Application du Théorème de Gauss

Comprendre le Théorème de Gauss pour un Cylindre

Le théorème de Gauss est un outil extrêmement puissant en électrostatique. Il établit une relation entre le flux du champ électriqueLe flux du champ électrique à travers une surface fermée est une mesure du "nombre" de lignes de champ qui traversent cette surface. Il est proportionnel à la charge totale contenue à l'intérieur de la surface. à travers une surface fermée et la charge électrique totale contenue à l'intérieur de cette surface. Pour des distributions de charge présentant une grande symétrie (sphérique, cylindrique, plane), ce théorème permet de calculer le champ électrique beaucoup plus simplement que par intégration directe de la loi de Coulomb. L'astuce consiste à choisir une surface de Gauss "intelligente" qui épouse la symétrie du problème, rendant le calcul du flux trivial.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre la méthode complète pour appliquer le théorème de Gauss. Les points cruciaux sont (1) l'analyse des symétries pour déterminer la direction et les dépendances du champ, (2) le choix judicieux de la surface de Gauss, et (3) le calcul du flux et de la charge intérieure.

Données de l'étude

On considère un cylindre infini de rayon \(R\), portant une densité de charge volumique uniforme \(\rho\).

Caractéristiques du cylindre et constantes :

Rayon du cylindre (\(R\)) : \(5.0 \, \text{cm}\)
Densité de charge volumique (\(\rho\)) : \(+2.0 \, \mu\text{C/m}^3\)
Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)) : \(8.854 \times 10^{-12} \, \text{F/m}\)

Schéma du Cylindre Infini Chargé

Questions à traiter

Par des arguments de symétrie, déterminer la direction du champ électrique \(\vec{E}\) et de quelles variables il dépend.
Calculer le champ électrique \(E(r)\) à l'intérieur du cylindre (pour \(r < R\)).
Calculer le champ électrique \(E(r)\) à l'extérieur du cylindre (pour \(r > R\)).

Correction : Application du Théorème de Gauss pour un Cylindre Infini Chargé

Question 1 : Analyse des Symétries

Principe :

Pour un cylindre infini, la distribution de charge est invariante par rotation autour de son axe (symétrie cylindrique) et par translation le long de cet axe. Par conséquent, le champ électrique ne peut être que radial et ne dépendre que de la distance \(r\) à l'axe.

Raisonnement :

Invariance par rotation : Si on fait tourner le cylindre sur lui-même, la physique du problème ne change pas. Le champ \(\vec{E}\) doit donc être le même. Cela impose qu'il n'ait pas de composante orthoradiale (\(E_\theta = 0\)).
Invariance par translation : Si on se déplace le long de l'axe \(z\), le cylindre infini est identique. Le champ ne peut donc pas dépendre de \(z\). Cela impose que la composante axiale du champ soit nulle (\(E_z=0\)), sinon le champ pointerait vers le haut ou le bas, brisant la symétrie.

Résultat Question 1 : Le champ électrique est purement radial, dirigé selon le vecteur \(\vec{u}_r\), et ne dépend que de la distance radiale \(r\) : \(\vec{E}(r) = E(r) \vec{u}_r\).

Question 2 : Champ Électrique à l'Intérieur (\(r < R\))

Principe :

On applique le théorème de Gauss en choisissant une surface de Gauss (SG) cylindrique de rayon \(r < R\) et de hauteur \(h\), coaxiale avec le cylindre chargé. Le flux du champ électrique à travers cette surface est égal à la charge totale \(Q_{\text{int}}\) contenue à l'intérieur de cette surface, divisée par \(\epsilon_0\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le choix de la surface de Gauss est la clé du succès. En prenant un cylindre, le vecteur surface \(d\vec{S}\) est toujours parallèle au champ \(\vec{E}\) sur la face latérale, et perpendiculaire sur les "couvercles" (bases). Cela simplifie énormément le calcul du produit scalaire dans l'intégrale du flux.

Formule(s) utilisée(s) :

\oint_{S_G} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}

Calcul(s) :

1. Calcul du flux (\(\Phi_E\))

\begin{aligned} \Phi_E &= \oint \vec{E} \cdot d\vec{S} \\ &= \int_{\text{latérale}} E(r) dS + \int_{\text{bases}} \vec{E} \cdot d\vec{S} \\ &= E(r) \cdot (2\pi r h) + 0 \quad (\text{car } \vec{E} \perp d\vec{S} \text{ sur les bases}) \\ &= 2\pi r h E(r) \end{aligned}

2. Calcul de la charge intérieure (\(Q_{\text{int}}\))

\begin{aligned} Q_{\text{int}} &= \rho \cdot V_{\text{int}} \\ &= \rho \cdot (\pi r^2 h) \end{aligned}

3. Application de Gauss et résolution

\begin{aligned} 2\pi r h E(r) &= \frac{\rho \pi r^2 h}{\epsilon_0} \\ E(r) &= \frac{\rho r}{2 \epsilon_0} \end{aligned}

Résultat Question 2 : À l'intérieur du cylindre, le champ électrique est \(E(r) = \frac{\rho r}{2 \epsilon_0}\). Il augmente linéairement avec la distance \(r\) à l'axe.

Question 3 : Champ Électrique à l'Extérieur (\(r > R\))

Principe :

On utilise la même méthode, mais cette fois avec une surface de Gauss cylindrique de rayon \(r > R\). Le calcul du flux est identique, mais la charge intérieure \(Q_{\text{int}}\) est maintenant la charge totale contenue dans le cylindre de rayon \(R\) et de hauteur \(h\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Pour un observateur extérieur (\(r > R\)), toute la charge du cylindre semble être concentrée sur son axe. Le champ décroît en \(1/r\), exactement comme celui d'un fil infini. C'est une conséquence générale du théorème de Gauss pour les distributions à symétrie cylindrique.

