ÉTUDE DE PHYSIQUE

Propagation d’une Onde Électromagnétique Plane

Propagation d'une Onde Électromagnétique Plane dans le Vide

Propagation d'une Onde Électromagnétique Plane dans le Vide

Comprendre les Ondes Électromagnétiques

Les ondes électromagnétiques (EM) sont des perturbations couplées des champs électrique et magnétique qui se propagent dans l'espace en transportant de l'énergie. Dans le vide, en l'absence de charges et de courants, les équations de Maxwell mènent à une équation d'onde pour les champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\). La solution la plus simple est l'onde plane, où les champs sont uniformes dans des plans perpendiculaires à la direction de propagation. Les propriétés de ces ondes (transversalité, relation entre \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\), vitesse de propagation) sont des conséquences directes des équations de Maxwell et révèlent la nature fondamentale de la lumière.

Données de l'étude

On considère une onde électromagnétique plane, progressive et sinusoïdale se propageant dans le vide. Son champ électrique est décrit par :

\[ \vec{E}(z, t) = E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x \]

Données numériques :

  • Amplitude du champ électrique : \(E_0 = 150 \, \text{V/m}\).
  • Pulsation de l'onde : \(\omega = 3 \times 10^8 \, \text{rad/s}\).

Constantes :

  • Vitesse de la lumière dans le vide : \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\).
  • Perméabilité du vide : \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}\).
  • Permittivité du vide : \(\varepsilon_0 \approx 8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\).
Schéma : Propagation d'une Onde Plane EM
z x y E B k

Questions à traiter

  1. Déterminer la direction de propagation et la polarisation de l'onde.
  2. Calculer le nombre d'onde \(k\), la longueur d'onde \(\lambda\) et la fréquence \(f\) de l'onde.
  3. En utilisant une des équations de Maxwell, déterminer l'expression complète du champ magnétique \(\vec{B}(z,t)\).
  4. Calculer l'amplitude \(B_0\) du champ magnétique.
  5. Déterminer l'expression du vecteur de Poynting \(\vec{\Pi}(z,t)\) et sa valeur moyenne dans le temps \(\langle \vec{\Pi} \rangle\).

Correction : Propagation d'une Onde Électromagnétique Plane dans le Vide

Question 1 : Direction de Propagation et Polarisation

Analyse :

L'argument de la fonction cosinus est \((\omega t - kz)\). La phase de l'onde est constante si \(\omega t - kz = \text{constante}\). En dérivant par rapport au temps, on obtient \(\omega - k \frac{dz}{dt} = 0\), donc la vitesse de phase est \(v = dz/dt = \omega/k\), qui est positive. Le champ électrique \(\vec{E}\) oscille selon la direction \(\vec{u}_x\).

Résultat Question 1 : L'onde se propage dans la direction des \(z\) positifs. Le champ électrique est polarisé rectilignement selon l'axe \(x\).

Question 2 : Caractéristiques de l'Onde

Principe :

Les caractéristiques d'une onde EM dans le vide sont reliées par les relations fondamentales \(c = \omega/k\), \(\lambda = 2\pi/k\) et \(f = \omega/(2\pi)\).

Calcul :

Nombre d'onde \(k\) :

\[ k = \frac{\omega}{c} = \frac{3 \times 10^8 \, \text{rad/s}}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}} = 1 \, \text{rad/m} \]

Longueur d'onde \(\lambda\) :

\[ \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{1} \approx 6.28 \, \text{m} \]

Fréquence \(f\) :

\[ f = \frac{\omega}{2\pi} = \frac{3 \times 10^8}{2\pi} \approx 4.77 \times 10^7 \, \text{Hz} = 47.7 \, \text{MHz} \]

Question 3 : Expression du Champ Magnétique \(\vec{B}(z,t)\)

Principe :

On utilise l'équation de Maxwell-Faraday : \(\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}\). Pour une onde plane se propageant selon z et polarisée selon x, le rotationnel se simplifie.

