Potentiel Vecteur d'un Dipôle Magnétique

Contexte : Un Outil Mathématique pour le Champ Magnétique

En électrostatique, le champ électrique \(\vec{E}\) peut être dérivé d'un potentiel scalaire \(V\) (\(\vec{E} = -\vec{\nabla}V\)). En magnétostatique, le calcul direct du champ magnétique \(\vec{B}\) via la loi de Biot-Savart peut être complexe. On introduit alors un outil mathématique intermédiaire : le potentiel vecteurChamp de vecteurs, noté A, dont le rotationnel donne le champ magnétique B. C'est un outil mathématique qui simplifie certains calculs en magnétostatique. \(\vec{A}\), tel que \(\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}\). Cet exercice a pour but de calculer ce potentiel vecteur pour la source magnétique la plus fondamentale, le dipôle magnétiqueÉquivalent magnétique du dipôle électrique, créé par une petite boucle de courant. Il est caractérisé par son moment dipolaire magnétique m., puis d'en déduire le champ magnétique bien connu.

Remarque Pédagogique : L'analogie est puissante : tout comme le potentiel scalaire \(V\) simplifie le calcul de \(\vec{E}\), le potentiel vecteur \(\vec{A}\) peut simplifier le calcul de \(\vec{B}\). Maîtriser le passage de la source (courant) à \(\vec{A}\), puis de \(\vec{A}\) à \(\vec{B}\), est une compétence clé en électromagnétisme.

Objectifs Pédagogiques

Définir et calculer un moment dipolaire magnétique.
Appliquer l'approximation dipolaire pour simplifier une intégrale.
Calculer le potentiel vecteur \(\vec{A}\) pour un dipôle magnétique.
Calculer le rotationnel d'un champ vectoriel en coordonnées sphériques.
Retrouver l'expression du champ \(\vec{B}\) d'un dipôle à partir de \(\vec{A}\).

Données de l'étude

On considère une boucle de courant circulaire de rayon \(a\), située dans le plan (x,y) et centrée à l'origine. Elle est parcourue par un courant constant \(I\). On cherche à déterminer le potentiel vecteur \(\vec{A}\) puis le champ magnétique \(\vec{B}\) en un point P situé loin de la boucle (\(r \gg a\)).

Schéma du Dipôle Magnétique

Données :

Courant : \(I\)
Rayon de la boucle : \(a\)
Perméabilité du vide : \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}\)

Questions à traiter

Définir le vecteur moment dipolaire magnétique \(\vec{m}\) de la boucle.
Montrer qu'à grande distance (\(r \gg a\)), le potentiel vecteur s'écrit \(\vec{A}(P) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{m} \times \vec{u}_r}{r^2}\).
À partir de l'expression de \(\vec{A}\), calculer le champ \(\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}\) en coordonnées sphériques.

Correction : Potentiel Vecteur d'un Dipôle Magnétique

Question 1 : Moment Dipolaire Magnétique (\(\vec{m}\))

Principe :

Le moment dipolaire magnétique, \(\vec{m}\), est un vecteur qui caractérise l'intensité et l'orientation d'une source magnétique dipolaire. Pour une boucle de courant plane, sa magnitude est le produit du courant \(I\) par l'aire \(S\) de la boucle. Sa direction est perpendiculaire au plan de la boucle et est donnée par la règle de la main droite : si les doigts s'enroulent dans le sens du courant, le pouce indique la direction de \(\vec{m}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le moment dipolaire est au magnétisme ce que le moment dipolaire électrique est à l'électrostatique. C'est la caractéristique la plus simple et la plus importante pour décrire une source de champ vue de loin.

Formule(s) utilisée(s) :

\vec{m} = I \cdot \vec{S}

Donnée(s) :

Courant : \(I\)
Aire de la boucle (disque de rayon a) : \(S = \pi a^2\)
Direction (règle de la main droite) : \(\vec{u}_z\)

Calcul(s) :

\begin{aligned} \vec{m} = I \cdot (\pi a^2) \cdot \vec{u}_z \end{aligned}

Points de vigilance :

Caractère Vectoriel : Il ne faut pas oublier que le moment magnétique est un vecteur. Sa direction est fondamentale pour déterminer l'orientation du champ qu'il produit.

Le saviez-vous ?

