Dans notre ère numérique, la demande en bande passante explose, portée par le streaming 4K, le cloud computing et l'Internet des Objets (IoT). La fibre optique est la réponse technologique à ce besoin : un guide d'onde capable de transporter des térabits de données sur des milliers de kilomètres. Mais comment un simple fil de verre peut-il confiner la lumière et lui faire prendre des virages sans qu'elle ne s'échappe ? Le secret réside dans le phénomène physique de la Réflexion Totale InternePhénomène optique où la lumière est entièrement réfléchie à l'intérieur d'un milieu, sans aucune perte par réfraction vers l'extérieur..

Cependant, toutes les fibres ne se valent pas. Un paramètre crucial distingue leur performance : l'Ouverture Numérique (\(\text{ON}\)). Elle agit comme le "portier" de la fibre, déterminant quelle quantité de lumière peut entrer et être guidée efficacement. Une \(\text{ON}\) mal choisie peut entraîner des pertes catastrophiques de signal (atténuation excessive) ou une dégradation de la qualité de transmission (dispersion modale), rendant la communication impossible.

Remarque Pédagogique : Cet exercice ne se contente pas d'appliquer des formules. Il vise à vous faire acquérir une intuition physique : comment la différence d'indice de réfraction entre le cœur et la gaine contrôle géométriquement le piégeage de la lumière. Vous comprendrez pourquoi le choix des matériaux (verre dopé) est l'étape la plus critique dans la conception d'une fibre optique.

Objectifs Pédagogiques

Maîtriser le principe fondamental du guidage par réflexion totale interne.
Savoir calculer et interpréter l'angle critique à l'interface Cœur-Gaine.
Comprendre et déterminer l'Ouverture Numérique (\(\text{ON}\)) d'une fibre à saut d'indice.
Calculer le cône d'acceptance pour optimiser le couplage source-fibre.

Données de l'étude : Analyse d'une liaison Fibre Optique

Vous êtes ingénieur optique chargé de valider la conception d'une nouvelle liaison courte distance (réseau local d'entreprise ou centre de données). La fibre sélectionnée est une fibre multimode à saut d'indice (Step-Index Fiber), couramment utilisée pour sa facilité de connexion et son coût modéré.

Votre mission est de déterminer les caractéristiques d'injection de cette fibre afin de choisir la source lumineuse (LED ou Laser VCSEL) la plus adaptée. Une source trop divergente par rapport à la capacité de la fibre entraînerait une perte d'énergie inacceptable dès l'entrée (pertes de couplage).

La fibre est constituée d'un cœur en silice dopée au germanium et d'une gaine en silice pure. L'ensemble est plongé dans l'air (milieu extérieur d'injection).

Fiche Technique / Données Matériaux

Composant	Indice de Réfraction (\(n\)) à \(\lambda = 850 \text{ nm}\)	Fonction Optique
CœurZone centrale de transmission de la lumière, dopée pour augmenter son indice.	\(n_1 = 1.48\)	Guide de lumière (milieu le plus réfringent)
GaineEnveloppe optique de confinement, d'indice plus faible.	\(n_2 = 1.46\)	Barrière optique (milieu moins réfringent)
Milieu Extérieur (Air)	\(n_0 = 1.00\)	Milieu de propagation de la source

Schéma de Principe : Guidage dans la Fibre

Questions à traiter

Calculer l'angle critique \(\phi_c\) à l'interface Cœur-Gaine.
Exprimer la condition de guidage pour l'angle \(\theta_1\).
Déterminer l'Ouverture Numérique (\(\text{ON}\)) théorique de la fibre.
Calculer l'angle d'acceptance \(\theta_{\text{acc}}\) dans l'air.
Calculer l'angle total du cône d'acceptance (\(\alpha_{\text{total}}\)).

Les bases théoriques fondamentales

Pour résoudre cet exercice, nous devons mobiliser les concepts clés de l'optique géométrique. L'optique géométrique modélise la lumière comme des rayons se propageant en ligne droite dans un milieu homogène, et changeant de direction aux interfaces.

