Calcul des Lignes de Champ Électrique

Réponse :

• Les lignes de champ électrique partent des charges positives et se terminent sur les charges négatives (ou s'étendent à l'infini si une seule charge est présente ou si il y a un excès net de charge).
• La tangente à une ligne de champ en un point quelconque donne la direction du vecteur champ électrique \(\vec{E}\) en ce point.
• La densité des lignes de champ (nombre de lignes par unité de surface perpendiculaire à celles-ci) est proportionnelle à l'intensité (magnitude) du champ électrique. Plus les lignes sont resserrées, plus le champ est intense.
• Les lignes de champ ne se croisent jamais. Si elles se croisaient, cela signifierait qu'il y aurait deux directions possibles pour le champ électrique en ce point, ce qui est impossible pour un champ électrostatique.
• Le nombre de lignes de champ émanant d'une charge positive ou convergeant vers une charge négative est proportionnel à la magnitude de la charge.
• Les lignes de champ sont toujours perpendiculaires aux surfaces des conducteurs en équilibre électrostatique.

Principe :

Le champ électrique créé par une charge ponctuelle est radial : sortant si la charge est positive, entrant si elle est négative. Le champ total en un point est la somme vectorielle des champs créés par chaque charge (principe de superposition).

Analyse :

1. Sur l'axe des x, très loin des charges (\(x \gg a\)) :

   À grande distance, le système de deux charges \((+2Q \text{ et } -Q)\) se comporte approximativement comme une charge ponctuelle unique de valeur \(+2Q - Q = +Q\). Le champ sera donc dirigé radialement vers l'extérieur, comme celui d'une charge positive \(+Q\) située près de l'origine. Si \(x > a\) et \(x \gg a\), \(\vec{E}\) sera dirigé vers la droite (sens positif de x). Si \(x < -a\) et \(|x| \gg a\), \(\vec{E}\) sera dirigé vers la gauche (sens négatif de x).

2. Sur l'axe des x, entre A et B, plus près de A :

   Soit un point P entre A et B, plus proche de A. \(q_1\) (+2Q) crée un champ \(\vec{E}_1\) dirigé vers la droite (s'éloignant de A). \(q_2\) (-Q) crée un champ \(\vec{E}_2\) dirigé vers la droite (vers B). Les deux champs s'ajoutent et sont dirigés vers la droite.

3. Sur l'axe des x, entre A et B, plus près de B :

   Soit un point P entre A et B, plus proche de B. \(q_1\) (+2Q) crée un champ \(\vec{E}_1\) dirigé vers la droite. \(q_2\) (-Q) crée un champ \(\vec{E}_2\) dirigé vers la droite. Les deux champs s'ajoutent et sont dirigés vers la droite.

4. Sur l'axe médiateur du segment AB (axe y, \(x=0\)) :

   En un point M sur l'axe y, le champ \(\vec{E}_1\) créé par \(q_1\) a une composante horizontale vers la droite et une composante verticale (vers le haut ou le bas selon la position de M). Le champ \(\vec{E}_2\) créé par \(q_2\) a une composante horizontale vers la gauche (car \(q_2\) est négative et attire) et une composante verticale. En raison de la symétrie des positions par rapport à l'axe y et de la différence de magnitude des charges, la composante horizontale de \(\vec{E}_1\) sera plus grande que celle de \(\vec{E}_2\) (car \(|q_1| > |q_2|\)). Les composantes verticales s'annuleront si M est sur l'axe x, mais ici sur l'axe y, elles s'ajouteront (ou se soustrairont selon la position exacte). Qualitativement, le champ résultant aura une composante vers la droite et une composante verticale. Plus précisément, si M est sur l'axe y positif, \(\vec{E}_1\) pointe en haut à droite, \(\vec{E}_2\) pointe en bas à droite. La résultante sera orientée vers la droite et légèrement vers le bas si M est très proche de l'axe x, ou plus complexe si M est loin.

   Correction plus précise pour l'axe y : Soit M(0,y). \(\vec{E}_1\) a une composante \(E_{1x} > 0\) et \(E_{1y}\). \(\vec{E}_2\) a une composante \(E_{2x} < 0\) et \(E_{2y}\). Par symétrie des distances, si on considère un point M(0,y), les composantes verticales \(E_{1y}\) et \(E_{2y}\) auront des directions opposées par rapport à l'axe x (si y>0, \(E_{1y}\) vers le haut, \(E_{2y}\) vers le bas). La résultante horizontale sera dominée par la charge la plus forte à distance égale, mais ici les distances sont les mêmes. La magnitude de \(E_1\) sera double de celle de \(E_2\). Les composantes \(E_{1x}\) et \(E_{2x}\) s'ajoutent (les deux vers la droite si on considère que \(q_2\) attire). Non, \(E_{1x}\) est vers la droite, \(E_{2x}\) est vers la droite (car \(q_2\) est négative, le champ pointe vers elle). Les composantes verticales \(E_{1y}\) et \(E_{2y}\) s'annulent par symétrie si les charges étaient égales, mais ici, \(|q_1| = 2|q_2|\). Le champ sera donc globalement orienté vers la droite et s'incurvera.

