Champ Magnétique au Centre d'une Boucle Polygonale
Contexte : Construire un Champ Magnétique brique par brique
La loi de Biot-SavartLoi fondamentale de la magnétostatique qui décrit le champ magnétique généré par un courant électrique constant. C'est l'équivalent de la loi de Coulomb pour le magnétisme. permet de calculer le champ magnétique créé par n'importe quelle distribution de courant. Alors que le cas d'une boucle circulaire est un classique, l'étude d'une boucle polygonale régulière (un carré, un hexagone, etc.) est un excellent exercice pour maîtriser le calcul du champ créé par des segments de fil rectilignes. En appliquant le principe de superpositionPrincipe selon lequel le champ total créé par plusieurs sources est simplement la somme vectorielle des champs créés par chaque source individuelle., on peut reconstituer le champ total au centre en additionnant la contribution de chaque côté du polygone.
Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre une méthode de calcul puissante en physique : décomposer un problème complexe (une boucle polygonale) en une somme de problèmes plus simples que l'on sait résoudre (un fil droit de longueur finie). La symétrie du problème simplifie ensuite grandement la sommation finale.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi de Biot-Savart pour un segment de fil fini.
- Utiliser la géométrie et la trigonométrie pour définir les paramètres du calcul.
- Appliquer le principe de superposition dans un cas de haute symétrie.
- Calculer le champ magnétique total au centre d'une boucle polygonale régulière.
- Analyser la convergence du résultat vers le cas de la boucle circulaire.
Données de l'étude
Schéma de la Boucle Carrée
- Nombre de côtés : \(N = 4\)
- Courant : \(I = 5 \, \text{A}\)
- Apothème : \(R = 5 \, \text{cm}\)
- Perméabilité du vide : \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}\)
Questions à traiter
- Déterminer l'expression du champ magnétique \(B_{\text{segment}}\) créé par un seul côté de la boucle en son centre O.
- En utilisant le principe de superposition, en déduire l'expression du champ magnétique total \(B_{\text{total}}\) au centre de la boucle.
- Calculer la valeur numérique de \(B_{\text{total}}\).
Correction : Champ Magnétique d'une Boucle Polygonale
Question 1 : Champ Magnétique d'un Segment
Principe :
Pour trouver le champ créé par un seul côté, on utilise la formule du champ magnétique d'un fil rectiligne de longueur finie, qui est une intégration directe de la loi de Biot-Savart. Le champ en un point O à une distance \(R\) du fil dépend du courant \(I\), de la distance \(R\), et des angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\) sous lesquels on voit les extrémités du fil depuis le point O.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La formule pour un fil fini est un outil essentiel. Il est important de bien visualiser les angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\). Ils sont définis par rapport à la perpendiculaire abaissée du point O sur le fil. La symétrie du segment par rapport à cette perpendiculaire simplifie le calcul.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
Pour un polygone régulier à N côtés, l'angle au centre sous-tendu par un côté est \(2\pi/N\). Par symétrie, les angles \(\theta_1\) et \(\theta_2\) sont opposés et valent la moitié de cet angle.
- \(\theta_2 = \frac{\pi}{N}\)
- \(\theta_1 = -\frac{\pi}{N}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Angles en Radians : Les fonctions trigonométriques en physique fondamentale utilisent presque toujours des angles en radians. Il est essentiel de convertir l'angle \(\pi/N\) en radians avant de le passer à une fonction sinus, ou de s'assurer que sa calculatrice est en mode RAD.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Champ Magnétique Total (\(B_{\text{total}}\))
Principe :
Le principe de superposition stipule que le champ magnétique total créé par plusieurs sources est la somme vectorielle des champs créés par chaque source. En raison de la symétrie de la boucle polygonale régulière, chaque côté produit un champ de même magnitude au centre. De plus, en utilisant la règle de la main droite, on constate que chaque segment crée un champ qui pointe dans la même direction (ici, sortant du plan). La sommation vectorielle devient donc une simple multiplication par le nombre de côtés \(N\).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La symétrie est votre meilleure amie en physique ! Reconnaître que toutes les contributions sont identiques permet d'éviter de calculer le champ pour chaque segment individuellement. On calcule pour un, et on généralise.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- Nombre de côtés \(N=4\)
- Champ d'un segment : \(B_{\text{segment}} = \frac{\mu_0 I}{2\pi R} \sin\left(\frac{\pi}{N}\right)\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Somme Vectorielle : Il est crucial de vérifier que tous les vecteurs de champ pointent dans la même direction avant de faire une simple somme scalaire. Si la boucle n'était pas plane ou si le point n'était pas au centre, il faudrait effectuer une somme vectorielle complète, bien plus complexe.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Calcul Numérique
Principe :
Il s'agit maintenant de remplacer les variables littérales par leurs valeurs numériques en s'assurant de la cohérence des unités du Système International (mètres, Ampères, Teslas).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : L'application numérique est l'épreuve de vérité. Elle permet de se confronter aux ordres de grandeur. Un champ magnétique de quelques microteslas ou milliteslas est une valeur typique pour ce genre de configuration de laboratoire.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(N = 4\)
- \(I = 5 \, \text{A}\)
- \(R = 5 \, \text{cm} = 0.05 \, \text{m}\)
- \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Simplification des \(\pi\) : Dans ce cas précis, le \(4\pi\) de \(\mu_0\) se simplifie souvent avec les \(\pi\) de la formule. Il est judicieux de faire cette simplification avant de passer à la calculatrice pour minimiser les erreurs d'arrondi.