1. La Loi de la Réfraction (Snell-Descartes)
C'est la loi fondamentale qui décrit comment la lumière change de direction lorsqu'elle passe d'un milieu transparent à un autre. L'indice de réfraction \(n\) est une mesure de la "densité optique" du milieu : plus \(n\) est grand, plus la lumière ralentit (\(v = c/n\)).

La loi stipule que : le produit de l'indice de réfraction par le sinus de l'angle (par rapport à la normale) est conservé à la traversée de l'interface.

n_a \sin(\theta_a) = n_b \sin(\theta_b)

Si la lumière passe vers un milieu plus dense (\(n_b > n_a\)), le rayon se rapproche de la normale. Inversement, vers un milieu moins dense, il s'en éloigne.

2. L'Angle Critique et la Réflexion Totale
C'est le cœur du fonctionnement de la fibre optique. Lorsque la lumière passe d'un milieu plus réfringent (Cœur, \(n_1\)) vers un milieu moins réfringent (Gaine, \(n_2\)), l'angle de réfraction est plus grand que l'angle d'incidence.

Il existe un angle d'incidence limite, appelé angle critique \(\phi_c\), pour lequel l'angle de réfraction atteint sa valeur maximale de 90° (le rayon rase la surface). Au-delà de cet angle critique (\(i > \phi_c\)), la lumière ne peut plus sortir : elle est intégralement réfléchie vers l'intérieur. C'est la Réflexion Totale Interne.

\sin(\phi_c) = \frac{n_2}{n_1} \quad \text{(condition: } n_1 > n_2 \text{)}

3. L'Ouverture Numérique (\(\text{ON}\))
L'Ouverture Numérique est un paramètre sans dimension qui quantifie la capacité de la fibre à "collecter" la lumière. Géométriquement, elle correspond au sinus du demi-angle du cône d'acceptance maximal (\(\theta_{\text{acc}}\)).

Une \(\text{ON}\) élevée signifie que la fibre accepte la lumière venant d'angles très larges (cône ouvert), ce qui facilite le couplage avec la source. Cependant, une \(\text{ON}\) trop grande augmente la "dispersion intermodale" : les rayons parcourent des chemins de longueurs très différentes, ce qui étale les impulsions lumineuses et limite le débit de données.

\text{ON} = \sin(\theta_{\text{acc}}) = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

Correction : Calcul de l'Ouverture Numérique d'une Fibre Optique

Question 1 : Calcul de l'angle critique \(\phi_c\)

Principe

L'angle critique \(\phi_c\) correspond à la limite physique exacte entre la réfraction et la réflexion totale. Tant que l'angle d'incidence sur l'interface cœur-gaine est supérieur à cette valeur, le rayon reste piégé dans le cœur. C'est le fondement même du guidage d'onde : la lumière rebondit sans aucune perte d'énergie vers l'extérieur.

Mini-Cours

Comprendre le phénomène : Lorsque la lumière passe d'un milieu plus dense (\(n_1\)) vers un milieu moins dense (\(n_2\)), le rayon s'éloigne de la normale. À un certain angle d'incidence (l'angle critique), le rayon réfracté longe la surface de séparation (angle de réfraction de 90°). Au-delà, la lumière ne peut plus sortir : elle est totalement réfléchie vers l'intérieur.

Remarque Pédagogique

Analogie du Ricochet : Imaginez que vous lanciez un galet sur un lac. Si vous le lancez très verticalement (angle faible par rapport à la normale), il plonge dans l'eau (réfraction). Si vous le lancez de manière rasante (angle fort par rapport à la normale), il rebondit sur la surface (réflexion totale). La fibre optique fonctionne comme une série infinie de ricochets parfaits.

Normes

Les normes ITU-T G.652 (fibres monomodes standards) définissent indirectement cet angle via les profils d'indice pour minimiser les pertes par courbure. Dans une fibre multimode à saut d'indice (type OM1 ou OM2), cet angle critique est le paramètre géométrique principal.

Formule(s)

Loi de Snell-Descartes à la limite

\begin{aligned} n_1 \sin(\phi_c) &= n_2 \sin(90^\circ) \\ \rightarrow \sin(\phi_c) &= \frac{n_2}{n_1} \end{aligned}

Hypothèses

Nous supposons une interface idéale, sans rugosité, et des matériaux homogènes et isotropes. Nous négligeons ici l'effet de la courbure de la fibre (fibre droite).

