Étude d'un Interféromètre de Fabry-Pérot
Contexte : Filtrage spectral et cavité résonante.
L'interféromètre de Fabry-PérotDispositif optique constitué de deux miroirs plans parallèles et partiellement réfléchissants. est un instrument d'une importance capitale en optique moderne. Il est utilisé pour la spectroscopie à haute résolution et constitue l'élément fondamental des cavités laser. Il repose sur le principe des interférences à ondes multiples.
Remarque Pédagogique : Contrairement à l'interféromètre de Michelson qui utilise deux ondes, le Fabry-Pérot en utilise une infinité, ce qui permet d'obtenir des pics de résonance très fins et donc une très grande précision de mesure.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre le principe de la cavité résonante.
- Calculer l'Intervalle Spectral Libre (ISL).
- Déterminer la Finesse de la cavité et la largeur des pics.
- Évaluer le Coefficient de Finesse et le Facteur de Qualité.
Données de l'étude
On considère un interféromètre de Fabry-Pérot constitué de deux miroirs plans parallèles séparés par une couche d'air d'épaisseur fixe \(d\). Les miroirs sont identiques et possèdent un coefficient de réflexion en intensité noté \(R\).
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Milieu intermédiaire | Air (\(n \approx 1\)) |
| Vitesse de la lumière (\(c\)) | \(3,00 \times 10^8 \text{ m/s}\) |
| Longueur d'onde d'étude (\(\lambda_0\)) | \(600 \text{ nm}\) |
Schéma de la Cavité
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Coefficient de réflexion | \(R\) | 0.90 | (sans unité) |
| Distance entre miroirs | \(d\) | 5 | \(\text{mm}\) |
Questions à traiter
- Calculer l'Intervalle Spectral LibreÉcart en fréquence entre deux pics de transmission successifs. (ISL) en fréquence.
- Déterminer la FinesseGrandeur caractérisant la qualité de la cavité et l'étroitesse des pics de résonance. \(\mathcal{F}\) de la cavité.
- En déduire la largeur à mi-hauteur \(\delta \nu\) des pics de résonance.
- Calculer le Coefficient de FinesseParamètre M (ou F) intervenant dans la formule d'Airy. \(M\).
- Pour \(\lambda_0 = 600 \text{ nm}\), calculer le Facteur de QualitéNombre d'oscillations du champ avant dissipation de l'énergie. \(Q\).
Les bases théoriques
L'intensité transmise par un Fabry-Pérot suit la fonction d'Airy. Elle dépend de la différence de phase \(\phi\) accumulée par l'onde lors d'un aller-retour dans la cavité.
Déphasage
Le déphasage pour un aller-retour dans une cavité d'épaisseur \(d\) et d'indice \(n\) à la longueur d'onde \(\lambda\) est :
Fonction d'Airy (Transmission)
La transmittance \(T\) est donnée par la formule :
Où \(M\) est le coefficient de finesse :
Finesse et ISL
La finesse relie l'Intervalle Spectral Libre (ISL ou \(\Delta \nu\)) à la largeur du pic \(\delta \nu\) :
Correction : Étude d'un Interféromètre de Fabry-Pérot
Question 1 : Calcul de l'Intervalle Spectral Libre (ISL)
Principe
L'ISL (Intervalle Spectral Libre) correspond à la différence de fréquence entre deux modes longitudinaux consécutifs de la cavité résonante. C'est la "période" fréquentielle de la fonction de transmission. Physiquement, c'est l'écart de fréquence nécessaire pour que le déphasage sur un aller-retour augmente exactement de \(2\pi\).
Mini-Cours
Dans une cavité optique, seules certaines fréquences "résonnent" (interférences constructives). Ces fréquences sont espacées régulièrement de \(\Delta \nu\). Si la cavité est courte, l'espacement est grand ; si la cavité est longue (comme dans un laser à fibre), l'espacement est très petit.
Remarque Pédagogique
En longueur d'onde, cet intervalle \(\Delta \lambda\) n'est pas constant, il dépend de \(\lambda^2 / 2nd\). C'est pourquoi on préfère souvent travailler en fréquence pour l'ISL, car \(\Delta \nu\) est une constante intrinsèque à la cavité.
