Analyse des Configurations de Condensateurs

Comprendre les Condensateurs et leurs Associations

Un condensateur est un composant électronique capable de stocker de l'énergie sous forme de champ électrique entre deux armatures conductrices (appelées électrodes) séparées par un isolant diélectrique. Sa capacité à stocker la charge est mesurée par sa capacité \(C\), exprimée en Farads (F).

Les condensateurs peuvent être associés en série ou en parallèle pour obtenir une capacité équivalente désirée :

En série : La charge \(Q\) est la même pour tous les condensateurs. La tension totale \(V_{tot}\) est la somme des tensions aux bornes de chaque condensateur. La capacité équivalente \(C_{eq}\) est donnée par : \(\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots\)
En parallèle : La tension \(V\) est la même aux bornes de tous les condensateurs. La charge totale \(Q_{tot}\) est la somme des charges de chaque condensateur. La capacité équivalente \(C_{eq}\) est donnée par : \(C_{eq} = C_1 + C_2 + \dots\)

L'énergie \(E\) stockée par un condensateur est donnée par : \(E = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} Q V = \frac{Q^2}{2C}\).

Données

On considère le circuit de condensateurs suivant, alimenté par une source de tension continue.

Valeurs des composants :

Condensateur \(C_1 = 10 \, \mu\text{F}\)
Condensateur \(C_2 = 20 \, \mu\text{F}\)
Condensateur \(C_3 = 30 \, \mu\text{F}\)
Condensateur \(C_4 = 40 \, \mu\text{F}\)
Tension de la source : \(V_S = 12 \, \text{V}\)

Configuration du circuit :

\(C_1\) et \(C_2\) sont montés en série.
Ce groupement (\(C_{12}\)) est monté en parallèle avec \(C_3\).
L'ensemble de ce groupement (\(C_{123}\)) est monté en série avec \(C_4\).

Schéma du Circuit de Condensateurs

Questions

Calculer la capacité équivalente \(C_{12}\) du groupement série de \(C_1\) et \(C_2\).
Calculer la capacité équivalente \(C_{123}\) du groupement parallèle de \(C_{12}\) et \(C_3\).
Calculer la capacité équivalente totale \(C_{eq}\) du circuit.
Calculer la charge totale \(Q_{tot}\) fournie par la source de tension.
Déterminer la charge \(Q_4\) et la tension \(V_4\) aux bornes du condensateur \(C_4\).
Déterminer la tension \(V_{123}\) aux bornes du groupement parallèle (\(C_{12}\) et \(C_3\)).
Déterminer la charge \(Q_3\) et la tension \(V_3\) aux bornes du condensateur \(C_3\).
Déterminer la charge \(Q_{12}\) sur le groupement série (\(C_1\), \(C_2\)). En déduire les charges \(Q_1\), \(Q_2\) et les tensions \(V_1\), \(V_2\) aux bornes de \(C_1\) et \(C_2\).
Calculer l'énergie totale \(E_{tot}\) emmagasinée par l'ensemble des condensateurs.

Correction : Analyse des Configurations de Condensateurs

Question 1 : Capacité Équivalente \(C_{12}\) (Série)

Principe :

Pour des condensateurs en série, l'inverse de la capacité équivalente est la somme des inverses des capacités individuelles.

Formule :

\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}

Données :

\(C_1 = 10 \, \mu\text{F}\)
\(C_2 = 20 \, \mu\text{F}\)

Calcul :

\frac{1}{C_{12}} = \frac{1}{10} + \frac{1}{20} \] \[\frac{1}{C_{12}} = \frac{2+1}{20} = \frac{3}{20} \, (\mu\text{F})^{-1}\] \[C_{12} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \, \mu\text{F}

Résultat Question 1 : La capacité équivalente du groupement série \(C_1\) et \(C_2\) est \(C_{12} \approx 6.67 \, \mu\text{F}\).

Question 2 : Capacité Équivalente \(C_{123}\) (Parallèle)

Principe :

Pour des condensateurs en parallèle, la capacité équivalente est la somme des capacités individuelles.

Formule :

C_{123} = C_{12} + C_3

Données :

\(C_{12} = \frac{20}{3} \, \mu\text{F}\)
\(C_3 = 30 \, \mu\text{F}\)

Calcul :

C_{123} = \frac{20}{3} + 30 \] \[C_{123} = \frac{20 + 90}{3} \] \[C_{123} = \frac{110}{3} \approx 36.67 \, \mu\text{F}

Résultat Question 2 : La capacité équivalente du groupement parallèle (\(C_{12}\) et \(C_3\)) est \(C_{123} \approx 36.67 \, \mu\text{F}\).

Question 3 : Capacité Équivalente Totale \(C_{eq}\) (Série)

Principe :

Le groupement \(C_{123}\) est en série avec \(C_4\).