Donnée(s)

Milieu	Symbole	Valeur
Cœur	\(n_1\)	1.48
Gaine	\(n_2\)	1.46

Astuces

Vérifiez toujours que \(n_2 < n_1\). Si vous inversez, vous obtiendrez un sinus > 1, ce qui provoquera une erreur sur votre calculatrice (Math Error), car un sinus ne peut jamais dépasser 1.

Schéma : Rayon Incident à l'Angle Critique

Calcul(s) Détaillés

On commence par calculer le rapport des indices de réfraction, qui correspond au sinus de l'angle limite.

Étape 1 : Le rapport des indices

\begin{aligned} \frac{n_2}{n_1} &= \frac{1.46}{1.48} \\ &\approx 0.986486... \end{aligned}

Ce résultat intermédiaire est très proche de 1, ce qui suggère déjà que l'angle critique sera proche de 90°.

Étape 2 : Fonction inverse (Arcsin)

Pour retrouver l'angle à partir de son sinus, on utilise la fonction réciproque arc-sinus.

\begin{aligned} \phi_c &= \arcsin\left(\frac{1.46}{1.48}\right) \\ &\approx \arcsin(0.9865) \end{aligned}

Sur la calculatrice : tapez `SHIFT` + `SIN` (ou `ASIN`) puis `0.986486`. Le résultat final nous donne l'angle critique précis.

Schéma : Comportement à l'Angle Critique

Réflexions

L'angle critique calculé est très grand (~80°), ce qui est contre-intuitif. Cela signifie que par rapport à la normale (la perpendiculaire à la surface), le rayon doit être très incliné. En d'autres termes, par rapport à la surface elle-même, le rayon doit être rasant.

Points de vigilance

Attention à bien configurer votre calculatrice en mode DEGRÉS et non en radians pour obtenir un résultat physique interprétable directement (80° est plus parlant que 1.4 radians).

Points à Retenir

L'essentiel à mémoriser :

Plus l'écart d'indice \((n_1 - n_2)\) est faible, plus l'angle critique est grand (proche de 90°).
La condition de guidage est \(\phi > \phi_c\).

Le saviez-vous ?

Les diamants brillent intensément car leur indice de réfraction est très élevé (n=2.42), ce qui donne un angle critique très petit (~24°). La lumière a donc beaucoup de mal à sortir du diamant et reste piégée à l'intérieur par réflexion totale, rebondissant de multiples fois avant de trouver une face de sortie, créant ainsi cet éclat unique.

FAQ

Que se passe-t-il si l'angle incident est exactement égal à \(\phi_c\) ?

Théoriquement, la lumière se propage le long de l'interface entre le cœur et la gaine. En pratique, à cause des moindres imperfections de surface, cette lumière finit par s'atténuer très rapidement (perte par absorption ou diffusion).

\(\phi_c \approx 80.57^\circ\)

A vous de jouer
Calculez l'angle critique pour une interface Eau (n=1.33) / Air (n=1.00).

📝 Mémo
\(\sin(\text{Angle Critique}) = \frac{\text{Indice Faible}}{\text{Indice Fort}}\).

Question 2 : Condition sur l'angle \(\theta_1\)

Principe

Pour analyser la propagation de la lumière, il est souvent plus pratique de raisonner par rapport à l'axe optique de la fibre (la direction de propagation) plutôt que par rapport à la normale de l'interface. Nous allons donc convertir notre condition limite \(\phi_c\) en un angle \(\theta_1\) mesuré par rapport à l'axe.

Mini-Cours

Géométrie élémentaire : Dans un triangle rectangle formé par le rayon lumineux, la normale à la surface et l'axe optique de la fibre, les deux angles aigus sont complémentaires. Leur somme vaut toujours 90°.

Remarque Pédagogique

Travailler avec l'angle par rapport à l'axe \(\theta_1\) est plus intuitif pour visualiser la propagation "vers l'avant" dans la fibre. Si \(\theta_1\) est petit, le rayon file droit. S'il est grand, le rayon zigzague beaucoup.