Normes
On utilise ici les unités du Système International (mètre pour les longueurs, seconde pour le temps, Hertz pour la fréquence). Le résultat final sera exprimé en GHz (\(10^9 \text{ Hz}\)) pour plus de lisibilité.
Formule(s)
Formule de l'ISL fréquentiel
Hypothèses
Pour ce calcul, nous posons les hypothèses suivantes :
- L'indice de réfraction de l'air est strictement égal à \(n=1\).
- L'incidence est normale (rayons perpendiculaires aux miroirs), donc le cosinus de l'angle d'incidence vaut 1.
Donnée(s)
Source des données : Données issues de la fiche technique de l'énoncé.
| Paramètre | Valeur | Unité SI |
|---|---|---|
| Vitesse de la lumière \(c\) | \(3 \times 10^8\) | \(\text{m/s}\) |
| Indice \(n\) | 1 | (sans unité) |
| Distance \(d\) | \(5 \text{ mm} = 0.005\) | \(\text{m}\) |
Astuces
Pour vérifier l'ordre de grandeur : une cavité de 15 cm (standard laser He-Ne) a un ISL d'environ 1 GHz. Ici, 5 mm est 30 fois plus petit que 150 mm, donc l'ISL doit être 30 fois plus grand (30 GHz). Le raisonnement inverse est très utile en laboratoire.
Schéma (Avant les calculs)
Concept de l'Intervalle Spectral Libre
Calcul(s)
Conversion(s)
Avant d'appliquer la formule, il est impératif de convertir la distance \(d\) donnée en millimètres vers l'unité standard de longueur du système international, le mètre (m).
Cette étape est cruciale car la vitesse de la lumière \(c\) est exprimée en mètres par seconde (\(\text{m/s}\)).
Calcul Principal
Pour effectuer l'application numérique, nous injectons les valeurs converties dans le système SI. Le dénominateur \(2nd\) représente le chemin optique aller-retour. Ici, il vaut \(2 \times 1 \times 0.005 = 0.01\) mètre. En divisant la vitesse de la lumière par ce chemin, on obtient le nombre de cycles par seconde (la fréquence).
Le résultat final est de \(30 \text{ GHz}\). Cela signifie que les pics de résonance se répètent tous les 30 milliards de Hertz.
Schéma (Après les calculs)
Spectre de transmission périodique
Réflexions
Cette valeur est typique pour une petite cavité de laboratoire ou un étalon solide. Si l'on utilisait cette cavité pour filtrer la lumière, les pics de transmission se répéteraient tous les 30 GHz, ce qui impose une limite à la plage spectrale utilisable sans ambigüité.
Points de vigilance
Attention à bien convertir la distance \(d\) en mètres avant de faire le calcul ! Utiliser des millimètres sans conversion donnerait un résultat faux d'un facteur 1000 (\(30 \text{ MHz}\) au lieu de \(30 \text{ GHz}\)).
Points à Retenir
L'ISL est inversement proportionnel à la longueur de la cavité : \( \Delta \nu \propto 1/d \). Pour espacer les modes, il faut raccourcir la cavité.
Le saviez-vous ?
Pour un laser à fibre optique de plusieurs mètres, l'ISL devient très petit (quelques MHz), ce qui rend le filtrage d'un mode unique beaucoup plus difficile et nécessite souvent des réseaux de Bragg complexes.
FAQ
Est-ce que l'ISL dépend des miroirs ?
Non, l'ISL ne dépend que de la géométrie (longueur optique \(nd\)). La qualité des miroirs (R) joue sur la finesse (largeur des pics), pas sur leur espacement.
A vous de jouer
Si on double la distance \(d\) (on passe à 10 mm), quelle sera la nouvelle valeur de l'ISL en GHz ?
📝 Mémo
ISL = c / 2L (dans l'air).
