Champ Magnétique d'un Câble Coaxial

Contexte : Le Câble Coaxial en Électromagnétisme

Le câble coaxial est un composant omniprésent dans la transmission de signaux haute fréquence (télévision, internet, etc.). Sa structure particulière, composée d'un conducteur central et d'un blindage externe, lui confère des propriétés de confinement du champ électromagnétique exceptionnelles. Le théorème d'AmpèreUn théorème fondamental de l'électromagnétisme qui relie la circulation du champ magnétique le long d'une boucle fermée au courant électrique total qui traverse cette boucle. est l'outil idéal pour calculer le champ magnétique généré par les courants qui le parcourent, grâce à sa symétrie cylindrique.

Remarque Pédagogique : L'efficacité du théorème d'Ampère repose entièrement sur notre capacité à exploiter les symétries du problème. Pour un câble coaxial infiniment long, la symétrie cylindrique nous assure que le champ magnétique est orthoradial (il "tourne" autour de l'axe) et que son module ne dépend que de la distance `r` à l'axe. C'est cette intuition qui guide le choix de la boucle d'Ampère.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer le théorème d'Ampère dans une configuration à symétrie cylindrique.
Déterminer le courant "enlacé" par une boucle d'Ampère dans différentes régions de l'espace.
Calculer et tracer le module du champ magnétique B(r) en fonction de la distance radiale r.
Comprendre le rôle de blindage du conducteur externe.

Données de l'étude

On considère un câble coaxial infiniment long, constitué d'un conducteur central cylindrique plein de rayon \(a\) et d'une gaine conductrice cylindrique creuse de rayon intérieur \(b\) et de rayon extérieur \(c\).

Données disponibles :

Le conducteur central est parcouru par un courant \(+I\) uniforme, sortant du plan de la figure.
La gaine externe est parcourue par un courant de retour \(-I\) uniforme, entrant dans le plan.
On s'intéresse au champ magnétique \(\vec{B}\) en tout point de l'espace.

Schéma de la section du Câble Coaxial

Questions à traiter

Calculer le champ magnétique \(B(r)\) pour \(r < a\) (à l'intérieur du conducteur central).
Calculer le champ magnétique \(B(r)\) pour \(a < r < b\) (entre le conducteur central et la gaine).
Calculer le champ magnétique \(B(r)\) pour \(b < r < c\) (à l'intérieur de la gaine).
Calculer le champ magnétique \(B(r)\) pour \(r > c\) (à l'extérieur du câble).

Correction : Champ Magnétique du Câble Coaxial

Question 1 : Champ pour \(r < a\)

Principe :

On choisit une boucle d'AmpèreUne courbe fermée imaginaire utilisée avec le théorème d'Ampère pour calculer le champ magnétique. Le choix judicieux de cette boucle est la clé pour simplifier le calcul. circulaire de rayon \(r < a\), centrée sur l'axe du câble. Le courant enlacé n'est qu'une fraction du courant total \(I\), proportionnelle à la surface du disque de rayon \(r\) par rapport à la surface totale du conducteur de rayon \(a\).

Formule principale :

\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Calcul intermédiaire : Courant enlacé

I_{\text{enlacé}} = I \times \frac{\text{Surface de la boucle}}{\text{Surface du conducteur}} = I \frac{\pi r^2}{\pi a^2} = I \frac{r^2}{a^2}

Calcul final : Champ magnétique B(r)

\begin{aligned} B \cdot (2\pi r) &= \mu_0 \left( I \frac{r^2}{a^2} \right) \\ \Rightarrow B(r) &= \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2} \end{aligned}

Résultat Q1 : Pour \(r < a\), le champ magnétique croît linéairement : \( B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi a^2} r \).

Question 2 : Champ pour \(a < r < b\)

Principe :

La boucle d'Ampère de rayon \(r\) enlace maintenant la totalité du courant \(+I\) du conducteur central. Le calcul est similaire à celui d'un fil infini unique.

