Champ Magnétique Créé par un Tore

Contexte : L'étude du ToreUn tore est un enroulement solénoïdal refermé sur lui-même, formant un anneau. Cette géométrie permet de confiner presque entièrement le champ magnétique à l'intérieur de l'enroulement. en électromagnétisme.

Le tore est un composant électromagnétique fondamental, souvent utilisé dans les transformateurs, les inductances et les expériences de fusion nucléaire (tokamaks) en raison de sa capacité à confiner un champ magnétique de manière très efficace. Contrairement à un solénoïde rectiligne, son champ magnétique externe est idéalement nul. Cet exercice vous guidera dans le calcul du champ à l'intérieur d'un tore en utilisant le puissant théorème d'AmpèreUn des théorèmes fondamentaux de l'électromagnétisme qui relie la circulation du champ magnétique le long d'un contour fermé au courant total qui traverse la surface délimitée par ce contour..

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application classique du théorème d'Ampère. Il vous apprendra à choisir le bon contour d'intégration (appelé contour d'Ampère) et à exploiter les symétries du problème pour simplifier drastiquement un calcul qui serait autrement très complexe.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la topologie d'un tore et analyser ses symétries pour déterminer la direction du champ magnétique.
Appliquer correctement le théorème d'Ampère pour calculer l'expression du module du champ magnétique.
Analyser la variation du champ magnétique en fonction de la distance radiale à l'axe du tore.
Calculer le flux magnétique à travers la section du tore.
Déterminer l'inductance propre du tore, une caractéristique essentielle de ce composant.

Données de l'étude

On considère un tore à section rectangulaire de hauteur \(h\), constitué d'un enroulement de N spires très serrées, parcourues par un courant continu d'intensité I. Le tore est caractérisé par son rayon interne R₁ et son rayon externe R₂.

Schéma du Tore et de ses Paramètres

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Nombre de spires	\(N\)	500	\(\text{(sans unité)}\)
Intensité du courant	\(I\)	2	\(\text{A}\)
Rayon interne	\(R_1\)	10	\(\text{cm}\)
Rayon externe	\(R_2\)	15	\(\text{cm}\)
Hauteur du tore	\(h\)	4	\(\text{cm}\)

Questions à traiter

En utilisant les symétries du système, quelle est la direction et la dépendance du champ magnétique \(\vec{B}\) à l'intérieur du tore ?
En appliquant le théorème d'Ampère, trouver l'expression du module du champ magnétique \(B(r)\) pour un point situé à l'intérieur du tore (\(R_1 < r < R_2\)).
Calculer la valeur numérique du champ magnétique à mi-distance entre les rayons interne et externe, c'est-à-dire pour \(r = (R_1 + R_2) / 2\).
Justifier pourquoi le champ magnétique est nul à l'extérieur du tore (pour \(r < R_1\) et \(r > R_2\)).
Calculer le flux magnétique \(\Phi\) à travers la section rectangulaire du tore.
En déduire l'expression de l'inductance propre \(L\) du tore, puis calculer sa valeur numérique.

Les bases sur l'Électromagnétisme

Pour résoudre cet exercice, les principaux outils théoriques sont le théorème d'Ampère, et les définitions du flux magnétique et de l'inductance.

1. Théorème d'Ampère
La circulation du champ magnétique \(\vec{B}\) le long d'un chemin fermé \(\mathcal{C}\) est proportionnelle au courant total \(I_{\text{enlacé}}\) qui traverse la surface délimitée par ce contour. \[ \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}} \]

2. Flux Magnétique et Inductance
Le flux magnétique \(\Phi\) à travers une surface \(S\) est l'intégrale du champ magnétique sur cette surface. Pour un tore, le flux à travers une spire est \(\phi_1\). Le flux total à travers les N spires est \(\Phi = N \phi_1\). L'inductance propre \(L\) est ensuite définie par la relation \(\Phi = L \cdot I\). \[ \phi_1 = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} \quad ; \quad \Phi = N \phi_1 \quad ; \quad L = \frac{\Phi}{I} \]

Correction : Champ Magnétique Créé par un Tore

Question 1 : Direction et dépendance du champ \(\vec{B}\)

Principe

Le principe de Curie stipule que les symétries des causes se retrouvent dans les effets. Ici, la cause est la distribution de courant (le tore), et l'effet est le champ magnétique. En analysant les symétries du tore, nous pouvons déduire la forme du champ qu'il crée.

