Calcul des Courants de Foucault dans une Plaque Conductrice
Contexte : La Loi de FaradayLoi fondamentale de l'électromagnétisme qui stipule qu'une variation du flux magnétique à travers un circuit induit une force électromotrice (une tension)..
Les courants de FoucaultCourants électriques induits qui se forment en boucles dans un matériau conducteur soumis à une variation de flux magnétique., ou "eddy currents" en anglais, sont des courants électriques créés dans une masse conductrice, soit par la variation temporelle d'un champ magnétique extérieur, soit par un déplacement de cette masse dans un champ magnétique. Ces courants induits créent à leur tour un champ magnétique qui s'oppose à la cause de leur création (Loi de LenzPrincipe qui stipule que les effets d'induction électromagnétique s'opposent toujours à la cause qui leur a donné naissance.). Cet exercice se concentre sur le calcul de ces courants et de la puissance qu'ils dissipent par effet JouleDissipation d'énergie sous forme de chaleur lorsqu'un courant électrique traverse un matériau ayant une résistance électrique., un principe au cœur de technologies comme le freinage par induction ou le chauffage par induction.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer la forme intégrale de la loi de Faraday pour trouver le champ électrique induitChamp électrique non-conservatif généré par une variation temporelle du champ magnétique, conformément à la loi de Faraday., à utiliser la loi d'Ohm localeRelation qui lie localement la densité de courant \(\vec{j}\) au champ électrique \(\vec{E}\) via la conductivité : \(\vec{j} = \sigma \vec{E}\). pour en déduire les courants, et enfin à calculer la puissance dissipée par ces courants dans un volume conducteur.
Objectifs Pédagogiques
- Appliquer la loi de l'induction de Faraday dans un cas à symétrie cylindrique.
- Comprendre l'origine et la nature des courants de Foucault.
- Calculer le champ électrique et la densité de courant induits.
- Déterminer la puissance totale dissipée par effet Joule.
Données de l'étude
Schéma du disque dans le champ magnétique variable
| Nom du Paramètre | Symbole | Valeur Numérique | Unité |
|---|---|---|---|
| Amplitude du champ magnétique | \(B_0\) | 0.5 | T |
| Pulsation | \(\omega\) | 100\(\pi\) | rad/s |
| Rayon du disque | \(a\) | 10 | cm |
| Épaisseur du disque | \(h\) | 2 | mm |
| Conductivité du matériau (Cuivre) | \(\sigma\) | \(5.96 \times 10^7\) | S/m |
Questions à traiter
- Déterminer la force électromotrice (f.é.m.) induite, \(\mathcal{E}\), le long d'une boucle circulaire de rayon \(r \le a\).
- En déduire l'expression du champ électrique induit \(\vec{E}(r, t)\).
- Déterminer l'expression de la densité de courant de Foucault \(\vec{j}(r, t)\).
- Calculer la puissance totale \(P\) dissipée par effet Joule dans le disque.
Les bases sur l'Induction Électromagnétique
Le phénomène des courants de Foucault est une conséquence directe de la loi de l'induction de Faraday-Lenz. Cette loi fondamentale relie la variation temporelle du flux magnétiqueMesure de la quantité de champ magnétique qui traverse une surface donnée. Son unité est le Weber (Wb). à l'apparition d'un champ électrique non-conservatif, qui met en mouvement les charges libres dans un conducteur.
