Enregistrement et Restitution d’un Hologramme
Contexte : L'holographie et la nature ondulatoire de la lumière.
L'HolographieTechnique d'enregistrement du front d'onde complet (amplitude et phase). se distingue fondamentalement de la photographie classique. Alors qu'un capteur photo (CCD/CMOS) ou un film argentique standard n'enregistre que l'intensité lumineuse \(I = |A|^2\) (l'énergie), perdant ainsi toute information sur la distance (la phase \(\phi\)), l'holographie parvient à figer l'onde lumineuse dans sa totalité.
Pour ce faire, on utilise le phénomène d'interférences. Une onde de référence (dont on connaît parfaitement la forme, souvent une onde plane ou sphérique) vient se superposer à l'onde diffusée par l'objet. La figure d'interférence résultante code les différences de marche, et donc le relief de l'objet, sous forme de franges microscopiques claires et sombres.
Remarque Pédagogique : L'hologramme n'est pas l'image elle-même, mais un code diffractif (un réseau complexe) qui permet à la lumière de "rejouer" la scène originale lorsqu'il est éclairé correctement.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre la relation géométrique entre l'angle des faisceaux et la finesse des franges d'interférence.
- Maîtriser la notion de fréquence spatiale et l'appliquer au choix du matériel d'enregistrement.
- Appliquer le critère de Shannon-Nyquist dans le domaine de l'optique spatiale.
Données de l'étude
Nous étudions un montage d'holographie "off-axis" (hors axe) par transmission. Un laser He-Ne est divisé en deux faisceaux. Le faisceau "Objet" éclaire la scène, tandis que le faisceau "Référence" éclaire directement la plaque photosensible.
Fiche Technique / Données
| Caractéristique | Valeur |
|---|---|
| Type de Laser | Hélium-Néon (He-Ne) continu |
| Longueur d'onde (\(\lambda\)) | 633 nm (Rouge) |
| Angle total entre faisceaux (\(\theta\)) | 45° |
| Résolution du film holographique | 3000 traits/mm |
| Épaisseur de l'émulsion (\(e\)) | 10 µm |
Schéma de l'Enregistrement
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur d'onde | \(\lambda\) | 633 | nm |
| Angle inter-faisceaux | \(\theta\) | 45 | degrés (°) |
Questions à traiter
- Calculer l'interfrange \(i\) (le pas du réseau) formé sur la plaque.
- En déduire la fréquence spatiale \(f\) de ces franges.
- Le film photosensible est-il capable d'enregistrer ces détails ?
- Quel serait l'effet sur l'interfrange si on utilisait un laser vert (\(532 \text{ nm}\)) ?
- Combien de plans d'interférence traversent l'épaisseur de l'émulsion ?
Les bases théoriques
Pour résoudre cet exercice, il faut maîtriser la physique des ondes stationnaires lumineuses.
Différence de marche et Interférences
Lorsque deux ondes planes cohérentes se croisent avec un angle \(\theta\), elles parcourent des distances différentes selon le point de l'espace considéré. Cette différence de marche \(\delta\) crée un déphasage.
L'interfrange \(i\) est la distance spatiale nécessaire pour que cette différence de marche change d'exactement une longueur d'onde \(\lambda\), retrouvant ainsi une interférence constructive.
Formule Fondamentale de l'Interfrange
Cette formule dérive de la géométrie du triangle isocèle formé par les vecteurs d'onde \(\vec{k_1}\) et \(\vec{k_2}\).
Fréquence Spatiale
C'est l'inverse de la période spatiale. Elle mesure la "densité d'information" par millimètre.
Fréquence Spatiale
Critère de Shannon (Optique)
Pour enregistrer un signal périodique de fréquence \(f\), le support d'enregistrement doit posséder une fréquence de coupure (résolution limite) \(f_{\mathrm{film}}\) strictement supérieure à \(f\).
