend \(P_A^*\) et \(P_B^*\) constants).

Astuces

Pour mémoriser la loi : La pression partielle (\(P_i\)) est "ce qu'on a" (\(x_i\)) multiplié par "ce que ça veut faire" (\(P_i^*\)).

Schéma

Le schéma de l'énoncé illustre déjà parfaitement le concept : une phase liquide de composition \(x_i\) est en équilibre avec une phase vapeur où les composants exercent des pressions partielles \(P_i\).

Système à l'équilibre (Rappel)

Réflexions

Ces équations montrent que la pression partielle de A (\(P_A\)) est maximale lorsque le liquide est pur en A (\(x_A=1 \Rightarrow P_A = P_A^*\)) et nulle lorsque le liquide ne contient pas de A (\(x_A=0 \Rightarrow P_A = 0\)).

Points de vigilance

Ne confondez pas \(P_A\) (pression partielle dans le mélange, une variable) avec \(P_A^*\) (pression de vapeur saturante du composant A pur, une constante à T donnée). \(P_A\) est (presque) toujours inférieure à \(P_A^*\), sauf si le liquide est du A pur (\(x_A=1\)).

Le saviez-vous ?

Cette loi a été établie par le chimiste français François-Marie Raoult. Pour les solutions non-idéales (la majorité des cas réels), on introduit un "coefficient d'activité" \(\gamma_i\), et la loi devient \(P_i = x_i \gamma_i P_i^*\).

FAQ

Questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

Les expressions des pressions partielles sont :
\(P_A = x_A \cdot P_A^*\)
\(P_B = x_B \cdot P_B^*\)

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 1 :

Loi de Raoult : \(P_i = x_i \cdot P_i^*\)
\(P_i\) = Pression partielle (vapeur)
\(x_i\) = Fraction molaire (liquide)
\(P_i^*\) = Pression de vapeur saturante (pur)

Question 2 : Expression de la pression totale \(P_{\text{tot}}\) en fonction de \(x_A\)

Principe

On combine deux lois : la Loi de Dalton (la pression totale est la somme des pressions partielles) et la Loi de Raoult (que nous venons d'écrire à la Q1). L'objectif est d'obtenir une relation directe entre la pression totale \(P_{\text{tot}}\) et la composition du liquide \(x_A\).

Mini-Cours

1. Loi de Dalton : La pression totale d'un mélange de gaz (vapeur) est la somme des pressions partielles. \(P_{\text{tot}} = P_A + P_B\).
2. Relation binaire : Dans un mélange binaire, les fractions molaires s'additionnent à 1. Cela est vrai pour la phase liquide (\(x_A + x_B = 1\)) et la phase vapeur (\(y_A + y_B = 1\)). Nous utiliserons ici la relation liquide.

Remarque Pédagogique

C'est l'étape clé pour tracer la "courbe d'ébullition" (ou courbe de bulle) sur un diagramme P-x-y. Cette équation nous dit à quelle pression un liquide de composition \(x_A\) commence à bouillir à la température T.

Normes

Il ne s'agit pas de normes industrielles, mais de lois fondamentales de la thermodynamique des mélanges idéaux (Dalton et Raoult).

Formule(s)

Nous allons combiner quatre formules de base, que nous présentons individuellement :

Formule 1 : Loi de Dalton

La pression totale est la somme des pressions partielles.

P_{\text{tot}} = P_A + P_B

Formule 2 : Loi de Raoult pour A

La pression partielle de A dépend de sa fraction liquide (Source : Q1).

P_A = x_A \cdot P_A^*

Formule 3 : Loi de Raoult pour B

La pression partielle de B dépend de sa fraction liquide (Source : Q1).

P_B = x_B \cdot P_B^*

Formule 4 : Relation Binaire

La somme des fractions molaires liquides est égale à 1.

x_A + x_B = 1 \Rightarrow x_B = 1 - x_A

Hypothèses

Pour que cette dérivation soit valide, nous supposons que :

Le mélange liquide est idéal (permet d'utiliser Raoult).
La phase vapeur se comporte comme un gaz parfait (permet d'utiliser Dalton).
Le système est à l'équilibre et la température T est constante.

Donnée(s)

Il s'agit d'une dérivation littérale. Les valeurs de \(P_A^*\) et \(P_B^*\) sont traitées comme des constantes connues.

