Circuit RLC Série : Impédance et Résonance

Contexte : Le Circuit RLC SérieUn circuit électrique composé d'une résistance (R), d'une bobine (L) et d'un condensateur (C) connectés en série..

Les circuits RLC sont fondamentaux en électronique et en électromagnétisme. Ils sont au cœur de nombreuses applications comme les filtres de fréquence, les oscillateurs ou les circuits d'accord des radios. Cet exercice vous guidera à travers le calcul de l'impédanceL'opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif. C'est l'équivalent de la résistance en courant continu, mais elle inclut aussi les effets des bobines et des condensateurs., du courant et de la fréquence de résonanceLe phénomène qui se produit dans un circuit RLC lorsque les effets de la bobine et du condensateur s'annulent, minimisant l'impédance et maximisant le courant., des concepts clés pour analyser le comportement d'un circuit en régime sinusoïdal.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à analyser la "lutte" entre l'effet inductif (qui s'oppose aux variations rapides du courant) et l'effet capacitif (qui s'oppose aux variations rapides de la tension). Comprendre le point d'équilibre, la résonance, est essentiel pour maîtriser le filtrage et l'accord de fréquence.

Objectifs Pédagogiques

Calculer l'impédance complexe et le module d'un circuit RLC série.
Déterminer la fréquence de résonance du circuit.
Analyser le déphasageLa différence d'angle (ou de temps) entre la tension et le courant dans un circuit alternatif. Un déphasage nul indique un comportement résistif. entre la tension et le courant.
Comprendre l'influence de la fréquence sur le comportement du circuit (capacitif, inductif ou résistif).

Données de l'étude

On considère un circuit RLC série alimenté par une source de tension alternative sinusoïdale $v_s(t)$ de valeur efficace $V_s$ et de fréquence $f$.

Schéma du Circuit RLC Série

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Résistance	$R$	100	Ohm ($\Omega$)
Inductance	$L$	20	millihenry (mH)
Capacité	$C$	50	microfarad ($\mu$F)
Tension efficace source	$V_s$	24	Volt (V)
Fréquence	$f$	60	Hertz (Hz)

Questions à traiter

Calculer la réactance inductiveL'opposition d'une bobine au passage d'un courant alternatif, due au champ magnétique qu'elle génère. Elle augmente avec la fréquence. ($X_L$) et la réactance capacitiveL'opposition d'un condensateur au passage d'un courant alternatif, due à sa capacité à stocker de la charge. Elle diminue avec la fréquence. ($X_C$) à la fréquence donnée.
Déterminer l'impédance totale du circuit $Z$ (en forme complexe et son module $|Z|$).
Calculer le courant efficace ($I$) traversant le circuit ainsi que le déphasage ($\phi$) tension-courant.
Calculer la fréquence de résonance ($f_0$) du circuit. Que vaut l'impédance à cette fréquence ?

Les bases sur les Circuits RLC

Pour résoudre cet exercice, il est essentiel de comprendre deux concepts clés : l'impédance et la résonance.

1. L'Impédance Complexe ($Z$)
En régime sinusoïdal, chaque composant oppose une certaine résistance au passage du courant. Cette opposition est appelée impédance. C'est un nombre complexe qui combine la résistance (partie réelle) et la réactance (partie imaginaire). \[ Z = R + j(X_L - X_C) \] Où $j$ est l'unité imaginaire ($j^2 = -1$), $R$ est la résistance, $X_L$ la réactance inductive et $X_C$ la réactance capacitive.

2. La Résonance
La résonance est un phénomène particulier qui se produit à une fréquence spécifique, appelée fréquence de résonance $f_0$. À cette fréquence, la réactance inductive et la réactance capacitive sont égales ($X_L = X_C$) et s'annulent. L'impédance du circuit est alors minimale et purement résistive ($Z=R$). \[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

Correction : Circuit RLC Série : Impédance et Résonance

Question 1 : Calcul des réactances $X_L$ et $X_C$

Principe (le concept physique)