Mini-Cours

En physique, une symétrie est une transformation (rotation, translation, réflexion) qui laisse un système invariant. Pour le tore, toute rotation autour de son axe central (axe Z) laisse le tore identique à lui-même (symétrie de révolution). De plus, tout plan passant par l'axe Z est un plan de symétrie pour la distribution des courants. Un champ vectoriel (comme \(\vec{B}\)) doit être perpendiculaire à un plan de symétrie.

Remarque Pédagogique

Avant tout calcul, prenez toujours le temps d'analyser les symétries. C'est l'étape la plus importante car elle simplifie radicalement le problème. Demandez-vous : "Si je tourne ou si je regarde l'objet dans un miroir, est-ce que je vois la même chose ?". La réponse guide la forme de la solution.

Normes

Cette analyse ne fait pas appel à une norme réglementaire mais aux principes fondamentaux de la physique et de l'électromagnétisme, notamment les équations de Maxwell dont le théorème d'Ampère est une forme intégrale.

Formule(s)

On cherche la forme générale du champ en coordonnées cylindriques :

\vec{B}(r, \theta, z) = B_r \vec{u}_r + B_{\theta} \vec{u}_{\theta} + B_z \vec{u}_z

Hypothèses

On suppose que le tore est géométriquement parfait, que les spires sont infiniment fines et jointives (formant une nappe de courant uniforme) et que le courant est parfaitement continu.

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est requise pour cette question purement théorique.

Astuces

Utilisez la règle de la main droite : si vous enroulez les doigts de votre main droite dans le sens du courant dans les spires, votre pouce indique la direction générale du champ magnétique à l'intérieur de l'enroulement. Pour un tore, cela donne une direction circulaire (orthoradiale).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation des symétries

Calcul(s)

Il n'y a pas de calcul à effectuer. Le raisonnement est le suivant :

Invariant par rotation autour de Z : Le module du champ ne dépend pas de \(\theta\). \(\vec{B} = \vec{B}(r, z)\).
Symétrie par rapport au plan (M, \(\vec{u}_r\), \(\vec{u}_z\)) : Le champ \(\vec{B}\) doit être perpendiculaire à ce plan, donc \(\vec{B}\) est porté par \(\vec{u}_{\theta}\). Les composantes \(B_r\) et \(B_z\) sont nulles.

Schéma (Après les calculs)

Lignes de champ magnétique

Réflexions

La conclusion est puissante : le champ magnétique à l'intérieur d'un tore est parfaitement circulaire (on dit "orthoradial"). Son intensité est la même pour tous les points situés à la même distance \(r\) de l'axe central. Cette propriété de confinement est ce qui rend le tore si utile.

Points de vigilance

Ne confondez pas la symétrie de révolution (invariance par rotation) qui implique que le module du champ ne dépend pas de \(\theta\), et la symétrie planaire qui impose la direction du champ. Les deux sont nécessaires pour aboutir à la conclusion.

Points à retenir

La géométrie du tore impose un champ magnétique orthoradial : \(\vec{B} = B(r,z) \vec{u}_{\theta}\).
Pour un tore à spires très serrées, on peut négliger la variation selon z et considérer \(\vec{B} = B(r) \vec{u}_{\theta}\).

Le saviez-vous ?

Le concept du tore est au cœur des réacteurs à fusion nucléaire de type "Tokamak". Dans ces machines, un champ magnétique toroïdal extrêmement intense est utilisé pour confiner un plasma chauffé à des millions de degrés, l'empêchant de toucher les parois matérielles du réacteur.

FAQ

Résultat Final

\[ \vec{B}(M) = B(r) \vec{u}_{\theta} \]

A vous de jouer

Si le courant I changeait de sens, qu'est-ce que cela changerait pour le vecteur \(\vec{B}\) ?

Question 2 : Expression de \(B(r)\) par le théorème d'Ampère

Principe

On applique le théorème d'Ampère, qui relie la circulation du champ magnétique à la source qui le crée (le courant électrique). Le choix judicieux du contour d'intégration, basé sur les symétries, est la clé pour résoudre l'intégrale simplement.

