Transmission d’une Onde Électromagnétique
Contexte : Propagation d'une onde électromagnétiqueUne onde composée de champs électriques et magnétiques oscillants qui se propage dans l'espace et transporte de l'énergie. La lumière visible est un exemple d'onde électromagnétique..
Cet exercice porte sur l'étude de la propagation d'une onde électromagnétique plane, progressive et sinusoïdale, émise par une antenne. Nous analyserons son comportement lorsqu'elle passe du vide à un milieu diélectrique non magnétique. L'objectif est de comprendre comment les propriétés du milieu, telles que sa permittivité, influencent la vitesse de propagation, la longueur d'onde et l'impédance de l'onde.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra d'appliquer les équations de Maxwell pour décrire la propagation des ondes et de comprendre les phénomènes de réflexion et de transmission à l'interface entre deux milieux.
Objectifs Pédagogiques
- Calculer le vecteur d'onde et la vitesse de phase d'une onde dans le vide.
- Déterminer l'expression du champ magnétique associé au champ électrique.
- Analyser la modification des caractéristiques de l'onde (longueur d'onde, impédance) lors du passage dans un milieu diélectrique.
- Calculer les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude.
Données de l'étude
Schéma de la situation physique
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Amplitude du champ électrique incident | \(E_0\) | 10 | V/m |
| Pulsation de l'onde | \(\omega\) | \(3\pi \times 10^8\) | rad/s |
| Permittivité du vide | \(\epsilon_0\) | \(8.854 \times 10^{-12}\) | F/m |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) | H/m |
Questions à traiter
- Étude de l'onde incidente dans le vide : Calculer la fréquence \(f\), le vecteur d'onde \(k_1\) et la vitesse de phase \(v_{\phi1}\) de l'onde dans le vide. Donner l'expression du champ magnétique incident \(\vec{B}_i(z, t)\).
- Étude de l'onde transmise dans le diélectrique : Calculer le nouveau vecteur d'onde \(k_2\), la vitesse de phase \(v_{\phi2}\) et la longueur d'onde \(\lambda_2\) dans le milieu 2.
- Réflexion et transmission : Calculer l'impédance caractéristique \(\eta_1\) du vide et \(\eta_2\) du diélectrique. En déduire les coefficients de réflexion \(r\) et de transmission \(t\) en amplitude pour le champ électrique.
- Amplitudes des ondes : Déterminer les amplitudes \(E_{0r}\) et \(E_{0t}\) des champs électriques des ondes réfléchie et transmise.
Les bases sur les Ondes Électromagnétiques
La propagation des ondes électromagnétiques est régie par les équations de Maxwell. Pour une onde plane progressive harmonique se propageant dans la direction \(\vec{u}_z\) dans un milieu linéaire, homogène et isotrope (LHI), les champs électrique et magnétique sont transverses et perpendiculaires entre eux.
1. Relation de dispersion
Dans un milieu de permittivité \(\epsilon\) et de perméabilité \(\mu\), la relation entre la pulsation \(\omega\) et le nombre d'onde \(k\) est :
\[ k = \omega \sqrt{\epsilon \mu} \]
La vitesse de phase de l'onde est \(v_\phi = \frac{\omega}{k} = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}}\). Dans le vide, \(v_\phi = c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\).
2. Impédance caractéristique du milieu
L'impédance \(\eta\) d'un milieu lie les amplitudes des champs électrique et magnétique (\(E_0 = \eta B_0\)). Elle est donnée par :
\[ \eta = \sqrt{\frac{\mu}{\epsilon}} \]
Dans le vide, \(\eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\epsilon_0}} \approx 377 \text{ } \Omega\).
