ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul de l’activité d’un échantillon de Cobalt-60

Calcul de l’Activité d’un Échantillon de Cobalt-60 en Physique Nucléaire

Calcul de l’Activité d’un Échantillon de Cobalt-60

Comprendre l'Activité Radioactive du Cobalt-60

Le Cobalt-60 (\(^{60}\text{Co}\)) est un radio-isotope artificiel du cobalt qui se désintègre par émission bêta moins (\(\beta^-\)) en Nickel-60 (\(^{60}\text{Ni}\)), un isotope stable. Cette désintégration s'accompagne de l'émission de rayons gamma de haute énergie, ce qui rend le \(^{60}\text{Co}\) utile dans diverses applications telles que la radiothérapie pour le traitement du cancer, la stérilisation de matériel médical, et l'irradiation industrielle. L'activité d'un échantillon de \(^{60}\text{Co}\) (le nombre de désintégrations par seconde) diminue avec le temps en raison de sa désintégration radioactive. Connaître la demi-vie du \(^{60}\text{Co}\) permet de calculer sa constante de désintégration et de prédire son activité à n'importe quel moment.

Données du Problème

On dispose d'un échantillon de Cobalt-60.

  • Masse initiale de l'échantillon de \(^{60}\text{Co}\) (\(m_0\)) : \(10.0 \, \mu\text{g}\) (microgrammes)
  • Demi-vie du \(^{60}\text{Co}\) (\(t_{1/2}\)) : \(5.27 \, \text{années}\)
  • Masse molaire atomique approximative du \(^{60}\text{Co}\) (\(M\)) : \(59.9338 \, \text{g/mol}\)

Constantes et conversions utiles :

  • Nombre d'Avogadro (\(N_A\)) : \(6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
  • \(1 \, \text{année} \approx 3.156 \times 10^7 \, \text{secondes}\)
  • \(1 \, \mu\text{g} = 10^{-6} \, \text{g}\)
  • \(1 \, \text{Curie (Ci)} = 3.7 \times 10^{10} \, \text{Bq}\)

Désintégration du Cobalt-60 : \(^{60}_{27}\text{Co} \rightarrow ^{60}_{28}\text{Ni} + e^- + \bar{\nu}_e + \gamma\)

Schéma : Désintégration du Cobalt-60
⁶⁰Co β⁻, γ ⁶⁰Ni e⁻ (β⁻) ν̅e γ γ

Désintégration bêta du Cobalt-60 en Nickel-60, avec émission de rayons gamma.

Questions à traiter

  1. Calculer le nombre de moles de \(^{60}\text{Co}\) (\(n\)) dans l'échantillon initial de \(10.0 \, \mu\text{g}\).
  2. Calculer le nombre initial d'atomes de \(^{60}\text{Co}\) (\(N_0\)) dans l'échantillon.
  3. Calculer la constante de désintégration radioactive (\(\lambda\)) du \(^{60}\text{Co}\) en \(\text{s}^{-1}\).
  4. Calculer l'activité initiale (\(A_0\)) de l'échantillon en Becquerels (Bq).
  5. Convertir cette activité initiale (\(A_0\)) en Curies (Ci).
  6. Calculer l'activité résiduelle (\(A_t\)) de l'échantillon après \(t = 2.00 \, \text{années}\), en Bq.
  7. Calculer la masse de \(^{60}\text{Co}\) restante après \(2.00 \, \text{années}\), en microgrammes.

Correction : Calcul de l’Activité d’un Échantillon de Cobalt-60

Question 1 : Nombre de moles de \(^{60}\text{Co}\) (\(n\))

Principe :

Le nombre de moles (\(n\)) est la masse (\(m\)) divisée par la masse molaire (\(M\)). La masse doit être en grammes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ n = \frac{m}{M} \]
Données spécifiques :
  • \(m_0 = 10.0 \, \mu\text{g} = 10.0 \times 10^{-6} \, \text{g}\)
  • \(M = 59.9338 \, \text{g/mol}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} n &= \frac{10.0 \times 10^{-6} \, \text{g}}{59.9338 \, \text{g/mol}} \\ &\approx 1.6685 \times 10^{-7} \, \text{mol} \end{aligned} \]
Résultat Question 1 : Le nombre de moles de \(^{60}\text{Co}\) est \(n \approx 1.669 \times 10^{-7} \, \text{mol}\).