Le saviez-vous ?
Simulation Interactive du Champ Magnétique
Faites varier le nombre de côtés du polygone, le courant et la distance R pour voir comment le champ magnétique au centre est affecté.
Paramètres de la Boucle
Résultat Calculé
Pour Aller Plus Loin : Du Polygone au Cercle
La limite continue : L'un des plus beaux résultats de cet exercice est de voir comment la formule pour un polygone à N côtés tend vers la formule bien connue d'une boucle circulaire de rayon R lorsque N devient très grand. En utilisant le développement limité \(\sin(x) \approx x\) pour \(x\) petit, on a \(\sin(\pi/N) \approx \pi/N\). En substituant dans notre formule : \(B_{\text{total}} = \frac{N \mu_0 I}{2\pi R} \sin(\frac{\pi}{N}) \approx \frac{N \mu_0 I}{2\pi R} (\frac{\pi}{N}) = \frac{\mu_0 I}{2R}\). C'est bien le champ au centre d'une spire circulaire ! La physique est cohérente.
Le Saviez-Vous ?
Les bobines de Helmholtz sont une configuration de deux spires circulaires identiques et parallèles, séparées par une distance égale à leur rayon. Cette géométrie particulière produit un champ magnétique remarquablement uniforme dans la région située entre elles. Elles sont très utilisées en laboratoire pour des expériences nécessitant un champ magnétique de référence précis et constant.
Foire Aux Questions (FAQ)
Comment la loi de Biot-Savart se compare-t-elle au théorème d'Ampère ?
La loi de Biot-Savart est plus fondamentale, car elle permet de calculer le champ en tout point pour n'importe quelle distribution de courant. Le théorème d'Ampère est une forme intégrale de la loi, et il n'est vraiment utile que pour des problèmes de très haute symétrie (fil infini, solénoïde, tore) où il permet de trouver le champ beaucoup plus rapidement. Pour une boucle polygonale, le théorème d'Ampère n'est pas pratique pour trouver le champ au centre.
Le champ est-il uniforme à l'intérieur de la boucle ?
Non, pas du tout. Le champ est maximal au centre et diminue rapidement lorsqu'on s'en éloigne. Près des fils, il devient très intense et tend vers l'infini (pour un fil infiniment fin). La création d'un champ uniforme sur un volume étendu est un défi d'ingénierie complexe.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. On double le courant \(I\) dans la boucle. Le champ magnétique au centre \(B_{\text{total}}\) est :
2. Pour un apothème \(R\) et un courant \(I\) donnés, quel polygone crée le champ le plus intense en son centre ?
Glossaire
- Loi de Biot-Savart
- Loi fondamentale qui décrit le champ magnétique \(\vec{B}\) généré par un élément de courant \(I d\vec{l}\). C'est la pierre angulaire de la magnétostatique.
- Apothème (R)
- Dans un polygone régulier, c'est la distance entre le centre et le milieu d'un côté. C'est le rayon du cercle inscrit dans le polygone.
- Perméabilité du vide (\(\mu_0\))
- Constante physique fondamentale qui caractérise la capacité du vide à permettre aux lignes de champ magnétique de se former. Elle relie les courants au champ magnétique qu'ils produisent.
- Principe de Superposition
- Le champ magnétique (ou électrique) total en un point, créé par plusieurs sources, est la somme vectorielle des champs que chaque source créerait individuellement si elle était seule.
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