Oscillations de Rabi dans un Système à Deux Niveaux
📝 Situation du Projet
Vous intégrez le Laboratoire de Contrôle Quantique Avancé (LCQA), un centre d'excellence mondial dédié à l'informatique quantique supraconductrice. Situé au cœur d'un complexe de recherche cryogénique, ce laboratoire abrite plusieurs réfrigérateurs à dilution capables d'atteindre des températures proches du zéro absolu (quelques millikelvins), indispensables pour préserver la cohérence quantique des circuits.
Votre équipe travaille sur la nouvelle architecture de processeur "Orion", qui utilise des qubits de type Transmon. Ces qubits sont des circuits LC anharmoniques, fabriqués par lithographie électronique, qui se comportent comme des atomes artificiels macroscopiques. Le défi actuel porte sur le qubit Q-07, fraîchement fabriqué et refroidi à 15 mK. Bien que ses paramètres statiques soient conformes, nous devons calibrer précisément les impulsions de contrôle pour manipuler son état quantique.
En tant qu'Ingénieur Physicien Quantique, vous devez calibrer l'impulsion micro-onde permettant de réaliser une porte logique fondamentale : la porte X (ou porte NOT quantique). Cette opération consiste à faire basculer le qubit de son état fondamental |0⟩ vers son état excité |1⟩ via le phénomène d'Oscillation de Rabi. Vous devez déterminer analytiquement et numériquement la durée exacte de l'impulsion (Pi-pulse) nécessaire.
"Attention, nous travaillons à la résonance stricte pour cette première calibration. Assurez-vous que l'Approximation de l'Onde Tournante (RWA) est bien justifiée, sinon nos calculs de temps de porte seront erronés !"
L'étude repose sur la modélisation d'un atome artificiel isolé, couplé capacitivement à une ligne de transmission micro-onde.
📚 Référentiel Théorique
Postulats Mécanique QuantiqueHamiltonien Semi-Classique⚛️ Paramètres du Système Quantique
Fréquence de Transition du QubitLe qubit Q-07 a été conçu pour avoir une séparation énergétique entre son état fondamental |g⟩ et son premier état excité |e⟩ correspondant à une fréquence propre \(\omega_{01} / 2\pi\) de 5.0 GHz. Cette valeur est typique des qubits Transmon et permet de travailler dans la bande C, où les composants électroniques commerciaux sont performants.
Pour manipuler le qubit, nous injectons un signal micro-onde dont l'amplitude du champ électrique \(E_0\) est ajustée via les atténuateurs cryogéniques. La puissance a été calibrée pour obtenir une fréquence de Rabi cible (\(\Omega_{\text{R}} / 2\pi\)) de 25 MHz. Cela garantit une manipulation rapide devant les temps de cohérence, tout en évitant les effets non-linéaires indésirables.
Conditions de RésonanceL'expérience est configurée pour opérer à la résonance stricte. Le désaccord en fréquence (detuning) \(\Delta\), défini comme la différence entre la fréquence du drive et la fréquence du qubit, est donc fixé à 0 Hz. Nous supposons également que le système est initialement préparé dans son état fondamental |g⟩ (population de 100%) par relaxation thermique.
| Paramètre | Symbole | Valeur | Unité |
|---|---|---|---|
| Fréquence de transition Qubit | \(\omega_{01} / 2\pi\) | 5.0 | GHz |
| Fréquence de Rabi cible | \(\Omega_{\text{R}} / 2\pi\) | 25.0 | MHz |
| Désaccord en fréquence | \(\Delta\) | 0 | Hz |
| État initial (t=0) | \(|\psi(0)\rangle\) | |g⟩ | - |
E. Protocole de Résolution
Pour déterminer le temps d'impulsion optimal, nous allons résoudre analytiquement l'équation de Schrödinger pour ce système couplé.
Modélisation de l'Interaction
Écriture de l'Hamiltonien semi-classique dans la base {|g⟩, |e⟩}.
Passage en Référentiel Tournant
Application de l'Approximation de l'Onde Tournante (RWA) pour simplifier la dépendance temporelle.
Résolution Dynamique
Résolution des équations couplées pour trouver les amplitudes de probabilité.
Calibration de l'Impulsion
Calcul numérique de la durée \(\tau_{\pi}\) pour inverser la population.