Correction : Enregistrement et Restitution d’un Hologramme
Question 1 : Calcul de l'interfrange \(i\)
Principe
L'interfrange \(i\) représente la taille physique fondamentale des microstructures que nous cherchons à enregistrer. Il correspond à la distance spatiale séparant deux plans de "lumière maximale" (interférence constructive) consécutifs. Ce calcul repose sur la géométrie des interférences entre deux ondes planes.
Mini-Cours
Imaginez deux vagues d'eau se croisant. Aux endroits où deux crêtes se rencontrent, la vague est deux fois plus haute. Aux endroits où une crête rencontre un creux, l'eau est plate. En optique, ces zones fixes forment un réseau d'interférence. L'espacement de ces zones dépend de l'angle de croisement : plus l'angle est grand, plus les zones se "serrent".
Remarque Pédagogique
Pourquoi \(\theta/2\) ? La formule utilise le demi-angle car elle dérive de la projection des vecteurs d'onde sur l'axe de la plaque. Si vous faites un schéma vectoriel, vous verrez que la différence de phase dépend de la projection de \(\vec{k}\) sur l'axe transversal, ce qui fait apparaître \(\sin(\theta/2)\).
Normes
En optique photonique, il est impératif de réaliser les calculs en mètres (système SI) pour éviter les erreurs d'échelle, avant de convertir le résultat final en micromètres (µm) ou nanomètres (nm), unités usuelles du domaine.
Formule(s)
Modèle d'interférence à deux ondes
Hypothèses
Nous supposons ici que les ondes sont parfaitement planes (fronts d'onde droits) et monochromatiques (une seule couleur pure), ce qui est une excellente approximation pour un laser He-Ne élargi.
Donnée(s)
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Longueur d'onde | \(\lambda\) | \(633 \times 10^{-9}\) | m |
| Angle total | \(\theta\) | 45 | degrés |
Astuces
Vérifiez le mode de votre calculatrice ! Si vous calculez \(\sin(22.5)\) en mode radians, vous obtiendrez un résultat faux (et négatif !). Ici, \(\theta\) est en degrés.
Interférence de deux ondes planes
Calcul(s)
Calcul intermédiaire de l'angle
On commence par calculer le sinus du demi-angle. Attention, il faut bien diviser \(\theta\) par 2 avant d'appliquer le sinus :
Ce coefficient sinus détermine l'influence de l'angle : plus il est grand, plus le dénominateur sera grand, et plus l'interfrange sera petit.
Calcul Principal
Injectons maintenant cette valeur ainsi que la longueur d'onde \(\lambda\) (convertie en mètres) dans la formule de l'interfrange :
On effectue le produit au dénominateur :
Le dénominateur (environ 0.765) est inférieur à 1, ce qui signifie que l'interfrange sera légèrement supérieur à la longueur d'onde.
On effectue la division finale. Ce résultat brut est en mètres :
Conversion finale
Pour exprimer le résultat en micromètres (\(1 \mathrm{\mu m} = 10^{-6} \mathrm{m}\)) :
Ce résultat est cohérent : les structures d'interférence sont typiquement de l'ordre du micron dans le domaine visible.
Réseau sinusoïdal résultant
Réflexions
On obtient une valeur sub-micrométrique (< 1 µm). Pour visualiser, c'est environ 100 fois plus petit que le diamètre d'un cheveu humain (qui fait ~70 µm). Cela explique pourquoi la stabilité mécanique du montage doit être absolue : une vibration d'un micron suffit à effacer tout l'enregistrement !
Points de vigilance
L'erreur classique est d'oublier le facteur 2 au dénominateur ou d'utiliser \(\theta\) entier dans le sinus. Cela conduirait à un résultat faux d'environ 0.45 µm.
Points à Retenir
En holographie visible, l'échelle des détails est toujours de l'ordre de la longueur d'onde, c'est-à-dire quelques centaines de nanomètres.