Formule :

\frac{1}{C_{eq}} = \frac{1}{C_{123}} + \frac{1}{C_4}

Données :

\(C_{123} = \frac{110}{3} \, \mu\text{F}\)
\(C_4 = 40 \, \mu\text{F}\)

Calcul :

\frac{1}{C_{eq}} = \frac{3}{110} + \frac{1}{40} \] \[\frac{1}{C_{eq}} = \frac{120 + 110}{4400} \] \[\frac{1}{C_{eq}} = \frac{230}{4400} = \frac{23}{440} \, (\mu\text{F})^{-1}\] \[C_{eq} = \frac{440}{23} \approx 19.13 \, \mu\text{F}

Résultat Question 3 : La capacité équivalente totale du circuit est \(C_{eq} \approx 19.13 \, \mu\text{F}\).

Question 4 : Charge Totale \(Q_{tot}\) Fournie par la Source

Principe :

La charge totale est le produit de la capacité équivalente totale et de la tension de la source.

Formule :

Q_{tot} = C_{eq} \times V_S

Données :

\(C_{eq} = \frac{440}{23} \, \mu\text{F} \approx 19.13 \times 10^{-6} \, \text{F}\)
\(V_S = 12 \, \text{V}\)

Calcul :

Q_{tot} = \frac{440}{23} \times 10^{-6} \, \text{F} \times 12 \, \text{V} \] \[Q_{tot} = \frac{5280}{23} \times 10^{-6} \, \text{C} \] \[Q_{tot} \approx 229.57 \times 10^{-6} \, \text{C}\] \[Q_{tot} \approx 229.6 \, \mu\text{C}

Résultat Question 4 : La charge totale fournie par la source est \(Q_{tot} \approx 229.6 \, \mu\text{C}\).

Question 5 : Charge \(Q_4\) et Tension \(V_4\) aux Bornes de \(C_4\)

Principe :

Le condensateur \(C_4\) est en série avec le reste du circuit (\(C_{123}\)). Dans un montage série, la charge est la même pour tous les éléments.

Calculs :

Charge sur \(C_4\) :

Q_4 = Q_{tot} \approx 229.6 \, \mu\text{C}

Tension aux bornes de \(C_4\) :

V_4 = \frac{Q_4}{C_4} = \frac{229.57 \times 10^{-6} \, \text{C}}{40 \times 10^{-6} \, \text{F}} \approx 5.739 \, \text{V}

Résultat Question 5 :

Charge sur \(C_4\) : \(Q_4 \approx 229.6 \, \mu\text{C}\)
Tension aux bornes de \(C_4\) : \(V_4 \approx 5.74 \, \text{V}\)

Question 6 : Tension \(V_{123}\) aux Bornes du Groupement Parallèle

Principe :

La tension totale de la source se répartit entre les éléments en série. \(V_S = V_{123} + V_4\).

Formule :

V_{123} = V_S - V_4

Alternativement, \(V_{123} = Q_{tot} / C_{123}\) car \(Q_{tot}\) est aussi la charge sur \(C_{123}\) (étant en série avec \(C_4\)).

Données :

\(V_S = 12 \, \text{V}\)
\(V_4 \approx 5.74 \, \text{V}\)
\(Q_{tot} \approx 229.57 \, \mu\text{C}\)
\(C_{123} = \frac{110}{3} \, \mu\text{F}\)

Calcul :

Méthode 1 :

V_{123} = 12 \, \text{V} - 5.739 \, \text{V} \] \[V_{123} \approx 6.261 \, \text{V}

Méthode 2 :

V_{123} = \frac{229.57 \times 10^{-6} \, \text{C}}{(110/3) \times 10^{-6} \, \text{F}} \] \[V_{123} = \frac{229.57 \times 3}{110} \approx 6.261 \, \text{V}

Résultat Question 6 : La tension aux bornes du groupement parallèle (\(C_{123}\)) est \(V_{123} \approx 6.26 \, \text{V}\).

Question 7 : Charge \(Q_3\) et Tension \(V_3\) aux Bornes de \(C_3\)

Principe :

\(C_3\) est en parallèle avec \(C_{12}\). La tension à leurs bornes est donc \(V_{123}\).

Calculs :

Tension aux bornes de \(C_3\) :

V_3 = V_{123} \approx 6.261 \, \text{V}

Charge sur \(C_3\) :

Q_3 = C_3 \times V_3 \] \[Q_3 = (30 \times 10^{-6} \, \text{F}) \times 6.261 \, \text{V} \] \[Q_3 \approx 187.83 \times 10^{-6} \, \text{C}\] \[Q_3 \approx 187.8 \, \mu\text{C}

Résultat Question 7 :

Tension aux bornes de \(C_3\) : \(V_3 \approx 6.26 \, \text{V}\)
Charge sur \(C_3\) : \(Q_3 \approx 187.8 \, \mu\text{C}\)

Question 8 : Charges \(Q_1, Q_2\) et Tensions \(V_1, V_2\)

Principe :

Le groupement \(C_{12}\) est en parallèle avec \(C_3\), donc \(V_{12} = V_{123}\). La charge \(Q_{12}\) se calcule avec \(C_{12}\) et \(V_{12}\). Comme \(C_1\) et \(C_2\) sont en série, \(Q_1 = Q_2 = Q_{12}\).