Mini-Cours

Le théorème d'Ampère \(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}\) est particulièrement efficace pour les distributions de courant à haute symétrie (fil infini, solénoïde, tore). L'intégrale de gauche, la "circulation", mesure "à quel point le champ tourne" le long du contour. Le terme de droite représente le courant total qui "pique" à travers la surface définie par ce contour.

Remarque Pédagogique

La méthode est toujours la même : 1. Choisir un contour d'Ampère qui suit les lignes de champ. 2. Calculer la circulation (gauche de l'équation). 3. Compter le courant enlacé (droite de l'équation). 4. Égaliser et isoler B.

Normes

Le calcul se base sur les lois de l'électromagnétisme dans le vide. La constante physique utilisée est la perméabilité magnétique du vide, \(\mu_0\), dont la valeur est définie dans le Système International d'unités.

Formule(s)

\oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Hypothèses

On choisit comme contour d'Ampère (\(\mathcal{C}\)) un cercle de rayon \(r\) tel que \(R_1 < r < R_2\), centré sur l'axe du tore. Ce choix est motivé par le fait que le champ \(\vec{B}\) est tangent à ce cercle et que son module y est constant.

Donnée(s)

Nombre de spires : \(N\)
Intensité du courant : \(I\)

Astuces

Puisque B est constant et tangent au contour, l'intégrale de la circulation se simplifie toujours en \(B \times (\text{longueur du contour})\). Pour un cercle, c'est \(B \times 2\pi r\). Vous pouvez retenir ce résultat pour les géométries cylindriques.

Schéma (Avant les calculs)

Contour d'Ampère à l'intérieur du tore

Calcul(s)

Calcul de la circulation : Comme \(\vec{B}\) et \(d\vec{l}\) sont colinéaires et que B est constant sur \(\mathcal{C}\), on a :

\begin{aligned} \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} &= \oint_{\mathcal{C}} B(r) dl \\ &= B(r) \oint_{\mathcal{C}} dl \\ &= B(r) \cdot (2\pi r) \end{aligned}

Calcul du courant enlacé : Le contour \(\mathcal{C}\) enlace les \(N\) spires du tore. Chaque spire est parcourue par le courant \(I\). Le courant total enlacé est donc :

I_{\text{enlacé}} = N \cdot I

Application du théorème : On égale les deux termes :

B(r) \cdot (2\pi r) = \mu_0 N I

Schéma (Après les calculs)

Variation du champ B avec le rayon r

Réflexions

La formule obtenue \(B(r) = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}\) montre que le champ magnétique à l'intérieur du tore n'est pas uniforme ! Il est plus intense près du rayon intérieur (\(r\) petit) et plus faible près du rayon extérieur (\(r\) grand). Il décroît en \(1/r\).

Points de vigilance

Attention à ne pas confondre le nombre de spires \(N\) avec la densité de spires par unité de longueur \(n\) utilisée pour le solénoïde rectiligne. Pour le tore, on utilise bien le nombre total de spires \(N\).

Points à retenir

La formule du champ magnétique à l'intérieur d'un tore est un résultat fondamental de l'électromagnétisme : \(B(r) = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}\).

Le saviez-vous ?

Si le tore est très fin, c'est-à-dire si \(R_1 \approx R_2 \approx R_{\text{moyen}}\), alors on peut considérer que le champ est quasi-uniforme à l'intérieur, avec \(B \approx \frac{\mu_0 N I}{2\pi R_{\text{moyen}}}\). On retrouve alors une expression similaire à celle du solénoïde infini.

FAQ

Résultat Final

\[ B(r) = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r} \]

A vous de jouer

Comment l'expression de B(r) changerait-elle si le tore était rempli d'un matériau de perméabilité magnétique \(\mu\) au lieu du vide ?

Question 3 : Calculer la valeur numérique du champ magnétique à mi-distance.

Principe

Il s'agit d'une application numérique directe de la formule établie à la question précédente. La principale difficulté réside dans la gestion correcte des unités pour obtenir un résultat homogène.

