Champ Magnétique au Centre d'une Boucle Polygonale
Contexte : Calcul de champs magnétiques par la loi de Biot-SavartLoi fondamentale de la magnétostatique qui relie le champ magnétique créé à la distribution de courants électriques qui en est la source..
Cet exercice a pour but de calculer le champ magnétique créé au centre d'une boucle de courant de forme polygonale régulière. C'est une application classique de la loi de Biot-Savart et du principe de superposition. Nous décomposerons le problème en calculant d'abord le champ créé par un seul segment de fil, puis en sommant les contributions de tous les segments pour obtenir le champ total.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une méthode puissante en physique : décomposer un problème complexe (un polygone) en une somme de problèmes plus simples (des segments de fil rectiligne) que l'on sait résoudre.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi de Biot-Savart pour un segment de fil fini.
- Utiliser les propriétés géométriques des polygones réguliers (apothème).
- Mettre en œuvre le principe de superposition pour des champs magnétiques.
- Analyser le comportement du champ lorsque le nombre de côtés tend vers l'infini.
Données de l'étude
Boucle polygonale parcourue par un courant
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de côtés du polygone | \(N\) | 6 (Hexagone) | - |
| Longueur d'un côté | \(a\) | 0.1 | m |
| Intensité du courant | \(I\) | 5 | A |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) | T.m/A |
Questions à traiter
- Champ d'un segment : En utilisant la loi de Biot-Savart, déterminer l'expression littérale du champ magnétique \(B_{\text{seg}}\) créé par un seul côté du polygone en son centre \(O\).
- Champ total : Appliquer le principe de superposition pour trouver l'expression littérale du champ magnétique total \(B_{\text{total}}\) au centre de la boucle polygonale.
- Application numérique : Calculer la valeur numérique du champ magnétique pour une boucle hexagonale (\(N=6\)) avec les données fournies.
- Cas limite : Étudier la limite de l'expression de \(B_{\text{total}}\) lorsque \(N \to \infty\). Comparer le résultat à la formule connue du champ au centre d'une spire circulaire.
Les bases sur la Loi de Biot-Savart
La loi de Biot-Savart est un principe fondamental de la magnétostatique qui permet de calculer le champ magnétique \(\vec{B}\) généré par une distribution de courants électriques. Pour un circuit filiforme parcouru par un courant \(I\), le champ élémentaire \(d\vec{B}\) créé par un élément de longueur \(d\vec{l}\) en un point \(P\) est donné par :
1. Loi de Biot-Savart
L'expression mathématique de la loi de Biot-Savart est :
\[ d\vec{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} \]
où \(\mu_0\) est la perméabilité du vide, \(d\vec{l}\) est un vecteur élémentaire tangent au fil dans le sens du courant, et \(\vec{r}\) est le vecteur allant de l'élément \(d\vec{l}\) au point où l'on calcule le champ.
2. Champ d'un fil rectiligne fini
L'intégration de la loi de Biot-Savart pour un segment de fil rectiligne de longueur finie donne le module du champ magnétique en un point \(P\) situé à une distance perpendiculaire \(d\) du fil :
\[ B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (\sin\theta_2 - \sin\theta_1) \]
où \(\theta_1\) et \(\theta_2\) sont les angles (avec leur signe) sous lesquels on voit les extrémités du fil depuis le point \(P\).
Correction : Champ Magnétique au Centre d'une Boucle Polygonale
Question 1 : Champ d'un segment
Principe
Le concept physique est l'application de la loi de Biot-Savart à une géométrie simple : un fil rectiligne de longueur finie. Nous allons utiliser le résultat intégré de cette loi et l'adapter à la géométrie spécifique d'un côté de notre polygone.
Mini-Cours
Pour un polygone régulier à \(N\) côtés, l'angle au centre interceptant un côté est de \(2\pi/N\). La distance perpendiculaire du centre à un côté est appelée l'apothème, notée \(d\). Par trigonométrie simple dans le triangle isocèle formé par un côté et le centre, on peut relier l'apothème \(d\) à la longueur du côté \(a\) par la relation : \(\tan(\pi/N) = (a/2)/d\).