Oscillations de Rabi dans un Système à Deux Niveaux
🎯 Objectif
L'objectif primordial de cette première étape est de formaliser mathématiquement l'interaction entre notre atome artificiel (le qubit) et le champ de commande. Nous devons passer d'une description physique (un dipôle dans un champ électrique) à une description matricielle (Opérateurs dans l'espace de Hilbert) exploitable pour la résolution de l'équation de Schrödinger.
📚 Référentiel
Équation de SchrödingerApproximation Dipolaire ÉlectriqueNous modélisons le qubit comme un spin-1/2 fictif. L'Hamiltonien total \(H\) est la somme de l'Hamiltonien propre du qubit \(H_0\) (qui définit ses niveaux d'énergie statiques) et de l'Hamiltonien d'interaction \(V(t)\) qui représente le couplage avec le champ micro-onde oscillant. Le défi est d'écrire \(V(t)\) correctement : il s'agit d'une interaction dipolaire électrique \(-\vec{d}\cdot\vec{E}(t)\). Comme le champ oscille à une fréquence \(\omega_{\text{d}}\), notre Hamiltonien sera explicitement dépendant du temps, ce qui complique la résolution directe.
Dans la base des états propres {|e⟩, |g⟩}, tout opérateur peut s'exprimer via les matrices de Pauli. Pour un système à deux niveaux séparés par une énergie \(\hbar\omega_{01}\), l'Hamiltonien libre s'écrit souvent avec \(\sigma_z\). L'interaction, qui couple les deux états (provoquant des transitions), est purement hors-diagonale et s'écrit avec \(\sigma_x\) ou un opérateur de montée/descente. Le champ électrique classique est traité comme une onde monochromatique : \(E(t) = E_0 \cos(\omega_{\text{d}} t)\).
Étape 1 : Données d'Entrée
| Paramètre | Valeur / Expression |
|---|---|
| Fréquence propre | \(\omega_{01}\) |
| Fréquence Drive | \(\omega_{\text{d}}\) |
| Amplitude couplage | \(\Omega = d \cdot E_0 / \hbar\) |
Pour écrire la matrice, rappelez-vous que \(\sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}\) et \(\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\). Cela simplifie grandement l'assemblage de l'Hamiltonien.
Étape 2 : Construction Matricielle
1. Hamiltonien statique (libre) :On place l'origine des énergies au milieu des deux niveaux.
Les termes diagonaux correspondent aux énergies propres : \(E_{\text{e}} = +\hbar\omega_{01}/2\) et \(E_{\text{g}} = -\hbar\omega_{01}/2\).
2. Hamiltonien d'interaction :Le couplage est purement hors-diagonal (transition entre états). Le champ électrique \(E(t) = E_0 \cos(\omega_{\text{d}} t)\) multiplie le dipôle.
On somme les deux contributions.
À t=0, le vecteur d'état pointe vers le bas (|g⟩). Le champ micro-onde applique un couple autour de l'axe X (terme \(\sigma_x\)).
Interprétation Globale : Nous avons formalisé le problème physique. Le système possède des niveaux d'énergie constants sur la diagonale, mais est perturbé par des termes hors-diagonaux qui oscillent très rapidement (à 5 GHz). Cette oscillation rapide rend l'intégration directe difficile et justifie le passage à l'étape suivante (RWA).
Vérifions les unités : \(\hbar \omega\) est bien une énergie (Joule). Tous les termes de la matrice sont homogènes à une énergie. L'Hamiltonien est bien hermitien (\(H = H^\dagger\)), ce qui garantit des valeurs propres réelles.
L'ordre des états dans la base est crucial. Ici nous utilisons la convention \((|e\rangle, |g\rangle)^T\). Si vous inversez l'ordre, le signe de \(\sigma_z\) change.
🎯 Objectif
Simplifier l'Hamiltonien dépendant du temps en se plaçant dans un référentiel tournant à la fréquence du laser \(\omega_{\text{d}}\). L'objectif est d'éliminer les termes oscillants rapides qui ont une contribution moyenne nulle sur la dynamique du système, pour ne garder que les termes significatifs responsables des transitions.
📚 Référentiel
Transformée UnitaireRotating Wave ApproximationLe terme \(\cos(\omega_{\text{d}} t)\) peut se décomposer en deux exponentielles complexes : \(e^{i\omega_{\text{d}} t}\) et \(e^{-i\omega_{\text{d}} t}\). Dans le référentiel du qubit (qui "tourne" déjà à \(\omega_{01}\)), un de ces termes va tourner à la fréquence différence \((\omega_{01} - \omega_{\text{d}}) \approx 0\) (terme résonant) et l'autre à la fréquence somme \((\omega_{01} + \omega_{\text{d}}) \approx 2\omega_{01}\) (terme contre-rotatif). Le terme à \(2\omega_{01}\) oscille si vite que le qubit "ne le voit pas" : son effet moyen est nul. Nous allons donc le négliger.