1. Loi de Faraday (forme intégrale)
La circulation du champ électrique \(\vec{E}\) sur une boucle fermée \(\mathcal{C}\) (la force électromotriceCirculation du champ électromoteur sur un circuit fermé. Elle représente le travail par unité de charge et se mesure en Volts (V). \(\mathcal{E}\)) est égale à l'opposé de la dérivée temporelle du flux magnétique \(\Phi_B\) à travers la surface \(S\) s'appuyant sur cette boucle.
\[ \mathcal{E} = \oint_\mathcal{C} \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \frac{d\Phi_B}{dt} \quad \text{avec} \quad \Phi_B = \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} \]
2. Loi d'Ohm Locale et Effet Joule
Dans un matériau conducteur de conductivité \(\sigma\), le champ électrique induit \(\vec{E}\) génère une densité de courantVecteur décrivant l'intensité et la direction du flux de charge électrique en un point. Son unité est l'Ampère par mètre carré (A/m²). \(\vec{j}\) selon la loi d'Ohm locale : \(\vec{j} = \sigma \vec{E}\). Ce courant, circulant dans un milieu résistif, dissipe de l'énergie sous forme de chaleur (effet Joule). La puissance volumique dissipée est \(p_v = \vec{j} \cdot \vec{E} = j^2/\sigma\).
Correction : Calcul des Courants de Foucault dans une Plaque Conductrice
Question 1 : Force électromotrice induite (\(\mathcal{E}\))
Principe
La loi de Faraday stipule qu'un champ magnétique variable à travers une surface crée une force électromotrice (f.é.m.) le long du contour de cette surface. Nous allons d'abord calculer le flux magnétique \(\Phi_B\) à travers un cercle de rayon \(r\), puis dériver ce flux par rapport au temps pour trouver la f.é.m. induite.
Mini-Cours
Le flux magnétique \(\Phi_B\) à travers une surface plane \(S\) dans un champ magnétique \(\vec{B}\) uniforme et perpendiculaire est simplement le produit de l'intensité du champ et de l'aire de la surface : \(\Phi_B = B \cdot S\). La loi de Faraday, \(\mathcal{E} = -d\Phi_B/dt\), indique que la f.é.m. est proportionnelle à la "vitesse" de variation du flux. Le signe "-" est la manifestation de la loi de Lenz : le courant induit s'oppose à la variation du flux qui l'a créé.
Remarque Pédagogique
La première étape est toujours de bien définir la boucle d'intégration (ici, un cercle de rayon \(r\)) et la surface qu'elle délimite (un disque de même rayon). Le choix de cette boucle est dicté par la symétrie du problème : comme le disque est circulaire, il est logique de choisir des boucles circulaires pour analyser le phénomène.
Normes
La loi physique fondamentale utilisée ici est la loi de l'induction de Faraday-Lenz, une des quatre équations de Maxwell qui unifient l'électricité et le magnétisme.
Formule(s)
Force Électromotrice
Flux Magnétique
Hypothèses
On fait les hypothèses simplificatrices suivantes :
- Le champ magnétique \(\vec{B}\) est uniforme sur toute la surface du disque.
- On néglige le champ magnétique créé par les courants induits eux-mêmes (approximation des basses fréquences).
- Le disque est suffisamment fin pour que les courants ne varient pas avec l'épaisseur.
Donnée(s)
Pour cette question, nous n'avons besoin que des expressions littérales du champ et de la géométrie.
- Champ magnétique : \(B(t) = B_0 \cos(\omega t)\)
- Surface d'une boucle de rayon \(r\) : \(S = \pi r^2\)
Astuces
Souvenez-vous de la dérivée de la fonction cosinus : \((cos(u))' = -u' \sin(u)\). Ici, \(u = \omega t\), donc sa dérivée par rapport au temps est \(\omega\). Cela vous évitera des erreurs de calcul.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre la boucle circulaire de rayon \(r\) (en rouge) à l'intérieur du disque, à travers laquelle le flux magnétique variable passe.
Boucle d'intégration pour le calcul du flux
Calcul(s)
On calcule d'abord le flux magnétique :
Ensuite, on dérive par rapport au temps pour obtenir la f.é.m. :
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre la loi de Lenz. Si le champ \(\vec{B}\) (bleu) augmente en sortant de la page, le champ induit \(\vec{B}_{\text{induit}}\) (rouge) doit s'y opposer (en entrant dans la page), ce qui impose un sens de circulation pour la f.é.m. et les courants (sens horaire).