Remarque Pédagogique
La clé ici est de bien définir le système de coordonnées et les angles. En plaçant le point \(O\) à l'origine et le segment sur une ligne horizontale, le calcul des angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\) devient symétrique et simple, ce qui facilite grandement l'intégration de la loi de Biot-Savart.
Normes
Il n'y a pas de norme d'ingénierie directe pour ce calcul, mais c'est un problème fondamental dont les résultats sont utilisés dans la conception de bobinages et d'électroaimants, où les normes (comme celles de la NEMA ou de l'IEC) spécifient les performances et la sécurité.
Formule(s)
Champ d'un segment fini
Relation géométrique de l'apothème
Hypothèses
Nous supposons que le fil est infiniment fin (approximation filiforme) et que le courant \(I\) est continu (régime de magnétostatique).
Donnée(s)
Les données sont symboliques à ce stade :
| Nom du Paramètre | Symbole | Unité |
|---|---|---|
| Nombre de côtés | \(N\) | - |
| Longueur d'un côté | \(a\) | m |
| Intensité du courant | \(I\) | A |
Astuces
Utilisez la symétrie ! Pour un segment centré par rapport au point de calcul, on a toujours \(\theta_1 = -\theta_2\). Cela simplifie la formule en \(B = \frac{\mu_0 I}{4\pi d} (2\sin\theta_2)\), réduisant le risque d'erreur de signe.
Schéma (Avant les calculs)
Géométrie pour un seul segment
Calcul(s)
Étape 1 : Détermination des angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\)
Par symétrie, les angles sont \(\theta_2 = \pi/N\) et \(\theta_1 = -\pi/N\).
Étape 2 : Substitution dans la formule du champ
Étape 3 : Substitution de l'apothème \(d\)
Schéma (Après les calculs)
Champ magnétique créé par le segment
Réflexions
L'expression montre que le champ d'un segment dépend de la géométrie du polygone (via \(N\)) et de la longueur du côté \(a\). La direction du champ est sortante (selon \(\vec{u}_z\)) pour un courant circulant dans le sens anti-horaire, conformément à la règle de la main droite.
Points de vigilance
L'erreur la plus courante est d'oublier de convertir les angles en radians avant d'utiliser les fonctions trigonométriques, ou de se tromper dans la relation géométrique entre l'apothème, le côté et l'angle au centre.
Points à retenir
Synthèse de la Question 1 :
- Concept Clé : Le champ d'un fil fini dépend de la distance et des angles sous lesquels on voit ses extrémités.
- Formule Essentielle : \(B_{\text{seg}} = \frac{\mu_0 I}{\pi a} \sin(\pi/N) \tan(\pi/N)\).
- Point de Vigilance Majeur : Bien identifier les angles et la distance perpendiculaire \(d\).
Le saviez-vous ?
La loi de Biot-Savart a été énoncée en 1820, quelques semaines seulement après qu'Hans Christian Ørsted a découvert qu'un courant électrique pouvait dévier l'aiguille d'une boussole. C'était le début de l'unification de l'électricité et du magnétisme.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Pour un carré (\(N=4\)), l'angle \(\pi/N\) vaut 45°. Sachant que \(\sin(45°) = 1/\sqrt{2}\) et \(\tan(45°) = 1\), simplifiez l'expression de \(B_{\text{seg}}\) pour un côté de carré.
Question 2 : Champ total
Principe
Le principe de superposition stipule que le champ magnétique total créé par plusieurs sources est simplement la somme vectorielle des champs créés par chaque source individuelle. En raison de la symétrie de la boucle polygonale, le calcul se simplifie considérablement.
Mini-Cours
La superposition est une conséquence directe de la linéarité des équations de Maxwell dans le vide. Pour tout système linéaire, la réponse à une somme de stimuli est la somme des réponses à chaque stimulus. Cela s'applique aux champs électriques et magnétiques, aux circuits électriques (loi des mailles), et à de nombreux autres domaines de la physique.
Remarque Pédagogique
Avant de vous lancer dans des calculs complexes, cherchez toujours les symétries. Ici, tous les côtés sont identiques et sont à la même distance du centre. Par conséquent, le module du champ qu'ils créent est le même. De plus, la direction du champ est la même pour tous (sortante). La somme vectorielle devient une simple multiplication.