Astuces

Le but est de tout exprimer en fonction d'une seule variable, \(x_A\). Le moyen d'y parvenir est de substituer \(P_A\), \(P_B\) et \(x_B\).

Schéma (Avant les calculs)

On part de deux concepts : l'additivité des pressions (Dalton) et la contribution de chaque liquide (Raoult).

Concept de la dérivation

Calcul(s)

On part de la loi de Dalton et on substitue les termes étape par étape.

Étape 1 : Loi de Dalton (Point de départ)

P_{\text{tot}} = P_A + P_B

Étape 2 : Substitution avec la Loi de Raoult (Q1)

P_{\text{tot}} = (x_A \cdot P_A^*) + (x_B \cdot P_B^*)

Étape 3 : Remplacer \(x_B\) par \((1 - x_A)\) (Relation binaire)

On substitue \(x_B = 1 - x_A\) dans l'équation de l'étape 2 :

\begin{aligned} P_{\text{tot}} &= x_A \cdot P_A^* + (1 - x_A) \cdot P_B^* \end{aligned}

On distribue P_B^* :

\begin{aligned} P_{\text{tot}} &= x_A \cdot P_A^* + P_B^* - x_A \cdot P_B^* \end{aligned}

On factorise x_A :

\begin{aligned} \Rightarrow P_{\text{tot}} &= x_A (P_A^* - P_B^*) + P_B^* \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est une équation linéaire. Graphiquement, cela correspond à la "Courbe de Bulle" : une droite qui relie \(P_B^*\) (quand \(x_A=0\)) à \(P_A^*\) (quand \(x_A=1\)).

Résultat : La Courbe de Bulle (Linéaire)

Réflexions

Cette équation finale est très importante. Elle est de la forme \(y = m \cdot x + b\), où \(y = P_{\text{tot}}\), \(x = x_A\), la pente \(m = (P_A^* - P_B^*)\) et l'ordonnée à l'origine \(b = P_B^*\). Elle montre que, pour un mélange idéal, la pression d'ébullition \(P_{\text{tot}}\) est une fonction linéaire de la composition du liquide \(x_A\).

Points de vigilance

Ne pas confondre \(P_B^*\) (la constante, pression saturante du Toluène pur) avec \(P_B\) (la variable, pression partielle du Toluène dans le mélange, qui dépend de \(x_B\)).

Le saviez-vous ?

Cette droite \(P_{\text{tot}} = f(x_A)\) est appelée la Courbe de Bulle (ou courbe d'ébullition). C'est la frontière au-dessus de laquelle (à plus haute pression) le mélange est entièrement liquide. Si vous baissez la pression, la première bulle de vapeur apparaît lorsque vous touchez cette droite.

FAQ

Questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

L'expression de la pression totale est : \(P_{\text{tot}} = x_A (P_A^* - P_B^*) + P_B^*\)

A vous de jouer

La formule \(P_{\text{tot}} = P_A^* + x_B(P_B^* - P_A^*)\) est-elle aussi correcte ?
(Réponse : Oui, c'est une forme mathématiquement équivalente si on exprime en fonction de \(x_B\)).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 2 :

Combinaison : Dalton + Raoult.
Formule Clé : \(P_{\text{tot}} = x_A (P_A^* - P_B^*) + P_B^*\)
Signification : \(P_{\text{tot}}\) est une fonction linéaire de \(x_A\).

Question 3 : Calcul de \(P_{\text{tot}}\) et \(y_A\) pour \(x_A = 0.6\)

Principe

Nous allons d'abord utiliser l'équation de la Pression Totale (trouvée en Q2) pour une application numérique avec les valeurs de l'énoncé. Ensuite, nous trouverons la composition de la vapeur (\(y_A\)) en utilisant la définition combinée de Dalton et Raoult.

Mini-Cours

La fraction molaire en vapeur \(y_A\) est définie par la loi de Dalton comme le rapport de la pression partielle \(P_A\) sur la pression totale \(P_{\text{tot}}\). \[ y_A = \frac{P_A}{P_{\text{tot}}} \] Et comme (Loi de Raoult) \(P_A = x_A P_A^*\), on obtient la formule de calcul direct : \[ y_A = \frac{x_A \cdot P_A^*}{P_{\text{tot}}} \] Cette formule est fondamentale pour trouver la composition de la vapeur à l'équilibre.

