ÉTUDE DE PHYSIQUE

Force entre Deux Fils Parallèles Infinis

Électromagnétisme : Force entre Deux Fils Parallèles Infinis

Force entre Deux Fils Parallèles Infinis

Contexte : L'Interaction Fondamentale entre Courants

L'une des découvertes les plus importantes du 19ème siècle fut que les courants électriques interagissent entre eux. Un fil parcouru par un courant crée un champ magnétiqueRégion de l'espace où une force magnétique s'exerce sur les charges en mouvement. Il est créé par des courants électriques ou des matériaux magnétiques. dans l'espace environnant. Si un second fil porteur de courant est placé dans ce champ, il subit une force, appelée force de LaplaceForce subie par une portion de conducteur parcourue par un courant et placée dans un champ magnétique. Sa formule est dF = I dL x B.. Cette interaction mutuelle est à la base de tous les moteurs électriques et électro-aimants. L'étude du cas simple de deux fils parallèles infinis permet de quantifier cette force et de comprendre sa nature attractive ou répulsive.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est un pilier de la magnétostatique. Il combine deux lois fondamentales : la création d'un champ par un courant (ici, via le théorème d'Ampère) et l'action d'un champ sur un courant (la force de Laplace). Il illustre parfaitement la séquence "Source \(\rightarrow\) Champ \(\rightarrow\) Force".

Objectifs Pédagogiques

  • Appliquer le théorème d'Ampère pour trouver le champ d'un fil infini.
  • Déterminer la direction du champ magnétique avec la règle de la main droite.
  • Appliquer la formule de la force de Laplace sur un segment de fil.
  • Déterminer la nature (attractive ou répulsive) de la force.
  • Calculer la force par unité de longueur entre les deux fils.

Données de l'étude

Deux fils conducteurs, rectilignes, infinis et parallèles, sont placés dans le vide. Ils sont séparés par une distance \(d\). Le fil 1 est parcouru par un courant \(I_1\) et le fil 2 par un courant \(I_2\), de même sens.

Schéma des Fils Parallèles (vue en coupe)
I1 I2 d B1 F2

Données :

  • Courant dans le fil 1 : \(I_1 = 10 \, \text{A}\)
  • Courant dans le fil 2 : \(I_2 = 5 \, \text{A}\)
  • Distance entre les fils : \(d = 2 \, \text{cm}\)
  • Perméabilité du vide : \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}\)

Questions à traiter

  1. Calculer le module du champ magnétique \(\vec{B}_1\) créé par le fil 1 à l'emplacement du fil 2.
  2. Déterminer l'expression de la force de Laplace \(d\vec{F}_2\) subie par un élément de longueur \(d\vec{L}\) du fil 2.
  3. Calculer la force par unité de longueur \(\frac{F_2}{L}\) exercée sur le fil 2. Préciser s'il s'agit d'une attraction ou d'une répulsion.

Correction : Force entre Deux Fils Parallèles

Question 1 : Champ Magnétique \(\vec{B}_1\) créé par le Fil 1

Principe :
I1 Lignes de B1

Pour un fil rectiligne infini, la haute symétrie (invariance par translation et par rotation) nous invite à utiliser le théorème d'AmpèreLoi fondamentale de la magnétostatique qui relie la circulation du champ magnétique le long d'une boucle fermée au courant total qui la traverse.. En choisissant un contour d'Ampère circulaire (un cercle de rayon \(d\) centré sur le fil), le calcul de la circulation de \(\vec{B}\) devient trivial et permet d'isoler facilement le module du champ. Les lignes de champ sont des cercles centrés sur le fil.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La direction du champ se trouve avec la règle de la main droite : si le pouce indique le sens du courant \(I_1\) (sortant de la page), les doigts s'enroulent dans le sens des lignes de champ (sens anti-horaire). À l'emplacement du fil 2, le champ \(\vec{B}_1\) est donc dirigé vers le haut.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}} \Rightarrow B \cdot (2\pi d) = \mu_0 I_1 \Rightarrow B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d} \]
Donnée(s) :
  • Courant \(I_1 = 10 \, \text{A}\)
  • Distance \(d = 2 \, \text{cm} = 0.02 \, \text{m}\)
  • \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T}\cdot\text{m/A}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} B_1 &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 10}{2\pi \times 0.02} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \times 10}{0.02} = \frac{2 \times 10^{-6}}{0.02} \\ &= 1 \times 10^{-4} \, \text{T} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Hypothèse du fil infini : Cette formule simple n'est valable que pour un fil "infiniment long", ce qui en pratique signifie que la distance \(d\) est très petite par rapport à la longueur réelle du fil. Pour des fils courts, le calcul est bien plus complexe.