Question 2 : Détermination de la Finesse
Principe
La Finesse \(\mathcal{F}\) est un nombre sans dimension qui caractérise la "qualité" des interférences ou la "netteté" des franges. Elle quantifie le nombre d'oscillations efficaces de la lumière dans la cavité avant qu'elle ne soit atténuée par transmission ou pertes. Elle dépend uniquement du coefficient de réflexion \(R\) des miroirs.
Mini-Cours
Physiquement, la finesse représente approximativement le nombre de rayons qui interfèrent de manière constructive. Plus \(R\) est proche de 1, plus la lumière reste piégée longtemps dans la cavité, et plus les pics de résonance sont fins et marqués (grande finesse).
Remarque Pédagogique
Une finesse élevée permet de séparer des longueurs d'onde très proches (haute résolution spectrale). C'est l'équivalent optique du facteur de qualité \(Q\) d'un circuit électronique, mais adapté à la structure périodique en fréquence du Fabry-Pérot.
Normes
On suppose des miroirs parfaits sans pertes par absorption ni diffusion (seule la transmission et la réflexion existent, \(R+T=1\)).
Formule(s)
Hypothèses
On néglige les défauts de planéité des miroirs (on calcule ici la "Finesse de réflectivité" pure). On considère que les deux miroirs ont exactement le même coefficient \(R_1 = R_2 = R\).
Donnée(s)
Source des données : Donnée extraite de l'énoncé (caractéristiques des miroirs).
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| Coefficient de réflexion | \(R\) | 0.90 |
Astuces
Si \(R\) est très proche de 1 (par exemple \(R > 0.9\)), on peut approximer \(\mathcal{F} \approx \frac{\pi}{1-R}\). Ici, \(\pi / 0.1 \approx 31.4\), ce qui est très proche de la valeur exacte. C'est utile pour une estimation mentale rapide.
Schéma (Avant les calculs)
Concept de la Réflectivité
Calcul(s)
Calcul Principal
Nous allons substituer \(R = 0.90\) dans la formule de la finesse. Remarquez que le numérateur contient la racine de \(R\) (qui reste proche de 1) tandis que le dénominateur \((1-R)\) devient très petit, ce qui fait exploser la valeur de la finesse.
Le calcul numérique donne une finesse d'environ 30. Cela signifie que la largeur du pic est 30 fois plus petite que la distance entre deux pics.
Schéma (Après les calculs)
Impact de la Réflectivité sur la Finesse
Réflexions
Une finesse de 30 est une valeur modeste en optique moderne. Les super-miroirs actuels (utilisés par exemple dans les horloges atomiques ou les détecteurs d'ondes gravitationnelles) permettent des finesses supérieures à 100 000, ce qui permet de stocker des photons pendant des temps macroscopiques !
Points de vigilance
Ne pas confondre \(R\) (coefficient de réflexion en intensité) et \(r\) (coefficient de réflexion en amplitude). Ici la formule utilise bien \(R = r^2\).
Points à Retenir
La Finesse augmente très vite lorsque R tend vers 1 (comportement asymptotique). C'est pourquoi on cherche toujours les meilleurs miroirs possibles pour les cavités de haute performance.
Le saviez-vous ?
La finesse limite ultimement la résolution d'un spectromètre Fabry-Pérot. Si la finesse est de 30, on peut distinguer environ 30 canaux distincts ("bins") dans un Intervalle Spectral Libre sans qu'ils ne se chevauchent.
FAQ
Peut-on avoir une finesse infinie ?
Non, car \(R\) ne peut jamais être exactement égal à 1 (il faut bien que la lumière entre dans la cavité !), et les pertes par absorption ou diffusion dans les couches diélectriques existent toujours dans les matériaux réels.
A vous de jouer
Si \(R = 0.99\) (miroir diélectrique standard), que vaut environ la finesse ? (Indice: \(\pi / 0.01 \approx 314\))
📝 Mémo
Finesse = Acuité des résonances.
Question 3 : Largeur spectrale des pics
Principe
La largeur à mi-hauteur d'un pic de résonance \(\delta \nu\) (FWHM - Full Width at Half Maximum) représente la bande passante du filtre. C'est la plage de fréquence qui est effectivement transmise par la cavité autour de la fréquence de résonance. Plus elle est petite, plus le filtre est sélectif.