La réactance est l'opposition "inerte" d'un composant (bobine ou condensateur) au passage d'un courant alternatif. Elle ne dissipe pas d'énergie comme une résistance, mais la stocke temporairement. La bobine, par son champ magnétique, s'oppose aux variations rapides du courant (elle a plus d'inertie à haute fréquence). Le condensateur, en se chargeant, s'oppose aux variations de tension et laisse plus facilement passer les courants de haute fréquence.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La pulsation $\omega$ (en rad/s) est une mesure de la vitesse de rotation du vecteur de Fresnel associé au signal sinusoïdal. Elle est directement proportionnelle à la fréquence $f$ (en Hz) par la relation $\omega = 2\pi f$. C'est cette vitesse de "rotation" qui dicte la réaction des composants L et C. Une bobine idéale a une impédance $Z_L = jL\omega$, purement imaginaire positive. Un condensateur idéal a une impédance $Z_C = 1/(jC\omega) = -j/(C\omega)$, purement imaginaire négative.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Visualisez la fréquence comme le rythme d'une musique. Une grosse masse (la bobine) est difficile à secouer rapidement (réactance élevée à haute fréquence). Une membrane souple (le condensateur) vibre facilement avec des rythmes rapides (réactance faible à haute fréquence). Cette analogie aide à se souvenir du comportement de $X_L$ et $X_C$.

Normes (la référence réglementaire)

Il n'y a pas de "norme" réglementaire pour ce calcul, mais il repose sur les lois fondamentales de l'électromagnétisme (lois de Faraday pour l'induction, définition de la capacité). Les formules utilisées sont universellement reconnues et standardisées dans tous les ouvrages et cursus d'ingénierie électrique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Réactance inductive ($X_L$)

X_L = L \cdot \omega = L \cdot 2\pi f

Réactance capacitive ($X_C$)

X_C = \frac{1}{C \cdot \omega} = \frac{1}{C \cdot 2\pi f}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les composants sont considérés comme idéaux : la résistance de la bobine est nulle, le condensateur n'a pas de fuite.
Le circuit fonctionne en régime sinusoïdal établi.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Fréquence, $f = 60 \text{ Hz}$
Inductance, $L = 20 \text{ mH} = 20 \times 10^{-3} \text{ H}$
Capacité, $C = 50 \text{ } \mu\text{F} = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour les fréquences standards du réseau électrique (50 ou 60 Hz), il est utile de retenir que $\omega$ vaut environ 314 ou 377 rad/s. Cela peut servir pour une estimation rapide.

Schéma (Avant les calculs)

On se concentre sur les composants L et C, soumis à la tension alternative. Leur opposition au courant dépend de la fréquence de cette source.

Comportement de L et C avec la fréquence

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de la pulsation $\omega$

\begin{aligned} \omega &= 2\pi f \\ &= 2\pi \times 60 \\ &\approx 377 \text{ rad/s} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de $X_L$

\begin{aligned} X_L &= L \cdot \omega \\ &= (20 \times 10^{-3}) \times 377 \\ &\approx 7.54 \, \Omega \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de $X_C$

\begin{aligned} X_C &= \frac{1}{C \cdot \omega} \\ &= \frac{1}{(50 \times 10^{-6}) \times 377} \\ &\approx 53.05 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce graphique illustre comment les réactances varient avec la fréquence. On voit bien qu'à 60 Hz, la courbe de XC est bien au-dessus de celle de XL.

Évolution des réactances avec la fréquence

Réflexions (l'interprétation du résultat)

À la fréquence du secteur (60 Hz), la réactance capacitive ($53.05 \, \Omega$) est beaucoup plus grande que la réactance inductive ($7.54 \, \Omega$). Cela signifie que le condensateur est l'élément qui "domine" et limite le plus le courant, bien plus que la bobine. Le circuit aura donc un comportement global capacitif.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

La principale source d'erreur est la gestion des unités. Pensez à toujours convertir les millihenrys (mH) en henrys (H) et les microfarads ($\mu$F) en farads (F) avant tout calcul, en utilisant les puissances de 10 ($10^{-3}$ et $10^{-6}$).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