Normes

Pour les fibres monomodes, cet angle \(\theta_1\) est extrêmement faible, souvent bien inférieur à 1 degré. Il est dicté par la condition de coupure du mode fondamental, une notion plus avancée d'optique ondulatoire.

Formule(s)

\begin{aligned} \theta_1 + \phi &= 90^\circ \\ \rightarrow \theta_1 &= 90^\circ - \phi \end{aligned}

Hypothèses

On considère ici la condition limite, c'est-à-dire l'angle maximal \(\theta_{1,\text{max}}\) qui correspond à l'incidence minimale \(\phi_c\) sur la gaine.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(\phi_c\) (Calculé précédemment)	80.57°

Astuces

Rappelez-vous de l'identité trigonométrique : \(\sin(90 - x) = \cos(x)\). Cela peut simplifier considérablement certains calculs d'\(\text{ON}\) plus tard, en évitant de calculer les angles intermédiaires.

Schéma : Relation entre \(\theta_1\) et \(\phi\)

Calcul(s) Détaillés

On exprime d'abord la condition de guidage en termes d'inégalités pour bien comprendre le sens physique.

\begin{aligned} \phi &\geq \phi_c \quad \text{(condition de réflexion totale)} \\ 90^\circ - \theta_1 &\geq \phi_c \\ \rightarrow \theta_1 &\leq 90^\circ - \phi_c \end{aligned}

L'inégalité s'inverse car \(\theta_1\) a un signe négatif. Cela signifie qu'il existe un angle maximal pour \(\theta_1\).

Calcul Principal

Passons à l'application numérique en soustrayant simplement l'angle critique de l'angle droit.

\begin{aligned} \theta_{1,\text{max}} &= 90^\circ - \phi_c \\ &= 90^\circ - 80.57^\circ \\ &= 9.43^\circ \end{aligned}

On obtient ainsi l'angle maximal autorisé à l'intérieur du cœur de la fibre.

\(\theta_{1,\text{max}} = 9.43^\circ\)

Schéma : Angle interne maximal

Réflexions

Cela confirme que les rayons guidés doivent rester assez parallèles à l'axe de la fibre. Si un rayon est trop incliné (> 9.43°), il frappera la gaine trop "verticalement" et s'échappera.

Points de vigilance

Ne confondez surtout pas cet angle interne \(\theta_1\) (dans le milieu d'indice \(n_1\)) avec l'angle externe d'incidence \(\theta_{\text{acc}}\) (dans l'air) que nous calculerons plus tard. Ils sont liés par la réfraction, mais ont des valeurs différentes.

Points à Retenir

Un angle d'incidence rasant sur l'interface (proche de 90°) correspond à un angle faible par rapport à l'axe optique (proche de 0°).

Le saviez-vous ?

Dans les fibres à gradient d'indice, cet angle limite n'est pas constant : il varie en fonction de la distance au centre de la fibre. Cela courbe les rayons de manière sinusoïdale au lieu de faire des lignes brisées.

FAQ

Est-ce que cet angle dépend du diamètre de la fibre ?

En optique géométrique pure, non, l'angle ne dépend que des indices. Cependant, pour des fibres très fines (proches de la longueur d'onde), l'optique ondulatoire s'applique et le diamètre devient critique pour définir les "modes" possibles.

A vous de jouer
Si l'angle critique était de 45°, quel serait l'angle max par rapport à l'axe ?

📝 Mémo
\(\theta_{\text{interne}} + \phi_{\text{interface}} = 90^\circ\)

Question 3 : Calcul de l'Ouverture Numérique (\(\text{ON}\))

Principe

L'Ouverture Numérique (\(\text{ON}\)) est la grandeur fondamentale qui caractérise une fibre optique. Elle quantifie, par un chiffre unique et sans dimension, la capacité de la fibre à "collecter" la lumière. Elle ne dépend que des matériaux (indices) utilisés pour fabriquer la fibre.