Résultat : Le moment dipolaire magnétique est \(\vec{m} = I \pi a^2 \vec{u}_z\).

Question 2 : Potentiel Vecteur \(\vec{A}\) à grande distance

Principe :

Le potentiel vecteur \(\vec{A}\) créé par une distribution de courant est donné par une intégrale sur le circuit. Pour un point P très éloigné de la boucle (\(r \gg a\)), on peut utiliser une approximation (un développement limité) pour simplifier le dénominateur de l'intégrale. Cette "approximation dipolaire" permet de faire apparaître le moment magnétique \(\vec{m}\) et d'obtenir une expression compacte pour \(\vec{A}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est une technique très courante en physique. Quand on regarde un objet complexe de très loin, ses détails s'estompent et seule sa caractéristique la plus simple subsiste. Pour une source de champ magnétique, cette caractéristique est son moment dipolaire. L'approximation consiste à dire que vu de loin, la boucle ressemble à un point.

Formule(s) utilisée(s) :

\vec{A}(P) = \frac{\mu_0}{4\pi} \oint_{\text{boucle}} \frac{I d\vec{l'}}{|\vec{r} - \vec{r'}|}

Avec l'approximation pour \(r \gg r'\) : \(\frac{1}{|\vec{r} - \vec{r'}|} \approx \frac{1}{r} \left(1 + \frac{\vec{r} \cdot \vec{r'}}{r^2}\right)\).

Calcul(s) :

L'intégration du premier terme de l'approximation est nulle. Le calcul complet (qui est assez long et souvent admis) mène au résultat final :

\vec{A}(P) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{m} \times \vec{r}}{r^3} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{m} \times \vec{u}_r}{r^2}

Points de vigilance :

Approximation : Cette formule n'est valable que "loin" du dipôle, c'est-à-dire pour des distances \(r\) bien plus grandes que la taille de la boucle \(a\). Près de la boucle, le champ est plus complexe et cette expression n'est plus correcte.

Résultat : Le potentiel vecteur à grande distance est \(\vec{A}(P) = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{m} \times \vec{u}_r}{r^2}\).

Question 3 : Calcul du Champ Magnétique \(\vec{B}\)

Principe :

La relation fondamentale entre le potentiel vecteur et le champ magnétique est \(\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}\), où \(\vec{\nabla} \times\) est l'opérateur "rotationnel". Pour calculer \(\vec{B}\), il faut appliquer cet opérateur à l'expression de \(\vec{A}\) que nous avons trouvée. L'utilisation des coordonnées sphériques est la plus adaptée ici, car l'expression de \(\vec{A}\) et la symétrie du problème s'y prêtent bien.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le rotationnel mesure la "tendance à tourner" d'un champ de vecteurs en un point. Le fait que le champ magnétique dérive d'un rotationnel est directement lié au fait que ses lignes de champ se referment sur elles-mêmes (il n'existe pas de monopôle magnétique).

Formule(s) utilisée(s) :

D'abord, on exprime \(\vec{A}\) en coordonnées sphériques. \(\vec{m} = m \vec{u}_z = m(\cos\theta \vec{u}_r - \sin\theta \vec{u}_\theta)\). Le produit vectoriel donne \(\vec{m} \times \vec{u}_r = m\sin\theta \vec{u}_\phi\).

\vec{A} = \frac{\mu_0 m \sin\theta}{4\pi r^2} \vec{u}_\phi

Ensuite, on applique l'opérateur rotationnel en coordonnées sphériques :

\vec{B} = \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(A_\phi \sin\theta)\vec{u}_r - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r A_\phi)\vec{u}_\theta

Calcul(s) :

\begin{aligned} B_r &= \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\frac{\mu_0 m \sin^2\theta}{4\pi r^2}\right) = \frac{\mu_0 m}{4\pi r^3} \frac{1}{\sin\theta} (2\sin\theta\cos\theta) = \frac{\mu_0 m}{2\pi r^3}\cos\theta \\ B_\theta &= -\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r \frac{\mu_0 m \sin\theta}{4\pi r^2}\right) = -\frac{\mu_0 m \sin\theta}{4\pi r} \frac{\partial}{\partial r}\left(\frac{1}{r}\right) = \frac{\mu_0 m \sin\theta}{4\pi r^3} \end{aligned}

Résultat : Le champ magnétique du dipôle est \(\vec{B}(r, \theta) = \frac{\mu_0 m}{4\pi r^3} (2\cos\theta \vec{u}_r + \sin\theta \vec{u}_\theta)\).

