Calcul de l’Âge par la Méthode du Carbone-14
Comprendre la Datation au Carbone-14
La datation au carbone-14 est une méthode de datation radiométrique basée sur la désintégration radioactive de l'isotope 14 du carbone (\(^{14}\text{C}\)). Le \(^{14}\text{C}\) est continuellement formé dans la haute atmosphère par l'interaction des rayons cosmiques avec l'azote. Il est ensuite incorporé dans le dioxyde de carbone (CO₂) atmosphérique et, par photosynthèse, dans les organismes vivants (plantes, puis animaux qui les consomment). Tant qu'un organisme est vivant, il échange du carbone avec son environnement, maintenant un rapport \(^{14}\text{C}/^{12}\text{C}\) approximativement constant et similaire à celui de l'atmosphère. À la mort de l'organisme, cet échange cesse, et la quantité de \(^{14}\text{C}\) commence à diminuer en raison de sa désintégration radioactive en azote-14 (\(^{14}\text{N}\)) avec une demi-vie connue. En mesurant l'activité résiduelle du \(^{14}\text{C}\) dans un échantillon organique ancien et en la comparant à l'activité d'un échantillon moderne de référence, on peut estimer l'âge de l'échantillon.
Données du Problème
- Activité spécifique du \(^{14}\text{C}\) dans un échantillon de bois moderne de référence (\(A_0\)) (correspondant à l'activité au moment de la mort de l'arbre) : \(13.6\) désintégrations par minute par gramme de carbone (dpm/g C).
- Activité spécifique du \(^{14}\text{C}\) mesurée dans l'échantillon de bois ancien (\(A_t\)) : \(3.4\) dpm/g C.
- Demi-vie du Carbone-14 (\(t_{1/2}\)) : \(5730\) années.
Schéma : Principe de la Datation au Carbone-14
Illustration du cycle du carbone-14 et du principe de datation.
Questions à traiter
- Calculer la constante de désintégration radioactive (\(\lambda\)) du Carbone-14, en \(\text{an}^{-1}\) (par an).
- Écrire la loi de décroissance radioactive reliant l'activité actuelle (\(A_t\)), l'activité initiale (\(A_0\)), la constante de désintégration (\(\lambda\)), et le temps écoulé (\(t\)).
- À partir de la loi de décroissance, dériver la formule permettant de calculer l'âge (\(t\)) de l'échantillon.
- Calculer l'âge (\(t\)) de l'échantillon de bois ancien, en années.
- Combien de demi-vies du Carbone-14 se sont écoulées pour cet échantillon ?
- Quelle serait l'activité spécifique (\(A_t\)) attendue pour un échantillon de bois âgé de \(10000\) ans, si l'activité initiale était de \(13.6\) dpm/g C ?
Correction : Calcul de l’Âge par la Méthode du Carbone-14
Question 1 : Constante de désintégration radioactive (\(\lambda\))
Principe :
La constante de désintégration (\(\lambda\)) est reliée à la demi-vie (\(t_{1/2}\)) par la formule \(\lambda = \ln(2) / t_{1/2}\). L'unité de \(\lambda\) sera l'inverse de l'unité de \(t_{1/2}\).
Formule :
Où \(\ln(2) \approx 0.69315\).
Données spécifiques :
- \(t_{1/2} = 5730 \, \text{années}\)
Calcul :
Question 2 : Loi de décroissance radioactive
Principe :
La loi de décroissance radioactive décrit comment l'activité (\(A_t\)) d'un échantillon radioactif diminue de manière exponentielle avec le temps (\(t\)) à partir d'une activité initiale (\(A_0\)).
Formule :
Question 3 : Formule pour calculer l'âge (\(t\))
Principe :
On réarrange la loi de décroissance radioactive pour isoler le temps \(t\).