Mini-Cours

L'\(\text{ON}\) est définie mathématiquement par \(\text{ON} = n_0 \sin(\theta_{\text{acc}})\). Cependant, on démontre qu'elle est égale à \(\sqrt{n_1^2 - n_2^2}\). C'est une mesure intrinsèque : vous pouvez couper la fibre, la tordre, l'\(\text{ON}\) théorique reste la même car elle dépend de la chimie du verre.

Normes

La mesure de l'\(\text{ON}\) est normalisée par l'IEC 60793-1-43. Pour les fibres multimodes, elle est souvent mesurée à 5% de l'intensité maximale en champ lointain (FFP - Far Field Pattern).

Formule(s)

\text{ON} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}

Hypothèses

Cette formule est exacte pour une fibre à saut d'indice (step-index) et pour les rayons méridiens (ceux qui croisent l'axe central).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(n_1\) (Cœur)	1.48
\(n_2\) (Gaine)	1.46

Astuces

Attention à l'ordre des opérations ! Il faut élever les indices au carré avant de faire la soustraction. Rappel algébrique : \( (n_1 - n_2)^2 \neq n_1^2 - n_2^2 \).

Schéma : Indices et ON

Calcul(s) Détaillés

Nous allons procéder en trois temps pour appliquer la formule : carrés, différence, puis racine.

Étape 1 : Carrés des indices

On élève d'abord chaque indice de réfraction au carré.

\begin{aligned} n_1^2 &= 1.48^2 = 2.1904 \\ n_2^2 &= 1.46^2 = 2.1316 \end{aligned}

Étape 2 : Différence

On soustrait le carré de l'indice de gaine à celui du cœur. Cette valeur représente le contraste d'indice au carré.

\begin{aligned} n_1^2 - n_2^2 &= 2.1904 - 2.1316 \\ &= 0.0588 \end{aligned}

Étape 3 : Racine carrée

Enfin, on prend la racine carrée de ce résultat pour obtenir l'\(\text{ON}\).

\begin{aligned} \text{ON} &= \sqrt{0.0588} \\ &\approx 0.242487... \end{aligned}

\(\text{ON} \approx 0.242\)

Schéma : Visualisation de l'ON

Réflexions

Une \(\text{ON}\) de 0.24 est typique pour une fibre optique multimode standard (comme les fibres de type OM1 ou OM2). Une fibre monomode (G.652) a généralement une \(\text{ON}\) plus faible (autour de 0.12 - 0.14) car la différence d'indice est plus petite.

Points de vigilance

L'Ouverture Numérique est une grandeur sans dimension (sans unité). Ne rajoutez pas de degrés ou de radians à la fin !

Points à Retenir

L'\(\text{ON}\) augmente si la différence d'indice entre le cœur et la gaine augmente. Plus l'\(\text{ON}\) est grande, plus il est facile d'injecter de la lumière, mais plus la bande passante diminue (dispersion modale accrue).

Le saviez-vous ?

En microscopie, l'\(\text{ON}\) des objectifs est aussi le paramètre clé de la résolution. Plus l'\(\text{ON}\) est grande, plus on peut voir de détails fins (\(d = \lambda / (2 \cdot \text{ON})\)), mais plus la profondeur de champ devient ridicule (très flou dès qu'on s'éloigne du plan focal).

FAQ

Peut-on avoir une ON supérieure à 1 ?

Oui, théoriquement, si l'écart d'indice est énorme. Cependant, une \(\text{ON} > 1\) signifie que la fibre capte la lumière venant de toutes les directions, même de l'arrière (ce qui est impossible physiquement pour une fibre droite simple dans l'air).

A vous de jouer
Si l'indice de la gaine augmentait à 1.47 (se rapprochant de celui du cœur), l'\(\text{ON}\) augmenterait-elle ou diminuerait-elle ? Calculez la nouvelle \(\text{ON}\).

📝 Mémo
\(\text{ON} = \text{Racine de la différence des carrés des indices}\).

Question 4 : Calcul de l'angle d'acceptance \(\theta_{\text{acc}}\)

Principe

L'angle d'acceptance \(\theta_{\text{acc}}\) est l'angle maximal d'incidence depuis le milieu extérieur (l'air ici) pour lequel le rayon pénètre dans la fibre et respecte la condition de guidage. C'est la traduction concrète de l'\(\text{ON}\) pour l'utilisateur qui aligne sa source lumineuse.