Loi de Lenz et sens de la f.é.m.
Réflexions
La force électromotrice est sinusoïdale, tout comme la variation du champ, mais elle est déphasée de \(\pi/2\) (un sinus par rapport à un cosinus). Son amplitude augmente avec le carré du rayon \(r\), ce qui signifie que les effets d'induction sont beaucoup plus forts loin du centre du disque.
Points de vigilance
L'erreur la plus fréquente est d'oublier le signe "moins" de la loi de Faraday ou de se tromper dans la dérivée de la fonction cosinus. Ces deux erreurs de signe se compensent souvent, menant au bon résultat pour de mauvaises raisons. Soyez rigoureux !
Points à retenir
- La f.é.m. induite est la conséquence directe de la variation du flux magnétique.
- Le calcul se fait en deux étapes : calcul du flux \(\Phi_B\), puis dérivation par rapport au temps.
- L'amplitude de la f.é.m. dépend de l'amplitude du champ (\(B_0\)), de la fréquence (\(\omega\)) et de l'aire de la boucle (\(r^2\)).
Le saviez-vous ?
C'est ce principe de f.é.m. induite qui est à la base de tous les générateurs électriques et des transformateurs. Dans une centrale électrique, on fait varier le flux magnétique en faisant tourner des aimants (ou des bobines) pour générer une tension.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'amplitude (la valeur maximale) de la f.é.m. pour une boucle située au bord du disque (\(r=a=10\) cm).
Question 2 : Champ électrique induit (\(\vec{E}(r,t)\))
Principe
La force électromotrice \(\mathcal{E}\) que nous venons de calculer est, par définition, la circulation du champ électrique \(\vec{E}\) le long de la même boucle fermée. En exploitant la symétrie circulaire du problème, nous pouvons relier directement la valeur de \(\mathcal{E}\) à la magnitude de \(\vec{E}\).
Mini-Cours
La relation \(\mathcal{E} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l}\) est la définition même de la f.é.m. Pour une boucle circulaire de rayon \(r\) et un champ électrique qui, par symétrie, est tangentiel à la boucle et de magnitude constante \(E(r)\) le long de celle-ci, l'intégrale se simplifie en \(\oint E dl = E \oint dl = E \times (2\pi r)\).
Remarque Pédagogique
C'est une étape cruciale qui fait le lien entre une quantité globale (la f.é.m. sur toute la boucle) et une quantité locale (le champ électrique en un point). La symétrie est l'outil qui nous permet de faire ce passage. Sans elle, il serait impossible de "sortir" \(E\) de l'intégrale.
Normes
La relation \(\mathcal{E} = \oint \vec{E} \cdot d\vec{l}\) est une définition fondamentale de l'électromagnétisme, directement liée à la loi de Faraday.
Formule(s)
Circulation du champ E
Hypothèses
On utilise l'argument de symétrie : le champ électrique \(\vec{E}\) est orthoradial (tangent aux cercles centrés sur l'axe) et sa magnitude ne dépend que de la distance \(r\) à l'axe.
Donnée(s)
On utilise le résultat de la question précédente.
- \(\mathcal{E}(r, t) = B_0 \pi r^2 \omega \sin(\omega t)\)
Astuces
Faites attention à la géométrie. La longueur d'une boucle circulaire est sa circonférence (\(2\pi r\)), pas son aire (\(\pi r^2\)). C'est une confusion fréquente.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre la boucle circulaire (en rouge) et le vecteur champ électrique \(\vec{E}\) qui est tangent à cette boucle en tout point.
