ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de la Conductivité Thermique d’un Matériau

Calcul de la Conductivité Thermique d’un Matériau en Physique de la Matière Condensée

Calcul de la Conductivité Thermique d’un Matériau

Comprendre la Conductivité Thermique

La conductivité thermique (\(k\)) est une propriété intrinsèque d'un matériau qui quantifie sa capacité à conduire la chaleur. Un matériau avec une conductivité thermique élevée transfère la chaleur rapidement, tandis qu'un matériau avec une faible conductivité thermique est un bon isolant. La loi de Fourier pour la conduction thermique en régime stationnaire et unidimensionnel stipule que la puissance thermique (\(\Phi\)) transférée à travers une surface d'aire \(A\) est proportionnelle à l'aire, à la différence de température (\(\Delta T\)) entre les deux faces du matériau, et inversement proportionnelle à l'épaisseur (\(e\)) du matériau : \(\Phi = k A \frac{\Delta T}{e}\). Cette relation permet de déterminer expérimentalement la conductivité thermique d'un matériau inconnu ou de calculer les pertes de chaleur à travers une paroi.

Données de l'étude : Test d'un Matériau Isolant

Un échantillon d'un nouveau matériau isolant sous forme de plaque carrée est testé pour déterminer sa conductivité thermique. L'échantillon a les dimensions suivantes :

  • Côté de la plaque : \(L = 30.0 \, \text{cm}\)
  • Épaisseur de la plaque (\(e\)) : \(2.00 \, \text{cm}\)

Pendant l'expérience, une face de la plaque est maintenue à une température \(T_1 = 100.0 \, ^{\circ}\text{C}\) et l'autre face à une température \(T_2 = 25.0 \, ^{\circ}\text{C}\). On mesure une puissance thermique (\(\Phi\)) de \(15.0 \, \text{W}\) traversant l'échantillon en régime stationnaire.

Schéma : Conduction Thermique à travers un Échantillon de Matériau
Échantillon (k?) Épaisseur e T₁ (Chaud) T₂ (Froid) Flux Φ Transfert de chaleur par conduction.

La chaleur se propage de la face chaude vers la face froide à travers l'échantillon.

Questions à traiter

  1. Convertir toutes les dimensions (côté, épaisseur) en mètres.
  2. Calculer l'aire (\(A\)) de la surface de la plaque à travers laquelle la chaleur est transférée.
  3. Calculer la différence de température (\(\Delta T\)) entre les deux faces de la plaque.
  4. En utilisant la loi de Fourier pour la conduction thermique, établir la formule littérale permettant de calculer la conductivité thermique (\(k\)) du matériau.
  5. Calculer la valeur de la conductivité thermique (\(k\)) du matériau isolant.

Correction : Calcul de la Conductivité Thermique d’un Matériau

Question 1 : Conversion des dimensions en mètres

Principe :

Les dimensions données en centimètres (cm) doivent être converties en mètres (m) pour la cohérence des unités dans les calculs de physique (1 cm = 0.01 m).

Données spécifiques :
  • Côté de la plaque (\(L\)) : \(30.0 \, \text{cm}\)
  • Épaisseur de la plaque (\(e\)) : \(2.00 \, \text{cm}\)
Calculs :
\[ \begin{aligned} L (\text{m}) &= 30.0 \, \text{cm} \times 0.01 \, \text{m/cm} \\ &= 0.300 \, \text{m} \\ e (\text{m}) &= 2.00 \, \text{cm} \times 0.01 \, \text{m/cm} \\ &= 0.0200 \, \text{m} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 :
  • Côté de la plaque : \(L = 0.300 \, \text{m}\)
  • Épaisseur de la plaque : \(e = 0.0200 \, \text{m}\)

Question 2 : Calcul de l'aire (\(A\)) de la surface

Principe :

L'échantillon est une plaque carrée. L'aire de la surface à travers laquelle la chaleur est transférée est l'aire d'un carré : \(A = L^2\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A = L^2 \]
Données spécifiques :
  • \(L = 0.300 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A &= (0.300 \, \text{m})^2 \\ &= 0.0900 \, \text{m}^2 \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'aire de la surface de la plaque est \(A = 0.0900 \, \text{m}^2\).