3. Coefficients de réflexion et transmission (Incidence Normale)
À l'interface entre deux milieux d'impédances \(\eta_1\) et \(\eta_2\), les coefficients de réflexion \(r\) et de transmission \(t\) pour le champ \(\vec{E}\) sont :
\[ r = \frac{E_{0\text{r}}}{E_{0\text{i}}} = \frac{\eta_2 - \eta_1}{\eta_2 + \eta_1} \quad \text{et} \quad t = \frac{E_{0\text{t}}}{E_{0\text{i}}} = \frac{2\eta_2}{\eta_2 + \eta_1} \]
Correction : Transmission d'une Onde Électromagnétique
Question 1 : Étude de l'onde incidente dans le vide
Principe
La première étape consiste à caractériser l'onde dans son milieu initial, le vide. Nous allons utiliser les relations fondamentales des ondes pour déduire ses propriétés (fréquence, vecteur d'onde, vitesse) à partir de sa pulsation. Ensuite, nous utiliserons la structure des ondes planes pour trouver le champ magnétique associé, qui est toujours perpendiculaire au champ électrique et à la direction de propagation.
Mini-Cours
Une onde électromagnétique plane progressive harmonique (OPPH) est une solution des équations de Maxwell dans le vide. Ses champs électrique \(\vec{E}\) et magnétique \(\vec{B}\) sont perpendiculaires entre eux et à la direction de propagation \(\vec{k}\). L'ensemble \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) forme un trièdre direct. La vitesse de propagation de cette onde dans le vide est une constante universelle, \(c\).
Remarque Pédagogique
Visualisez toujours le trièdre direct \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) avec la règle de la main droite. Si \(\vec{E}\) est selon votre pouce (\(\vec{u}_x\)) et \(\vec{k}\) selon votre index (\(\vec{u}_z\)), alors \(\vec{B}\) sortira de votre paume selon le majeur (\(\vec{u}_y\)). C'est un moyen infaillible de déterminer la direction du champ magnétique.
Normes
Les calculs présentés ici relèvent de la physique fondamentale décrite par les équations de Maxwell. Ils ne font pas appel à une norme d'ingénierie spécifique, mais constituent la base sur laquelle toutes les normes en télécommunications et en radiofréquences (comme celles de l'UIT ou de l'IEEE) sont construites.
Formule(s)
Fréquence et Pulsation
Vitesse de phase et vecteur d'onde
Relation Champ Électrique - Magnétique
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- L'onde est une onde plane : son amplitude est constante sur tout plan perpendiculaire à la direction de propagation.
- Le milieu 1 est le vide parfait, sans charge ni courant.
- L'onde est progressive, elle se propage dans une seule direction (ici, les \(z\) croissants).
Donnée(s)
Nous partons des données de l'énoncé pour l'onde incidente.
- Pulsation, \(\omega = 3\pi \times 10^8 \text{ rad/s}\)
- Amplitude du champ électrique, \(E_0 = 10 \text{ V/m}\)
- Milieu 1 : Vide, donc \(v_{\phi1} = c \approx 3 \times 10^8 \text{ m/s}\)
Astuces
Pour les calculs dans le vide, rappelez-vous que la vitesse de la lumière \(c\) est une constante fondamentale. Si vous connaissez la pulsation \(\omega\), vous obtenez immédiatement le nombre d'onde \(k_1 = \omega/c\). C'est un raccourci très utile.
Schéma (Avant les calculs)
Trièdre direct de l'onde incidente
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la fréquence \(f\)
Étape 2 : Calcul du vecteur d'onde \(k_1\)
Étape 3 : Calcul du champ magnétique \(\vec{B}_i\)
Étape 4 : Application numérique pour l'amplitude de \(\vec{B}_i\)
Schéma (Après les calculs)
Trièdre direct de l'onde incidente
Réflexions
Le résultat montre que l'amplitude du champ magnétique (en Teslas) est beaucoup plus faible que celle du champ électrique (en V/m). C'est une caractéristique générale des ondes électromagnétiques dans le vide, le rapport des deux étant la constante \(c\). C'est pourquoi on caractérise souvent une onde par son champ électrique seul.
Points de vigilance
L'erreur la plus commune est de se tromper dans le produit vectoriel pour trouver la direction de \(\vec{B}\). Utilisez systématiquement la règle de la main droite et vérifiez que votre trièdre \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) est direct.