Le saviez-vous ?

Un champ de 100 microteslas (\(10^{-4}\) T) est environ deux fois plus intense que le champ magnétique terrestre. C'est le type de champ que l'on peut trouver à proximité immédiate d'un câble d'alimentation domestique parcouru par un fort courant.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi utiliser le théorème d'Ampère et non Biot-Savart ?

Les deux lois sont équivalentes. Cependant, le théorème d'Ampère est beaucoup plus rapide à appliquer dans les cas de haute symétrie (fil infini, solénoïde). La loi de Biot-Savart nécessiterait une intégration le long du fil de \(-\infty\) à \(+\infty\), ce qui est plus long mais donnerait le même résultat.

Résultat : Le champ magnétique créé par le fil 1 est \(B_1 = 10^{-4} \, \text{T}\).

Question 2 : Force de Laplace \(d\vec{F}_2\)

Principe :
B1 I2 dL (sortant) dF2

Un conducteur de longueur \(d\vec{L}\) parcouru par un courant \(I_2\) et placé dans un champ magnétique \(\vec{B}_1\) subit une force élémentaire \(d\vec{F}_2\), dite force de Laplace. Cette force est donnée par le produit vectoriel \(d\vec{F}_2 = I_2 (d\vec{L} \times \vec{B}_1)\). Elle est donc perpendiculaire à la fois au fil et au champ magnétique.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La direction de la force se trouve encore avec la règle de la main droite. Placez vos doigts dans la direction du courant \(I_2\) (sortant de la page), puis pliez-les vers la direction de \(\vec{B}_1\) (vers le haut). Votre pouce indique la direction de la force \(\vec{F}_2\) : vers la gauche, donc vers le fil 1. C'est une attraction !

Formule(s) utilisée(s) :
\[ d\vec{F}_2 = I_2 (d\vec{L} \times \vec{B}_1) \Rightarrow dF_2 = I_2 \cdot dL \cdot B_1 \cdot \sin(\alpha) \]
Donnée(s) :
  • Courant \(I_2 = 5 \, \text{A}\)
  • Champ \(B_1 = 10^{-4} \, \text{T}\)
  • L'angle \(\alpha\) entre le fil (\(d\vec{L}\)) et le champ (\(\vec{B}_1\)) est de \(90^\circ\), donc \(\sin(90^\circ) = 1\).
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} dF_2 &= I_2 \cdot dL \cdot B_1 \cdot 1 \\ &= 5 \times (10^{-4}) \times dL \\ &= 5 \times 10^{-4} \, dL \end{aligned} \]
Résultat : L'expression de la force élémentaire est \(dF_2 = (5 \times 10^{-4}) dL\), dirigée vers le fil 1.

Question 3 : Force par Unité de Longueur

Principe :

Puisque les fils sont infinis, la force totale serait infinie. On caractérise donc l'interaction par la force par unité de longueur, obtenue en divisant la force élémentaire \(dF_2\) par la longueur élémentaire \(dL\). Cela donne une valeur finie et significative qui ne dépend que des courants et de la distance.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le résultat final montre que la force est proportionnelle au produit des courants et inversement proportionnelle à la distance. C'est cette relation précise qui a servi à définir l'Ampère dans le Système International jusqu'en 2019.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \frac{F_2}{L} = \frac{dF_2}{dL} = I_2 B_1 = I_2 \left(\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}\right) = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} \]
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \frac{F_2}{L} &= \frac{(4\pi \times 10^{-7}) \times 10 \times 5}{2\pi \times 0.02} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \times 50}{0.02} = \frac{100 \times 10^{-7}}{0.02} \\ &= 5000 \times 10^{-7} = 5 \times 10^{-4} \, \text{N/m} \end{aligned} \]

Comme les courants sont de même sens, la force est attractive.

