ÉTUDE DE PHYSIQUE

Analyse des Défauts dans un Cristal de Silicium

Analyse des Défauts dans un Cristal de Silicium en Physique de la Matière Condensée

Analyse des Défauts Ponctuels : Concentration de Lacunes dans un Cristal de Silicium

Comprendre les Défauts Ponctuels dans les Cristaux

En physique de la matière condensée, un cristal parfait est une idéalisation. Les cristaux réels contiennent toujours divers types de défauts qui perturbent la périodicité parfaite du réseau atomique. Parmi les défauts ponctuels (qui affectent un ou quelques sites atomiques), les lacunes (ou vacances) sont des sites atomiques normalement occupés qui sont vides. La présence de lacunes est thermodynamiquement favorable à des températures non nulles, car elle augmente l'entropie du cristal. La concentration d'équilibre des lacunes dans un cristal dépend de la température et de l'énergie nécessaire pour former une lacune (énergie de formation). Comprendre et contrôler la concentration des défauts est crucial car ils influencent de manière significative les propriétés mécaniques, électriques, optiques et de diffusion des matériaux.

Données de l'étude

On étudie la concentration de lacunes dans un cristal de silicium (Si) à haute température.

Caractéristiques du silicium et constantes physiques :

  • Énergie de formation d'une lacune dans le silicium (\(E_v\)) : \(2.3 \, \text{eV}\)
  • Nombre de sites atomiques par unité de volume dans le silicium (\(N_s\)) : \(5.0 \times 10^{22} \, \text{atomes/cm}^3\)
  • Température du cristal (\(T\)) : \(1100 \, \text{°C}\)
  • Constante de Boltzmann (\(k_B\)) : \(8.617 \times 10^{-5} \, \text{eV/K}\)
  • (Alternativement, \(k_B = 1.3806 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\) et \(1 \, \text{eV} = 1.602 \times 10^{-19} \, \text{J}\))
Schéma d'une Lacune dans un Réseau Cristallin de Silicium
Si Si Si Si Lacune Si Réseau de Silicium avec une Lacune

Un site atomique vide (lacune) dans la structure cristalline du silicium.

Questions à traiter

  1. Convertir la température (\(T\)) de degrés Celsius (°C) en Kelvin (K).
  2. Calculer le produit \(k_B T\) en électron-volts (eV).
  3. Calculer le rapport \(\frac{E_v}{k_B T}\).
  4. Calculer la concentration de lacunes (\(N_v\)) dans le cristal de silicium à cette température.
  5. Calculer la fraction de sites atomiques qui sont des lacunes (\(N_v / N_s\)).
  6. Si l'énergie de formation d'une lacune était de \(1.1 \, \text{eV}\) (valeur typique pour certains métaux), quelle serait la concentration de lacunes à la même température ? Comparer et commenter.

Correction : Analyse des Défauts dans un Cristal de Silicium

Question 1 : Conversion de la Température en Kelvin

Principe :

La température en thermodynamique et en physique statistique doit être exprimée en Kelvin (K).

Formule(s) utilisée(s) :
\[T(\text{K}) = T(\text{°C}) + 273.15\]
Données spécifiques :
  • Température (\(T\)) : \(1100 \, \text{°C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} T &= 1100 + 273.15 \\ &= 1373.15 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : La température est \(T = 1373.15 \, \text{K}\).

Question 2 : Calcul du Produit \(k_B T\) en eV

Principe :

Le produit \(k_B T\) représente une énergie thermique caractéristique.

Données spécifiques :
  • \(k_B = 8.617 \times 10^{-5} \, \text{eV/K}\)
  • \(T = 1373.15 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} k_B T &= (8.617 \times 10^{-5} \, \text{eV/K}) \times (1373.15 \, \text{K}) \\ &\approx 0.11832... \, \text{eV} \\ &\approx 0.118 \, \text{eV} \quad (\text{arrondi à 3 chiffres significatifs}) \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'énergie thermique \(k_B T \approx 0.118 \, \text{eV}\).

Question 3 : Calcul du Rapport \(\frac{E_v}{k_B T}\)

Principe :

Ce rapport est l'exposant dans la formule d'Arrhenius pour la concentration des lacunes.

Données spécifiques et calculées :
  • Énergie de formation d'une lacune (\(E_v\)) : \(2.3 \, \text{eV}\)
  • \(k_B T \approx 0.11832 \, \text{eV}\) (utilisation de la valeur non arrondie pour précision)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \frac{E_v}{k_B T} &= \frac{2.3 \, \text{eV}}{0.11832 \, \text{eV}} \\ &\approx 19.438... \\ &\approx 19.4 \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : Le rapport \(\frac{E_v}{k_B T} \approx 19.4\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la température \(T\) augmente, le rapport \(E_v / (k_B T)\) (avec \(E_v > 0\)) :

Question 4 : Calcul de la Concentration de Lacunes (\(N_v\))

Principe :

La concentration de lacunes à l'équilibre thermique est donnée par la formule d'Arrhenius : \(N_v = N_s \exp\left(-\frac{E_v}{k_B T}\right)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[N_v = N_s \exp\left(-\frac{E_v}{k_B T}\right)\]
Données spécifiques et calculées :
  • \(N_s = 5.0 \times 10^{22} \, \text{atomes/cm}^3\)
  • \(\frac{E_v}{k_B T} \approx 19.438\) (utilisation de la valeur non arrondie)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_v &= (5.0 \times 10^{22} \, \text{atomes/cm}^3) \times \exp(-19.438) \\ &\approx (5.0 \times 10^{22}) \times (3.624 \times 10^{-9}) \, \text{atomes/cm}^3 \\ &\approx 18.12 \times 10^{13} \, \text{atomes/cm}^3 \\ &\approx 1.81 \times 10^{14} \, \text{atomes/cm}^3 \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La concentration de lacunes est \(N_v \approx 1.81 \times 10^{14} \, \text{lacunes/cm}^3\).