Mini-Cours

C'est l'angle d'incidence limite qui, après réfraction selon la loi de Snell, donne exactement l'angle limite interne \(\theta_{1,\text{max}}\) que nous avons calculé à la question 2.

Remarque Pédagogique

C'est l'angle "utile". Si vous envoyez de la lumière en dehors de ce cône, elle entrera dans la fibre mais s'échappera immédiatement dans la gaine (modes de gaine) et sera perdue au bout de quelques mètres.

Normes

En connectique fibre optique, l'alignement angulaire des connecteurs doit respecter cette tolérance. Un désalignement angulaire provoque des pertes d'insertion bien plus sévères qu'un simple décalage latéral.

Formule(s)

On applique la loi de Snell-Descartes à l'entrée de la fibre :

\begin{aligned} n_0 \sin(\theta_{\text{acc}}) &= \text{ON} \\ \rightarrow \theta_{\text{acc}} &= \arcsin\left(\frac{\text{ON}}{n_0}\right) \end{aligned}

Hypothèses

Le milieu extérieur est l'air, dont l'indice de réfraction est \(n_0 \approx 1.00\). Si la fibre était sous l'eau, \(n_0\) vaudrait 1.33.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(\text{ON}\) (Calculée en Q3)	0.242
\(n_0\) (Air)	1.00

Astuces

Dans l'air, comme \(n_0=1\), on a simplement \(\sin(\theta_{\text{acc}}) = \text{ON}\). C'est pour cela qu'on confond souvent \(\text{ON}\) et sinus de l'angle d'acceptance.

Schéma : Entrée de la fibre

Calcul(s) Détaillés

On cherche l'angle dont le sinus vaut le rapport de l'\(\text{ON}\) sur l'indice du milieu extérieur.

Étape 1 : Isoler le sinus

On divise l'\(\text{ON}\) par l'indice de l'air.

\begin{aligned} \sin(\theta_{\text{acc}}) &= \frac{\text{ON}}{n_0} \\ &= \frac{0.2425}{1.00} \\ &= 0.2425 \end{aligned}

Étape 2 : Fonction inverse

On utilise l'arc-sinus pour retrouver l'angle correspondant.

\begin{aligned} \theta_{\text{acc}} &= \arcsin(0.2425) \\ &\approx 14.036^\circ \end{aligned}

Calculatrice (mode degrés) : \(\arcsin(0.2425) \approx 14.036^\circ\).

\(\theta_{\text{acc}} \approx 14.0^\circ\)

Schéma : Angle Validé

Réflexions

Un angle de 14° est relativement ouvert, ce qui facilite l'injection de la lumière (couplage) depuis une source divergence comme une LED. Pour un laser, le faisceau est beaucoup plus directif et rentre facilement.

Points de vigilance

Si la fibre était immergée dans l'eau (\(n_0 = 1.33\)), l'angle d'acceptance serait plus faible car le rapport \(\text{ON}/n_0\) diminuerait. C'est pourquoi les connecteurs sous-marins sont si complexes.

Points à Retenir

L'angle d'acceptance dépend du milieu extérieur, contrairement à l'\(\text{ON}\) qui est une propriété intrinsèque de la fibre.

Le saviez-vous ?

C'est pour augmenter cet angle d'acceptance que certaines fibres spéciales (fibres pour capteurs médicaux ou industriels) sont fortement dopées pour avoir une très grande différence d'indice, permettant de capter plus de signal.

FAQ

Est-ce que tous les rayons entrant avec un angle < 14° sont guidés ?

Oui, s'il s'agit de rayons méridiens (qui coupent l'axe). Pour les rayons gauches (skew rays) qui tournent en spirale sans passer par le centre, la condition est légèrement différente, mais l'\(\text{ON}\) reste une bonne approximation globale.

A vous de jouer
Quel serait l'angle d'acceptance si la fibre était plongée dans l'eau (n=1.33) ? (Utilisez \(\text{ON}=0.242\))

📝 Mémo
\(\theta_{\text{acc}} = \arcsin(\text{ON}/n_{\text{ext}})\).