Mini-Cours

Le Tesla (T) est l'unité du champ magnétique dans le Système International. C'est une unité très grande. Dans la pratique, on utilise souvent ses sous-multiples : le millitesla (mT, \(10^{-3}\) T) ou le microtesla (\(\mu\)T, \(10^{-6}\) T). Le champ magnétique terrestre, par exemple, est de l'ordre de 50 \(\mu\)T.

Remarque Pédagogique

Avant de taper les chiffres sur la calculatrice, écrivez toujours l'application numérique avec les unités. Cela vous permet de vérifier que vous avez bien converti toutes les grandeurs et que le résultat sera dans la bonne unité.

Normes

L'utilisation du Système International (mètres, Ampères, Tesla) est la norme en physique pour garantir la cohérence des calculs.

Formule(s)

B(r) = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}

Hypothèses

On se place au rayon moyen \(r = (R_1 + R_2) / 2\). Les hypothèses sur le tore idéal (spires fines et jointives) sont toujours valables.

Donnée(s)

On rappelle les données et on calcule le rayon \(r\) pour l'application numérique.

\(N = 500\)
\(I = 2 \text{ A}\)
\(R_1 = 10 \text{ cm} = 0.10 \text{ m}\)
\(R_2 = 15 \text{ cm} = 0.15 \text{ m}\)
\(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}\)
Rayon de calcul : \(r = \frac{R_1 + R_2}{2} = \frac{0.10 + 0.15}{2} = 0.125 \text{ m}\)

Astuces

Notez que le \(2\pi\) au dénominateur se simplifie souvent avec le \(4\pi\) de \(\mu_0\). La formule peut se réécrire \(B(r) = \frac{2 \times 10^{-7} N I}{r}\), ce qui est plus rapide à calculer.

Schéma (Avant les calculs)

Point de calcul au rayon moyen

Calcul(s)

On applique la formule pour \(r = 0.125 \text{ m}\) :

\begin{aligned} B(r=0.125 \text{ m}) &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot 500 \cdot 2}{2\pi \cdot 0.125} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \cdot 1000}{0.125} \\ &= \frac{2 \times 10^{-4}}{0.125} \\ &= 0.0016 \text{ T} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Distribution du champ magnétique

Réflexions

La valeur de 1.6 mT est un champ magnétique modéré, typique de ce que l'on peut trouver dans des composants électrotechniques courants. C'est environ 30 fois plus élevé que le champ magnétique terrestre. Le graphique montre bien que le champ n'est pas uniforme et qu'il est plus fort du côté intérieur du tore.

Points de vigilance

L'erreur la plus commune est d'oublier de convertir les rayons, donnés en centimètres, en mètres. Si vous ne le faites pas, votre résultat sera faux d'un facteur 100.

Points à retenir

Savoir mener une application numérique de bout en bout en respectant la cohérence des unités est une compétence essentielle pour un ingénieur ou un technicien.

Le saviez-vous ?

Les pinces ampèremétriques, utilisées par les électriciens pour mesurer un courant sans couper le circuit, fonctionnent sur un principe similaire. Elles possèdent un noyau ferromagnétique qui se referme autour du fil, canalisant le champ magnétique (comme un tore) vers un capteur à effet Hall qui mesure son intensité.

FAQ

Résultat Final

\[ B(r=12.5 \text{ cm}) = 1.6 \text{ mT} \]

A vous de jouer

Calculez la valeur du champ magnétique sur le bord externe du tore (à \(r = R_2\)).

Question 4 : Justifier pourquoi le champ magnétique est nul à l'extérieur du tore.

Principe

On applique à nouveau le théorème d'Ampère, mais cette fois en choisissant des contours d'Ampère situés dans les régions extérieures au bobinage (\(r < R_1\) et \(r > R_2\)). La conclusion viendra de l'analyse du terme de courant enlacé, \(I_{\text{enlacé}}\).

Mini-Cours

Le théorème d'Ampère est une loi fondamentale : si la circulation du champ magnétique sur un contour fermé est nulle, et si les symétries imposent que le champ soit constant le long de ce contour, alors le champ lui-même doit être nul sur ce contour. La clé est de démontrer que le courant total traversant la surface du contour est nul.

Remarque Pédagogique

C'est une excellente question pour vérifier votre compréhension du concept de "courant enlacé". Il ne s'agit pas juste de la présence de courant, mais bien du bilan net des courants qui traversent la surface délimitée par votre contour d'intégration.