Question 2 : Nombre initial d'atomes de \(^{60}\text{Co}\) (\(N_0\))

Principe :

Le nombre d'atomes (\(N\)) est le produit du nombre de moles (\(n\)) par le nombre d'Avogadro (\(N_A\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ N_0 = n \times N_A \]
Données spécifiques :
  • \(n \approx 1.6685 \times 10^{-7} \, \text{mol}\)
  • \(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} N_0 &\approx (1.6685 \times 10^{-7} \, \text{mol}) \times (6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}) \\ &\approx 1.0048 \times 10^{17} \, \text{atomes} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le nombre initial d'atomes de \(^{60}\text{Co}\) est \(N_0 \approx 1.005 \times 10^{17}\) atomes.

Question 3 : Constante de désintégration radioactive (\(\lambda\)) en \(\text{s}^{-1}\)

Principe :

La constante de désintégration (\(\lambda\)) est reliée à la demi-vie (\(t_{1/2}\)) par \(\lambda = \ln(2) / t_{1/2}\). La demi-vie doit être convertie en secondes.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \lambda = \frac{\ln(2)}{t_{1/2}} \]

Avec \(\ln(2) \approx 0.69315\).

Données spécifiques :
  • \(t_{1/2} = 5.27 \, \text{années}\)
  • \(1 \, \text{année} \approx 3.156 \times 10^7 \, \text{s}\)
Calcul :

Conversion de la demi-vie en secondes :

\[ t_{1/2} (\text{s}) = 5.27 \, \text{ans} \times 3.156 \times 10^7 \, \text{s/an} \approx 1.663212 \times 10^8 \, \text{s} \]

Calcul de \(\lambda\) :

\[ \begin{aligned} \lambda &\approx \frac{0.69315}{1.663212 \times 10^8 \, \text{s}} \\ &\approx 4.1674 \times 10^{-9} \, \text{s}^{-1} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La constante de désintégration est \(\lambda \approx 4.167 \times 10^{-9} \, \text{s}^{-1}\).

Question 4 : Activité initiale (\(A_0\)) en Becquerels (Bq)

Principe :

L'activité initiale (\(A_0\)) est le produit de la constante de désintégration (\(\lambda\)) et du nombre initial d'atomes radioactifs (\(N_0\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_0 = \lambda N_0 \]
Données spécifiques :
  • \(\lambda \approx 4.1674 \times 10^{-9} \, \text{s}^{-1}\)
  • \(N_0 \approx 1.0048 \times 10^{17} \, \text{atomes}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_0 &\approx (4.1674 \times 10^{-9} \, \text{s}^{-1}) \times (1.0048 \times 10^{17} \, \text{atomes}) \\ &\approx 4.1874 \times 10^8 \, \text{désintégrations/s} \\ &\approx 4.187 \times 10^8 \, \text{Bq} \end{aligned} \]

Ou \(418.7 \, \text{MBq}\).

Résultat Question 4 : L'activité initiale de l'échantillon est \(A_0 \approx 4.187 \times 10^8 \, \text{Bq}\) (ou \(418.7 \, \text{MBq}\)).

Question 5 : Conversion de l'activité initiale (\(A_0\)) en Curies (Ci)

Principe :

On utilise le facteur de conversion \(1 \, \text{Ci} = 3.7 \times 10^{10} \, \text{Bq}\).

Données spécifiques :
  • \(A_0 \approx 4.1874 \times 10^8 \, \text{Bq}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} A_0 (\text{Ci}) &\approx \frac{4.1874 \times 10^8 \, \text{Bq}}{3.7 \times 10^{10} \, \text{Bq/Ci}} \\ &\approx 0.011317 \, \text{Ci} \\ &\approx 11.3 \, \text{mCi} \end{aligned} \]
Résultat Question 5 : L'activité initiale est d'environ \(0.0113 \, \text{Ci}\) (ou \(11.3 \, \text{mCi}\)).

Question 6 : Activité résiduelle (\(A_t\)) après \(2.00 \, \text{années}\)

Principe :

On utilise la loi de décroissance radioactive \(A_t = A_0 e^{-\lambda t}\). Le temps \(t\) doit être en secondes si \(\lambda\) est en \(\text{s}^{-1}\), ou on peut utiliser \(\lambda\) en \(\text{an}^{-1}\) si \(t\) est en années.