Visualisation du Champ Dipolaire

Le schéma ci-dessous représente les lignes du potentiel vecteur (cercles en pointillés bleus) et les lignes du champ magnétique (courbes rouges) pour un dipôle magnétique orienté vers le haut.

Pour Aller Plus Loin : Analogie avec le Dipôle Électrique

La dualité Électricité-Magnétisme : La structure du champ magnétique d'un dipôle est mathématiquement identique à celle du champ électrique d'un dipôle électrique.
Dipôle Magnétique : \(\vec{B} = \frac{\mu_0 m}{4\pi r^3} (2\cos\theta \vec{u}_r + \sin\theta \vec{u}_\theta)\)
Dipôle Électrique : \(\vec{E} = \frac{p}{4\pi \varepsilon_0 r^3} (2\cos\theta \vec{u}_r + \sin\theta \vec{u}_\theta)\)
Cette analogie profonde est l'une des beautés de la physique, montrant une structure unifiée sous-jacente. Le potentiel vecteur \(\vec{A}\) est l'analogue magnétique du potentiel scalaire \(V\).

Le Saviez-Vous ?

Le champ magnétique de la Terre peut être modélisé, en première approximation, comme celui d'un dipôle magnétique géant situé au centre de la planète. Ce "barreau aimanté" est incliné d'environ 11 degrés par rapport à l'axe de rotation de la Terre, et son origine provient des courants de convection dans le noyau de fer liquide.

Foire Aux Questions (FAQ)

Le potentiel vecteur est-il unique ?

Non. Si \(\vec{A}\) est un potentiel vecteur pour un champ \(\vec{B}\), alors \(\vec{A}' = \vec{A} + \vec{\nabla}f\) (où \(f\) est n'importe quelle fonction scalaire) est aussi un potentiel vecteur valide, car \(\vec{\nabla} \times (\vec{A} + \vec{\nabla}f) = \vec{\nabla} \times \vec{A} + \vec{\nabla} \times (\vec{\nabla}f) = \vec{B} + 0\). Cette liberté de choix est appelée "invariance de jauge". On impose souvent une condition supplémentaire (la "jauge de Coulomb" ou la "jauge de Lorenz") pour fixer \(\vec{A}\) de manière unique.

Le potentiel vecteur a-t-il une signification physique directe ?

C'est un sujet de débat. Contrairement au potentiel scalaire \(V\) (lié à l'énergie potentielle), il est plus difficile de donner une signification physique directe à \(\vec{A}\). Cependant, l'effet Aharonov-Bohm, un phénomène de la mécanique quantique, montre que des particules chargées peuvent être influencées par \(\vec{A}\) même dans des régions où \(\vec{B}\) est nul, ce qui suggère que \(\vec{A}\) pourrait être plus fondamental que \(\vec{B}\) lui-même.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On double la distance \(r\) au dipôle. L'amplitude du champ magnétique \(\vec{B}\) est :

Divisée par 2.
Divisée par 4.
Divisée par 8.

2. Sur l'axe du dipôle (axe z, \(\theta=0\)), le champ magnétique :

Est purement radial (selon \(\vec{u}_r\)).
Est nul.
Est purement orthoradial (selon \(\vec{u}_\theta\)).

Glossaire

Moment Dipolaire Magnétique (\(\vec{m}\)): Vecteur caractérisant une source de champ magnétique vue de loin. Pour une boucle de courant plane, \(\vec{m} = I\vec{S}\).
Potentiel Vecteur (\(\vec{A}\)): Champ vectoriel dont le rotationnel donne le champ magnétique (\(\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A}\)). C'est un outil mathématique facilitant les calculs.
Rotationnel (\(\vec{\nabla} \times\)): Opérateur différentiel vectoriel qui mesure la tendance d'un champ de vecteurs à "tourner" autour d'un point. Un champ dont le rotationnel est non nul possède des lignes de champ qui forment des boucles.
Coordonnées Sphériques: Système de coordonnées en 3D défini par une distance radiale \(r\), un angle polaire (ou colatitude) \(\theta\), et un angle azimutal \(\phi\). Particulièrement adapté aux problèmes à symétrie sphérique.