Normes
Le principe de superposition est si fondamental qu'il n'est pas considéré comme une norme en soi, mais il sous-tend toutes les normes d'ingénierie électromagnétique, comme celles de la Commission Électrotechnique Internationale (IEC), qui définissent comment les champs de différentes sources doivent être combinés.
Formule(s)
Principe de superposition
Hypothèses
L'hypothèse principale est que le milieu est linéaire, homogène et isotrope (comme le vide ou l'air), ce qui garantit que le champ total est la somme simple des champs partiels sans effets d'interaction complexes.
Donnée(s)
| Description | Expression |
|---|---|
| Champ magnétique d'un segment | \(B_{\text{seg}} = \frac{\mu_0 I}{\pi a} \sin(\frac{\pi}{N}) \tan(\frac{\pi}{N})\) |
Astuces
L'astuce principale est de reconnaître la symétrie. Ne calculez pas, observez ! Tous les segments sont identiques et à la même distance du centre. Ils doivent donc tous produire un champ de même module et de même direction. La somme est donc triviale.
Schéma (Avant les calculs)
Superposition des champs
Calcul(s)
Application de la superposition par symétrie
Schéma (Après les calculs)
Champ total résultant
Réflexions
Le champ total est directement proportionnel au nombre de côtés \(N\). Cela a du sens : plus on ajoute de segments de courant, plus le champ au centre devrait être intense. La relation n'est cependant pas linéaire simple car les termes trigonométriques dépendent aussi de \(N\).
Points de vigilance
L'erreur classique serait de se lancer dans une somme vectorielle compliquée sans avoir au préalable analysé les symétries du problème. En physique, l'analyse qualitative avant le calcul quantitatif permet d'économiser beaucoup de temps et d'éviter des erreurs.
Points à retenir
Synthèse de la Question 2 :
- Concept Clé : Le principe de superposition permet de construire des solutions complexes à partir de solutions simples.
- Méthode Essentielle : L'exploitation de la symétrie transforme une somme vectorielle en une simple multiplication scalaire.
Le saviez-vous ?
Le principe de superposition n'est pas universel. Il ne s'applique pas dans les matériaux non-linéaires, comme les matériaux ferromagnétiques, où la réponse du matériau (l'aimantation) n'est pas proportionnelle au champ appliqué. Dans ces cas, les calculs sont beaucoup plus complexes !
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Si le champ créé par un seul côté d'un pentagone (\(N=5\)) est de 5 µT, quel est le champ total au centre ?
Question 3 : Application numérique
Principe
Il s'agit d'une application numérique directe de la formule générale trouvée à la question précédente, en utilisant les valeurs spécifiques de l'énoncé pour une boucle hexagonale.
Mini-Cours
Pour donner un ordre de grandeur, le champ magnétique terrestre est d'environ 25 à 65 µT. Un aimant de réfrigérateur produit environ 5000 µT (5 mT), et un appareil d'IRM peut générer des champs de 1 500 000 µT (1.5 T) et plus. Confronter notre résultat à ces valeurs nous donne une idée de l'intensité du champ calculé.
Remarque Pédagogique
La rigueur dans les applications numériques est cruciale en ingénierie. Une erreur dans les unités ou les puissances de dix peut avoir des conséquences importantes. Prenez l'habitude de toujours vérifier l'homogénéité de vos formules et l'ordre de grandeur de vos résultats.
Normes
Bien que le champ calculé ici soit faible, des normes internationales comme celles de l'ICNIRP (International Commission on Non-Ionizing Radiation Protection) fixent des limites d'exposition du public et des travailleurs aux champs magnétiques statiques pour garantir la sécurité.
Formule(s)
Formule du champ total
Hypothèses
Pour l'application numérique, nous supposons que les valeurs fournies dans l'énoncé (\(N, a, I\)) sont des valeurs précises avec une incertitude négligeable.
