Construction de l'Image Donnée par un Système de Deux Lentilles Minces
Contexte : L'Art de Combiner les Lentilles
La plupart des instruments d'optique, comme les microscopes, les télescopes ou les objectifs d'appareils photo, n'utilisent pas une seule lentille mais une combinaison de plusieurs lentilles. L'étude d'un système de deux lentilles est la première étape pour comprendre ces instruments complexes. Le principe de base est simple : l'image formée par la première lentille sert d'objetEn optique, source de rayons lumineux. Un objet est dit réel s'il est situé avant la face d'entrée du système ; il est dit virtuel s'il est situé après. pour la seconde lentille. En appliquant successivement les relations de conjugaison et de grandissement pour chaque lentille, on peut déterminer la position, la taille et la nature de l'image finale.
Remarque Pédagogique : La difficulté principale de ce type d'exercice réside dans la gestion des positions relatives. Il est crucial de bien définir les origines (les centres optiques de chaque lentille) et d'utiliser la relation de Chasles pour calculer la position de l'objet pour la seconde lentille. La méthode est séquentielle : on résout le problème pour la première lentille, puis on utilise le résultat pour résoudre le problème de la seconde.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la relation de conjugaison de Descartes pour une lentille mince.
- Calculer la position et le grandissement d'une image intermédiaire.
- Utiliser une image intermédiaire (réelle ou virtuelle) comme objet pour une seconde lentille.
- Calculer la position et le grandissement de l'image finale.
- Déterminer le grandissement total d'un système de deux lentilles.
Données de l'étude
Schéma du Système Optique
- Distance focale de L1 : \(f'_1 = +10 \, \text{cm}\)
- Distance focale de L2 : \(f'_2 = +5 \, \text{cm}\)
- Distance entre les lentilles : \(d = \overline{O_1O_2} = 30 \, \text{cm}\)
- Position de l'objet : \(\overline{O_1A} = -15 \, \text{cm}\)
- Taille de l'objet : \(\overline{AB} = 1 \, \text{cm}\)
Questions à traiter
- Déterminer la position \(\overline{O_1A'_1}\) et le grandissement \(\gamma_1\) de l'image intermédiaire \(A'_1B'_1\) donnée par \(L_1\).
- Déterminer la position \(\overline{O_2A''}\) de l'image finale \(A''B''\) donnée par \(L_2\).
- Calculer le grandissement total \(\gamma\) du système et la taille de l'image finale \(\overline{A''B''}\).
Correction : Image par un Système de Deux Lentilles
Question 1 : Image Intermédiaire \(A'_1B'_1\)
Principe :
On traite la première lentille \(L_1\) comme si elle était seule. On utilise la relation de conjugaison de DescartesFormule qui relie la position de l'objet (p), la position de l'image (p') et la distance focale (f') d'une lentille mince : 1/p' - 1/p = 1/f'. pour trouver la position de l'image \(A'_1\) à partir de la position de l'objet \(A\). Ensuite, on calcule le grandissement transversal \(\gamma_1\) pour trouver la taille et l'orientation de l'image \(A'_1B'_1\).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : La première étape est toujours d'isoler la première lentille et d'oublier complètement l'existence de la seconde. On trouve l'image formée par L1 comme dans un exercice à une seule lentille.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(\overline{O_1A} = -15 \, \text{cm}\)
- \(f'_1 = +10 \, \text{cm}\)
Calcul(s) :
Points de vigilance :
Signes Algébriques : L'erreur la plus commune est l'oubli des signes dans les distances algébriques. Par convention, la lumière se propage de gauche à droite. Les distances mesurées dans ce sens sont positives, et celles mesurées dans le sens inverse sont négatives. \(\overline{O_1A}\) est négatif car A est à gauche de O1.
Le saviez-vous ?
Question 2 : Position de l'Image Finale \(A''B''\)
Principe :
L'image \(A'_1B'_1\) formée par la première lentille devient maintenant l'objet pour la seconde lentille \(L_2\). La première étape cruciale est de calculer la position de cet objet par rapport à \(L_2\). On utilise la relation de Chasles : \(\overline{O_2A'_1} = \overline{O_2O_1} + \overline{O_1A'_1}\). Une fois cette position connue, on applique à nouveau la relation de conjugaison pour \(L_2\).
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le passage d'un système optique au suivant est la compétence fondamentale ici. L'image de l'un est l'objet de l'autre. Le plus grand soin doit être apporté au calcul de la nouvelle distance objet, en respectant les signes et les origines.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(\overline{O_1A'_1} = +30 \, \text{cm}\) (de Q1)
- \(\overline{O_1O_2} = 30 \, \text{cm}\)
- \(f'_2 = +5 \, \text{cm}\)
Calcul(s) :
L'objet pour L2 est situé exactement sur son centre optique. La lumière n'est pas déviée. L'image finale se forme donc au même endroit.
Si on applique la formule (attention au cas 1/0) : \(\frac{1}{\overline{O_2A''}} = \frac{1}{5} + \frac{1}{0} \rightarrow \infty\), donc \(\overline{O_2A''} \rightarrow 0\).