Le saviez-vous ?
Cette structure microscopique est un "réseau de diffraction". C'est le même principe physique qui crée les couleurs iridescentes sur les ailes des papillons Morpho ou sur la nacre des coquillages.
FAQ
Pourquoi utilise-t-on un laser ?
Pour avoir des interférences stables, il faut une lumière "cohérente" (même fréquence, phase constante). Une ampoule classique est incohérente et brouillerait les franges instantanément (les maxima et minima bougeraient des millions de fois par seconde).
A vous de jouer
Si l'angle θ augmente, l'interfrange i augmente-t-il ou diminue-t-il ? (répondre "diminue")
📝 Mémo
Angle grand = Franges serrées.
Question 2 : Fréquence Spatiale \(f\)
Principe
La fréquence spatiale est une mesure de la "résolution" requise. Elle nous indique combien de cycles (une ligne noire + une ligne brillante) doivent être enregistrés physiquement sur chaque millimètre de film. C'est l'inverse mathématique de la période spatiale.
Mini-Cours
En traitement du signal temporel (audio), on parle de Hertz (cycles par seconde). En optique et en traitement d'image, on parle de cycles par millimètre (mm⁻¹). C'est la grandeur fondamentale pour choisir une optique ou un capteur. Plus ce chiffre est élevé, plus l'image est "fine".
Remarque Pédagogique
Contrairement à une image numérique définie par des pixels, un film analogique est limité par la taille de ses grains d'argent. La fréquence spatiale nous impose une taille maximale pour ces grains.
Normes
Dans l'industrie photographique et holographique, l'unité standard universelle est le "traits/mm" ou "lp/mm" (line pairs per millimeter).
Formule(s)
Relation Période-Fréquence
Hypothèses
On suppose que le réseau est périodique et régulier sur la surface considérée.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Interfrange \(i\) | \(0.827 \times 10^{-6} \mathrm{m}\) |
Astuces
Pour convertir directement : \( f_{\mathrm{tr/mm}} = \frac{1000}{i_{\mathrm{\mu m}}} \). C'est plus rapide et évite les erreurs de puissance de 10 lors de la conversion m -> mm.
Concept : Échantillonnage Spatial
Calcul(s)
Calcul Principal (Inverse)
La fréquence spatiale s'obtient en inversant la période spatiale (l'interfrange). Calculons d'abord cette valeur en unités SI (traits par mètre) :
Ce résultat signifie qu'il y a 1,2 million de traits dans un mètre. C'est une densité très élevée.
Conversion d'unités
Pour passer de m⁻¹ (traits par mètre) à mm⁻¹ (traits par millimètre), on doit diviser le résultat par 1000 (car un millimètre est 1000 fois plus petit qu'un mètre, donc il contient 1000 fois moins de traits) :
Concrètement, cela signifie que si vous regardez le film au microscope, vous compterez environ 1209 lignes sombres sur une distance d'un seul millimètre.
Densité obtenue
Réflexions
1200 traits/mm est une résolution énorme. Pour comparaison, un film photo standard (ISO 100) résout environ 100 à 150 traits/mm. Un écran de smartphone haute résolution ("Retina") est autour de 10-15 traits/mm (300-400 ppi). L'holographie demande donc des matériaux très spécifiques à grain ultra-fin.
Points de vigilance
L'erreur fréquente est de donner le résultat en m⁻¹ (1,2 million) alors que l'unité usuelle et attendue dans l'industrie est le mm⁻¹. Soyez attentif aux unités demandées.
Points à Retenir
La résolution requise en holographie est environ 10 à 50 fois supérieure à la photographie standard.
Le saviez-vous ?
Pour les hologrammes en réflexion (montage de Denisyuk), l'angle θ est de 180°. Cela donne des fréquences montant jusqu'à 5000 traits/mm ! Seules certaines émulsions spéciales (halogénures d'argent ultrafins ou photopolymères) peuvent enregistrer cela.