Normes

Les lois de l'électromagnétisme s'appliquent universellement.

Formule(s)

\oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Hypothèses

On considère toujours un tore idéal. On trace deux contours d'Ampère circulaires : \(\mathcal{C}_{int}\) avec un rayon \(r < R_1\) et \(\mathcal{C}_{ext}\) avec un rayon \(r > R_2\).

Donnée(s)

Aucune donnée numérique n'est nécessaire.

Astuces

Visualisez le contour comme une boucle de fil et les courants comme des flèches. Comptez simplement combien de flèches traversent la boucle. Si autant de flèches la traversent dans un sens que dans l'autre, le bilan est nul.

Schéma (Avant les calculs)

Contours d'Ampère intérieur et extérieur

Calcul(s)

Pour le contour intérieur (\(r < R_1\)) : La surface délimitée par \(\mathcal{C}_{int}\) ne contient aucune spire. Le courant qui la traverse est nul. \(I_{\text{enlacé}} = 0\).
Pour le contour extérieur (\(r > R_2\)) : La surface délimitée par \(\mathcal{C}_{ext}\) est traversée par N spires où le courant "sort" du plan (par exemple) et N spires où le courant "entre" dans le plan. Le bilan net est nul. \(I_{\text{enlacé}} = N \cdot I - N \cdot I = 0\).
Conclusion : Dans les deux cas, le terme de droite du théorème d'Ampère est nul. Comme la circulation est \(B \cdot 2\pi r\), on a \(B \cdot 2\pi r = 0\), ce qui implique \(B=0\).

Schéma (Après les calculs)

Confinement du Champ Magnétique

Réflexions

C'est la propriété la plus remarquable du tore : il confine parfaitement le champ magnétique en son sein. C'est pourquoi il est si prisé pour fabriquer des inductances dans les circuits électroniques, car il ne perturbe pas les composants avoisinants.

Points de vigilance

Cette conclusion (champ extérieur nul) n'est rigoureusement vraie que pour un tore idéal avec des spires parfaitement jointives. Un tore réel avec des spires espacées génère un très faible champ de fuite à l'extérieur.

Points à retenir

Le champ magnétique d'un tore idéal est confiné à son intérieur. À l'extérieur, le courant enlacé net est nul, donc le champ est nul.

Le saviez-vous ?

Les transformateurs toroïdaux sont plus chers à fabriquer que les transformateurs standards (à noyau E-I), mais ils sont plus efficaces, plus compacts, plus légers et génèrent beaucoup moins d'interférences électromagnétiques, ce qui les rend indispensables dans les équipements audio et médicaux de haute-fidélité.

FAQ

Résultat Final

\[ \text{Pour } r < R_1 \text{ et } r > R_2, \quad B(r) = 0 \]

A vous de jouer

Un fil rectiligne infini transportant un courant \(I_0\) passe par le centre O du tore, le long de l'axe Z. Que devient le champ pour \(r > R_2\) ?

Question 5 : Calculer le flux magnétique \(\Phi\) à travers la section rectangulaire du tore.

Principe

Le flux magnétique est une mesure de la "quantité" de champ magnétique qui traverse une surface. Comme le champ \(B(r)\) n'est pas uniforme sur la section du tore, on ne peut pas simplement multiplier le champ par la surface. Il faut intégrer le champ sur toute la surface de la section.

Mini-Cours

Le flux \(\phi_1\) à travers une seule spire est donné par \(\phi_1 = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S}\). Ici, la surface \(S\) est la section rectangulaire du tore. Le vecteur surface \(d\vec{S}\) est un petit élément de surface, orienté perpendiculairement à la section. Puisque \(\vec{B}\) est orthoradial, \(\vec{B}\) et \(d\vec{S}\) sont colinéaires. Le flux total \(\Phi\) est ensuite obtenu en multipliant le flux d'une spire par le nombre total de spires \(N\).

Remarque Pédagogique

C'est un excellent exemple de l'utilité du calcul intégral en physique. Quand une grandeur (ici, B) varie dans l'espace, on doit "sommer" ses effets sur de petites portions de surface où on peut la considérer comme constante. Cette "somme infinie" est précisément ce que fait une intégrale.