Points de vigilance :
Objet Virtuel : Si l'image intermédiaire \(A'_1B'_1\) s'était formée après \(L_2\), elle serait devenue un objet virtuel pour \(L_2\). Dans ce cas, la distance objet \(\overline{O_2A'_1}\) aurait été positive, ce qui est contre-intuitif mais mathématiquement correct.
Le saviez-vous ?
Question 3 : Grandissement Total et Taille Finale
Principe :
Le grandissement total d'un système de lentilles est simplement le produit des grandissements de chaque lentille. Il ne faut surtout pas les additionner. Ce grandissement total nous donne le rapport entre la taille de l'image finale et la taille de l'objet initial, ainsi que l'orientation finale.
Remarque Pédagogique :
Point Clé : Le calcul du grandissement total permet de conclure l'étude. Un signe positif final signifie que l'image finale a la même orientation que l'objet initial (droite). Un signe négatif signifie qu'elle est renversée.
Formule(s) utilisée(s) :
Donnée(s) :
- \(\gamma_1 = -2\) (de Q1)
- \(\overline{O_2A'_1} = 0 \, \text{cm}\) et \(\overline{O_2A''} = 0 \, \text{cm}\) (de Q2)
- \(\overline{AB} = 1 \, \text{cm}\)
Calcul(s) :
Le cas où l'objet est sur le centre optique est un cas limite. Le grandissement \(\gamma_2\) n'est pas défini par la formule (division par zéro). Cependant, on sait qu'un rayon passant par le centre optique n'est pas dévié, donc l'image a la même taille et la même orientation que l'objet. Le grandissement est donc de +1.
Points de vigilance :
Cas Particuliers : Attention aux cas où un objet ou une image se forme sur un point particulier comme le centre optique ou un foyer. Les formules peuvent mener à des divisions par zéro. Il faut alors revenir au sens physique ou à la construction des rayons pour trouver la solution.
Simulation du Système à Deux Lentilles
Faites varier la position de l'objet et les distances focales pour voir comment l'image finale est affectée.
Paramètres du Système
Caractéristiques de l'Image Finale
Pour Aller Plus Loin : Le Microscope Optique
Grossir l'infiniment petit : Un microscope est un système de deux lentilles convergentes. La première, l'objectif, a une très courte distance focale et forme une image intermédiaire réelle, renversée et très agrandie de l'objet. La seconde, l'oculaire, agit comme une loupe : on place l'image intermédiaire dans son plan focal objet pour que l'image finale soit rejetée à l'infini, permettant une observation confortable. Le grossissement total est le produit du grandissement de l'objectif et du grossissement de l'oculaire.
Le Saviez-Vous ?
Les objectifs photo modernes sont des systèmes multi-lentilles extrêmement complexes, contenant parfois plus de 15 lentilles différentes. Chaque groupe de lentilles est conçu pour corriger des défauts spécifiques (aberrations chromatiques, distorsions géométriques, etc.) et produire une image la plus nette et fidèle possible sur le capteur.
Foire Aux Questions (FAQ)
Peut-on faire la construction graphique ?
Oui. La méthode graphique est un excellent moyen de vérifier les calculs. On trace d'abord l'image intermédiaire \(A'_1B'_1\) en utilisant les rayons remarquables pour \(L_1\). Ensuite, on utilise les points \(A'_1\) et \(B'_1\) comme des sources de lumière pour tracer les rayons à travers \(L_2\) et trouver l'image finale \(A''B''\).
Que se passe-t-il si une des lentilles est divergente ?
Le principe reste exactement le même. Il suffit d'utiliser une distance focale négative (\(f'<0\)) dans la relation de conjugaison pour la lentille divergente. Une lentille divergente donne toujours une image virtuelle d'un objet réel, mais elle peut donner une image réelle d'un objet virtuel, une situation fréquente dans les systèmes complexes.
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. L'image formée par la première lentille d'un télescope (l'objectif) est utilisée comme objet pour la seconde (l'oculaire). Cette image intermédiaire est typiquement :
2. Si le grandissement de L1 est \(\gamma_1 = -0.5\) et celui de L2 est \(\gamma_2 = -4\), l'image finale est :
Glossaire
- Lentille Mince Convergente
- Lentille qui fait converger un faisceau de rayons parallèles en un point appelé foyer image. Sa distance focale \(f'\) est positive.
- Relation de Conjugaison
- Formule mathématique (\(\frac{1}{p'} - \frac{1}{p} = \frac{1}{f'}\)) qui lie la position de l'objet (\(p\)), de l'image (\(p'\)) et la distance focale (\(f'\)) pour une lentille mince.
- Grandissement Transversal (\(\gamma\))
- Rapport de la taille de l'image à la taille de l'objet (\(\gamma = A'B'/AB = p'/p\)). Il indique si l'image est agrandie (>1), réduite (<1) et si elle est droite (>0) ou renversée (<0).
- Image Réelle / Virtuelle
- Une image est réelle si les rayons lumineux s'y croisent effectivement (on peut la former sur un écran). Elle est virtuelle si les rayons semblent provenir d'un point sans s'y croiser (on ne peut la voir qu'en regardant à travers la lentille).
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