Dérivation :
En prenant le logarithme népérien des deux côtés :
En isolant \(t\) :
En utilisant la propriété \(\ln(x/y) = -\ln(y/x)\), on peut aussi écrire :
Et en remplaçant \(\lambda = \ln(2)/t_{1/2}\) :
Question 4 : Calcul de l'âge (\(t\)) de l'échantillon
Principe :
Application de la formule dérivée à la question 3 avec les données fournies.
Données spécifiques :
- \(A_0 = 13.6 \, \text{dpm/g C}\)
- \(A_t = 3.4 \, \text{dpm/g C}\)
- \(t_{1/2} = 5730 \, \text{années}\)
- \(\lambda \approx 1.209686 \times 10^{-4} \, \text{an}^{-1}\) (valeur plus précise)
- \(\ln(2) \approx 0.69315\)
Calcul :
Alternativement, avec la formule utilisant \(t_{1/2}\) :
Question 5 : Nombre de demi-vies écoulées
Principe :
Le nombre de demi-vies (\(N\)) est le rapport entre l'âge de l'échantillon (\(t\)) et la demi-vie (\(t_{1/2}\)).
Données spécifiques :
- \(t \approx 11460 \, \text{années}\)
- \(t_{1/2} = 5730 \, \text{années}\)
Calcul :
Cela est cohérent avec le fait que l'activité a été divisée par 4 (\(A_t = A_0/4 = A_0/(2^2)\)), ce qui correspond à 2 demi-vies.
Question 6 : Activité attendue pour un échantillon de \(10000\) ans
Principe :
On utilise la loi de décroissance radioactive \(A_t = A_0 e^{-\lambda t}\).
Données spécifiques :
- \(A_0 = 13.6 \, \text{dpm/g C}\)
- \(\lambda \approx 1.209686 \times 10^{-4} \, \text{an}^{-1}\)
- \(t = 10000 \, \text{ans}\)
Calcul :
En arrondissant : \(A_t \approx 4.06 \, \text{dpm/g C}\).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Le Carbone-14 est formé dans :
2. La demi-vie du Carbone-14 est d'environ :
3. La datation au Carbone-14 est principalement utilisée pour dater :
4. Si l'activité d'un échantillon de Carbone-14 est réduite à 1/8 de son activité initiale, combien de demi-vies se sont écoulées ?
Glossaire
- Carbone-14 (\(^{14}\text{C}\))
- Isotope radioactif du carbone, avec 6 protons et 8 neutrons. Il est utilisé pour la datation radiométrique de matériaux organiques.
- Datation Radiométrique
- Technique utilisée pour dater des matériaux tels que les roches ou les restes carbonés, dans laquelle la désintégration d'un isotope radioactif à une vitesse connue est utilisée pour déduire le temps écoulé depuis sa formation.
- Demi-vie (\(t_{1/2}\))
- Temps nécessaire pour que la moitié des noyaux radioactifs d'un échantillon se désintègrent, ou pour que l'activité de l'échantillon soit réduite de moitié.
- Activité Radioactive (\(A\))
- Nombre de désintégrations nucléaires par unité de temps dans un échantillon radioactif. Unités : Becquerel (Bq), dpm (désintégrations par minute).
- Constante de Désintégration (\(\lambda\))
- Probabilité par unité de temps qu'un noyau radioactif se désintègre. Elle est reliée à la demi-vie par \(\lambda = \ln(2)/t_{1/2}\).
- Loi de Décroissance Radioactive
- Loi exponentielle décrivant la diminution de l'activité ou du nombre de noyaux radioactifs en fonction du temps : \(A_t = A_0 e^{-\lambda t}\).
- Becquerel (Bq)
- Unité SI de l'activité radioactive, correspondant à une désintégration par seconde (dps).
- dpm (désintégrations par minute)
- Unité d'activité radioactive non-SI, souvent utilisée pour les faibles activités.
- Rayons Cosmiques
- Particules de haute énergie (principalement des protons et des noyaux atomiques) originaires de l'espace extra-atmosphérique qui bombardent continuellement la Terre.
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