Donnée(s)
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Nombre de côtés | \(N\) | 6 | - |
| Longueur d'un côté | \(a\) | 0.1 | m |
| Intensité du courant | \(I\) | 5 | A |
| Perméabilité du vide | \(\mu_0\) | \(4\pi \times 10^{-7}\) | T.m/A |
Astuces
Pour simplifier le calcul, remarquez que \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7}\). Le facteur \(4\pi\) se simplifie souvent avec les \(\pi\) présents dans les formules de magnétisme. Calculez d'abord les termes numériques, puis les termes trigonométriques, et enfin combinez le tout.
Schéma (Avant les calculs)
Configuration pour l'application numérique
Calcul(s)
Étape 1 : Calcul des termes trigonométriques
Étape 2 : Substitution dans la formule
Schéma (Après les calculs)
Résultat numérique du champ
Réflexions
Le résultat de 34.6 µT est du même ordre de grandeur que le champ magnétique terrestre. Cela signifie qu'une telle boucle de courant pourrait perturber de manière significative une boussole placée en son centre. Cela donne un sens physique concret au résultat obtenu.
Points de vigilance
Assurez-vous que votre calculatrice est bien en mode "radians" lorsque vous calculez les fonctions trigonométriques, car les angles dans les formules de physique sont presque toujours exprimés en radians. Une erreur de mode (degrés vs radians) est très fréquente.
Points à retenir
Synthèse de la Question 3 :
- Méthode : Une application numérique se déroule en 3 temps : 1. Lister les données avec leurs unités SI. 2. Substituer dans la formule littérale. 3. Calculer et présenter le résultat avec son unité.
- Ordre de grandeur : Toujours avoir une idée de l'ordre de grandeur attendu pour critiquer son propre résultat.
Le saviez-vous ?
Le Tesla (T), l'unité de champ magnétique, est une unité extrêmement grande. Les champs magnétiques les plus puissants créés en continu en laboratoire atteignent quelques dizaines de teslas. Les champs pulsés peuvent dépasser 100 T, mais seulement pendant quelques millisecondes.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez le champ pour un carré (\(N=4\)) avec les mêmes valeurs de \(a\) et \(I\). Le résultat devrait être autour de 28.3 µT. Pouvez-vous le retrouver ?
Question 4 : Cas limite
Principe
Nous allons analyser ce qui se passe lorsque le nombre de côtés \(N\) devient très grand. Intuitivement, un polygone avec une infinité de côtés de longueur infinitésimale devient un cercle. Nous allons vérifier mathématiquement que notre formule pour le polygone tend bien vers la formule connue pour une boucle circulaire.
Mini-Cours
Le champ magnétique au centre d'une spire circulaire de rayon \(R\) parcourue par un courant \(I\) est une formule standard en magnétostatique : \[ B_{\text{cercle}} = \frac{\mu_0 I}{2R} \] Notre objectif est de montrer que notre formule générale redonne ce résultat dans la bonne limite.
Remarque Pédagogique
Vérifier les cas limites est une technique de validation extrêmement puissante en physique et en ingénierie. Si une formule générale et complexe ne se simplifie pas correctement pour redonner un cas simple et connu, il y a de fortes chances qu'elle soit erronée.
Normes
Ce concept de "cas limite" n'est pas une norme, mais un principe fondamental du raisonnement scientifique. Il garantit la cohérence entre les théories et les modèles à différentes échelles.
Formule(s)
Approximations pour les petits angles
Lorsque \(x \to 0\), on a :
Relation géométrique
Le périmètre du polygone est \(P = N \times a\). Pour un grand \(N\), ce périmètre se rapproche de la circonférence du cercle circonscrit, \(2\pi R\). Donc :
Hypothèses
L'hypothèse clé est que pour \(N \to \infty\), l'angle \(\pi/N\) devient suffisamment petit pour que les approximations \(\sin(x) \approx x\) et \(\tan(x) \approx x\) soient valides. On suppose aussi que le périmètre \(Na\) reste constant, ce qui implique que la longueur de côté \(a\) doit tendre vers zéro.
