Calcul de la Demi-Vie du Xylothium-254
Comprendre la Désintégration Radioactive et la Demi-Vie
La désintégration radioactive est un processus stochastique par lequel un noyau atomique instable (radio-isotope) perd de l'énergie en émettant des rayonnements sous forme de particules ou d'ondes électromagnétiques. Ce processus transforme le noyau parent en un noyau fils, qui peut être stable ou lui-même radioactif. La vitesse à laquelle un radio-isotope se désintègre est caractérisée par sa constante de désintégration (\(\lambda\)) et sa demi-vie (\(t_{1/2}\)). La demi-vie est le temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent. L'activité (\(A\)) d'un échantillon radioactif, qui est le nombre de désintégrations par unité de temps, diminue également de moitié à chaque demi-vie. Ces concepts sont cruciaux en physique nucléaire, en médecine nucléaire, en datation radioactive et en gestion des déchets radioactifs.
Données de l'étude
- Activité initiale de l'échantillon de Xy-254 (\(A_0\)) : \(5.00 \times 10^8 \, \text{Bq}\) (Becquerels)
- Après un temps \(t = 30.0 \, \text{jours}\), l'activité de l'échantillon (\(A(t)\)) est mesurée à \(1.25 \times 10^8 \, \text{Bq}\).
- Conversion : \(1 \, \text{jour} = 24 \, \text{heures} = 86400 \, \text{s}\)
- \(\ln(2) \approx 0.693\)
- \(\ln(4) \approx 1.386\)
Schéma de la Décroissance Radioactive
Un noyau parent se désintègre en un noyau fils avec émission de rayonnement, son activité diminue avec le temps.
Questions à traiter
- Convertir le temps \(t\) de jours en secondes.
- Rappeler la loi de la décroissance radioactive reliant l'activité \(A(t)\), l'activité initiale \(A_0\), la constante de désintégration \(\lambda\) et le temps \(t\).
- Calculer la constante de désintégration radioactive (\(\lambda\)) du Xylothium-254 en s⁻¹.
- Calculer la demi-vie (\(t_{1/2}\)) du Xylothium-254 en secondes.
- Convertir cette demi-vie en jours.
- Si l'on avait initialement \(N_0 = 2.0 \times 10^{15}\) atomes de Xylothium-254, combien d'atomes resteraient après un temps égal à trois demi-vies ?
Correction : Calcul de la Demi-Vie du Xylothium-254
Question 1 : Conversion du Temps \(t\) en Secondes
Principe :
Le temps est donné en jours et doit être converti en secondes.
Relation :
Données spécifiques :
- Temps (\(t\)) : \(30.0 \, \text{jours}\)
Calcul :
Question 2 : Loi de la Décroissance Radioactive
Principe :
La loi de la décroissance radioactive décrit comment l'activité (ou le nombre de noyaux radioactifs) d'un échantillon diminue de manière exponentielle avec le temps.
Formule(s) utilisée(s) :
Où \(A(t)\) est l'activité au temps \(t\), \(A_0\) est l'activité initiale, \(\lambda\) est la constante de désintégration, et \(t\) est le temps écoulé.
Question 3 : Calcul de la Constante de Désintégration (\(\lambda\))
Principe :
On peut réarranger la loi de décroissance radioactive pour isoler \(\lambda\).
Formule(s) réarrangée(s) :
Données spécifiques :
- \(A_0 = 5.00 \times 10^8 \, \text{Bq}\)
- \(A(t) = 1.25 \times 10^8 \, \text{Bq}\)
- \(t = 2.592 \times 10^6 \, \text{s}\)
Calcul :
Quiz Intermédiaire 1 : Si l'activité d'un échantillon est divisée par 2 en un temps \(t\), alors ce temps \(t\) est égal à :
Question 4 : Calcul de la Demi-Vie (\(t_{1/2}\)) en Secondes
Principe :
La demi-vie (\(t_{1/2}\)) est reliée à la constante de désintégration (\(\lambda\)) par la formule \(t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{\lambda}\).
Formule(s) utilisée(s) :
Données spécifiques et calculées :
- \(\ln(2) \approx 0.6931\)
- \(\lambda \approx 0.53483 \times 10^{-6} \, \text{s}^{-1}\) (utilisation de la valeur non arrondie pour précision)
Calcul :
Question 5 : Conversion de la Demi-Vie en Jours
Principe :
Convertir la demi-vie de secondes en jours.
Relation :
Données calculées :
- \(t_{1/2} \approx 1.2959 \times 10^6 \, \text{s}\)
Calcul :
Note : Le fait que l'activité ait été divisée par 4 (\(5.00 \times 10^8 \rightarrow 1.25 \times 10^8\)) en 30 jours signifie que deux demi-vies se sont écoulées. Donc, une demi-vie est \(30 \, \text{jours} / 2 = 15 \, \text{jours}\). Nos calculs sont cohérents.
Question 6 : Nombre d'Atomes Restants après Trois Demi-Vies
Principe :
Après chaque demi-vie, le nombre d'atomes radioactifs est divisé par deux. Après \(n\) demi-vies, le nombre d'atomes restants \(N(t)\) est \(N_0 / 2^n\).
Données :
- Nombre initial d'atomes (\(N_0\)) : \(2.0 \times 10^{15} \, \text{atomes}\)
- Nombre de demi-vies (\(n\)) : 3
Calcul :
Quiz Intermédiaire 2 : L'activité d'un échantillon radioactif est proportionnelle :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. La constante de désintégration \(\lambda\) a pour unité :
2. Si la demi-vie d'un isotope est de 100 ans, après 300 ans, la fraction de l'isotope initial restant sera :
3. L'activité d'un échantillon radioactif :
Glossaire
- Désintégration Radioactive
- Processus spontané par lequel un noyau atomique instable se transforme en un autre noyau, en émettant des particules ou des rayonnements.
- Demi-vie (\(t_{1/2}\))
- Temps caractéristique au bout duquel la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon initial se sont désintégrés. C'est aussi le temps au bout duquel l'activité de l'échantillon est divisée par deux.
- Constante de Désintégration (\(\lambda\))
- Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Elle est reliée à la demi-vie par \(\lambda = \ln(2)/t_{1/2}\).
- Activité Radioactive (\(A\))
- Nombre de désintégrations nucléaires par unité de temps dans un échantillon radioactif. L'unité SI est le Becquerel (Bq).
- Becquerel (Bq)
- Unité du Système International pour l'activité radioactive, équivalente à une désintégration par seconde (\(1 \, \text{Bq} = 1 \, \text{s}^{-1}\)).
- Loi de Décroissance Radioactive
- Loi mathématique décrivant la diminution exponentielle du nombre de noyaux radioactifs (\(N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\)) ou de l'activité (\(A(t) = A_0 e^{-\lambda t}\)) avec le temps.
- Isotope
- Variantes d'un même élément chimique qui possèdent le même nombre de protons mais un nombre différent de neutrons.
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