Mini-Cours
La relation fondamentale liant les trois grandeurs est la définition même de la finesse : \(\text{Finesse} = \frac{\text{Distance entre pics (ISL)}}{\text{Largeur d'un pic}}\). Cela montre que la finesse est le "nombre de largeurs de pics" que l'on peut faire tenir dans un intervalle libre sans chevauchement.
Remarque Pédagogique
C'est intuitif : si vous avez un intervalle disponible de 30 GHz (ISL) et que vous pouvez y "ranger" 30 pics distincts (Finesse), alors chaque pic doit faire environ 1 GHz de large.
Normes
On utilise la définition FWHM classique (largeur à 50% de la transmission maximale). D'autres définitions (largeur à \(1/e^2\)) existent pour les faisceaux gaussiens mais ne s'appliquent pas directement ici à la réponse spectrale.
Formule(s)
Hypothèses
Cette relation est une excellente approximation pour les finesses \(\mathcal{F} > 2\), ce qui est largement le cas ici (\(\mathcal{F} \approx 30\)).
Donnée(s)
Source des données : Valeurs calculées précédemment (Q1 pour l'ISL, Q2 pour la Finesse).
| Paramètre | Symbole | Valeur |
|---|---|---|
| ISL | \(\Delta \nu\) | 30 GHz |
| Finesse | \(\mathcal{F}\) | 29.8 |
Astuces
Si la finesse est d'environ 30, la largeur est simplement l'ISL divisé par 30. Le calcul mental est immédiat : \(30 / 30 = 1\).
Schéma (Avant les calculs)
Concept de Sélectivité
Calcul(s)
Calcul Principal
On divise l'ISL trouvé à la question 1 par la Finesse trouvée à la question 2. Cette opération permet de "zoomer" sur la largeur d'un seul pic de résonance.
Le résultat est d'environ 1 GHz. Cela signifie que la cavité laisse passer les fréquences sur une plage de 1 GHz autour de la fréquence centrale.
Schéma (Après les calculs)
Zoom sur la Largeur à Mi-Hauteur (FWHM)
Réflexions
1 GHz est une largeur assez grande en optique (comparé à la fréquence de la lumière qui est de l'ordre de 500 000 GHz), mais c'est très fin par rapport aux filtres colorés classiques (qui ont des largeurs de plusieurs THz).
Points de vigilance
Ne confondez pas \(\Delta \nu\) (espacement entre les pics) et \(\delta \nu\) (largeur d'un pic). L'un est la période de répétition, l'autre est l'étroitesse du motif.
Points à Retenir
Un Fabry-Pérot agit comme un peigne de fréquences très fin. Il ne laisse passer que des fréquences très spécifiques et rejette toutes les autres.
Le saviez-vous ?
On utilise cette propriété pour sélectionner un seul mode longitudinal dans un laser ("Single Mode Operation"), en s'assurant que la largeur du gain laser est inférieure à l'ISL ou en utilisant des cavités couplées.
FAQ
Comment réduire encore cette largeur ?
Pour avoir des pics plus fins, il faut augmenter la Finesse (utiliser de meilleurs miroirs avec R plus proche de 1) ou augmenter la longueur de la cavité (ce qui réduit l'ISL et donc proportionnellement la largeur absolue pour une même finesse).
A vous de jouer
Si la finesse double (meilleurs miroirs), que devient la largeur spectrale ?
📝 Mémo
Largeur = ISL / Finesse.
Question 4 : Coefficient de Finesse M
Principe
Le coefficient \(M\) (parfois noté \(F\) majuscule, attention à la confusion avec la Finesse \(\mathcal{F}\)) est le paramètre qui intervient directement dans l'écriture mathématique de la fonction d'Airy : \( T(\phi) = \frac{1}{1 + M \sin^2(\phi/2)} \). Il quantifie l'amplitude de la modulation de la transmission.