Question 5 : Calcul de l'angle total du cône

Principe

L'angle d'acceptance \(\theta_{\text{acc}}\) est un demi-angle (mesuré par rapport à l'axe de symétrie). Le cône d'injection complet est défini par l'ouverture totale (de bord à bord).

Mini-Cours

En géométrie, l'angle au sommet d'un cône de révolution est le double de l'angle générateur (l'angle entre la génératrice et l'axe de rotation).

Remarque Pédagogique

C'est l'angle solide "total" vu par la source lumineuse. Si votre source émet plus large que ce cône, vous perdez de la puissance lumineuse (perte de couplage).

Normes

Les spécifications des sources LED indiquent souvent leur angle d'émission total (FWHM - Full Width at Half Maximum). Il faut comparer cet angle total au cône total de la fibre pour estimer l'efficacité de couplage.

Formule(s)

\alpha_{\text{total}} = 2 \times \theta_{\text{acc}}

Hypothèses

On suppose une symétrie de révolution parfaite de la fibre (cœur circulaire).

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(\theta_{\text{acc}}\)	14.0°

Astuces

Multipliez par 2 à la toute fin du calcul pour éviter de propager des erreurs d'arrondi sur le demi-angle.

Schéma : Demi-angle vs Angle total

Calcul(s) Détaillés

Calcul Principal

On double simplement la valeur du demi-angle trouvée précédemment.

\begin{aligned} \alpha_{\text{total}} &= 2 \times 14.0^\circ \\ &= 28.0^\circ \end{aligned}

Ceci représente l'ouverture angulaire totale du cône d'acceptance.

\(\alpha_{\text{total}} \approx 28.0^\circ\)

Schéma : Cône Final

Réflexions

Une ouverture de 28° est assez directive. Si vous essayez de coupler une simple ampoule (qui émet sur 360°) dans la fibre, le rendement sera catastrophique (< 1%). C'est pourquoi on utilise des lentilles convergentes.

Points de vigilance

Ne confondez pas cet angle plan (en degrés) avec l'angle solide (en stéradians), qui serait \(\Omega = 2\pi(1-\cos\theta_{\text{acc}})\) et qui représente la surface de la sphère unitaire couverte.

Points à Retenir

L'ouverture totale définit la "fenêtre" angulaire d'entrée de la lumière.

Le saviez-vous ?

L'œil humain a un champ de vision bien plus large (~200° horizontalement), bien supérieur à l'acceptance de n'importe quelle fibre classique. C'est pour cela qu'on ne "voit" pas grand chose en regardant à travers une fibre nue sans lentille.

FAQ

Pourquoi parle-t-on souvent de l'ON plutôt que de l'angle total dans les catalogues ?

Parce que l'\(\text{ON}\) est indépendante du milieu extérieur, alors que l'angle en degrés change si on plonge la fibre dans l'eau ou l'huile. L'\(\text{ON}\) est une valeur "sûre" pour le fabricant.

A vous de jouer
Si l'angle total est de 30°, que vaut \(\theta_{\text{acc}}\) ?

📝 Mémo
\(\text{Angle Total} = 2 \times \text{Demi-Angle}\).

Schéma Bilan : Cône d'Acceptance

📝 Grand Mémo : Ce qu'il faut absolument maîtriser

Voici la synthèse approfondie des concepts clés abordés, structurée pour une révision efficace :