FAQ
Peut-on utiliser un capteur CCD numérique ?
Oui, pour l'holographie numérique, mais seulement si les pixels sont très petits (< 2 µm) et si on réduit drastiquement l'angle θ (quelques degrés seulement) pour réduire la fréquence spatiale à un niveau gérable par le capteur.
A vous de jouer
Convertissez 1210 traits/mm en traits/m.
📝 Mémo
\( f \times i = 1 \). Plus c'est petit, plus c'est fréquent.
Question 3 : Vérification de la Résolution
Principe
C'est une application directe du théorème d'échantillonnage de Shannon-Nyquist transposé à l'optique. Le support d'enregistrement doit avoir une "bande passante spatiale" supérieure au signal qu'il doit capturer.
Mini-Cours
Si la taille du grain du film est plus grosse que l'interfrange, plusieurs franges (claires et sombres) tomberont sur le même grain. Le grain fera la moyenne de la lumière reçue et deviendra gris uniforme. Le contraste des franges sera perdu, et l'hologramme ne fonctionnera pas. C'est le phénomène de "brouillage".
Remarque Pédagogique
C'est exactement comme essayer de dessiner des hachures très fines avec un marqueur à pointe large : les traits se touchent et forment une tache.
Normes
Le critère de validité est strict :
Formule(s)
Critère de compatibilité
Hypothèses
On suppose que la donnée "3000 traits/mm" correspond à une FTM (Fonction de Transfert de Modulation) suffisante pour avoir un contraste visible à cette fréquence.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Signal (calculé) | 1210 traits/mm |
| Film (donné) | 3000 traits/mm |
Astuces
En pratique, une marge de sécurité (x1.5 ou x2) est toujours préférable pour garantir un hologramme lumineux (haut rendement de diffraction).
Comparaison Graphique
Calcul(s)
Comparaison
On compare les valeurs scalaires :
La capacité du film est nettement supérieure au besoin.
Verdict
Réflexions
La condition est largement vérifiée. Le film est non seulement capable d'enregistrer le signal, mais il offre une marge de qualité excellente. Cela permettra d'enregistrer des détails fins de l'objet et d'avoir un hologramme avec peu de bruit de fond.
Points de vigilance
Si le film avait une résolution de 1000 traits/mm, l'enregistrement serait un échec total. Contrairement à une photo floue, un hologramme raté ne montre rien du tout (plaque transparente ou grise).
Points à Retenir
"Qui peut le plus peut le moins". La résolution du support doit toujours plafonner celle du signal incident.
Le saviez-vous ?
Les grains d'argent de ces films sont nanométriques (environ 10 à 20 nm). En comparaison, les grains d'un film photo standard mesurent entre 500 et 2000 nm !
FAQ
Et si on augmente l'angle ?
Si l'angle augmente, la fréquence augmente. On pourrait dépasser la limite du film si θ approche 180° (réflexion).
A vous de jouer
Le film serait-il compatible avec une fréquence de 3500 traits/mm ? (Oui/Non)
📝 Mémo
Capacité > Besoin.
Question 4 : Laser Vert (\(532 \text{ nm}\))
Principe
On change la source lumineuse pour un laser vert (fréquemment utilisé, type DPSS). Comme la longueur d'onde change, l'échelle de la figure d'interférence change aussi. C'est un principe de similitude.
Mini-Cours
La diffraction est proportionnelle à λ. Une longueur d'onde plus courte (le vert est plus "court" que le rouge) permet de "graver" des détails plus petits. C'est le même principe qui a permis de passer du DVD (laser rouge) au Blu-ray (laser bleu-violet) : réduire la longueur d'onde augmente la densité de stockage.
Remarque Pédagogique
Dans la formule \(i = \lambda / (2\sin(\theta/2))\), λ est au numérateur. La relation est linéaire : si λ diminue, \(i\) diminue.