Circulation du champ \(\vec{E}\)
Calcul(s)
On égale les deux expressions de la f.é.m. :
On isole \(E(r,t)\) en simplifiant par \(\pi\) et \(r\):
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma illustre que le champ électrique induit forme des boucles fermées. Il n'est pas créé par des charges (comme en électrostatique) mais par la variation du champ magnétique. C'est un champ non-conservatifUn champ vectoriel dont la circulation le long d'une boucle fermée n'est pas nulle. Le champ électrique induit en est un exemple..
Lignes de champ électrique induit
Réflexions
Le champ électrique induit est nul au centre (\(r=0\)) et augmente linéairement avec la distance à l'axe. Cela signifie que les forces poussant les électrons sont plus fortes près du bord du disque que près du centre.
Points de vigilance
Le champ électrique ici n'est pas un champ électrostatique. Il ne dérive pas d'un potentiel scalaire global (\(\vec{E} \neq -\vec{\nabla}V\)) car sa circulation sur une boucle fermée n'est pas nulle. C'est une distinction fondamentale.
Points à retenir
- La f.é.m. est la circulation du champ électrique.
- La symétrie permet de transformer une intégrale (\(\oint \vec{E} \cdot d\vec{l}\)) en une simple multiplication (\(E \cdot 2\pi r\)).
- Le champ électrique induit est proportionnel à la fréquence \(\omega\) et à la distance \(r\).
Le saviez-vous ?
James Clerk Maxwell a été le premier à comprendre que non seulement un champ magnétique variable crée un champ électrique (loi de Faraday), mais qu'un champ électrique variable crée aussi un champ magnétique. Cette symétrie est la clé de l'existence des ondes électromagnétiques, comme la lumière.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'amplitude du champ électrique au bord du disque (\(r=a=10\) cm).
Question 3 : Densité de courant de Foucault (\(\vec{j}(r,t)\))
Principe
Dans un matériau conducteur, un champ électrique met en mouvement les porteurs de charge (les électrons), créant ainsi un courant électrique. La loi d'Ohm locale relie directement le champ électrique \(\vec{E}\) à la densité de courant \(\vec{j}\) via la conductivité \(\sigma\) du matériau.
Mini-Cours
La loi d'Ohm locale, \(\vec{j} = \sigma \vec{E}\), est la version microscopique de la loi d'Ohm macroscopique \(U=RI\). Elle stipule qu'en un point donné d'un matériau, la densité de courant est proportionnelle au champ électrique en ce point. La conductivité \(\sigma\) (en Siemens par mètre, S/m) est une propriété intrinsèque du matériau qui mesure sa capacité à conduire le courant. C'est l'inverse de la résistivité \(\rho_{\text{res}}\) (\(\sigma = 1/\rho_{\text{res}}\)).
Remarque Pédagogique
Cette étape est une simple application de formule, mais elle est conceptuellement importante. C'est ici que les propriétés du matériau (\(\sigma\)) entrent en jeu. Un matériau plus conducteur (comme le cuivre) développera des courants de Foucault beaucoup plus intenses qu'un matériau moins conducteur (comme le fer) pour le même champ électrique induit.
Normes
La loi d'Ohm, sous sa forme locale, est une loi phénoménologique fondamentale en physique des matériaux et en électrocinétique.
Formule(s)
Loi d'Ohm locale
Hypothèses
On suppose que le matériau est ohmique (sa conductivité \(\sigma\) est constante) et isotrope (ses propriétés sont les mêmes dans toutes les directions).
Donnée(s)
On utilise le résultat de la question 2 et la conductivité du cuivre.
- Champ électrique : \(E(r, t) = \frac{B_0 r \omega}{2} \sin(\omega t)\)
- Conductivité du cuivre : \(\sigma = 5.96 \times 10^7 \text{ S/m}\)
Astuces
Comme \(\vec{j}\) et \(\vec{E}\) sont simplement proportionnels, ils ont la même direction et la même dépendance temporelle. Le calcul consiste juste à multiplier les amplitudes.