Calculs :

Charge sur le groupement \(C_{12}\) :

Q_{12} = C_{12} \times V_{123} \] \[Q_{12} = (\frac{20}{3} \times 10^{-6} \, \text{F}) \times 6.261 \, \text{V} \] \[Q_{12} \approx 41.74 \times 10^{-6} \, \text{C}\] \[Q_{12} \approx 41.7 \, \mu\text{C}

(Vérification : \(Q_{12} + Q_3 \)\(= 41.74 + 187.83 \)\(= 229.57 \, \mu C = Q_{tot}\). OK)

Charges sur \(C_1\) et \(C_2\) :

Q_1 = Q_2 = Q_{12} \approx 41.7 \, \mu\text{C}

Tension aux bornes de \(C_1\) :

V_1 = \frac{Q_1}{C_1} = \frac{41.74 \times 10^{-6} \, \text{C}}{10 \times 10^{-6} \, \text{F}} \approx 4.174 \, \text{V}

Tension aux bornes de \(C_2\) :

V_2 = \frac{Q_2}{C_2} = \frac{41.74 \times 10^{-6} \, \text{C}}{20 \times 10^{-6} \, \text{F}} \approx 2.087 \, \text{V}

(Vérification : \(V_1 + V_2 = 4.174 + 2.087 = 6.261 \, V = V_{123}\). OK)

Résultat Question 8 :

Charge sur \(C_1\) : \(Q_1 \approx 41.7 \, \mu\text{C}\), Tension \(V_1 \approx 4.17 \, \text{V}\)
Charge sur \(C_2\) : \(Q_2 \approx 41.7 \, \mu\text{C}\), Tension \(V_2 \approx 2.09 \, \text{V}\)

Question 9 : Énergie Totale Emmagasinée (\(E_{tot}\))

Principe :

L'énergie totale est la somme des énergies emmagasinées par chaque condensateur, ou calculée à partir de la capacité équivalente et de la tension totale.

Formule :

E_{tot} = \frac{1}{2} C_{eq} V_S^2

Ou \(E_{tot} = E_1 + E_2 + E_3 + E_4 \)\(= \frac{1}{2}C_1V_1^2 + \frac{1}{2}C_2V_2^2 + \frac{1}{2}C_3V_3^2 + \frac{1}{2}C_4V_4^2\)

Données :

\(C_{eq} = \frac{440}{23} \times 10^{-6} \, \text{F}\)
\(V_S = 12 \, \text{V}\)

Calcul :

E_{tot} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{440}{23} \times 10^{-6}\right) \times (12)^2 \] \[E_{tot} = \frac{1}{2} \times \frac{440}{23} \times 144 \times 10^{-6}\] \[E_{tot} = \frac{31680}{23} \times 10^{-6} \] \[E_{tot} \approx 1377.39 \times 10^{-6} \, \text{J}\] \[E_{tot} \approx 1.38 \, \text{mJ}

Résultat Question 9 : L'énergie totale emmagasinée par l'ensemble des condensateurs est \(E_{tot} \approx 1.38 \, \text{mJ}\).

Analyse des Configurations de Condensateurs

Données

Schéma du Circuit de Condensateurs

Questions

Correction : Analyse des Configurations de Condensateurs

Question 1 : Capacité Équivalente \(C_{12}\) (Série)

Principe :

Formule :

Données :

Calcul :

Question 2 : Capacité Équivalente \(C_{123}\) (Parallèle)

Principe :

Formule :

Données :

Calcul :

Question 3 : Capacité Équivalente Totale \(C_{eq}\) (Série)

Principe :

Formule :

Données :

Calcul :

Question 4 : Charge Totale \(Q_{tot}\) Fournie par la Source

Principe :

Formule :

Données :

Calcul :

Question 5 : Charge \(Q_4\) et Tension \(V_4\) aux Bornes de \(C_4\)

Principe :

Calculs :

Question 6 : Tension \(V_{123}\) aux Bornes du Groupement Parallèle

Principe :

Formule :

Données :

Calcul :

Question 7 : Charge \(Q_3\) et Tension \(V_3\) aux Bornes de \(C_3\)

Principe :

Calculs :

Question 8 : Charges \(Q_1, Q_2\) et Tensions \(V_1, V_2\)

Principe :

Calculs :

Question 9 : Énergie Totale Emmagasinée (\(E_{tot}\))

Principe :

Formule :

Données :

Calcul :

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