Formule(s) utilisée(s) :

\oint_{S_G} \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}

Calcul(s) :

1. Calcul du flux (\(\Phi_E\)) - Identique à l'étape précédente

\Phi_E = 2\pi r h E(r)

2. Calcul de la charge intérieure (\(Q_{\text{int}}\))

\begin{aligned} Q_{\text{int}} &= \rho \cdot V_{\text{cylindre chargé}} \\ &= \rho \cdot (\pi R^2 h) \quad (\text{Attention, le volume de charge s'arrête à R !}) \end{aligned}

3. Application de Gauss et résolution

\begin{aligned} 2\pi r h E(r) &= \frac{\rho \pi R^2 h}{\epsilon_0} \\ E(r) &= \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0 r} \end{aligned}

Résultat Question 3 : À l'extérieur du cylindre, le champ électrique est \(E(r) = \frac{\rho R^2}{2 \epsilon_0 r}\). Il décroît en \(1/r\).

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Région	Expression du Champ Électrique \(E(r)\)
Intérieur (\(r < R\))	Cliquez pour révéler
Extérieur (\(r > R\))	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Calculez la valeur numérique du champ électrique à une distance \(r = 10 \, \text{cm}\) de l'axe, en utilisant les données de l'énoncé. Donnez votre réponse en V/m.

\(E\) (en V/m) =

Pièges à Éviter

Unités : Convertissez systématiquement les cm en m et les µC en C avant de faire l'application numérique.

Charge intérieure : La plus grande erreur est de mal calculer \(Q_{\text{int}}\). Pour \(r > R\), la charge enfermée ne dépend plus de \(r\), mais s'arrête au rayon \(R\) du cylindre physique.

Surface de Gauss : N'oubliez pas que le flux à travers les bases de la surface de Gauss est nul grâce à la symétrie. Seule la surface latérale \(2\pi r h\) contribue au flux.

Simulation Interactive du Champ Électrique

Observez comment le champ électrique varie en fonction de la distance à l'axe.

Paramètres de Simulation

Densité de charge (\(\rho\)): 2.0 µC/m³

Rayon du cylindre (\(R\)): 5.0 cm

Profil du Champ Électrique \(E(r)\)

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Cylindre Creux :

Comment le champ électrique changerait-il si la charge était répartie uniquement entre un rayon interne \(a\) et un rayon externe \(b\) ? Le champ serait nul pour \(r < a\), puis augmenterait, et enfin décroîtrait en \(1/r\) pour \(r > b\).

2. Densité de Charge Non-Uniforme :

Que se passerait-il si la densité de charge n'était pas uniforme, par exemple \(\rho(r) = k r\) ? L'analyse de symétrie reste valide, mais le calcul de la charge intérieure \(Q_{\text{int}}\) nécessiterait une intégrale : \(Q_{\text{int}} = \int_0^r \rho(r') \cdot 2\pi r' h \, dr'\).

3. Potentiel Électrique :

Le potentiel électrique \(V(r)\) peut être obtenu en intégrant le champ électrique : \(V(r) - V(r_0) = -\int_{r_0}^r \vec{E} \cdot d\vec{l}\). À l'extérieur, le potentiel varie comme \(\ln(r)\), ce qui est caractéristique des problèmes à deux dimensions.

Le Saviez-Vous ?

Le théorème de Gauss est l'une des quatre équations de Maxwell, qui forment la base de l'électromagnétisme classique. Sous sa forme différentielle, \(\nabla \cdot \vec{E} = \rho / \epsilon_0\), il énonce que les charges électriques sont les "sources" et les "puits" du champ électrique.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi l'hypothèse du cylindre "infini" est-elle importante ?

L'hypothèse de l'infini nous permet de négliger les "effets de bord". Pour un cylindre fini, le champ électrique près des extrémités n'est plus parfaitement radial. L'invariance par translation n'est plus vraie, ce qui complique énormément le calcul. Cependant, pour des points loin des extrémités, le modèle du cylindre infini est une excellente approximation.

Et si le cylindre était un conducteur en équilibre ?

S'il s'agissait d'un cylindre conducteur, le champ électrique à l'intérieur (\(r < R\)) serait nul. Toute la charge se répartirait sur la surface du cylindre. Le calcul pour l'extérieur (\(r > R\)) serait similaire, mais on utiliserait une densité de charge surfacique \(\sigma\) au lieu de volumique \(\rho\).

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. À l'intérieur du cylindre chargé, le champ électrique :

Augmente linéairement avec r.
Est constant.
Diminue en 1/r.

2. Si on double le rayon R du cylindre mais qu'on reste à une distance r > R, comment change le champ électrique E(r) ?

Il est divisé par 4.
Il double.
Il est multiplié par 4.

Glossaire

Théorème de Gauss: Principe fondamental de l'électrostatique qui relie le flux du champ électrique à travers une surface fermée à la charge électrique nette enfermée par cette surface.
Flux du Champ Électrique (\(\Phi_E\)): Mesure du nombre total de lignes de champ électrique qui traversent une surface donnée. Pour une surface fermée, il quantifie la charge "source" à l'intérieur.
Surface de Gauss: Une surface fermée imaginaire utilisée pour calculer le flux du champ électrique. Son choix judicieux, en exploitant les symétries du problème, est la clé de la simplification du calcul.
Densité de Charge Volumique (\(\rho\)): La quantité de charge électrique par unité de volume. Unité : Coulombs par mètre cube (C/m³).