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre le champ électrique \(\vec{E}\) qui "pousse" les électrons, créant une densité de courant \(\vec{j}\) dans la même direction (pour des charges positives conventionnelles).
Relation entre \(\vec{E}\) et \(\vec{j}\)
Calcul(s)
On applique directement la loi d'Ohm locale :
Schéma (Après les calculs)
Le schéma montre les "tourbillons" de courant dans le disque. Ces courants circulaires sont les fameux courants de Foucault. Leur intensité est plus grande près du bord.
Visualisation des courants de Foucault
Réflexions
La densité de courant est maximale au bord du disque (\(r=a\)) et nulle au centre. Les courants de Foucault forment des boucles fermées à l'intérieur du matériau. Ils sont en phase avec le champ électrique induit.
Points de vigilance
Assurez-vous que toutes les grandeurs sont exprimées dans le Système International (mètres, Tesla, etc.) avant d'utiliser la valeur de \(\sigma\) en S/m.
Points à retenir
- La loi d'Ohm locale \(\vec{j} = \sigma \vec{E}\) est le pont entre l'électromagnétisme (calcul de \(\vec{E}\)) et l'électrocinétique (calcul de \(\vec{j}\)).
- La direction des courants de Foucault est la même que celle du champ électrique induit.
- L'intensité des courants dépend crucialement de la conductivité du matériau.
Le saviez-vous ?
Les plaques de cuisson à induction utilisent ce principe. Une bobine sous la plaque en vitrocéramique génère un champ magnétique variable à haute fréquence. Ce champ induit d'intenses courants de Foucault dans le fond métallique de la casserole, qui chauffe alors par effet Joule. La plaque elle-même reste froide !
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez l'amplitude de la densité de courant au bord du disque (\(r=a=10\) cm).
Question 4 : Puissance totale dissipée (\(P\))
Principe
Les courants de Foucault circulant dans le matériau résistif dissipent de l'énergie par effet Joule, c'est-à-dire sous forme de chaleur. Pour trouver la puissance totale, il faut intégrer la puissance volumique dissipée \(p_v = j^2/\sigma\) sur l'ensemble du volume du disque.
Mini-Cours
La puissance instantanée dissipée dans un volume élémentaire \(dV\) est \(dP = p_v dV\). Pour un disque, l'élément de volume en coordonnées cylindriques est \(dV = r dr d\theta dz\). La puissance totale est donc l'intégrale triple \(P = \iiint_V p_v dV\). Comme nos grandeurs ne dépendent pas de \(\theta\) et \(z\), l'intégration sur ces variables est simple : \(\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi\) et \(\int_0^h dz = h\).
Remarque Pédagogique
La puissance dissipée varie dans le temps (\(\sin^2(\omega t)\)). En pratique, on s'intéresse souvent à la puissance moyenne. La valeur moyenne de \(\sin^2(\omega t)\) sur une période est \(1/2\). Le calcul de la puissance totale est un bon exercice d'intégration sur un volume.
Normes
Le calcul de la dissipation d'énergie par effet Joule est un principe fondamental de la thermodynamique et de l'électrocinétique.
Formule(s)
Puissance Totale
Élément de volume
Hypothèses
On utilise les mêmes hypothèses que précédemment, notamment que la conductivité \(\sigma\) est uniforme dans tout le volume.
Donnée(s)
On utilise le résultat de la question 3 et les dimensions du disque.
- \(j(r, t) = \frac{\sigma B_0 r \omega}{2} \sin(\omega t)\)
- Rayon : \(a = 0.1 \text{ m}\)
- Épaisseur : \(h = 0.002 \text{ m}\)
- Conductivité : \(\sigma = 5.96 \times 10^7 \text{ S/m}\)
Astuces
Séparez l'intégrale spatiale de la partie temporelle. Calculez d'abord l'intégrale sur le volume, puis multipliez par le terme en \(\sin^2(\omega t)\). L'intégrale de \(r^3\) est \(r^4/4\).