Normes

Les définitions du flux et de l'inductance sont des piliers de l'électromagnétisme (lois de Faraday et de Lenz).

Formule(s)

\phi_1 = \int_{R_1}^{R_2} B(r) \cdot (h \cdot dr) \quad \text{et} \quad \Phi = N \phi_1

Hypothèses

On considère que le champ \(\vec{B}\) est perpendiculaire à la section rectangulaire du tore. L'élément de surface est un petit rectangle de hauteur \(h\) et de largeur infinitésimale \(dr\), donc \(dS = h \cdot dr\).

Donnée(s)

Expression du champ magnétique : \(B(r) = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}\)
Dimensions géométriques : \(R_1, R_2, h\)
Nombre de spires : \(N\)

Astuces

N'oubliez pas la primitive de \(1/r\), qui est \(\ln(r)\). C'est une intégrale très classique en physique, notamment en électrostatique et magnétostatique avec des symétries cylindriques.

Schéma (Avant les calculs)

Élément de surface pour le calcul du flux

Calcul(s)

Calcul du flux à travers une spire (\(\phi_1\)) :

\begin{aligned} \phi_1 &= \int_{R_1}^{R_2} B(r) \cdot dS \\ &= \int_{R_1}^{R_2} \frac{\mu_0 N I}{2\pi r} (h \cdot dr) \\ &= \frac{\mu_0 N I h}{2\pi} \int_{R_1}^{R_2} \frac{dr}{r} \\ &= \frac{\mu_0 N I h}{2\pi} \left[ \ln(r) \right]_{R_1}^{R_2} \\ &= \frac{\mu_0 N I h}{2\pi} (\ln(R_2) - \ln(R_1)) \\ &= \frac{\mu_0 N I h}{2\pi} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) \end{aligned}

Calcul du flux total (\(\Phi\)) :

\Phi = N \cdot \phi_1 = \frac{\mu_0 N^2 I h}{2\pi} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du Flux Magnétique

Réflexions

Le flux magnétique dépend des caractéristiques géométriques du tore (\(N, h, R_1, R_2\)) et du courant \(I\). La présence du logarithme est caractéristique des géométries où le champ décroît en \(1/r\).

Points de vigilance

La plus grande source d'erreur est d'oublier que le flux total \(\Phi\) (appelé aussi flux embrassé par le circuit) est le flux à travers une spire multiplié par le nombre de spires \(N\). Cela conduit à un terme en \(N^2\) dans l'expression finale.

Points à retenir

Pour calculer un flux quand le champ n'est pas uniforme, l'intégration est indispensable. Le flux total à travers un bobinage de N spires est \(N\) fois le flux à travers une seule spire.

Le saviez-vous ?

La loi de Faraday stipule qu'une variation de ce flux magnétique au cours du temps (\(d\Phi/dt\)) induit une tension (force électromotrice) aux bornes de l'enroulement. C'est le principe de fonctionnement des transformateurs et des moteurs électriques.

FAQ

Résultat Final

\[ \Phi = \frac{\mu_0 N^2 I h}{2\pi} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) \]

A vous de jouer

Calculez la valeur numérique du flux total \(\Phi\) avec les données de l'énoncé. La réponse est attendue en milliwebers (mWb).

Question 6 : En déduire l'expression de l'inductance propre \(L\) du tore, puis calculer sa valeur numérique.

Principe

L'inductance propre \(L\) est une caractéristique intrinsèque d'un circuit électrique qui décrit sa capacité à s'opposer aux variations du courant qui le traverse, en stockant de l'énergie sous forme magnétique. Elle est définie par la relation de proportionnalité entre le flux magnétique total et le courant : \(\Phi = L \cdot I\).

Mini-Cours

L'inductance \(L\) ne dépend que de la géométrie du circuit et des propriétés magnétiques du milieu. Elle se mesure en Henry (H). Un circuit avec une grande inductance stocke beaucoup d'énergie magnétique pour un courant donné. C'est une propriété analogue à la capacité pour l'énergie électrique.

Remarque Pédagogique

Une fois que vous avez calculé le flux \(\Phi\) pour un courant \(I\) générique, trouver l'inductance est très simple : il suffit de "diviser par I". C'est la dernière étape logique de l'étude d'un bobinage.