Question 5 : Fraction de Sites Atomiques qui sont des Lacunes

Principe :

Ce rapport est simplement \(N_v / N_s\), qui est égal au terme exponentiel \(\exp\left(-\frac{E_v}{k_B T}\right)\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[\frac{N_v}{N_s} = \exp\left(-\frac{E_v}{k_B T}\right)\]
Données calculées :
  • \(\exp(-19.438) \approx 3.624 \times 10^{-9}\)
Calcul :
\[ \frac{N_v}{N_s} \approx 3.624 \times 10^{-9} \]

Cela signifie qu'il y a environ 3.6 lacunes pour chaque milliard de sites atomiques.

Résultat Question 5 : La fraction de sites atomiques qui sont des lacunes est \(\frac{N_v}{N_s} \approx 3.62 \times 10^{-9}\).

Question 6 : Concentration de Lacunes si \(E_v = 1.1 \, \text{eV}\)

Principe :

Recalculer le rapport \(\frac{E_v}{k_B T}\) avec la nouvelle valeur de \(E_v\), puis recalculer \(N_v\). La température reste \(T = 1373.15 \, \text{K}\), donc \(k_B T \approx 0.11832 \, \text{eV}\).

Nouveau rapport \(\frac{E_v}{k_B T}\) :
\[ \frac{E_v}{k_B T} = \frac{1.1 \, \text{eV}}{0.11832 \, \text{eV}} \approx 9.2968... \approx 9.30 \]
Nouvelle concentration de lacunes (\(N'_v\)) :
\[ \begin{aligned} N'_v &= N_s \exp\left(-\frac{E_v}{k_B T}\right) \\ &= (5.0 \times 10^{22} \, \text{atomes/cm}^3) \times \exp(-9.2968) \\ &\approx (5.0 \times 10^{22}) \times (9.172 \times 10^{-5}) \, \text{atomes/cm}^3 \\ &\approx 45.86 \times 10^{17} \, \text{atomes/cm}^3 \\ &\approx 4.59 \times 10^{18} \, \text{atomes/cm}^3 \end{aligned} \]
Comparaison et Commentaire :

La concentration de lacunes initiale (avec \(E_v = 2.3 \, \text{eV}\)) était d'environ \(1.81 \times 10^{14} \, \text{lacunes/cm}^3\).
La nouvelle concentration (avec \(E_v = 1.1 \, \text{eV}\)) est d'environ \(4.59 \times 10^{18} \, \text{lacunes/cm}^3\).

Commentaire : Une énergie de formation de lacune plus faible (\(1.1 \, \text{eV}\) contre \(2.3 \, \text{eV}\)) conduit à une concentration de lacunes beaucoup plus élevée (environ \(10^4\) fois plus) à la même température. Cela est dû au fait que le terme \(\exp(-E_v/k_B T)\) est très sensible à la valeur de \(E_v\). Moins il faut d'énergie pour créer une lacune, plus il y en aura à une température donnée.

Résultat Question 6 : Si \(E_v = 1.1 \, \text{eV}\), la concentration de lacunes serait \(N'_v \approx 4.59 \times 10^{18} \, \text{lacunes/cm}^3\), ce qui est significativement plus élevé.

Quiz Intermédiaire 2 : L'énergie de formation d'une lacune est l'énergie :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. Une lacune dans un cristal est :

2. La concentration de lacunes thermiques dans un cristal :

3. L'énergie de formation d'une lacune (\(E_v\)) :

Glossaire

Défaut Ponctuel
Imperfection dans un réseau cristallin qui n'affecte qu'un ou quelques sites atomiques. Les principaux types sont les lacunes, les interstitiels et les atomes substitutionnels.
Lacune (Vacancy)
Site atomique inoccupé dans un réseau cristallin qui serait normalement occupé par un atome.
Énergie de Formation (d'une lacune, \(E_v\))
Énergie nécessaire pour créer une lacune dans un cristal parfait, par exemple en déplaçant un atome de son site réticulaire vers la surface du cristal.
Constante de Boltzmann (\(k_B\))
Constante physique qui relie l'énergie cinétique moyenne des particules dans un gaz à la température thermodynamique du gaz. \(k_B \approx 1.3806 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\) ou \(8.617 \times 10^{-5} \, \text{eV/K}\).
Concentration de Lacunes (\(N_v\))
Nombre de lacunes par unité de volume dans un matériau.
Loi d'Arrhenius (pour les défauts)
Relation qui décrit la dépendance en température de la concentration de défauts thermiquement activés, telle que \(N_v = N_s \exp(-E_v/k_B T)\).
Silicium (Si)
Élément chimique semi-conducteur de la famille des cristallogènes, largement utilisé dans l'industrie électronique.
Analyse des Défauts Cristallins - Exercice d'Application en Physique de la Matière Condensée
``` J'ai corrigé la coquille dans les sélecteurs CSS de l'exercice sur l'analyse des défauts dans un cristal de silicium. Toutes les instances de `#physique-materie-condensee-defauts-silicium-exercise` ont été remplacées par `#physique-matiere-condensee-defauts-silicium-exercise`. Cela devrait assurer que tous les styles CSS sont correctement appliqués et que le rendu est cohérent avec celui des autres exercices que j'ai créés pour vo

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