Schéma (Avant les calculs)
Le schéma montre un anneau élémentaire de rayon \(r\) et de largeur \(dr\) dans le disque. On va calculer la puissance dissipée dans cet anneau, puis sommer (intégrer) sur tous les anneaux de \(r=0\) à \(r=a\).
Élément de volume pour l'intégration
Calcul(s)
On exprime la puissance volumique :
On intègre sur le volume :
Schéma (Après les calculs)
Ce schéma représente la dissipation de chaleur. La densité de chaleur est plus importante sur les bords du disque, là où les courants de Foucault sont les plus intenses.
Dissipation de chaleur par effet Joule
Réflexions
La puissance dissipée est proportionnelle au carré de la fréquence (\(\omega^2\)) et de l'amplitude du champ (\(B_0^2\)), mais aussi à la puissance 4 du rayon (\(a^4\)). Cela montre que les pertes par courants de Foucault deviennent très importantes dans les grands conducteurs et à haute fréquence.
Points de vigilance
L'erreur la plus courante est d'oublier l'élément de surface en coordonnées cylindriques, qui est \(r dr d\theta\), et non simplement \(dr d\theta\). L'oubli de ce facteur \(r\) mène à une mauvaise intégrale (\(\int r^2 dr\) au lieu de \(\int r^3 dr\)).
Points à retenir
- La puissance dissipée par effet Joule est calculée en intégrant \(j^2/\sigma\) sur le volume.
- La puissance dépend fortement de la géométrie (\(a^4\)) et des paramètres du champ (\(B_0^2, \omega^2\)).
- Pour réduire les courants de Foucault, on peut utiliser des matériaux moins conducteurs ou "feuilleter" le matériau (comme dans les transformateurs) pour réduire la taille des boucles de courant.
Le saviez-vous ?
Le freinage par courants de Foucault est utilisé dans les trains et les montagnes russes. Des électroaimants créent un champ magnétique intense dans les rails (ou une plaque métallique solidaire des roues). Les courants de Foucault induits dissipent l'énergie cinétique du véhicule en chaleur, le ralentissant de manière douce et sans contact mécanique.
FAQ
Questions fréquentes sur cette étape.
Résultat Final
A vous de jouer
Calculez la puissance moyenne dissipée dans le disque avec les données de l'énoncé.
Outil Interactif : Simulateur de Puissance Dissipée
Utilisez cet outil pour visualiser comment la puissance moyenne dissipée varie en fonction de l'amplitude du champ \(B_0\), de la fréquence \(f = \omega/2\pi\), et du rayon du disque \(a\).
Paramètres d'Entrée
Résultats Clés
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. Quelle loi est à l'origine des courants de Foucault ?
2. Si on double la fréquence \(\omega\), la puissance moyenne dissipée est...
3. Où les courants de Foucault sont-ils les plus intenses dans le disque ?
4. Pour réduire les pertes par courants de Foucault dans un transformateur, on...
5. Les courants de Foucault créent un champ magnétique qui...
- Courants de Foucault
- Courants électriques induits qui se forment en boucles dans un matériau conducteur soumis à une variation de flux magnétique. Ils sont responsables de pertes d'énergie par effet Joule.
- Loi de Faraday-Lenz
- Loi fondamentale qui décrit comment un flux magnétique variable à travers un circuit crée une force électromotrice induite, dont le sens s'oppose à la variation du flux.
- Flux Magnétique (\(\Phi_B\))
- Mesure de la quantité de champ magnétique qui traverse une surface donnée. Son unité est le Weber (Wb).
- Effet Joule
- Dissipation d'énergie sous forme de chaleur lorsqu'un courant électrique traverse un matériau résistant.
- Conductivité Électrique (\(\sigma\))
- Propriété d'un matériau à laisser passer le courant électrique. C'est l'inverse de la résistivité. Son unité est le Siemens par mètre (S/m).
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