Mini-Cours
Ce coefficient détermine le contraste de la fonction de transmission. Il relie directement la transmission minimale à la transmission maximale. La transmission est maximale (\(T_{max}=1\)) quand \(\sin(\phi/2)=0\), et minimale (\(T_{min} = \frac{1}{1+M}\)) quand \(\sin^2(\phi/2)=1\).
Remarque Pédagogique
C'est un pur paramètre de calcul intermédiaire souvent caché derrière la Finesse, mais il est très sensible aux variations de R car il dépend de \((1-R)^2\) au dénominateur.
Normes
La notation standard varie entre M et F (coefficient de contraste). Nous utilisons M pour éviter la confusion avec la Finesse \(\mathcal{F}\).
Formule(s)
Hypothèses
On suppose que les deux miroirs sont strictement identiques (\(R_1 = R_2 = R\)). Si les miroirs étaient différents, la formule serait plus complexe et la transmission maximale ne serait plus 100%.
Donnée(s)
Source des données : Donnée fondamentale des miroirs (énoncé).
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| \(R\) | 0.90 |
| \((1-R)\) | 0.10 |
Astuces
Notez que le dénominateur est au carré. Une petite variation de \(1-R\) (la transmission du miroir) a un effet quadratique sur M. C'est pourquoi M devient gigantesque quand R approche 1.
Schéma (Avant les calculs)
La Fonction d'Airy et M
Calcul(s)
Calcul Principal
Nous allons calculer M en remplaçant R par 0.90. Faites attention au terme \((1-R)\) qui vaut 0.10 : une fois mis au carré, il devient 0.01, ce qui multiplie le numérateur par 100.
On obtient un coefficient M de 360. Ce chiffre élevé indique que le terme \(\sin^2(\phi/2)\) sera fortement amplifié, creusant rapidement la courbe de transmission dès que l'on s'éloigne de la résonance.
Schéma (Après les calculs)
Visualisation du Contraste (M)
Réflexions
Avec M=360, la transmission minimale (hors résonance) est \(T_{min} = 1/(1+360) \approx 0.0028\) soit environ \(0.3\%\). Le filtre bloque donc très bien la lumière hors résonance (contraste élevé).
Points de vigilance
Ne pas confondre M (qui est de l'ordre de centaines ou milliers) et \(\mathcal{F}\) (qui est de l'ordre de dizaines ou centaines). La relation approximative est \(M \approx (2\mathcal{F}/\pi)^2\).
Points à Retenir
M contrôle la "profondeur" des creux de la fonction de transmission. Plus M est grand, plus le fond est sombre, meilleur est le rejet du filtre.
Le saviez-vous ?
Pour \(R=0.99\), M vaut environ 40 000 ! Le "noir" entre les pics devient extrêmement profond, ce qui est crucial pour filtrer le bruit dans les télécommunications optiques.
FAQ
A quoi sert M concrètement ?
Il sert principalement à tracer la courbe de transmission exacte ou à calculer le taux de réjection du filtre (crosstalk) entre deux canaux.
A vous de jouer
Si \(R=0.5\), calculez M de tête.
📝 Mémo
M = paramètre de contraste.
Question 5 : Facteur de Qualité Q
Principe
Le facteur de qualité \(Q\) est une mesure universelle de la performance d'un résonateur. Il est défini comme \(2\pi\) fois le rapport entre l'énergie totale stockée dans la cavité et l'énergie dissipée par cycle d'oscillation. En spectroscopie, il est plus simplement calculé comme le rapport de la fréquence de résonance sur la largeur du pic.
Mini-Cours
Le facteur Q indique combien de fois l'onde oscille avant que son énergie ne soit dissipée (temps de décroissance \(\tau = Q/\omega\)). Plus Q est élevé, plus l'oscillateur est "pur" et peu amorti. C'est l'équivalent optique du Q d'un circuit RLC ou d'un diapason.
Remarque Pédagogique
En optique, Q est souvent gigantesque comparé à l'électronique (où Q ~ 100) ou à la mécanique, car la fréquence de la lumière est très élevée (centaines de THz), ce qui gonfle le numérateur.