Remarque Pédagogique

C'est la première fois dans cet exercice que nous allons voir numériquement l'écart entre la composition du liquide (\(x_A\)) et celle de la vapeur (\(y_A\)). C'est cet écart (\(y_A - x_A\)) qui est le "moteur" de la séparation par distillation.

Normes

On applique les lois de la thermodynamique (Raoult, Dalton).

Formule(s)

Formule 1 (de Q2)

P_{\text{tot}} = x_A (P_A^* - P_B^*) + P_B^*

Formule 2 (du Mini-Cours)

y_A = \frac{x_A \cdot P_A^*}{P_{\text{tot}}}

Hypothèses

On suppose que le mélange est idéal et que la vapeur est un gaz parfait, comme dans l'énoncé.

Donnée(s)

Nous utilisons les données de l'énoncé (tableau 2) et la composition liquide donnée dans la question 3.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Fraction molaire liquide Benzène	\(x_A\)	0.6	-	Question 3
Fraction molaire liquide Toluène	\(x_B\)	\(1 - 0.6 = 0.4\)	-	Calculé
Pression sat. Benzène	\(P_A^*\)	136.1	kPa	Énoncé
Pression sat. Toluène	\(P_B^*\)	54.2	kPa	Énoncé

Astuces

Calculez \(P_{\text{tot}}\) d'abord. Ensuite, calculez \(y_A\) en utilisant la formule \(y_A = (x_A P_A^*) / P_{\text{tot}}\). Enfin, vérifiez toujours que \(y_A > x_A\) (puisque A est le plus volatil). Cela sert d'auto-vérification.

Schéma (Avant les calculs)

On connaît la composition liquide \(x_A = 0.6\). On cherche la pression \(P_{\text{tot}}\) à laquelle ce liquide bout, et la composition \(y_A\) de la première bulle de vapeur.

Problème posé (Q3)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la Pression Totale \(P_{\text{tot}}\) (application de Q2)

\begin{aligned} P_{\text{tot}} &= 0.6 \times (136.1 - 54.2) + 54.2 \ \end{aligned}

Calcul de la parenthèse :

\begin{aligned} P_{\text{tot}} &= 0.6 \times (81.9) + 54.2 \ \end{aligned}

Calcul de la multiplication :

\begin{aligned} P_{\text{tot}} &= 49.14 + 54.2 \ \end{aligned}

Résultat :

\begin{aligned} \Rightarrow P_{\text{tot}} = 103.34 \text{ kPa} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la composition vapeur \(y_A\)

\begin{aligned} y_A &= \frac{0.6 \times 136.1}{103.34} \end{aligned}

Calcul du numérateur (qui est \( P*_A \)) :

\begin{aligned} y_A &= \frac{81.66}{103.34} \end{aligned}

Calcul de la division :

\begin{aligned} \Rightarrow y_A &\approx 0.790 \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de la composition vapeur \(y_B\)

La somme des fractions molaires en vapeur doit être égale à 1 : \(y_A + y_B = 1\).

\begin{aligned} y_B &= 1 - y_A \\ y_B &= 1 - 0.790 \\ \Rightarrow y_B &\approx 0.210 \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le "résultat" est la "tie-line" (conodale) : la ligne horizontale à \(P_{\text{tot}} = 103.3\) kPa qui connecte la composition du liquide \(x_A=0.6\) à la composition de la vapeur \(y_A=0.79\).

Résultat : Palier d'équilibre (Tie-line)

Réflexions

On observe que \(y_A (0.790) > x_A (0.6)\). Cela signifie que la phase vapeur est plus riche en composant A (Benzène) que la phase liquide dont elle est issue. C'est logique, car A (Benzène) est le composant le plus volatil (\(P_A^* > P_B^*\)) et s'évapore donc préférentiellement. C'est ce phénomène qui rend la distillation possible.

Points de vigilance

Une erreur fréquente est d'oublier de diviser par \(P_{\text{tot}}\) pour trouver \(y_A\). \(y_A\) n'est PAS égal à \(P_A\). \(y_A\) est une fraction (sans unité), \(P_A\) est une pression (en kPa). Une autre erreur est d'utiliser \(P_{\text{tot}}\) en bar et \(P_A^*\) en kPa. Toutes les pressions doivent être dans la même unité (ici, kPa).