En mécanique quantique, changer de point de vue (référentiel) revient à appliquer une transformation unitaire \(U(t)\) sur la fonction d'onde : \(|\psi'\rangle = U(t)|\psi\rangle\). L'Hamiltonien dans ce nouveau cadre ne se transforme pas simplement comme une matrice ; il faut ajouter un terme correctif lié à la dérivée temporelle de \(U\), analogue aux forces d'inertie en mécanique classique.
La loi de transformation de l'Hamiltonien est :
Étape 1 : Données et Transformation
| Paramètre | Expression |
|---|---|
| Opérateur de transformation | \(U(t) = \exp(i \frac{\omega_{\text{d}} t}{2} \sigma_z)\) |
| Identité d'Euler | \(\cos(\theta) = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}\) |
Ne développez pas tous les produits matriciels à la main. Utilisez les propriétés de transformation des opérateurs pauli : \(U \sigma_x U^\dagger\) correspond à une rotation de l'opérateur autour de l'axe Z.
Étape 2 : Calculs Détaillés
1. Terme inertiel (dérivée) :Calculons d'abord le terme correctif dû à la rotation du référentiel.
L'Hamiltonien statique commute avec U (car tous deux sont proportionnels à \(\sigma_z\)).
C'est l'étape cruciale. Nous développons le produit \(U \sigma_x U^\dagger\) puis nous multiplions par le cosinus.
Maintenant, on multiplie par \(\hbar \Omega \cos(\omega_{\text{d}} t)\) et on néglige les termes oscillant à \(2\omega_{\text{d}}\) (Approximation RWA) :
On regroupe le terme inertiel, le terme H0 transformé et le terme V transformé. On définit le désaccord \(\Delta = \omega_{\text{d}} - \omega_{01}\).
Interprétation Globale : Nous sommes passés d'un problème dépendant du temps à un problème statique (matrice constante). Dans ce référentiel tournant, le qubit "voit" un champ constant effectif.
L'approximation RWA est valide tant que \(\Omega \ll \omega_{01}\). Avec \(\Omega \approx 25\) MHz et \(\omega_{01} \approx 5\) GHz, le rapport est de l'ordre de \(10^{-3}\). L'approximation est excellente.
Ne pas oublier que la fonction d'onde obtenue \(\tilde{\psi}\) est celle dans le référentiel tournant.
🎯 Objectif
Déterminer l'évolution temporelle de la probabilité de trouver le qubit dans l'état excité \(P_{\text{e}}(t) = |c_{\text{e}}(t)|^2\). Nous partons de l'état fondamental (\(c_{\text{g}}(0)=1, c_{\text{e}}(0)=0\)) et nous cherchons comment la population oscille sous l'effet du drive résonant.
📚 Référentiel
Équation de Schrödinger dépendant du tempsNous travaillons à résonance exacte (\(\Delta = 0\)). L'Hamiltonien se réduit à \(\tilde{H} = \frac{\hbar \Omega}{2} \sigma_x\). C'est analogue à un spin précessant autour d'un champ magnétique fictif orienté selon l'axe X de la sphère de Bloch. La dynamique doit être une rotation pure. Nous allons écrire le système d'équations différentielles pour les coefficients \(c_{\text{g}}(t)\) et \(c_{\text{e}}(t)\).
L'équation de Schrödinger \(i\hbar \frac{d}{dt}|\psi\rangle = H|\psi\rangle\) est une équation différentielle linéaire du premier ordre. Pour une matrice 2x2 constante, la solution est formellement \(|\psi(t)\rangle = \exp(-iHt/\hbar)|\psi(0)\rangle\). Ici, H étant proportionnel à \(\sigma_x\), l'exponentielle de matrice correspond à une rotation.
En projetant l'équation de Schrödinger sur les états de base :
Étape 1 : Données et Conditions Initiales
| État | t = 0 |
|---|---|
| \(c_{\text{g}}(0)\) | 1 |
| \(c_{\text{e}}(0)\) | 0 |
Pour résoudre ce système couplé, une méthode simple est de dériver une des équations par rapport au temps pour obtenir une équation du second ordre découplée (type oscillateur harmonique).