   Rectification pour l'axe y (médiatrice x=0): Soit M(0,y). \(\vec{E}_1\) (de \(q_1=+2Q\) en \((-a,0)\)) a une composante \(E_{1x}\) vers la droite et \(E_{1y}\) (vers le haut si y>0). \(\vec{E}_2\) (de \(q_2=-Q\) en \((a,0)\)) a une composante \(E_{2x}\) vers la droite (car \(q_2\) est négative) et \(E_{2y}\) (vers le bas si y>0). Les composantes \(E_{1y}\) et \(E_{2y}\) sont opposées et ne s'annulent pas car les magnitudes des champs sont différentes. La composante \(E_x\) sera la somme de deux composantes positives. Le champ sera donc dirigé vers la droite et aura une composante verticale non nulle.

Principe :

Le nombre de lignes de champ émanant d'une charge positive ou convergeant vers une charge négative est conventionnellement proportionnel à la magnitude absolue de la charge.

Analyse :

Nous avons \(|q_1| = |+2Q| = 2Q\) et \(|q_2| = |-Q| = Q\).

Le rapport des magnitudes est \(\frac{|q_1|}{|q_2|} = \frac{2Q}{Q} = 2\).

Donc, il devrait y avoir deux fois plus de lignes de champ partant de \(q_1\) que de lignes de champ arrivant sur \(q_2\). Cela signifie que la moitié des lignes partant de \(q_1\) se termineront sur \(q_2\), et l'autre moitié s'étendra vers l'infini.

Principe :

En se basant sur les propriétés et les directions qualitatives :

• Les lignes partent de \(q_1\) (+2Q) et certaines se terminent sur \(q_2\) (-Q).
• D'autres lignes partant de \(q_1\) s'éloignent vers l'infini.
• Les lignes sont plus denses près des charges.
• Les lignes ne se croisent pas.
• Les lignes sont perpendiculaires à la surface des charges si elles étaient conductrices (non applicable ici pour des charges ponctuelles, mais guide la direction près de la charge).
• Entre A et B, les lignes vont de A vers B.

Schéma des Lignes de Champ (Qualitatif) :

Principe :

Un point où le champ électrique total est nul (\(\vec{E}_{\text{total}} = \vec{0}\)) signifie que les champs créés par chaque charge s'annulent vectoriellement en ce point. Étant donné que les charges sont de signes opposés, un tel point ne peut pas se trouver entre les charges A et B (car les deux champs seraient dans la même direction, vers la droite). Il doit se trouver sur l'axe des x, à l'extérieur du segment AB.

Comme \(|q_1| > |q_2|\), le point où le champ est nul doit être plus éloigné de \(q_1\) que de \(q_2\). Il se trouvera donc sur l'axe des x, à droite de \(q_2\) (pour \(x > a\)). En ce point, le champ créé par \(q_1\) (positif, vers la droite) sera annulé par le champ créé par \(q_2\) (négatif, donc dirigé vers \(q_2\), c'est-à-dire vers la gauche).

Soit \(x_N\) la position de ce point. On aurait \(k_e \frac{|q_1|}{(x_N - (-a))^2} = k_e \frac{|q_2|}{(x_N - a)^2}\). \[ \frac{2Q}{(x_N+a)^2} = \frac{Q}{(x_N-a)^2} \Rightarrow 2(x_N-a)^2 = (x_N+a)^2 \] \[ \sqrt{2}|x_N-a| = |x_N+a| \] Comme on cherche un point pour \(x_N > a\), \(x_N-a > 0\) et \(x_N+a > 0\). \[ \sqrt{2}(x_N-a) = x_N+a \] \[ \sqrt{2}x_N - \sqrt{2}a = x_N + a \] \[ (\sqrt{2}-1)x_N = (\sqrt{2}+1)a \] \[ x_N = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}a = \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}a = \frac{2+1+2\sqrt{2}}{2-1}a = (3+2\sqrt{2})a \] \[ x_N \approx (3 + 2 \times 1.414)a = (3 + 2.828)a = 5.828a \] Ce point se situe bien à droite de B.