Formule principale :

\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Calcul intermédiaire : Courant enlacé

I_{\text{enlacé}} = I

Calcul final : Champ magnétique B(r)

\begin{aligned} B \cdot (2\pi r) &= \mu_0 I \\ \Rightarrow B(r) &= \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \end{aligned}

Résultat Q2 : Pour \(a < r < b\), le champ décroît en \(1/r\) : \( B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \).

Question 3 : Champ pour \(b < r < c\)

Principe :

La boucle d'Ampère de rayon \(r\) enlace le courant central \(+I\) et une partie du courant de retour \(-I\). La portion du courant de retour est proportionnelle à la surface de l'anneau conducteur comprise entre les rayons \(b\) et \(r\).

Formule principale :

\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Calcul intermédiaire : Courant enlacé

\begin{aligned} I_{\text{enlacé}} &= I_{\text{central}} + I_{\text{retour, partiel}} \\ &= I - I \frac{\pi (r^2 - b^2)}{\pi (c^2 - b^2)} \\ &= I \frac{(c^2 - b^2) - (r^2 - b^2)}{c^2 - b^2} \\ &= I \frac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2} \end{aligned}

Calcul final : Champ magnétique B(r)

\begin{aligned} B \cdot (2\pi r) &= \mu_0 I \left( \frac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2} \right) \\ \Rightarrow B(r) &= \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \left( \frac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2} \right) \end{aligned}

Résultat Q3 : Pour \(b < r < c\), le champ est : \( B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \frac{c^2 - r^2}{c^2 - b^2} \).

Question 4 : Champ pour \(r > c\)

Principe :

La boucle d'Ampère de rayon \(r > c\) enlace la totalité du courant central \(+I\) et la totalité du courant de retour \(-I\). Le courant total enlacé est donc nul.

Formule principale :

\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Calcul intermédiaire : Courant enlacé

I_{\text{enlacé}} = I_{\text{central}} + I_{\text{retour, total}} = (+I) + (-I) = 0

Calcul final : Champ magnétique B(r)

\begin{aligned} B \cdot (2\pi r) &= \mu_0 \cdot 0 \\ \Rightarrow B(r) &= 0 \end{aligned}

Résultat Q4 : Pour \(r > c\), le champ magnétique est nul : \( B(r) = 0 \). C'est l'effet de blindage.

Tableau Récapitulatif Interactif des Champs Magnétiques

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les expressions du champ.

Région	Expression de B(r)
\(r < a\)	Cliquez pour révéler
\(a < r < b\)	Cliquez pour révéler
\(b < r < c\)	Cliquez pour révéler
\(r > c\)	Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : Pour un câble aux dimensions \(a=1 \, \text{cm}\), quelle intensité \(I\) est requise pour produire un champ magnétique de \(1 \, \text{mT}\) (millitesla) à la surface du conducteur central (\(r=a\)) ?

Courant I requis (A):

Simulation Interactive du Champ B(r)

Variez la distance radiale `r` pour voir l'évolution du champ magnétique. Les rayons sont fixés : a=1, b=2, c=3.

Paramètres de Simulation

Courant I (A) : 10 A

Distance radiale r : 1.50

Champ Magnétique B(r)

Profil du Champ Magnétique B en fonction de r

Pièges à Éviter

Calcul du courant enlacé : La principale difficulté est de bien calculer \(I_{\text{enlacé}}\) dans chaque région, surtout à l'intérieur des conducteurs où le courant est distribué sur une surface.

Oublier les deux courants : Pour \(r > b\), il ne faut pas oublier de prendre en compte à la fois le courant central \(+I\) et le courant de retour \(-I\). Leurs effets se combinent (ou s'annulent).

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Inductance et Énergie Magnétique

Le champ magnétique que nous avons calculé stocke de l'énergie dans l'espace entre les conducteurs. Cette capacité à stocker de l'énergie est quantifiée par l'inductance par unité de longueur du câble, donnée par \(\mathcal{L} = \frac{\mu_0}{2\pi} \ln\left(\frac{b}{a}\right)\). C'est une caractéristique essentielle pour l'analyse des circuits.