$X_L$ est proportionnelle à la fréquence $f$.
$X_C$ est inversement proportionnelle à la fréquence $f$.
Les unités doivent être homogènes (H, F, Hz) pour obtenir des Ohms.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de réactance a été introduit par l'ingénieur franco-britannique Oliver Heaviside à la fin du 19ème siècle. Il a grandement simplifié les travaux complexes de Maxwell en développant le calcul opérationnel, un outil mathématique puissant encore utilisé aujourd'hui pour l'analyse des circuits.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Les réactances sont : $X_L \approx 7.54 \, \Omega$ et $X_C \approx 53.05 \, \Omega$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Recalculez la réactance inductive $X_L$ si la fréquence était celle du réseau européen, soit 50 Hz. (Réponse attendue en $\Omega$, arrondie à 2 décimales)

Question 2 : Détermination de l'impédance totale Z

Principe (le concept physique)

L'impédance totale n'est pas une simple somme arithmétique. C'est une somme "vectorielle" dans le plan complexe. La résistance R est sur l'axe horizontal (réel), et la réactance totale $X = X_L - X_C$ est sur l'axe vertical (imaginaire). Le module $|Z|$ est la "longueur" de ce vecteur, représentant l'opposition totale au courant.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le plan complexe est un outil parfait pour représenter les impédances. Le module $|Z|$ est calculé via le théorème de Pythagore : $|Z| = \sqrt{R^2 + X^2}$. L'angle (ou argument) $\phi$ de ce vecteur complexe représente le déphasage entre la tension et le courant, calculé par $\phi = \arctan(X/R)$. Cet ensemble ($|Z|, \phi$) est la forme polaire de l'impédance, tandis que $Z=R+jX$ est la forme rectangulaire.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Dessinez toujours le "triangle de l'impédance" : un triangle rectangle avec R comme côté adjacent, X comme côté opposé, et |Z| comme hypoténuse. Cela aide à visualiser les relations et à ne pas se tromper dans les formules de Pythagore et de trigonométrie.

Normes (la référence réglementaire)

L'utilisation des nombres complexes et de la notation $j$ pour l'analyse des circuits AC est une convention standardisée internationalement par des organismes comme la Commission Électrotechnique Internationale (CEI).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Impédance complexe

\[ Z = R + j(X_L - X_C) \]

Module de l'impédance

|Z| = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les trois impédances (R, ZL, ZC) sont en série, leurs valeurs complexes s'additionnent donc directement.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Résistance, $R = 100 \, \Omega$
Réactance inductive, $X_L \approx 7.54 \, \Omega$
Réactance capacitive, $X_C \approx 53.05 \, \Omega$

Astuces (Pour aller plus vite)

Avant de calculer la racine carrée, regardez le signe de $X = X_L - X_C$. S'il est positif, le circuit est inductif. S'il est négatif, il est capacitif. C'est une vérification rapide et utile.

Schéma (Avant les calculs)

Le triangle de l'impédance permet de visualiser la composition vectorielle de Z.

Triangle de l'impédance

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul de la réactance totale

\begin{aligned} X &= X_L - X_C \\ &= 7.54 - 53.05 \\ &= -45.51 \, \Omega \end{aligned}

Étape 2 : Écriture de l'impédance complexe

Z = 100 - j45.51 \, \Omega

Étape 3 : Calcul du module $|Z|$

\begin{aligned} |Z| &= \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} \\ &= \sqrt{100^2 + (-45.51)^2} \\ &= \sqrt{10000 + 2071.16} \\ &\approx 109.87 \, \Omega \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le vecteur impédance se situe dans le quatrième quadrant du plan complexe, confirmant le comportement capacitif.

Vecteur Impédance Z

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le module de l'impédance, 109.87 $\Omega$, est supérieur à la résistance seule (100 $\Omega$). C'est normal, car les réactances ajoutent une opposition supplémentaire au courant. Le fait que la partie imaginaire soit négative confirme que le circuit est capacitif à cette fréquence.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention en calculant le module : le carré d'un nombre négatif est positif. L'erreur commune est d'écrire $\sqrt{100^2 - 45.51^2}$. Il faut bien additionner les carrés des deux composantes : $\sqrt{R^2 + X^2}$.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

L'impédance complexe $Z=R+jX$ additionne vectoriellement résistance et réactance.
Le module $|Z|$ représente la magnitude de l'opposition totale au courant.
Le signe de la partie imaginaire $X$ détermine le caractère inductif (+) ou capacitif (-) du circuit.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