Le saviez-vous ?

Dans une colonne de distillation, ce calcul est répété sur chaque "plateau" théorique. Le liquide (\(x_A\)) d'un plateau s'évapore pour donner une vapeur (\(y_A\)), qui monte, se condense pour devenir le liquide du plateau supérieur (\(x_A' = y_A\)), et ainsi de suite, se concentrant en produit A à chaque étape.

FAQ

Questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

À \(x_A = 0.6\), la pression d'équilibre est \(P_{\text{tot}} \approx 103.3\) kPa et la composition de la vapeur est \(y_A \approx 0.79\) (soit 79% de Benzène).

A vous de jouer

Calculez la pression totale \(P_{\text{tot}}\) (en kPa) si la fraction molaire liquide de Benzène (\(x_A\)) est de 0.2 ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 3 :

Méthode : \(x_A \rightarrow P_{\text{tot}} \rightarrow y_A\)
Formule 1 : \(P_{\text{tot}} = x_A (P_A^* - P_B^*) + P_B^*\)
Formule 2 : \(y_A = (x_A P_A^*) / P_{\text{tot}}\)
Constat : \(y_A > x_A\) (enrichissement en A)

Question 4 : Calcul de \(x_A\) et \(y_A\) à \(P_{\text{tot}} = 101.3\) kPa

Principe

Cette fois-ci, la pression \(P_{\text{tot}}\) est fixée (par exemple, la pression atmosphérique) et on cherche les compositions des deux phases (liquide et vapeur) qui peuvent coexister à l'équilibre à cette pression et à 90°C.

Mini-Cours

C'est le problème "inverse" de la Q3. Au lieu de partir de \(x_A\) pour trouver \(P_{\text{tot}}\), on part de \(P_{\text{tot}}\) pour trouver \(x_A\). On utilise la même équation de la courbe de bulle (Q2), mais on isole l'inconnue \(x_A\). Une fois \(x_A\) trouvé, la procédure pour trouver \(y_A\) est identique à celle de la Q3.

Remarque Pédagogique

C'est ce qui se passe sur un palier d'une colonne de distillation opérant à une pression P fixée (101.3 kPa). À 90°C, le liquide de composition \(x_A\) est en équilibre avec la vapeur de composition \(y_A\). Le couple (\(x_A, y_A\)) est un point du diagramme d'équilibre, crucial pour le dimensionnement (ex: méthode McCabe-Thiele).

Normes

On applique les lois de la thermodynamique (Raoult, Dalton).

Formule(s)

On part de la formule de la Q2 et on isole \(x_A\).

Formule 1 : Pour trouver \(x_A\)

\begin{aligned} P_{\text{tot}} &= x_A (P_A^* - P_B^*) + P_B^* \\ \text{On soustrait } P_B^* \text{ des deux côtés :} \\ P_{\text{tot}} - P_B^* &= x_A (P_A^* - P_B^*) \\ \text{On divise par } (P_A^* - P_B^*) : \\ \Rightarrow x_A &= \frac{P_{\text{tot}} - P_B^*}{P_A^* - P_B^*} \end{aligned}

Formule 2 : Pour trouver \(y_A\) (inchangée)

y_A = \frac{x_A \cdot P_A^*}{P_{\text{tot}}}

Hypothèses

On suppose que le système est à l'équilibre et qu'à \(P_{\text{tot}}=101.3\) kPa et \(T=90°C\), un équilibre liquide-vapeur est possible. (Ce qui est le cas, car 101.3 kPa est bien compris entre \(P_B^*=54.2\) kPa et \(P_A^*=136.1\) kPa).

Donnée(s)

La seule nouvelle donnée est la pression totale imposée, qui vient de la question 4.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Pression totale	\(P_{\text{tot}}\)	101.3	kPa	Question 4
Pression sat. Benzène	\(P_A^*\)	136.1	kPa	Énoncé
Pression sat. Toluène	\(P_B^*\)	54.2	kPa	Énoncé

Astuces

On résout d'abord pour \(x_A\) (le liquide), puis on en déduit \(y_A\) (la vapeur). N'essayez pas de résoudre pour \(y_A\) en premier, cela demande d'inverser la formule de la courbe de rosée (\(P_{\text{tot}} = \frac{P_A^* P_B^*}{y_A P_B^* + y_B P_A^*}\)), ce qui est plus complexe.