Normes
Laser Nd:YAG doublé en fréquence : λ = 532 nm. C'est le laser vert le plus courant dans les laboratoires d'enseignement et de recherche.
Formule(s)
Relation de proportionnalité
Hypothèses
On suppose que l'angle θ = 45° reste strictement inchangé dans le montage (ce qui est le cas si on ne bouge pas les miroirs).
Donnée(s)
| Couleur | Lambda |
|---|---|
| Rouge | 633 nm |
| Vert | 532 nm |
Astuces
Plutôt que de tout recalculer avec les sinus, utilisez le rapport : \(\frac{532}{633} \approx 0.84\). L'interfrange sera simplement réduit à 84% de sa valeur initiale.
Spectre visible
Calcul(s)
Calcul du rapport
Calculons d'abord le facteur de réduction lié au changement de couleur (rapport des longueurs d'onde) :
Ce ratio de 0.84 signifie que les franges seront 16% plus petites.
Calcul de la nouvelle valeur
Appliquons ce facteur à l'interfrange initial :
On constate bien une réduction de la taille des motifs. Passer au vert permet donc de graver des détails plus fins, augmentant potentiellement la densité d'information stockée.
Comparaison des pas (Échelle)
Réflexions
L'interfrange descend à 0.70 µm. La fréquence spatiale monte donc à \(1/0.695 \approx 1438\) traits/mm. Cela reste compatible avec notre film (3000 traits/mm), mais l'exigence de stabilité mécanique devient plus critique.
Points de vigilance
Attention à la sensibilité spectrale du film ! Un film conçu pour le laser rouge (sensibilisé au colorant rouge) peut être totalement "aveugle" au vert. Il faut vérifier qu'il est "panchromatique" ou adapté au vert.
Points à Retenir
Plus on va vers le bleu/UV, plus la résolution requise augmente, mais plus on peut stocker d'informations par unité de surface.
Le saviez-vous ?
Pour l'holographie couleur, on superpose trois enregistrements (rouge, vert, bleu) sur la même plaque. Les réseaux d'interférence se superposent sans se gêner, comme des ondes radio de fréquences différentes.
FAQ
Pourquoi ne pas utiliser des rayons X ?
Ce serait idéal pour la résolution, mais il est techniquement très difficile de fabriquer des miroirs et des lentilles pour les rayons X, et encore plus de trouver des films assez fins.
A vous de jouer
La fréquence spatiale avec le vert est-elle plus grande ou plus petite ? (répondre "plus grande")
📝 Mémo
\( \lambda \searrow \Rightarrow i \searrow \Rightarrow f \nearrow \).
Question 5 : Enregistrement en Volume
Principe
Nous abordons ici l'aspect tridimensionnel de la couche sensible. Une émulsion photographique n'est pas une surface mathématique sans épaisseur. Elle a une épaisseur \(e = 10 \text{ µm}\), ce qui est énorme comparé à la taille des franges (\(\approx 0.8 \text{ µm}\)). L'hologramme est donc un volume.
Mini-Cours
Effet Bragg : Quand un réseau possède une épaisseur significative, les franges forment des plans (comme des lamelles de store vénitien) empilés dans l'épaisseur. Pour que la lumière soit diffractée à la lecture, elle doit respecter la condition de Bragg (angle et couleur précis). C'est ce qui rend l'hologramme sélectif : il ne renvoie qu'une seule couleur sous un seul angle.
Remarque Pédagogique
C'est grâce à cette épaisseur qu'on peut voir certains hologrammes en lumière blanche (comme ceux des cartes bancaires ou les hologrammes de Denisyuk) : l'épaisseur agit comme un filtre coloré très précis.
Normes
On considère qu'un hologramme est "épais" (hologramme de volume) si le paramètre Q de Klein-Cook est > 10. Ici, le simple rapport géométrique épaisseur/pas nous donne une bonne intuition physique.