Étape 2 : Résolution Analytique
1. Équation du second ordre pour c_e :On dérive la deuxième équation et on substitue la première.
C'est un oscillateur harmonique. A et B sont des constantes complexes.
À \(t=0\), \(c_{\text{e}}=0\) donc \(B=0\). Pour trouver A, on utilise la dérivée à l'origine : \(\dot{c}_{\text{e}}(0) = -i(\Omega/2)\). En dérivant la solution générale, on trouve \(A = -i\).
On prend le module carré de l'amplitude pour trouver la population.
Le vecteur d'état (bleu) part du pôle Sud et remonte vers le pôle Nord le long du méridien sous l'effet du champ micro-onde.
Interprétation Globale : La population ne reste pas statique ; elle oscille périodiquement entre l'état fondamental et l'état excité. La vitesse de cette oscillation est dictée par \(\Omega\), qui est directement proportionnel à la puissance de notre laser.
Vérifions la conservation de la probabilité : \(|c_{\text{g}}|^2 + |c_{\text{e}}|^2 = 1\). Le résultat est cohérent.
Notez le facteur 1/2 dans l'argument du sinus (\(\Omega t / 2\)). Une oscillation complète de la population correspond à une phase de \(\pi\) dans l'espace de Hilbert.
🎯 Objectif
Calculer la durée précise \(\tau_{\pi}\) (en nanosecondes) pendant laquelle nous devons allumer le générateur micro-onde pour réaliser une porte quantique X (inversion de bit), c'est-à-dire faire passer le qubit de |0⟩ à |1⟩ avec une fidélité maximale.
📚 Référentiel
Cahier des charges Q-07Nous savons d'après la formule de Rabi que \(P_{\text{e}}(t) = 1\) lorsque \(\sin^2(\frac{\Omega t}{2}) = 1\). Cela se produit lorsque l'argument est égal à \(\pi/2\), soit \(\frac{\Omega t}{2} = \frac{\pi}{2}\), ce qui implique \(\Omega t = \pi\). C'est pourquoi on appelle cela une "impulsion Pi". La fréquence de Rabi \(\Omega\) dépend de l'amplitude du champ qu'on envoie. Dans notre cahier des charges, nous avons fixé \(\Omega/2\pi = 25\) MHz pour éviter de chauffer le cryostat tout en étant beaucoup plus rapide que le temps de décohérence du qubit.
Pour une impulsion d'enveloppe temporelle constante (créneau), l'angle de rotation est simplement \(\theta = \Omega \times \text{durée}\). Pour des formes plus complexes (Gaussiennes), il faudrait intégrer l'enveloppe.
L'équation à résoudre pour trouver le temps \(\tau_\pi\) est :
Étape 1 : Données Techniques
| Type | Valeur |
|---|---|
| Fréquence de Rabi (Linéaire) | \(f_{\text{Rabi}} = 25\) MHz |
| Condition d'inversion | Rotation de \(\pi\) |
Attention à la confusion fréquente entre fréquence angulaire \(\Omega\) (en rad/s) et fréquence linéaire \(f\) (en Hz). La donnée est en MHz, il faut convertir ! Rappel : \(\Omega = 2\pi f\).
Étape 2 : Calcul de la durée d'impulsion
1. Expression de la pulsation Rabi :Conversion de la fréquence technique en pulsation physique.
On isole \(\tau_\pi\) dans la formule de l'aire d'impulsion.
Calcul final en secondes puis conversion en nanosecondes.
Interprétation Globale : Pour réaliser une porte NOT sur notre qubit Q-07, le générateur AWG doit être programmé pour émettre une bouffée de micro-ondes à 5 GHz pendant exactement 20 nanosecondes.
Une durée de 20 ns est standard pour des qubits Transmon supraconducteurs modernes.
Une impulsion rectangulaire (créneau) de 20 ns possède des harmoniques hautes fréquences qui peuvent exciter le niveau |2⟩.
📄 Livrable Final (Rapport de Calibration)
| Ind. | Date | Objet de la modification | Opérateur |
|---|---|---|---|
| A | 16/01/2026 | Calibration initiale Pi-Pulse | Dr. Quantum |
- Fréquence Qubit : 5.0 GHz
- Fréquence Drive : 5.0 GHz (Résonance)
- Puissance Drive : Calibrée pour Ω = 25 MHz
Détermination du temps de basculement |0⟩ -> |1⟩.
[Étudiant]
[Enseignant/N+1]
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