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Dans le vide, les ondes EM se propagent à la vitesse \(c\).
- Formule Essentielle : \(k = \omega/c\) et \(B_0 = E_0/c\).
- Point de Vigilance Majeur : La direction de \(\vec{B}\) est donnée par le produit vectoriel \(\vec{k} \times \vec{E}\) (à un facteur près).
Le saviez-vous ?
James Clerk Maxwell a prédit l'existence des ondes électromagnétiques et a calculé leur vitesse en 1865 en se basant uniquement sur des mesures électriques et magnétiques. Il a trouvé une valeur très proche de la vitesse de la lumière alors connue, ce qui l'a conduit à postuler que la lumière elle-même est une onde électromagnétique.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si l'amplitude du champ électrique était de 3 V/m, quelle serait l'amplitude du champ magnétique en nT (nanoTeslas) ?
Question 2 : Étude de l'onde transmise dans le diélectrique
Principe
Lorsque l'onde pénètre dans le nouveau milieu, sa pulsation (et donc sa fréquence) reste inchangée, car elle est imposée par la source. Cependant, la vitesse de propagation change car elle dépend des propriétés du milieu (\(\epsilon\) et \(\mu\)). Ce ralentissement de l'onde affecte directement son vecteur d'onde et sa longueur d'onde.
Mini-Cours
L'indice de réfraction \(n\) d'un milieu non magnétique est défini par \(n = \sqrt{\epsilon_r}\). Il quantifie le ralentissement de la lumière dans ce milieu par rapport au vide. La vitesse de phase est alors \(v_\phi = c/n\). Comme la fréquence \(f\) ne change pas, la longueur d'onde dans le milieu, \(\lambda = v_\phi/f\), est également réduite d'un facteur \(n\) par rapport à la longueur d'onde dans le vide \(\lambda_0\) : \(\lambda = \lambda_0/n\).
Remarque Pédagogique
Le point le plus important à retenir lors du passage d'une interface est l'invariance de la fréquence. C'est la "couleur" de l'onde, qui est une propriété intrinsèque de la source et ne dépend pas du milieu traversé. Tout le reste (vitesse, longueur d'onde) s'adapte.
Normes
Ce concept est fondamental pour la conception de fibres optiques et de guides d'ondes, où les normes (comme celles de l'UIT-T) spécifient précisément les indices de réfraction des matériaux pour contrôler la propagation du signal.
Formule(s)
Vitesse de phase dans un milieu
Vecteur d'onde et longueur d'onde
Hypothèses
Nous supposons que le milieu 2 est :
- Un diélectrique parfait : sa conductivité est nulle, il n'y a donc pas d'atténuation de l'onde.
- Non magnétique : sa perméabilité est celle du vide (\(\mu_2 = \mu_0\)).
- Linéaire, homogène et isotrope.
Donnée(s)
- Pulsation, \(\omega = 3\pi \times 10^8 \text{ rad/s}\) (inchangée)
- Milieu 2 : \(\epsilon_{\text{r2}} = 4\), \(\mu_{\text{r2}} = 1\) (non magnétique)
Astuces
Pour trouver rapidement le nouveau nombre d'onde \(k_2\), vous pouvez utiliser la relation \(k_2 = k_1 \sqrt{\epsilon_{\text{r2}}} = k_1 n_2\). Dans notre cas, \(k_2 = \pi \times \sqrt{4} = 2\pi \text{ rad/m}\). C'est souvent plus rapide que de recalculer avec la vitesse.
Schéma (Avant les calculs)
Passage de l'interface et compression de l'onde
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de la vitesse de phase \(v_{\phi2}\)
Étape 2 : Calcul du vecteur d'onde \(k_2\)
Étape 3 : Calcul de la longueur d'onde \(\lambda_2\)
Schéma (Après les calculs)
Passage de l'interface et compression de l'onde
Réflexions
On remarque que la vitesse de l'onde a été divisée par deux en entrant dans le diélectrique. Par conséquent, pour une même fréquence, la longueur d'onde est également deux fois plus courte que dans le vide (où \(\lambda_1 = c/f = (3 \times 10^8) / (1.5 \times 10^8) = 2\) m). Le milieu "comprime" spatialement l'onde.