Question 3 : Calcul de la différence de température (\(\Delta T\))

Principe :

La différence de température est la température de la surface chaude moins la température de la surface froide. Pour les différences de température, l'échelle Celsius et Kelvin sont équivalentes (\(\Delta T_C = \Delta T_K\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta T = T_{\text{chaud}} - T_{\text{froid}} = T_1 - T_2 \]
Données spécifiques :
  • \(T_1 = 100.0 \, ^{\circ}\text{C}\)
  • \(T_2 = 25.0 \, ^{\circ}\text{C}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta T &= 100.0 \, ^{\circ}\text{C} - 25.0 \, ^{\circ}\text{C} \\ &= 75.0 \, ^{\circ}\text{C} \\ &= 75.0 \, \text{K} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La différence de température entre les deux faces est \(\Delta T = 75.0 \, \text{K}\).

Question 4 : Formule littérale de la conductivité thermique (\(k\))

Principe :

La loi de Fourier pour la conduction thermique en régime stationnaire à travers une plaque plane est \(\Phi = k A \frac{\Delta T}{e}\). On peut réarranger cette formule pour isoler \(k\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Phi = k A \frac{\Delta T}{e} \Rightarrow k = \frac{\Phi \cdot e}{A \cdot \Delta T} \]
Résultat Question 4 : La formule littérale pour la conductivité thermique est \(k = \frac{\Phi \cdot e}{A \cdot \Delta T}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si l'épaisseur d'un matériau double, sa résistance thermique à la conduction :

Question 5 : Calcul de la conductivité thermique (\(k\))

Principe :

On applique la formule dérivée à la question 4 avec les valeurs numériques.

Données spécifiques :
  • \(\Phi = 15.0 \, \text{W}\)
  • \(e = 0.0200 \, \text{m}\)
  • \(A = 0.0900 \, \text{m}^2\)
  • \(\Delta T = 75.0 \, \text{K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} k &= \frac{(15.0 \, \text{W}) \times (0.0200 \, \text{m})}{(0.0900 \, \text{m}^2) \times (75.0 \, \text{K})} \\ &= \frac{0.300 \, \text{W} \cdot \text{m}}{6.75 \, \text{m}^2 \cdot \text{K}} \\ &\approx 0.04444... \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : La conductivité thermique du matériau isolant est \(k \approx 0.0444 \, \text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

Quiz Intermédiaire 2 : Un matériau avec une faible conductivité thermique est un bon :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La loi de Fourier pour la conduction thermique stipule que le flux de chaleur est proportionnel :

2. L'unité SI de la conductivité thermique (\(k\)) est :

3. Les verres amorphes ont généralement une conductivité thermique plus faible que les solides cristallins en raison de :

Glossaire

Conduction Thermique
Transfert de chaleur à travers un matériau par interaction directe entre ses particules (atomes, molécules, électrons) sans mouvement macroscopique de matière.
Loi de Fourier
Loi décrivant la conduction thermique, stipulant que le flux de chaleur est proportionnel au gradient de température et à la conductivité thermique du matériau.
Conductivité Thermique (\(k\))
Propriété d'un matériau qui mesure sa capacité à conduire la chaleur. Unité : \(\text{W} \cdot \text{m}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).
Flux de Chaleur (\(\phi\))
Quantité de chaleur transférée par unité de surface et par unité de temps. Unité : \(\text{W/m}^2\).
Puissance Thermique (\(\Phi\) ou \(P_{\text{th}}\))
Quantité totale de chaleur transférée par unité de temps. Unité : Watt (W).
Gradient de Température
Taux de variation de la température par unité de distance dans une direction donnée.
Verre Amorphe
Solide non cristallin dont les atomes ou molécules ne sont pas arrangés selon un ordre à longue distance, mais présentent un ordre à courte distance. Leur structure est similaire à celle d'un liquide "figé".
Phonon
Quantum de vibration dans un réseau cristallin ou une structure amorphe. Les phonons sont les principaux porteurs de chaleur dans les matériaux isolants électriques.
Résistance Thermique (\(R_{\text{th}}\))
Mesure de l'opposition d'un matériau ou d'une interface au passage du flux de chaleur. Pour la conduction à travers une plaque plane, \(R_{\text{th}} = e/(kA)\). Unité : K/W.
Régime Stationnaire
État dans lequel les propriétés du système (comme la température en chaque point) ne varient pas avec le temps.
Calcul de la Conductivité Thermique - Exercice d'Application

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