Calcul de la Demi-Vie du Xylothium-254

Point Clé : L'étape la plus délicate est souvent la manipulation mathématique pour isoler \(\lambda\). Rappelez-vous la propriété fondamentale du logarithme : \(\ln(e^x) = x\). C'est l'outil qui permet de "faire descendre" l'exposant.

Unités SI : L'unité du Système International pour la constante de désintégration \(\lambda\) est la seconde inverse (\(\text{s}^{-1}\)). Cependant, il est courant et pratique d'utiliser d'autres unités de temps (comme \(\text{jours}^{-1}\) ou \(\text{ans}^{-1}\)) en fonction de l'ordre de grandeur de la demi-vie étudiée.

On suppose que l'échantillon ne contient que l'isotope Xylothium-254 et qu'aucune autre réaction ne vient créer ou consommer cet isotope pendant l'expérience. On suppose également que le nombre de noyaux est suffisamment grand pour que la loi statistique de la décroissance s'applique avec une bonne précision.

Une constante de \(0,0231 \, \text{jours}^{-1}\) signifie que chaque jour, chaque noyau de Xylothium-254 a environ 2,31% de chance de se désintégrer. C'est cette probabilité constante qui mène à la décroissance exponentielle de la population totale.

Le calcul de \(\lambda\) est essentiel car c'est le paramètre intrinsèque qui gouverne toute la cinétique de la désintégration. Une fois \(\lambda\) connu, on peut calculer toutes les autres grandeurs, comme la demi-vie ou l'activité.

Attention au signe "moins" dans la formule. Le logarithme d'un nombre inférieur à 1 (comme le rapport \(N(t)/N_0\)) est négatif. Le signe "moins" de la formule assure que la constante \(\lambda\) est bien une valeur positive.

Point Clé : Assurez-vous que les unités de \(\lambda\) et de \(T_{1/2}\) sont cohérentes. Si \(\lambda\) est en \(\text{jours}^{-1}\), alors \(T_{1/2}\) sera calculé en jours. Si \(\lambda\) était en \(\text{s}^{-1}\), \(T_{1/2}\) serait en secondes.

ISO 31-10 : Cette norme internationale (maintenant intégrée dans ISO 80000) définit les grandeurs et unités relatives à la physique atomique et nucléaire, y compris les symboles \(T_{1/2}\) pour la demi-vie et \(\lambda\) pour la constante de désintégration.

Ce calcul suppose que la valeur de \(\lambda\) déterminée à la question précédente est exacte et constante dans le temps. En physique fondamentale, la constance des constantes est une hypothèse majeure, mais elle est vérifiée expérimentalement avec une très grande précision.

Une demi-vie de 30 jours signifie que la quantité de Xylothium-254 est divisée par deux tous les 30 jours. Dans notre expérience, après 60 jours (soit deux demi-vies), la quantité a été divisée par \(2 \times 2 = 4\). En effet, \(1,25 \times 10^{12}\) est bien le quart de \(5,0 \times 10^{12}\). Le résultat est donc cohérent avec les données initiales.

La demi-vie est une grandeur beaucoup plus intuitive que la constante de désintégration. Exprimer le résultat en demi-vie permet de se représenter facilement la vitesse à laquelle la radioactivité d'un échantillon diminue.

Ne pas inverser la formule ! Une erreur classique est de calculer \(\lambda / \ln(2)\) au lieu de \(\ln(2) / \lambda\). Souvenez-vous que si \(\lambda\) est grand, \(T_{1/2}\) doit être petit, donc \(\lambda\) doit être au dénominateur.

Point Clé : L'activité se mesure en désintégrations par **seconde**. Comme notre constante \(\lambda\) est en \(\text{jours}^{-1}\), il est impératif de la convertir en \(\text{s}^{-1}\) avant de faire le calcul. C'est une source d'erreur très fréquente.

Unité SI : Le Becquerel (Bq) est l'unité SI de l'activité radioactive, nommée en l'honneur d'Henri Becquerel, découvreur de la radioactivité. On utilise encore parfois l'ancienne unité, le Curie (Ci), mais elle est dépréciée (\(1 \, \text{Ci} = 3,7 \times 10^{10} \, \text{Bq}\)).

On suppose que chaque désintégration d'un noyau de Xylothium-254 est détectable. Le calcul donne l'activité réelle de la source, qui peut différer de l'activité mesurée par un détecteur qui n'a pas une efficacité de 100%.

Une activité de 1,335 méga-becquerels (MBq) signifie qu'au début de l'expérience, plus d'un million de noyaux se désintégraient chaque seconde. C'est une source de radioactivité déjà significative qui nécessite des précautions de manipulation.

L'activité est souvent la grandeur la plus importante en pratique (radioprotection, médecine nucléaire), car elle mesure directement le "danger" ou l'intensité du rayonnement émis par une source à un instant donné, ce qui est plus concret que le nombre de noyaux restants.

L'erreur la plus critique est l'oubli de la conversion des unités de temps pour \(\lambda\). Calculer \(A_0\) avec \(\lambda\) en \(\text{jours}^{-1}\) donnerait un résultat absurde et erroné de plusieurs ordres de grandeur.

Point Clé : Pour les calculs avec l'exponentielle, assurez-vous que l'unité de temps de \(t\) est la même que celle de l'inverse de l'unité de \(\lambda\). Ici, \(t\) est en jours et \(\lambda\) est en \(\text{jours}^{-1}\), donc les unités s'annulent correctement dans l'exposant, qui doit être un nombre sans dimension.

GUM (Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement) : En métrologie, tout résultat de mesure ou de prédiction doit être accompagné d'une incertitude. Dans un cadre plus rigoureux, nous devrions propager les incertitudes sur les mesures initiales de \(N_0\), \(N(t)\) et \(t\) pour calculer l'incertitude sur notre prédiction finale.

On suppose que les conditions de l'échantillon (température, pression, environnement chimique) n'ont aucune influence sur la constante de désintégration \(\lambda\). C'est une caractéristique fondamentale de la radioactivité : elle est insensible aux conditions extérieures, contrairement aux réactions chimiques.

Le résultat confirme le calcul mental fait dans le mini-cours. 120 jours représentent 4 demi-vies (4 x 30 jours). Le nombre de noyaux doit donc être divisé par \(2^4 = 16\). En effet, \( (5,0 \times 10^{12}) / 16 = 0,3125 \times 10^{12} \). Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui valide nos calculs précédents.

La capacité à prédire l'état futur d'un système est au cœur de la physique. Cette étape démontre l'utilité pratique de la loi de décroissance pour des applications comme la planification de la gestion des sources radioactives en médecine ou dans l'industrie.

Faire attention à la fonction exponentielle sur la calculatrice. Il faut bien utiliser \(e^x\) (souvent noté `exp`) et non \(10^x\). De plus, il faut s'assurer que le calcul de l'exposant \(-\lambda t\) est effectué en premier, en respectant les priorités des opérations.