Schéma (Avant les calculs)

On connaît la pression d'équilibre \(P_{\text{tot}} = 101.3\) kPa. On cherche les compositions \(x_A\) et \(y_A\) qui coexistent à cette pression.

Problème posé (Q4)

Calcul(s)

Étape 1 : Calcul de la composition liquide \(x_A\)

\begin{aligned} x_A &= \frac{101.3 - 54.2}{136.1 - 54.2} \end{aligned}

Calcul du numérateur :

\begin{aligned} x_A &= \frac{47.1}{81.9} \end{aligned}

Calcul de la division :

\begin{aligned} \Rightarrow x_A &\approx 0.575 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de la composition liquide \(x_B\)

La somme des fractions molaires en liquide doit être égale à 1 : \(x_A + x_B = 1\).

x_B = 1 - x_A \] \[ x_B \approx 1 - 0.575 \] \[\Rightarrow x_B \approx 0.425

Étape 3 : Calcul de la composition vapeur \(y_A\)

\begin{aligned} y_A &= \frac{0.575 \times 136.1}{101.3} \end{aligned}

Calcul du numérateur (qui est \( P*_A \)) :

\begin{aligned} y_A &= \frac{78.2575}{101.3} \end{aligned}

Calcul de la division :

\begin{aligned} \Rightarrow y_A &\approx 0.773 \end{aligned}

Étape 4 : Calcul de la composition vapeur \(y_B\)

La somme des fractions molaires en vapeur doit être égale à 1 : \(y_A + y_B = 1\).

y_B = 1 - y_A \] \[ y_B \approx 1 - 0.773 \] \[ y_B \Rightarrow y_B \approx 0.227

Schéma (Après les calculs)

Le résultat confirme le schéma "Avant" : la "tie-line" (conodale) à \(P_{\text{tot}} = 101.3\) kPa connecte \(x_A = 0.575\) (liquide) à \(y_A = 0.773\) (vapeur).

Résultat : Palier d'équilibre à 101.3 kPa

Réflexions

À 90°C et 101.3 kPa (pression atmosphérique), le système est en équilibre biphasique. La phase liquide contient 57.5% de Benzène (\(x_A\)), tandis que la phase vapeur en contient 77.3% (\(y_A\)). Ces deux phases coexistent. L'écart \(y_A - x_A = 0.198\) est significatif et confirme la facilité de séparation.

Points de vigilance

Vérifiez toujours que la pression \(P_{\text{tot}}\) donnée (101.3 kPa) est bien comprise entre \(P_B^*\) (54.2) et \(P_A^*\) (136.1). Si \(P_{\text{tot}} > P_A^*\), le système serait entièrement liquide. Si \(P_{\text{tot}} < P_B^*\), il serait entièrement vapeur. Dans ces deux cas, un équilibre L-V est impossible et le problème n'a pas de sens.

Le saviez-vous ?

101.3 kPa est la pression atmosphérique standard. Le résultat signifie donc que, si vous chauffez ce mélange à la pression atmosphérique, il commencera à bouillir à 90°C si sa composition est de 57.5% de Benzène. C'est la température de bulle de ce mélange à 1 atm.

FAQ

Questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

À \(P_{\text{tot}} = 101.3\) kPa :
Phase liquide : \(x_A \approx 0.575\) et \(x_B \approx 0.425\).
Phase vapeur : \(y_A \approx 0.773\) et \(y_B \approx 0.227\).

A vous de jouer

À quelle pression \(P_{\text{tot}}\) (en kPa) le mélange bout-il si la fraction molaire liquide \(x_A = 0.5\) ? (Utilisez la formule de Q2).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 4 :

Méthode : \(P_{\text{tot}} \rightarrow x_A \rightarrow y_A\)
Formule 1 : \(x_A = (P_{\text{tot}} - P_B^*) / (P_A^* - P_B^*)\)
Formule 2 : \(y_A = (x_A P_A^*) / P_{\text{tot}}\)

Question 5 : Composant le plus volatil

Principe

La volatilité est la tendance d'une substance à s'évaporer. À une température donnée, le composant qui a la plus haute pression de vapeur saturante (\(P_i^*\)) est celui qui s'évapore le plus facilement : il est le plus volatil.