Points de vigilance
Ne confondez pas permittivité (\(\epsilon\)) et permittivité relative (\(\epsilon_r\)). La formule de la vitesse est \(v = 1/\sqrt{\epsilon\mu}\). Si vous utilisez les valeurs relatives, n'oubliez pas de diviser par \(c\) : \(v = c/\sqrt{\epsilon_r\mu_r}\).
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : La fréquence est invariante, la vitesse et la longueur d'onde dépendent du milieu.
- Formule Essentielle : \(v = c/n\) et \(\lambda = \lambda_0/n\) avec \(n=\sqrt{\epsilon_r}\).
- Point de Vigilance Majeur : La pulsation \(\omega\) est la même dans les deux milieux.
Le saviez-vous ?
Le mot "diélectrique" a été inventé par Michael Faraday. Il vient du grec "dia" signifiant "à travers". Un diélectrique est un isolant qui peut être polarisé par un champ électrique, permettant au champ de "passer à travers" sans qu'un courant ne circule.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le milieu 2 avait une permittivité relative \(\epsilon_{\text{r2}} = 9\), quelle serait la nouvelle vitesse de phase \(v_{\phi2}\) (en \(10^8\) m/s) ?
Question 3 : Réflexion et transmission
Principe
L'impédance caractéristique d'un milieu représente la "résistance" qu'il oppose à la propagation d'une onde électromagnétique. C'est le rapport E/B. La différence d'impédance entre deux milieux est la cause fondamentale des phénomènes de réflexion et de transmission à leur interface.
Mini-Cours
L'analogie avec la mécanique est utile : imaginez une onde se propageant sur une corde légère attachée à une corde lourde. À la jonction, une partie de l'onde sera réfléchie et une partie sera transmise. L'impédance des cordes (liée à leur masse linéique) dicte les proportions. En électromagnétisme, l'impédance du milieu \(\eta\) joue ce rôle. Une forte discontinuité d'impédance entraîne une forte réflexion.
Remarque Pédagogique
L'objectif en ingénierie (antennes, fibres optiques) est très souvent de minimiser la réflexion pour maximiser la transmission d'énergie. Cela s'appelle l'adaptation d'impédance : on essaie de rendre \(\eta_2\) aussi proche que possible de \(\eta_1\).
Normes
Le concept d'adaptation d'impédance est crucial en ingénierie radiofréquence. La plupart des systèmes (câbles, antennes, analyseurs) sont normalisés à une impédance de 50 \(\Omega\) ou 75 \(\Omega\) pour garantir une transmission de puissance maximale et éviter les réflexions nuisibles.
Formule(s)
Impédance caractéristique
Coefficient de réflexion (r)
Coefficient de transmission (t)
Hypothèses
Les formules de Fresnel utilisées ici sont valables sous les hypothèses suivantes :
- L'interface entre les deux milieux est une surface plane et sans épaisseur.
- L'onde arrive en incidence normale (perpendiculairement à l'interface).
Donnée(s)
- Milieu 1 : Vide (\(\epsilon_{\text{r1}}=1, \mu_{\text{r1}}=1\))
- Milieu 2 : Diélectrique (\(\epsilon_{\text{r2}}=4, \mu_{\text{r2}}=1\))
- Impédance du vide : \(\eta_0 \approx 377 \, \Omega\)
Astuces
Une fois que vous avez calculé le coefficient de réflexion \(r\), ne vous embêtez pas à recalculer le coefficient de transmission \(t\) avec sa formule complète. Utilisez simplement la relation \(t = 1+r\). C'est plus rapide et moins sujet aux erreurs de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Discontinuité d'impédance
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul de l'impédance du vide \(\eta_1\)
Étape 2 : Calcul de l'impédance du diélectrique \(\eta_2\)
Étape 3 : Calcul du coefficient de réflexion \(r\)
Étape 4 : Calcul du coefficient de transmission \(t\)
Schéma (Après les calculs)
Amplitudes relatives à l'interface
Réflexions
Le coefficient de réflexion est négatif, ce qui signifie que le champ électrique de l'onde réfléchie est en opposition de phase avec celui de l'onde incidente. Cela se produit lorsque l'onde passe d'un milieu à haute impédance (\(\eta_1\)) à un milieu à basse impédance (\(\eta_2\)).