Normes
Définition standard en physique des ondes : \( Q = \frac{\nu_0}{\delta \nu} \).
Formule(s)
Hypothèses
On considère la résonance fondamentale associée à la longueur d'onde donnée \(\lambda_0\).
Donnée(s)
Source des données : Mélange d'une nouvelle donnée (\(\lambda_0\)) et d'un résultat précédent (Q3).
| Paramètre | Valeur | Unité |
|---|---|---|
| \(\lambda_0\) | 600 | nm |
| \(\delta \nu\) | 1.01 | GHz |
Astuces
Pensez impérativement à convertir \(\lambda_0\) en fréquence \(\nu_0\) avant de faire le rapport. On ne peut pas diviser des nanomètres par des Hertz ! Rappel : \(\nu = c/\lambda\).
Schéma (Avant les calculs)
Concept de "Pureté" Spectrale
Calcul(s)
Calcul intermédiaire : Fréquence optique
D'abord, calculons la fréquence de l'onde lumineuse :
La fréquence de l'onde est donc de 500 THz (Térahertz).
Calcul Principal
Nous pouvons maintenant faire le rapport entre cette fréquence optique (500 THz) et la largeur de la résonance calculée à la question 3 (1 GHz). C'est ce rapport qui donne le facteur de qualité.
On obtient un facteur de qualité d'environ 500 000. Cela signifie que la résonance est très fine par rapport à la fréquence de porteuse.
Schéma (Après les calculs)
Facteur Q : Oscillation Amortie
Réflexions
Un demi-million d'oscillations ! Cela montre à quel point la lumière est piégée efficacement, même avec une réflectivité "moyenne" de R=0.90.
Points de vigilance
Q est sans unité. Assurez-vous que numérateur et dénominateur sont dans la même unité (Hz).
Points à Retenir
Q relie le domaine temporel (amortissement, temps de vie du photon dans la cavité) au domaine fréquentiel (largeur de raie).
Le saviez-vous ?
Les micro-résonateurs optiques modernes (sphères de silice fondues) atteignent des Q de \(10^9\), piégeant la lumière pendant des temps très longs à l'échelle atomique.
FAQ
Quelle est la différence entre Finesse et Q ?
La Finesse est le rapport "ISL / largeur" (dépend de la géométrie relative de la cavité), tandis que Q est le rapport "Fréquence absolue / largeur" (dépend de la fréquence de travail et de la qualité absolue du stockage d'énergie).
A vous de jouer
Si on travaillait dans l'UV à 300 nm (fréquence double), comment évoluerait Q (si la largeur \(\delta \nu\) restait constante) ?
📝 Mémo
Q = Pureté spectrale.
Schéma Bilan : Spectre de Transmission
Visualisation des pics de résonance (Fonction d'Airy)
📝 Grand Mémo : Fabry-Pérot
Voici la synthèse des points clés à maîtriser :
-
🔑
Réflectivité R :
C'est le paramètre clé. Plus R est grand, plus les pics sont fins. -
📐
ISL vs Finesse :
L'ISL donne l'espacement des modes (\(c/2nd\)), la Finesse donne leur acuité (\(\pi\sqrt{R}/(1-R)\)). -
💡
Application :
Utilisé pour filtrer des longueurs d'onde très précises (lasers, télécoms).
🎛️ Simulateur de Fonction d'Airy
Modifiez la réflectivité \(R\) des miroirs pour voir comment la finesse des pics évolue.
Paramètres de la cavité
📝 Quiz final : Testez vos connaissances
1. Si on augmente le coefficient de réflexion R des miroirs, que fait la finesse ?
2. L'Intervalle Spectral Libre (ISL) dépend-il de la réflectivité R ?
📚 Glossaire
- Fonction d'Airy
- Fonction mathématique décrivant la transmission d'un Fabry-Pérot en fonction du déphasage.
- Résonance
- Condition où les ondes interfèrent constructivement dans la cavité, maximisant la transmission.
- Interférence
- Phénomène d'interaction entre deux ondes ou plus (ici, une infinité de réflexions).
Le Saviez-vous ?
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