Mini-Cours

On définit souvent la volatilité relative \(\alpha_{AB}\) comme le rapport des pressions de vapeur saturante (du plus volatil sur le moins volatil) : \[ \alpha_{AB} = \frac{P_A^*}{P_B^*} \] Si \(\alpha_{AB} > 1\), A est plus volatil que B. Plus \(\alpha_{AB}\) est grand, plus la séparation par distillation est facile. Si \(\alpha_{AB} = 1\), la séparation est impossible (azéotrope).

Remarque Pédagogique

Identifier le composant le plus volatil est la première chose à faire avant tout problème de distillation. C'est lui qui se concentrera dans la phase vapeur (en "tête" de colonne) tandis que le moins volatil (le "lourd") se concentrera dans la phase liquide (en "pied" de colonne).

Normes

C'est une définition de base de la thermodynamique des phases.

Formule(s)

La seule "formule" est une comparaison.

Critère de volatilité

\text{Si } P_A^* > P_B^* \text{, alors A est plus volatil que B.}

Hypothèses

On suppose que les deux composants sont à la même température T (ici 90°C) pour pouvoir comparer leurs \(P_i^*\).

Donnée(s)

On ne regarde que les pressions de vapeur saturante des corps purs, données dans l'énoncé.

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité	Source
Pression sat. Benzène	\(P_A^*\)	136.1	kPa	Énoncé
Pression sat. Toluène	\(P_B^*\)	54.2	kPa	Énoncé

Astuces

"Haute pression = Haute volatilité". C'est un moyen simple de s'en souvenir.

Schéma (Avant les calculs)

Les données d'entrée sont les deux pressions de vapeur saturante. Un diagramme en barres est le moyen le plus simple de les comparer visuellement.

Comparaison des Pressions de Vapeur Saturante

Calcul(s)

C'est une simple comparaison. On peut aussi calculer la volatilité relative pour quantifier la facilité de séparation.

Étape 1 : Comparaison

P_A^* (136.1 \text{ kPa}) > P_B^* (54.2 \text{ kPa})

Étape 2 : (Optionnel) Calcul de la volatilité relative

\alpha_{AB} = \frac{P_A^*}{P_B^*} \] \[ = \frac{136.1}{54.2} \] \[ \approx 2.51

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est la compréhension du diagramme P-x-y. Le composant le plus volatil (A) est en haut à droite (\(x_A=1, P=P_A^*\)). Le moins volatil (B) est en bas à gauche (\(x_A=0, P=P_B^*\)). La vapeur (courbe de rosée) est toujours "en dessous" du liquide (courbe de bulle), indiquant qu'à une P donnée, la vapeur \(y_A\) est plus riche en A que le liquide \(x_A\).

Diagramme P-x-y (Identification des phases)

Réflexions

Puisque la pression de vapeur saturante du Benzène (A) est supérieure à celle du Toluène (B) à la même température (90°C), le Benzène s'évapore plus facilement. Il est donc le composant le plus volatil. La volatilité relative de 2.51 est "bonne" (\(> 1.5\)) et indique que la séparation par distillation est tout à fait réalisable.

Points de vigilance

Ne pas confondre avec la température d'ébullition à pression atmosphérique. Le composant le plus volatil (Benzène, \(P^*\) élevée) a la température d'ébullition la plus basse (\(T_{\text{eb},A} \approx 80.1°C\)). Le moins volatil (Toluène, \(P^*\) basse) a la température d'ébullition la plus élevée (\(T_{\text{eb},B} \approx 110.6°C\)).

Le saviez-vous ?

Bien que le Toluène ait une masse molaire (92 g/mol) supérieure à celle du Benzène (78 g/mol), c'est la force des liaisons intermoléculaires (forces de Van der Waals, légèrement plus faibles pour le Benzène) qui dicte la pression de vapeur, pas seulement la masse.

FAQ

Questions fréquentes sur ce point.

Résultat Final

Le composant le plus volatil est le Benzène (A), car sa pression de vapeur saturante (\(P_A^* = 136.1\) kPa) est supérieure à celle du Toluène (\(P_B^* = 54.2\) kPa) à 90°C.