2. L'Effet de Peau (Skin Effect)

À haute fréquence, les courants ne se répartissent plus uniformément. Le courant \(+I\) se concentre à la surface extérieure du conducteur central, et le courant \(-I\) se concentre sur la surface intérieure de la gaine. Cela modifie le champ magnétique à l'intérieur des conducteurs mais, curieusement, ne change rien au champ dans l'espace entre eux ni à l'extérieur !

Le Saviez-Vous ?

La loi d'Ampère est l'une des quatre célèbres équations de Maxwell, qui unifient l'électricité et le magnétisme. Dans sa forme la plus complète, Maxwell y a ajouté un terme, le "courant de déplacement", qui a prédit l'existence des ondes électromagnétiques (comme la lumière et les ondes radio) se propageant dans le vide, une découverte révolutionnaire.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi le champ est-il nul à l'extérieur ?

Car les courants aller et retour sont égaux et opposés. Vu de l'extérieur (pour \(r > c\)), la boucle d'Ampère enlace un courant total nul (\(+I - I = 0\)). Le câble est donc "neutre" magnétiquement pour un observateur extérieur. C'est le principe du blindage coaxial.

Et si les courants n'étaient pas égaux, par exemple \(+I_1\) et \(-I_2\) ?

Si \(I_1 \neq I_2\), le courant total enlacé pour \(r > c\) serait \(I_1 - I_2 \neq 0\). Dans ce cas, il y aurait un champ magnétique à l'extérieur du câble, qui se comporterait comme un simple fil parcouru par le courant net \(I_1 - I_2\). Le blindage serait imparfait.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Où le champ magnétique B(r) est-il maximal ?

À r = 0
À la surface du conducteur central (r = a)
À la surface interne de la gaine (r = b)

2. Si on double le rayon `a` du conducteur central (en gardant I constant), comment évolue le champ à l'intérieur de celui-ci (formule \( B(r) = \frac{\mu_0 I r}{2\pi a^2} \)) ?

Il est doublé.
Il est divisé par deux.
Il est divisé par quatre.

Glossaire

Théorème d'Ampère: Loi fondamentale de l'électromagnétisme qui stipule que la circulation du champ magnétique \(\vec{B}\) le long d'une courbe fermée (boucle d'Ampère) est proportionnelle au courant électrique total \(I_{\text{enlacé}}\) qui traverse la surface délimitée par cette courbe.
Boucle d'Ampère: Une courbe fermée imaginaire choisie judicieusement pour exploiter les symétries d'un problème et simplifier le calcul de l'intégrale de circulation dans le théorème d'Ampère.
Densité de Courant (J): Le courant électrique par unité de surface (en \(\text{A/m}^2\)). Dans cet exercice, on la suppose uniforme dans chaque conducteur, ce qui signifie que \(J = I / S\), où S est l'aire de la section transversale du conducteur.

Champ Magnétique d’un Câble Coaxial

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Schéma de la section du Câble Coaxial

Questions à traiter

Correction : Champ Magnétique du Câble Coaxial

Question 1 : Champ pour \(r < a\)

Principe :

Formule principale :

Calcul intermédiaire : Courant enlacé

Calcul final : Champ magnétique B(r)

Question 2 : Champ pour \(a < r < b\)

Principe :

Formule principale :

Calcul intermédiaire : Courant enlacé

Calcul final : Champ magnétique B(r)

Question 3 : Champ pour \(b < r < c\)

Principe :

Formule principale :

Calcul intermédiaire : Courant enlacé

Calcul final : Champ magnétique B(r)

Question 4 : Champ pour \(r > c\)

Principe :

Formule principale :

Calcul intermédiaire : Courant enlacé

Calcul final : Champ magnétique B(r)

Tableau Récapitulatif Interactif des Champs Magnétiques

À vous de jouer ! (Défi)

Simulation Interactive du Champ B(r)

Paramètres de Simulation

Profil du Champ Magnétique B en fonction de r

Pièges à Éviter

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

Le Saviez-Vous ?

Foire Aux Questions (FAQ)

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