Donnée(s)
Les données sont les formules littérales suivantes :
| Description | Expression |
|---|---|
| Champ total du polygone | \(B_{\text{total}} = \frac{N \mu_0 I}{\pi a} \sin(\frac{\pi}{N}) \tan(\frac{\pi}{N})\) |
| Relation périmètre-rayon (pour N grand) | \(a \approx \frac{2\pi R}{N}\) |
Astuces
L'utilisation des développements limités (ou approximations pour petits angles) est l'outil mathématique par excellence pour étudier le comportement des fonctions dans les cas limites. C'est une compétence essentielle en physique théorique.
Schéma (Avant les calculs)
Un polygone à N côtés tendant vers un cercle
Calcul(s)
Étape 1 : Appliquer les approximations
Lorsque \(N \to \infty\), l'angle \(\pi/N \to 0\). On peut donc approximer :
\(\sin(\pi/N) \approx \pi/N\)
\(\tan(\pi/N) \approx \pi/N\)
Étape 2 : Substitution dans la formule du polygone
Étape 3 : Introduire le rayon \(R\)
On utilise la relation du périmètre : \(a \approx \frac{2\pi R}{N}\). On substitue \(a\) dans l'expression approchée :
Schéma (Après les calculs)
Cas limite : la boucle circulaire
Réflexions
Le calcul confirme notre intuition : la formule pour un polygone régulier converge bien vers la formule pour un cercle lorsque le nombre de côtés devient infini. Cela montre la cohérence des lois de la physique et de l'électromagnétisme. Le cercle peut être vu comme le cas le plus "efficace" pour générer un champ magnétique central pour un périmètre donné.
Points de vigilance
Attention à ne pas confondre le rayon du cercle inscrit (l'apothème \(d\)) et le rayon du cercle circonscrit (\(R\)). Pour un polygone, ces deux rayons sont différents. Ils ne deviennent égaux que dans la limite où \(N \to \infty\).
Points à retenir
Synthèse de la Question 4 :
- Concept Clé : La vérification des cas limites est un outil puissant pour valider une formule générale.
- Résultat Essentiel : Un polygone régulier se comporte comme un cercle lorsque son nombre de côtés devient très grand.
Le saviez-vous ?
Archimède a utilisé une méthode similaire, en encadrant un cercle par des polygones inscrits et circonscrits avec un nombre de côtés croissant, pour obtenir l'une des premières estimations très précises du nombre \(\pi\) il y a plus de 2200 ans.
FAQ
Résultat Final
A vous de jouer
En utilisant les approximations pour petits angles, montrez que l'apothème \(d = \frac{a}{2 \tan(\pi/N)}\) devient approximativement égal au rayon \(R = \frac{Na}{2\pi}\) lorsque N est grand.
Outil Interactif : Simulateur de Boucle Polygonale
Ce simulateur vous permet de voir comment le champ magnétique au centre d'une boucle polygonale évolue avec le nombre de côtés, pour un courant et une longueur de côté fixes.
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Selon la loi de Biot-Savart, le champ magnétique créé par un courant est :
2. Si on double le courant \(I\) dans la boucle polygonale, le champ magnétique au centre :
3. Pour un même périmètre, quelle forme de boucle crée le champ magnétique le plus intense en son centre ?
4. Le principe de superposition s'applique aux champs magnétiques parce que :
5. Que devient le champ au centre d'un polygone si on double la longueur de chaque côté \(a\) (en gardant I et N constants) ?
- Loi de Biot-Savart
- Loi fondamentale de la magnétostatique qui décrit le champ magnétique généré par un courant électrique constant. Elle est l'équivalent en magnétisme de la loi de Coulomb en électrostatique.
- Principe de Superposition
- Pour un système linéaire, l'effet total de plusieurs sources est la somme des effets de chaque source individuelle. En magnétisme, le champ total est la somme vectorielle des champs de chaque courant.
- Apothème
- Dans un polygone régulier, c'est le segment de droite allant du centre à l'un des côtés, en son milieu. C'est la distance perpendiculaire du centre au côté.
- Perméabilité du vide (\(\mu_0\))
- Une constante fondamentale qui quantifie la capacité du vide à "laisser passer" les lignes de champ magnétique. Elle vaut exactement \(4\pi \times 10^{-7}\) T·m/A.
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