A vous de jouer

Un mélange C/D a \(P_C^* = 150\) kPa et \(P_D^* = 140\) kPa. Quel composant est le plus volatil ? (Réponse : C). La séparation sera-t-elle facile ? (Réponse : Non, car \(\alpha_{CD} = 150/140 \approx 1.07\), ce qui est très proche de 1. Il faudra une colonne de distillation avec beaucoup de plateaux).

Mini Fiche Mémo

Synthèse de la Question 5 :

Plus volatil = \(P_i^*\) le plus élevé (à T fixée).
Volatilité relative : \(\alpha_{AB} = P_A^*/P_B^*\)
Si \(\alpha > 1.5\), séparation "facile". Si \(\alpha \approx 1\), séparation "difficile".

Outil Interactif : Diagramme Pression-Composition (P-x-y)

Utilisez les curseurs pour modifier les pressions de vapeur saturante (\(P_A^*\) et \(P_B^*\)) et observez comment le diagramme d'équilibre isotherme (P-x-y) est modifié. Ce diagramme montre la pression d'équilibre en fonction de la fraction molaire.

Paramètres d'Entrée (à T fixée)

Pression Sat. \(P_A^*\) (Composant A, ex: Benzène) 136 kPa

Pression Sat. \(P_B^*\) (Composant B, ex: Toluène) 54 kPa

Analyse du Diagramme

Composant le plus volatil -

Domaine biphasique (Pression) -

Écart max. (Distillation) -

Glossaire

Courbe d'ébullition (ou courbe de bulle): Sur un diagramme isotherme P-x-y, c'est la courbe (ici une droite) qui donne la pression \(P_{\text{tot}}\) en fonction de la composition du liquide \(x_i\). C'est la pression à laquelle la première bulle de vapeur apparaît.
Courbe de rosée: Sur un diagramme isotherme P-x-y, c'est la courbe qui donne la pression \(P_{\text{tot}}\) en fonction de la composition de la vapeur \(y_i\). C'est la pression à laquelle la première goutte de liquide (rosée) apparaît.
Loi de Dalton: La pression totale d'un mélange de gaz (vapeur) est la somme des pressions partielles de chaque composant. \(P_{\text{tot}} = \sum P_i\).
Loi de Raoult: Pour un mélange idéal, la pression partielle \(P_i\) d'un composant en phase vapeur est égale au produit de sa fraction molaire en phase liquide \(x_i\) par sa pression de vapeur saturante pure \(P_i^*\).
Mélange Binaire Idéal: Un mélange de deux composants (A et B) où les forces intermoléculaires A-A, B-B et A-B sont supposées identiques. Il obéit à la loi de Raoult sur toute la gamme de compositions.
Pression de vapeur saturante (\(P_i^*\)): Pression exercée par la vapeur d'un composant \(i\) pur lorsqu'elle est en équilibre avec sa phase liquide à une température T donnée.
Volatilité: Tendance d'une substance à s'évaporer. Un composant est dit plus volatil qu'un autre si son \(P_i^*\) est plus élevé à la même température.

Équilibre Liquide-Vapeur d’un Mélange Binaire Idéal

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Système à l'équilibre Liquide-Vapeur

Questions à traiter

Les bases sur l'Équilibre Liquide-Vapeur Idéal

Correction : Équilibre Liquide-Vapeur : Mélange Binaire Idéal

Question 1 : Expression des pressions partielles (Loi de Raoult)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Hypothèses

Astuces

Schéma

Système à l'équilibre (Rappel)

Réflexions

Points de vigilance

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Expression de la pression totale \(P_{\text{tot}}\) en fonction de \(x_A\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Concept de la dérivation

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat : La Courbe de Bulle (Linéaire)

Réflexions

Points de vigilance

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Calcul de \(P_{\text{tot}}\) et \(y_A\) pour \(x_A = 0.6\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Problème posé (Q3)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat : Palier d'équilibre (Tie-line)

Réflexions

Points de vigilance

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calcul de \(x_A\) et \(y_A\) à \(P_{\text{tot}} = 101.3\) kPa

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Problème posé (Q4)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat : Palier d'équilibre à 101.3 kPa

Réflexions