Points de vigilance :

Attraction vs Répulsion : Une erreur fréquente est de se tromper sur la nature de la force. La règle est simple : les courants de même sens s'attirent, les courants de sens opposés se repoussent. C'est l'inverse de ce qui se passe pour les charges électriques !

Le saviez-vous ?

L'ancienne définition de l'Ampère stipulait que si deux fils infinis parallèles, séparés de 1 mètre, subissaient une force de \(2 \times 10^{-7}\) N/m, alors le courant dans chaque fil était de 1 Ampère. Notre calcul permet de retrouver cette valeur !

FAQ en rapport avec la question :
Le fil 1 subit-il aussi une force ?

Oui. D'après le principe de l'action et de la réaction (3ème loi de Newton), le fil 1 subit une force exactement égale en module et opposée en direction à celle subie par le fil 2. On peut le vérifier en calculant le champ \(\vec{B}_2\) créé par le fil 2, puis la force \(\vec{F}_1\) sur le fil 1. On trouve \(\vec{F}_1 = -\vec{F}_2\).

Résultat : La force par unité de longueur est de \(5 \times 10^{-4} \, \text{N/m}\). C'est une force d'attraction.

Simulation de la Force d'Interaction

Faites varier les courants et la distance pour observer l'influence sur la force par unité de longueur.

Paramètres des Fils
Force Résultante
Force / Longueur
Nature de la force

Pour Aller Plus Loin : Le Railgun

La force de Laplace en action : Un canon à rails (ou railgun) est un lanceur électromagnétique basé sur ce principe. Un projectile conducteur est placé sur deux rails parallèles. Un courant très intense (des millions d'ampères) est envoyé dans un rail, passe par le projectile, et revient par l'autre rail. Le projectile agit comme le "pont" entre deux courants parallèles de sens opposés. Il subit donc une force de Laplace répulsive extrêmement intense qui l'accélère à des vitesses hypersoniques, sans aucune explosion chimique.

Le Saviez-Vous ?

Dans les lignes à haute tension, les câbles sont suffisamment espacés pour que la force magnétique entre eux soit négligeable. Cependant, lors d'un court-circuit, le courant peut atteindre des valeurs des centaines de fois supérieures à la normale. La force, proportionnelle au carré du courant, devient alors énorme et peut violemment tordre ou rompre les câbles et les isolateurs.

Foire Aux Questions (FAQ)

Est-ce que la forme des fils a une importance ?

Oui. Le calcul du champ magnétique avec le théorème d'Ampère suppose une symétrie cylindrique parfaite, ce qui n'est vrai que pour des fils de section circulaire. Pour des barres rectangulaires ou d'autres formes, le champ n'est plus parfaitement circulaire et le calcul de la force devient plus complexe, nécessitant souvent des simulations numériques.

Cette force existe-t-elle pour des courants alternatifs ?

Oui. Si les deux fils sont parcourus par des courants alternatifs de même phase, ils s'attireront et se repousseront à une fréquence double de celle du courant (car la force dépend de \(I_1 \times I_2\)). Cela peut provoquer des vibrations et un bourdonnement caractéristique dans les transformateurs et les grosses installations électriques.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. On double la distance \(d\) entre les deux fils. La force par unité de longueur est :

2. Le courant \(I_1\) va vers le haut et le courant \(I_2\) va vers le bas. Les fils :

Glossaire

Champ Magnétique (\(\vec{B}\))
Champ vectoriel qui décrit l'influence magnétique sur les charges électriques en mouvement. Il est créé par des courants ou des aimants.
Force de Laplace
Force exercée par un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant. \(d\vec{F} = I(d\vec{L} \times \vec{B})\).
Perméabilité du vide (\(\mu_0\))
Constante physique qui caractérise la capacité du vide à "laisser passer" les lignes de champ magnétique.
Théorème d'Ampère
Loi fondamentale qui relie l'intégrale du champ magnétique le long d'une boucle fermée au courant total qui traverse cette boucle.
Force entre Deux Fils Parallèles Infinis

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