C'est l'ingénieur américain Charles Proteus Steinmetz qui a popularisé l'usage des nombres complexes pour l'analyse des circuits AC à la fin du 19e siècle. Son travail a transformé des problèmes de calcul différentiel complexes en simples problèmes d'algèbre, révolutionnant l'ingénierie électrique.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

L'impédance complexe est $Z = 100 - j45.51 \, \Omega$ et son module est $|Z| \approx 109.87 \, \Omega$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Calculez le module de l'impédance $|Z|$ si la résistance était de $50 \, \Omega$ (en gardant les mêmes réactances). (Réponse attendue en $\Omega$, arrondie à 2 décimales)

Question 3 : Calcul du courant I et du déphasage $\phi$

Principe (le concept physique)

La loi d'Ohm en alternatif ($V=ZI$) nous dit que le courant est directement proportionnel à la tension et inversement proportionnel à l'impédance. Le déphasage $\phi$ est l'angle de l'impédance Z ; il représente le "retard" ou "l'avance" temporelle du courant par rapport à la tension, causé par les effets de stockage d'énergie de L et C.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

En notation phaseur, on écrit $\vec{V} = Z \cdot \vec{I}$. En passant aux modules, on a $V = |Z| \cdot I$. Pour les phases, on a $\text{arg}(\vec{V}) = \text{arg}(Z) + \text{arg}(\vec{I})$. Si on prend la tension comme référence de phase (0°), alors $\text{arg}(\vec{I}) = -\text{arg}(Z) = -\phi$. Un $\phi$ positif (circuit inductif) signifie que le courant est en retard. Un $\phi$ négatif (circuit capacitif) signifie que le courant est en avance.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pour le déphasage, retenez le moyen mnémotechnique "ELI the ICE man". Dans une inductance (L), la tension (E) vient avant le courant (I). Dans un condensateur (C), le courant (I) vient avant la tension (E). Notre circuit est capacitif, donc le courant doit être en avance sur la tension, ce qui correspond à un angle $\phi$ négatif.

Normes (la référence réglementaire)

La convention de mesurer le déphasage de la tension par rapport au courant est un standard de fait en ingénierie électrique. Un angle positif indique une charge inductive (comme un moteur), ce qui est important pour les fournisseurs d'électricité car cela affecte le facteur de puissance.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Courant efficace

I = \frac{V_s}{|Z|}

Déphasage

\phi = \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right)

Hypothèses (le cadre du calcul)

La tension source $V_s$ est une valeur efficace (RMS), donc le courant calculé $I$ sera aussi une valeur efficace.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Tension efficace, $V_s = 24 \text{ V}$
Module de l'impédance, $|Z| \approx 109.87 \, \Omega$
Réactance totale, $X = -45.51 \, \Omega$
Résistance, $R = 100 \, \Omega$

Astuces (Pour aller plus vite)

Le déphasage $\phi$ est l'angle du vecteur impédance. Si vous avez déjà dessiné le triangle de l'impédance, vous pouvez voir immédiatement si l'angle sera positif (au-dessus de l'axe réel) ou négatif (en dessous).

Schéma (Avant les calculs)

Le diagramme des phaseurs illustre la relation angulaire entre la tension source (référence) et le courant qui en résulte.

Diagramme de Fresnel (Phaseurs)

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du courant efficace $I$

\begin{aligned} I &= \frac{V_s}{|Z|} \\ &= \frac{24 \text{ V}}{109.87 \, \Omega} \\ &\approx 0.218 \text{ A} \\ &= 218 \text{ mA} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du déphasage $\phi$

\begin{aligned} \phi &= \arctan\left(\frac{X_L - X_C}{R}\right) \\ &= \arctan\left(\frac{-45.51}{100}\right) \\ &\approx -24.47^\circ \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

La représentation temporelle montre le décalage entre les sinusoïdes de tension et de courant. Le courant (en rouge) atteint son maximum avant la tension (en bleu), ce qui visualise l'avance de phase.