Calcul :
\[ \vec{\nabla} \times \vec{E} = \begin{vmatrix} \vec{u}_x & \vec{u}_y & \vec{u}_z \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ E_x & 0 & 0 \end{vmatrix} = \vec{u}_y \frac{\partial E_x}{\partial z} = \vec{u}_y \frac{\partial}{\partial z} (E_0 \cos(\omega t - kz)) \]
\[ \vec{\nabla} \times \vec{E} = \vec{u}_y (E_0 \sin(\omega t - kz) \times k) = k E_0 \sin(\omega t - kz) \vec{u}_y \]

On a donc :

\[ -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t} = k E_0 \sin(\omega t - kz) \vec{u}_y \]

On intègre par rapport au temps pour trouver \(\vec{B}\) :

\[ \vec{B}(z,t) = - \int k E_0 \sin(\omega t - kz) dt \, \vec{u}_y = -k E_0 \left( -\frac{\cos(\omega t - kz)}{\omega} \right) \vec{u}_y \]
Résultat Question 3 : \(\vec{B}(z,t) = \frac{k}{\omega} E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y\). Comme \(k/\omega = 1/c\), l'expression est \(\vec{B}(z,t) = \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y\).

Question 4 : Amplitude du Champ Magnétique (\(B_0\))

Principe :

L'amplitude du champ magnétique, \(B_0\), est directement liée à celle du champ électrique, \(E_0\), par la vitesse de la lumière \(c\).

Calcul :
\[ B_0 = \frac{E_0}{c} = \frac{150 \, \text{V/m}}{3 \times 10^8 \, \text{m/s}} = 50 \times 10^{-8} \, \text{T} = 500 \, \text{nT} \]

Question 5 : Vecteur de Poynting et sa Moyenne

Principe :

Le vecteur de Poynting \(\vec{\Pi}\) représente la densité de flux d'énergie de l'onde (puissance par unité de surface). Il est donné par \(\vec{\Pi} = \frac{1}{\mu_0}(\vec{E} \times \vec{B})\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{\Pi}(z,t) &= \frac{1}{\mu_0} \left( E_0 \cos(\omega t - kz) \vec{u}_x \right) \times \left( \frac{E_0}{c} \cos(\omega t - kz) \vec{u}_y \right) \\ &= \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz) (\vec{u}_x \times \vec{u}_y) \\ &= \frac{E_0^2}{\mu_0 c} \cos^2(\omega t - kz) \vec{u}_z \end{aligned} \]

La valeur moyenne de \(\cos^2(\cdot)\) sur une période est \(1/2\).

\[ \langle \vec{\Pi} \rangle = \frac{E_0^2}{2\mu_0 c} \vec{u}_z \]

Application numérique :

\[ \begin{aligned} |\langle \vec{\Pi} \rangle| &= \frac{(150 \, \text{V/m})^2}{2 \times (4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}) \times (3 \times 10^8 \, \text{m/s})} \\ &\approx \frac{22500}{7.54 \times 10^2} \approx 29.8 \, \text{W/m}^2 \end{aligned} \]

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Dans une onde électromagnétique plane dans le vide, les vecteurs \(\vec{E}\), \(\vec{B}\) et la direction de propagation \(\vec{k}\) sont :

2. Le vecteur de Poynting \(\vec{\Pi}\) représente :

3. Si l'amplitude du champ électrique \(E_0\) est doublée, la puissance moyenne transportée par l'onde est :

Glossaire

Onde électromagnétique plane
Onde dont les fronts d'onde (surfaces d'égale phase) sont des plans infinis. Dans une telle onde, les champs \(\vec{E}\) et \(\vec{B}\) sont uniformes sur chaque plan de front d'onde.
Équations de Maxwell
Ensemble de quatre équations fondamentales qui décrivent le comportement des champs électrique et magnétique et leurs interactions avec la matière (charges et courants).
Polarisation
Décrit la direction de l'oscillation du vecteur champ électrique. Elle peut être rectiligne, circulaire ou elliptique.
Vecteur de Poynting (\(\vec{\Pi}\))
Vecteur qui représente la densité de puissance (énergie par unité de temps et par unité de surface) et la direction du flux d'énergie d'une onde électromagnétique.
Nombre d'onde (\(k\))
Grandeur proportionnelle à l'inverse de la longueur d'onde (\(k = 2\pi/\lambda\)), qui mesure le nombre de radians par unité de distance.
Propagation des Ondes EM - Exercice d'Application

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