Données spécifiques :
  • \(A_0 \approx 4.1874 \times 10^8 \, \text{Bq}\)
  • \(\lambda \approx 0.086421 \, \text{an}^{-1}\) (calculé à la Q1, en utilisant \(t_{1/2}\) en années)
  • \(t = 2.00 \, \text{années}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \lambda t &\approx (0.086421 \, \text{an}^{-1}) \times (2.00 \, \text{ans}) \\ &\approx 0.172842 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} A_t &\approx (4.1874 \times 10^8 \, \text{Bq}) \times e^{-0.172842} \\ &\approx (4.1874 \times 10^8 \, \text{Bq}) \times 0.84127 \\ &\approx 3.5229 \times 10^8 \, \text{Bq} \end{aligned} \]

Ou \(352.3 \, \text{MBq}\).

Résultat Question 6 : L'activité résiduelle après \(2.00 \, \text{années}\) est d'environ \(3.52 \times 10^8 \, \text{Bq}\) (ou \(352 \, \text{MBq}\)).

Question 7 : Masse de \(^{60}\text{Co}\) restante après \(2.00 \, \text{années}\)

Principe :

Le nombre de noyaux radioactifs diminue également selon la loi \(N_t = N_0 e^{-\lambda t}\). Une fois \(N_t\) connu, on peut calculer la masse restante.

Données spécifiques :
  • \(N_0 \approx 1.0048 \times 10^{17} \, \text{atomes}\)
  • \(e^{-\lambda t} \approx 0.84127\) (de la Q6)
  • \(M = 59.9338 \, \text{g/mol}\)
  • \(N_A = 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)
Calcul :

Nombre d'atomes restants (\(N_t\)) :

\[ N_t \approx (1.0048 \times 10^{17}) \times 0.84127 \approx 0.8453 \times 10^{17} \, \text{atomes} \]

Nombre de moles restantes (\(n_t\)) :

\[ n_t = \frac{N_t}{N_A} \approx \frac{0.8453 \times 10^{17}}{6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}} \approx 1.4037 \times 10^{-7} \, \text{mol} \]

Masse restante (\(m_t\)) :

\[ \begin{aligned} m_t &= n_t \times M \\ &\approx (1.4037 \times 10^{-7} \, \text{mol}) \times (59.9338 \, \text{g/mol}) \\ &\approx 8.4127 \times 10^{-6} \, \text{g} \end{aligned} \]

Conversion en microgrammes : \(8.4127 \, \mu\text{g}\).

Alternativement, \(m_t = m_0 e^{-\lambda t} \approx (10.0 \, \mu\text{g}) \times 0.84127 \approx 8.4127 \, \mu\text{g}\).

Résultat Question 7 : La masse de \(^{60}\text{Co}\) restante après \(2.00 \, \text{années}\) est d'environ \(8.41 \, \mu\text{g}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. L'activité d'un échantillon radioactif :

2. La demi-vie (\(t_{1/2}\)) est le temps nécessaire pour que :

3. L'unité Becquerel (Bq) correspond à :

4. Si la constante de désintégration (\(\lambda\)) est grande, cela signifie que le radionucléide :

Glossaire

Radionucléide (Radio-isotope)
Atome dont le noyau est instable et subit une désintégration radioactive.
Cobalt-60 (\(^{60}\text{Co}\))
Isotope radioactif du cobalt, émetteur bêta et gamma, utilisé en radiothérapie et pour la stérilisation.
Activité Radioactive (\(A\))
Nombre de désintégrations nucléaires par unité de temps dans un échantillon. Unité SI : Becquerel (Bq).
Becquerel (Bq)
Une désintégration par seconde.
Curie (Ci)
Ancienne unité d'activité, \(1 \, \text{Ci} = 3.7 \times 10^{10} \, \text{Bq}\).
Désintégration par Minute (dpm)
Nombre de désintégrations par minute.
Demi-vie (\(t_{1/2}\))
Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou pour que son activité soit réduite de moitié.
Constante de Désintégration (\(\lambda\))
Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. \(\lambda = \ln(2)/t_{1/2}\).
Loi de Décroissance Radioactive
Décrit la diminution exponentielle de l'activité (\(A_t = A_0 e^{-\lambda t}\)) ou du nombre de noyaux (\(N_t = N_0 e^{-\lambda t}\)) avec le temps.
Nombre d'Avogadro (\(N_A\))
Nombre d'entités (atomes, molécules) dans une mole (\(\approx 6.022 \times 10^{23} \, \text{mol}^{-1}\)).
Masse Molaire (\(M\))
Masse d'une mole d'une substance (\(\text{g/mol}\)).
Calcul de l’Activité d’un Échantillon de Cobalt-60 - Exercice d'Application

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