Tension et Courant dans le temps

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Un déphasage négatif de -24.47° signifie que le courant est en avance de 24.47 degrés sur la tension. Ceci confirme le comportement capacitif du circuit, où le condensateur "force" le courant à s'établir avant que la tension n'atteigne son maximum.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Assurez-vous que votre calculatrice est en mode "degrés" et non "radians" pour calculer l'arc tangente si vous voulez un résultat en degrés. Une erreur de mode est très fréquente et mène à des résultats incohérents.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La loi d'Ohm $I = V/|Z|$ s'applique aux modules (valeurs efficaces).
Le déphasage $\phi$ est l'angle de l'impédance Z.
$\phi < 0 \Rightarrow$ Circuit capacitif (courant en avance).
$\phi > 0 \Rightarrow$ Circuit inductif (courant en retard).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

La "guerre des courants" à la fin du 19e siècle a opposé Thomas Edison (partisan du courant continu, DC) à Nikola Tesla et George Westinghouse (partisans du courant alternatif, AC). L'AC l'a emporté, notamment parce que sa tension peut être facilement élevée ou abaissée avec des transformateurs, ce qui est crucial pour le transport d'électricité sur de longues distances. L'analyse des circuits AC comme celui-ci est l'héritage direct de cette victoire.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le courant efficace est $I \approx 218 \text{ mA}$ et le déphasage tension-courant est $\phi \approx -24.47^\circ$ (courant en avance).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Quel serait le courant efficace $I$ si la tension source était de 120 V (en gardant la même impédance) ? (Réponse attendue en A, arrondie à 2 décimales)

Question 4 : Calcul de la fréquence de résonance $f_0$

Principe (le concept physique)

La résonance est le point d'équilibre où le circuit oscille le plus "librement". À cette fréquence précise, l'énergie stockée par la bobine sous forme magnétique est parfaitement échangée avec l'énergie stockée par le condensateur sous forme électrique. Les deux effets s'annulent, et le circuit ne présente plus que sa résistance pure au passage du courant.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La condition de résonance est $X_L = X_C$. En remplaçant par les formules, on obtient $L\omega_0 = 1/(C\omega_0)$. En isolant $\omega_0$, on trouve la pulsation de résonance $\omega_0 = 1/\sqrt{LC}$. Comme $\omega = 2\pi f$, on en déduit la fréquence de résonance $f_0 = \omega_0 / (2\pi)$. À ce point, l'impédance $Z = R + j(X_L - X_C)$ devient $Z=R$, son module est minimal ($|Z|=R$) et le déphasage est nul.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Pensez à une balançoire. Si vous la poussez à sa fréquence naturelle (sa fréquence de résonance), elle ira très haut avec un minimum d'effort. C'est pareil pour le circuit RLC : à la fréquence de résonance, la source de tension fournit un courant maximal car l'opposition du circuit (l'impédance) est à son plus bas niveau.

Normes (la référence réglementaire)

La formule de la fréquence de résonance (parfois appelée formule de Thomson) est un résultat fondamental de la théorie des circuits et ne dépend d'aucune norme spécifique, mais est utilisée dans la conception de tous les circuits oscillants normalisés (circuits radio, filtres, etc.).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Fréquence de résonance

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les valeurs de L et C sont constantes et ne dépendent pas de la fréquence ou de la température.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Inductance, $L = 20 \times 10^{-3} \text{ H}$
Capacité, $C = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$

Astuces (Pour aller plus vite)

Notez que la fréquence de résonance ne dépend que de L et C. La résistance R n'influence pas la fréquence à laquelle la résonance se produit, mais elle affecte "l'acuité" de cette résonance (un R faible donne une résonance plus "pointue" et un courant plus élevé).

Schéma (Avant les calculs)

La résonance se produit à l'intersection des courbes de réactance inductive (droite croissante) et capacitive (hyperbole décroissante).

Détermination graphique de la résonance

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Calcul du produit LC

\begin{aligned} LC &= (20 \times 10^{-3}) \times (50 \times 10^{-6}) \\ &= 1 \times 10^{-6} \text{ s}^2 \end{aligned}

Étape 2 : Calcul de $\sqrt{LC}$

\begin{aligned} \sqrt{LC} &= \sqrt{1 \times 10^{-6}} \\ &= 10^{-3} \text{ s} \end{aligned}

Étape 3 : Calcul de $f_0$

\begin{aligned} f_0 &= \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \\ &= \frac{1}{2\pi \times 10^{-3}} \\ &\approx 159.15 \text{ Hz} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Ce graphique montre la courbe de l'impédance en fonction de la fréquence. On observe un "creux" où l'impédance est minimale. Ce point correspond exactement à la fréquence de résonance calculée.