Normes

L'Henry (H) est l'unité d'inductance du Système International.

Formule(s)

L = \frac{\Phi}{I}

Hypothèses

Les hypothèses sont les mêmes que pour le calcul du flux.

Donnée(s)

Expression du flux total : \(\Phi = \frac{\mu_0 N^2 I h}{2\pi} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)\)

Astuces

Si vous avez bien mené le calcul du flux, le courant \(I\) doit apparaître comme un simple facteur multiplicatif. L'inductance \(L\) doit être indépendante de \(I\).

Schéma (Avant les calculs)

Symbole de l'Inductance

Calcul(s)

Expression de l'inductance \(L\) :

\begin{aligned} L &= \frac{\Phi}{I} \\ &= \frac{1}{I} \left[ \frac{\mu_0 N^2 I h}{2\pi} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) \right] \\ &= \frac{\mu_0 N^2 h}{2\pi} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right) \end{aligned}

Application numérique :

\begin{aligned} L &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \cdot 500^2 \cdot 0.04}{2\pi} \ln\left(\frac{15}{10}\right) \\ &= (2 \times 10^{-7}) \cdot 250000 \cdot 0.04 \cdot \ln(1.5) \\ &= (2 \times 10^{-7}) \cdot 10000 \cdot \ln(1.5) \\ &= 0.002 \cdot 0.405 \\ &\approx 0.000405 \text{ H} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Résultat de l'Inductance

Réflexions

L'inductance de 0.405 mH est une valeur typique pour une bobine de cette taille. On voit que pour augmenter l'inductance, les leviers les plus efficaces sont d'augmenter le nombre de spires (car L est proportionnel à \(N^2\)) ou d'utiliser un noyau ferromagnétique (ce qui augmente \(\mu_0\)).

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les dimensions géométriques (\(h, R_1, R_2\)) sont bien converties en mètres avant de faire l'application numérique.

Points à retenir

L'inductance propre d'un tore ne dépend que de sa géométrie (\(N, h, R_1, R_2\)) et du milieu (\(\mu_0\)). La formule \(L = \frac{\mu_0 N^2 h}{2\pi} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)\) est un résultat important à connaître.

Le saviez-vous ?

Les inductances toroïdales sont utilisées dans les filtres des alimentations à découpage (présentes dans les chargeurs de téléphone, les ordinateurs...) pour lisser le courant et éliminer les parasites à haute fréquence, assurant ainsi une alimentation stable et propre pour les circuits électroniques sensibles.

FAQ

Résultat Final

\[ L \approx 0.405 \text{ mH} \]

A vous de jouer

Si on double le nombre de spires (N=1000), que devient l'inductance L ?

Outil Interactif : Simulateur de Champ Magnétique

Utilisez les curseurs pour faire varier le nombre de spires (N) et l'intensité du courant (I). Observez en temps réel l'impact sur le champ magnétique au rayon moyen et sur la distribution du champ à travers la section du tore.

Paramètres d'Entrée

Nombre de spires (N) 500

Intensité du courant (I) [A] 2 A

Résultats Clés

Champ au rayon moyen (B) [mT] -

Inductance (L) [mH] -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Le champ magnétique à l'intérieur d'un tore est...

Uniforme.
Plus fort près du rayon extérieur.
Plus fort près du rayon intérieur.

2. L'inductance propre (L) d'un tore est proportionnelle à...

\(N\)
\(N^2\)
\(1/N\)

Glossaire

Tore: Un tore est un enroulement solénoïdal refermé sur lui-même, formant un anneau. Cette géométrie permet de confiner presque entièrement le champ magnétique à l'intérieur de l'enroulement.
Théorème d'Ampère: Un des théorèmes fondamentaux de l'électromagnétisme qui relie la circulation du champ magnétique le long d'un contour fermé au courant total qui traverse la surface délimitée par ce contour.
Flux Magnétique (\(\Phi\)): Mesure de la quantité de champ magnétique traversant une surface. Son unité est le Weber (Wb).
Inductance Propre (\(L\)): Caractéristique d'un circuit qui quantifie sa capacité à stocker de l'énergie magnétique. Son unité est le Henry (H).