Points de vigilance
Faites attention à l'ordre des termes dans la formule de \(r\) : c'est toujours \((\eta_{\text{arrivée}} - \eta_{\text{départ}}) / (\eta_{\text{arrivée}} + \eta_{\text{départ}})\). Une inversion changera le signe du résultat.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Concept Clé : La réflexion est causée par la discontinuité d'impédance.
- Formule Essentielle : \(r = (\eta_2 - \eta_1)/(\eta_2 + \eta_1)\).
- Point de Vigilance Majeur : L'impédance \(\eta\) diminue lorsque la permittivité \(\epsilon\) augmente.
Le saviez-vous ?
Les traitements antireflets sur les verres de lunettes fonctionnent sur ce principe. On dépose de fines couches de matériaux avec des impédances intermédiaires pour créer une transition douce entre l'air et le verre, ce qui minimise la réflexion et maximise la lumière transmise à votre œil.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le milieu 2 avait une permittivité relative \(\epsilon_{\text{r2}} = 1\) (identique au vide), que vaudrait le coefficient de réflexion \(r\) ?
Question 4 : Amplitudes des ondes
Principe
Les coefficients de réflexion et de transmission que nous venons de calculer sont les facteurs multiplicatifs qui lient les amplitudes des ondes réfléchie et transmise à celle de l'onde incidente. Le calcul est donc une application directe de ces définitions.
Mini-Cours
Les relations \(E_{0\text{r}} = r E_{0\text{i}}\) et \(E_{0\text{t}} = t E_{0\text{i}}\) découlent des conditions de continuité des composantes tangentielles des champs \(\vec{E}\) et \(\vec{H}\) (champ d'excitation magnétique, \(\vec{H} = \vec{B}/\mu\)) à l'interface \(z=0\). La continuité de \(\vec{E}_{\text{tan}}\) impose \(E_i(0,t) + E_r(0,t) = E_t(0,t)\), ce qui mène à \(E_{0\text{i}} + E_{0\text{r}} = E_{0\text{t}}\). La continuité de \(\vec{H}_{\text{tan}}\) impose \(H_{0\text{i}} + H_{0\text{r}} = H_{0\text{t}}\), soit \(E_{0\text{i}}/\eta_1 - E_{0\text{r}}/\eta_1 = E_{0\text{t}}/\eta_2\). La résolution de ce système de deux équations donne les formules pour \(r\) et \(t\).
Remarque Pédagogique
Une fois les amplitudes calculées, il est très formateur de vérifier qu'elles respectent bien la condition de continuité à l'interface : \(E_{0\text{i}} + E_{0\text{r}} = E_{0\text{t}}\). C'est une excellente façon de s'assurer qu'il n'y a pas d'erreur de calcul.
Normes
Ce calcul est fondamental pour évaluer la compatibilité électromagnétique (CEM). Les normes CEM (comme la série CISPR) fixent des limites sur les champs émis et sur l'immunité des appareils. Comprendre combien de champ est transmis à travers le boîtier d'un appareil est essentiel pour respecter ces normes.
Formule(s)
Amplitude du champ électrique réfléchi
Amplitude du champ électrique transmis
Hypothèses
Nous nous appuyons sur les mêmes hypothèses que précédemment : interface plane, incidence normale, et milieux LHI.