Courbe d'impédance et résonance

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La fréquence de résonance est de 159.15 Hz. C'est à cette fréquence que le circuit laissera passer le plus de courant. Si ce circuit était utilisé comme filtre dans une radio, il serait "accordé" pour sélectionner cette fréquence spécifique parmi toutes les autres. À $f_0$, on a $X_L - X_C = 0$, donc l'impédance $Z$ est simplement égale à $R$, soit $Z = 100 \, \Omega$.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne pas oublier le facteur $2\pi$ dans la formule finale est crucial. Une erreur fréquente est de calculer $1/\sqrt{LC}$, ce qui donne la pulsation de résonance $\omega_0$, et non la fréquence $f_0$.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

La résonance se produit quand $X_L = X_C$.
La fréquence de résonance $f_0$ ne dépend que de L et C.
À la résonance, l'impédance est minimale ($|Z|=R$) et le courant est maximal ($I=V_s/R$).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le premier récepteur radio, inventé par Guglielmo Marconi, était essentiellement un circuit LC accordable. En tournant un bouton, on changeait la valeur de la capacité (C), ce qui modifiait la fréquence de résonance $f_0$ du circuit. Cela permettait de "syntoniser" le récepteur sur la fréquence d'une station émettrice spécifique, un principe encore utilisé aujourd'hui.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

La fréquence de résonance est $f_0 \approx 159.15 \text{ Hz}$. À cette fréquence, l'impédance du circuit est $|Z| = R = 100 \, \Omega$.

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Quelle devrait être la valeur de l'inductance L pour que la fréquence de résonance soit de 100 Hz (avec C=50 µF) ? (Réponse attendue en mH, arrondie à 1 décimale)

Outil Interactif : Simulateur d'Impédance

Utilisez les curseurs pour faire varier la fréquence et la capacité. Observez comment l'impédance totale et le courant changent. Le graphique montre l'évolution de l'impédance en fonction de la fréquence, mettant en évidence le creux à la résonance.

Paramètres d'Entrée

Fréquence ($f$) 60 Hz

Capacité ($C$) 50 µF

Résultats Clés

Impédance $|Z|$ ($\Omega$) -

Courant $I$ (mA) -

Impédance ($Z$): Opposition totale d'un circuit au passage d'un courant alternatif (AC). Elle est mesurée en Ohms ($\Omega$) et est l'équivalent de la résistance en courant continu, mais elle inclut aussi les effets des bobines (inductances) et des condensateurs (capacités).
Réactance ($X$): Partie imaginaire de l'impédance, représentant l'opposition au courant due aux inductances ($X_L$) et capacités ($X_C$). Elle varie avec la fréquence du signal.
Résonance: Phénomène se produisant à une fréquence spécifique ($f_0$) où la réactance inductive et la réactance capacitive s'annulent ($X_L = X_C$). À la résonance, l'impédance est minimale et le courant est maximal.
Déphasage ($\phi$): Différence d'angle ou de phase entre la tension et le courant dans un circuit AC. Il indique si le courant est en avance (circuit capacitif), en retard (circuit inductif) ou en phase (circuit résistif) par rapport à la tension.

Circuit RLC Série : Impédance et Résonance

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma du Circuit RLC Série

Questions à traiter

Les bases sur les Circuits RLC

Correction : Circuit RLC Série : Impédance et Résonance

Question 1 : Calcul des réactances \(X_L\) et \(X_C\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Comportement de L et C avec la fréquence

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Évolution des réactances avec la fréquence

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Question 2 : Détermination de l'impédance totale Z

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Triangle de l'impédance

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Vecteur Impédance Z

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Question 3 : Calcul du courant I et du déphasage \(\phi\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)

Diagramme de Fresnel (Phaseurs)

Calcul(s) (l'application numérique)

Schéma (Après les calculs)

Tension et Courant dans le temps

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Question 4 : Calcul de la fréquence de résonance \(f_0\)

Principe (le concept physique)

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Normes (la référence réglementaire)

Formule(s) (l'outil mathématique)

Hypothèses (le cadre du calcul)

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Astuces (Pour aller plus vite)

Schéma (Avant les calculs)