Formule(s)
Nombre de plans traversés
(Approximation pour une transmission où les franges sont quasi-perpendiculaires à la surface).
Hypothèses
On suppose que les strates d'interférence traversent toute l'épaisseur de l'émulsion de manière homogène.
Donnée(s)
| Paramètre | Valeur |
|---|---|
| Épaisseur émulsion \(e\) | 10 µm |
| Interfrange \(i\) (Rouge) | 0.83 µm |
Astuces
C'est un simple rapport d'échelle. Combien de fois le petit motif (0.83) rentre-t-il dans la grande épaisseur (10) ? Attention aux unités (tout en µm) !
Coupe Transversale de l'émulsion
Calcul(s)
Calcul Principal
Pour connaître le nombre de strates, nous divisons l'épaisseur totale de la gélatine par la distance séparant deux plans d'interférence :
Le résultat n'est pas entier, mais il indique clairement que plus de 12 couches optiques se superposent dans l'épaisseur.
Structure interne (Zoom)
Réflexions
Avec environ 12 plans, l'hologramme commence à avoir des propriétés de volume significatives. La lumière incidente devra traverser une douzaine de "couches" de modulation d'indice de réfraction. Chaque couche diffracte un peu de lumière, et toutes ces ondes s'ajoutent en phase (interférence constructive) uniquement pour l'angle de Bragg.
Points de vigilance
Le traitement chimique (développement) peut faire rétrécir la gélatine (l'épaisseur \(e\) diminue). Cela rapproche les plans et change la couleur de restitution ! Un hologramme enregistré en rouge peut devenir vert ou bleu si l'émulsion se contracte.
Points à Retenir
Un hologramme n'est pas une surface, c'est un volume structuré (un cristal photonique artificiel).
Le saviez-vous ?
Gabriel Lippmann utilisait déjà ce principe d'ondes stationnaires dans l'épaisseur de l'émulsion pour faire de la photo couleur en 1900, sans aucun colorant chimique, juste par interférence !
FAQ
Quelle épaisseur pour un "vrai" volume ?
Certains photopolymères modernes font plus de 100 µm d'épaisseur pour stocker des téraoctets de données holographiques.
A vous de jouer
Si l'émulsion faisait 1 µm d'épaisseur (très mince), serait-ce un hologramme de volume ? (Oui/Non)
📝 Mémo
Empilement = Sélectivité.
Schéma Bilan
Synthèse : Du laser à la microstructure enregistrée.
📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut retenir absolument
-
🔑
Principe : L'holographie enregistre la phase de la lumière grâce aux interférences, ce qui permet la 3D.
-
📐
Formule Clé : \( i = \frac{\lambda}{2\sin(\theta/2)} \). L'interfrange dicte la résolution nécessaire.
-
⚠️
Résolution : L'holographie exige des résolutions extrêmes (> 1000 traits/mm), inaccessibles à la photo classique.
-
📦
Volume : L'épaisseur de l'émulsion compte ! Elle permet la sélectivité chromatique et angulaire (Bragg).
🎛️ Simulateur interactif
Modifiez les paramètres pour visualiser l'impact sur la finesse de l'enregistrement.
Paramètres
📝 Quiz final
1. Si j'augmente l'angle entre les deux faisceaux, les franges d'interférence deviennent :
2. Pourquoi un hologramme de volume est-il sélectif en couleur ?
📚 Glossaire
- Cohérence
- Propriété des ondes à avoir une relation de phase constante dans le temps et l'espace, condition sine qua non pour observer des interférences stables.
- Interférences
- Phénomène d'addition ou de soustraction d'amplitudes d'ondes se superposant.
- Réseau de Bragg
- Structure périodique en volume capable de diffracter la lumière de manière très sélective (angle/couleur).
- Fréquence Spatiale
- Nombre de motifs répétitifs par unité de longueur (inverse de la période spatiale).
Le Saviez-vous ?
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