Donnée(s)
- Amplitude incidente, \(E_{0\text{i}} = E_0 = 10 \text{ V/m}\)
- Coefficient de réflexion, \(r = -1/3\)
- Coefficient de transmission, \(t = 2/3\)
Astuces
Pour la vérification, calculez \(E_{0\text{i}} + E_{0\text{r}}\) et vérifiez si c'est égal à \(E_{0\text{t}}\). Si ce n'est pas le cas, vous avez probablement fait une erreur dans le calcul de \(r\) ou \(t\). C'est un filet de sécurité très efficace.
Schéma (Avant les calculs)
Amplitudes à déterminer
Calcul(s)
Calcul de l'amplitude du champ électrique réfléchi
Calcul de l'amplitude du champ électrique transmis
Schéma (Après les calculs)
Amplitudes calculées
Réflexions
Le signe négatif de \(E_{0\text{r}}\) indique un déphasage de \(\pi\) (180°) du champ électrique réfléchi par rapport au champ incident à l'interface. Cela signifie que le champ électrique de l'onde réfléchie oscille en opposition de phase avec celui de l'onde incidente. L'onde transmise, elle, reste en phase. On vérifie également la continuité du champ électrique tangentiel à l'interface : \(E_{0\text{i}} + E_{0\text{r}} = 10 - 3.33 = 6.67 = E_{0\text{t}}\). La condition aux limites est bien respectée.
Points de vigilance
N'oubliez pas le signe négatif de \(r\) dans le calcul de \(E_{0\text{r}}\). Une erreur de signe ici est très fréquente et change complètement l'interprétation physique du phénomène de réflexion.
Points à retenir
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : Les amplitudes réfléchie et transmise sont directement proportionnelles à l'amplitude incidente.
- Formule Essentielle : \(E_{0\text{r}} = r E_{0\text{i}}\) et \(E_{0\text{t}} = t E_{0\text{i}}\).
- Point de Vigilance Majeur : Vérifier la condition de continuité \(E_{0\text{i}} + E_{0\text{r}} = E_{0\text{t}}\).
Le saviez-vous ?
Les technologies furtives (avions, navires) utilisent des matériaux absorbants et des formes géométriques complexes pour minimiser le coefficient de réflexion des ondes radar. L'objectif est de piéger l'onde incidente ou de la réfléchir dans des directions autres que celle du récepteur radar, rendant l'objet "invisible".
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le champ incident avait une amplitude de 15 V/m, quelle serait l'amplitude du champ transmis \(E_{0\text{t}}\) ?
Outil Interactif : Simulateur d'Interface
Ce simulateur vous permet de visualiser comment les coefficients de réflexion et de transmission varient en fonction de la permittivité relative du second milieu.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Que se passe-t-il pour la fréquence d'une onde électromagnétique lorsqu'elle change de milieu ?
2. Si le coefficient de réflexion \(r\) est négatif, cela signifie que :
3. Dans un milieu diélectrique non magnétique avec \(\epsilon_r > 1\), la vitesse de l'onde est :
4. L'impédance caractéristique d'un milieu diélectrique non magnétique avec \(\epsilon_r = 9\) est :
5. Pour une onde plane, les vecteurs \((\vec{E}, \vec{B}, \vec{k})\) forment un trièdre :
- Onde Électromagnétique
- Une perturbation des champs électrique et magnétique qui se propage, transportant de l'énergie sans transporter de matière. La lumière, les ondes radio, les micro-ondes en sont des exemples.
- Permittivité (\(\epsilon\))
- Une mesure de la capacité d'un matériau à stocker de l'énergie électrique dans un champ électrique. La permittivité relative (\(\epsilon_r\)) est le rapport de la permittivité du matériau à celle du vide.
- Impédance Caractéristique (\(\eta\))
- Rapport entre l'amplitude du champ électrique et celle du champ magnétique d'une onde se propageant dans un milieu. Elle caractérise la "résistance" du milieu à la propagation de l'onde.
- Vecteur d'onde (\(\vec{k}\))
- Un vecteur dont la direction est celle de la propagation de l'onde et dont la norme (\(k = 2\pi/\lambda\)) est liée à la longueur d'onde \(\lambda\).
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