🔑
1. La Condition Fondamentale de Guidage
Pour qu'une fibre guide la lumière, le cœur doit impérativement avoir un indice de réfraction plus élevé que la gaine (\(n_1 > n_2\)). C'est cette différence d'indice qui permet la réflexion totale interne. Sans cela, la lumière s'échappe par réfraction à chaque rebond.
📐
2. L'Ouverture Numérique (ON), le Paramètre Roi
L'ON est la "carte d'identité" optique de la fibre. Elle se calcule uniquement avec les indices : \(\text{ON} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}\).
Implication pratique : Une ON élevée (ex: 0.5) signifie un grand cône d'entrée (facile à coupler) mais une forte dispersion (bande passante réduite). Une ON faible (ex: 0.14) est plus difficile à coupler mais permet des débits plus élevés.
🌍
3. Influence du Milieu Extérieur
L'angle d'acceptance \(\theta_{\text{acc}}\) change selon le milieu où se trouve la fibre (air, eau, huile), car il dépend de la loi de Snell : \(\sin(\theta_{\text{acc}}) = \text{ON} / n_{\text{ext}}\).
Astuce : Dans l'air (\(n_{\text{ext}} \approx 1\)), \(\sin(\theta_{\text{acc}}) = \text{ON}\). C'est le cas le plus fréquent.
⚠️
4. Piège Classique : Demi-angle vs Angle Total
Les formules de calcul donnent toujours le demi-angle (\(\theta_{\text{acc}}\)) par rapport à l'axe optique. Cependant, les fiches techniques des sources (LED, Laser) donnent souvent l'angle total d'émission (Full Width). Pensez toujours à multiplier par 2 pour comparer des grandeurs comparables !

"Maîtriser l'Ouverture Numérique, c'est maîtriser la porte d'entrée de la lumière dans le monde des télécommunications."

🎛️ Simulateur : Impact des Indices

Modifiez les indices de réfraction du cœur et de la gaine pour observer l'effet sur l'Ouverture Numérique et l'Angle d'Acceptance.

Paramètres Optiques

Indice du Cœur (\(n_1\)) : 1.48

Indice de la Gaine (\(n_2\)) : 1.46

Ouverture Numérique (\(\text{ON}\)) : -

Angle d'Acceptance (\(\theta_{\text{acc}}\)) : -

📝 Quiz final : Fibre Optique

1. Quelle est la condition sine qua non pour le guidage de la lumière ?

L'indice du cœur doit être supérieur à l'indice de la gaine.
L'indice de la gaine doit être supérieur à l'indice du cœur.
Les deux indices doivent être égaux.

2. Si l'Ouverture Numérique augmente, la fibre...

...collecte moins de lumière.
...collecte plus de lumière.

📚 Glossaire

Cœur: Région centrale de la fibre où l'indice de réfraction est le plus élevé.
Gaine: Couche entourant le cœur avec un indice de réfraction plus faible.
Réflexion Totale: Réflexion sans perte d'énergie à l'interface de deux milieux.
Indice de Réfraction: Grandeur sans dimension caractérisant la vitesse de la lumière dans un milieu (\(n = c/v\)).
Monomode: Fibre dont le cœur est très fin, ne guidant qu'un seul mode de propagation.

Le Saviez-vous ?

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Calcul de l’ouverture numérique d’une fibre optique

BOÎTE À OUTILS

Titre Outil

À DÉCOUVRIR SUR LE SITE

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude : Analyse d'une liaison Fibre Optique

Fiche Technique / Données Matériaux

Schéma de Principe : Guidage dans la Fibre

Questions à traiter

Les bases théoriques fondamentales

Correction : Calcul de l'Ouverture Numérique d'une Fibre Optique

Question 1 : Calcul de l'angle critique \(\phi_c\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Rayon Incident à l'Angle Critique

Calcul(s) Détaillés

Étape 1 : Le rapport des indices

Étape 2 : Fonction inverse (Arcsin)

Schéma : Comportement à l'Angle Critique

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 2 : Condition sur l'angle \(\theta_1\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Relation entre \(\theta_1\) et \(\phi\)

Calcul(s) Détaillés

Calcul Principal

Schéma : Angle interne maximal

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 3 : Calcul de l'Ouverture Numérique (\(\text{ON}\))

Principe

Mini-Cours

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Indices et ON

Calcul(s) Détaillés

Étape 1 : Carrés des indices

Étape 2 : Différence

Étape 3 : Racine carrée

Schéma : Visualisation de l'ON

Réflexions

Points de vigilance

Points à Retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Question 4 : Calcul de l'angle d'acceptance \(\theta_{\text{acc}}\)

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Donnée(s)

Astuces

Schéma : Entrée de la fibre

Calcul(s) Détaillés

Étape 1 : Isoler le sinus

Étape 2 : Fonction inverse