ÉTUDE DE PHYSIQUE

Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide

Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide en Physique de la Matière Condensée

Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide

Comprendre la Superfluidité de l'Hélium-4

L'Hélium-4 (\({^4\text{He}}\)) présente une transition vers un état superfluide en dessous d'une température critique d'environ \(2.17 \, \text{K}\) (le point lambda). Dans cet état, l'hélium liquide (appelé Hélium II) exhibe des propriétés quantiques macroscopiques remarquables, notamment une viscosité nulle et une conductivité thermique extrêmement élevée. La superfluidité est expliquée par la condensation de Bose-Einstein d'une fraction des atomes d'hélium dans l'état quantique fondamental. Selon le critère de Landau, la superfluidité persiste tant que la vitesse d'écoulement du fluide est inférieure à une vitesse critique (\(v_L\)), au-delà de laquelle des excitations élémentaires (comme les phonons et les rotons) peuvent être créées, dissipant de l'énergie et détruisant la superfluidité. Cet exercice se concentre sur le calcul de cette vitesse critique de Landau.

Données du Problème

On étudie l'Hélium-4 superfluide et les conditions de perte de sa superfluidité lors d'un écoulement.

  • Pour les excitations de type roton dans l'Hélium-4 superfluide :
    • Énergie minimale d'un roton (\(\Delta\)) : \(8.65 \, k_B \cdot \text{K}\) (où \(k_B\) est la constante de Boltzmann)
    • Quantité de mouvement correspondante (\(p_0\)) : \(1.92 \, \text{Å}^{-1} \cdot \hbar\) (où \(\hbar\) est la constante de Planck réduite)
  • Pour les excitations de type phonon dans l'Hélium-4 superfluide :
    • La relation de dispersion est \(E_{ph}(p) = c_1 p\), où \(p\) est la quantité de mouvement du phonon.
    • Vitesse du premier son (\(c_1\)) : \(238 \, \text{m/s}\)

Constantes utiles :

  • Constante de Boltzmann (\(k_B\)) : \(1.3806 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)
  • Constante de Planck réduite (\(\hbar\)) : \(1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • Conversion : \(1 \, \text{Å} = 10^{-10} \, \text{m}\)
Schéma : Écoulement Superfluide et Excitations
Canal d'écoulement Hélium-4 Superfluide v Roton Phonon Vitesse critique de Landau, vL (Limite de la superfluidité)

Illustration de l'écoulement d'hélium superfluide dans un canal et de la création possible d'excitations (rotons, phonons) si la vitesse critique est dépassée.

Questions à traiter

  1. Rappeler le critère de Landau pour la vitesse critique (\(v_L\)) d'un superfluide.
  2. Calculer l'énergie minimale \(\Delta\) d'un roton en Joules (J).
  3. Calculer la quantité de mouvement \(p_0\) d'un roton en \(\text{kg} \cdot \text{m/s}\).
  4. Calculer la vitesse critique de Landau (\(v_{L, \text{roton}}\)) due à la création de rotons.
  5. Calculer la vitesse critique de Landau (\(v_{L, \text{phonon}}\)) due à la création de phonons. (Indice : pour les phonons, \(E(p) = c_1 p\)).
  6. Comparer \(v_{L, \text{roton}}\) et \(v_{L, \text{phonon}}\). Quelle type d'excitation limite principalement la superfluidité de l'Hélium-4 à basse vitesse selon ce critère ?
  7. Si un nano-canal a un diamètre tel que la première excitation possible est un roton, et que le superfluide s'écoule juste en dessous de \(v_{L, \text{roton}}\), que se passe-t-il si une impureté ou une rugosité de la paroi provoque localement une perturbation qui pourrait créer une excitation ?

Correction : Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide

Question 1 : Critère de Landau pour la vitesse critique (\(v_L\))

Principe :

Le critère de Landau stipule que la superfluidité est détruite si la vitesse d'écoulement \(v\) est telle qu'il devient énergétiquement favorable de créer une excitation élémentaire (phonon, roton) dans le fluide. La vitesse critique \(v_L\) est la vitesse minimale pour laquelle une telle excitation peut être créée tout en conservant l'énergie et la quantité de mouvement.

Formule :

La vitesse critique de Landau est donnée par la valeur minimale du rapport \(E(p)/p\), où \(E(p)\) est l'énergie d'une excitation élémentaire et \(p\) est sa quantité de mouvement :

\[ v_L = \min \left( \frac{E(p)}{p} \right) \]
Résultat Question 1 : Le critère de Landau pour la vitesse critique est \(v_L = \min (E(p)/p)\).

Question 2 : Énergie minimale \(\Delta\) d'un roton en Joules

Principe :

L'énergie est donnée en unités de \(k_B \cdot \text{K}\). Il faut la convertir en Joules en utilisant la valeur de la constante de Boltzmann.

Données spécifiques :
  • \(\Delta = 8.65 \, k_B \cdot \text{K}\)
  • \(k_B = 1.3806 \times 10^{-23} \, \text{J/K}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} \Delta (\text{J}) &= 8.65 \, \text{K} \times (1.3806 \times 10^{-23} \, \text{J/K}) \\ &\approx 1.1942 \times 10^{-22} \, \text{J} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : L'énergie minimale d'un roton est \(\Delta \approx 1.194 \times 10^{-22} \, \text{J}\).

Question 3 : Quantité de mouvement \(p_0\) d'un roton en \(\text{kg} \cdot \text{m/s}\)

Principe :

La quantité de mouvement est donnée en unités de \(\text{Å}^{-1} \cdot \hbar\). Il faut convertir les Ångströms en mètres et utiliser la valeur de \(\hbar\).

Données spécifiques :
  • \(p_0 / \hbar = 1.92 \, \text{Å}^{-1}\)
  • \(\hbar = 1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}\)
  • \(1 \, \text{Å} = 10^{-10} \, \text{m} \Rightarrow 1 \, \text{Å}^{-1} = 10^{10} \, \text{m}^{-1}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} p_0 &= (1.92 \, \text{Å}^{-1}) \times \hbar \\ &= (1.92 \times 10^{10} \, \text{m}^{-1}) \times (1.05457 \times 10^{-34} \, \text{J} \cdot \text{s}) \end{aligned} \]

Sachant que \(\text{J} \cdot \text{s} = (\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}^2) \cdot \text{s} = \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}\), alors \(\text{m}^{-1} \cdot \text{J} \cdot \text{s} = \text{kg} \cdot \text{m/s}\).

\[ \begin{aligned} p_0 &\approx (1.92 \times 10^{10}) \times (1.05457 \times 10^{-34}) \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \\ &\approx 2.02477 \times 10^{-24} \, \text{kg} \cdot \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La quantité de mouvement d'un roton est \(p_0 \approx 2.025 \times 10^{-24} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\).

Question 4 : Vitesse critique de Landau (\(v_{L, \text{roton}}\)) due aux rotons

Principe :

Pour les rotons, le minimum de \(E(p)/p\) se situe au minimum de la courbe de dispersion des rotons, où \(E(p_0) = \Delta\).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_{L, \text{roton}} = \frac{\Delta}{p_0} \]
Données spécifiques :
  • \(\Delta \approx 1.1942 \times 10^{-22} \, \text{J}\)
  • \(p_0 \approx 2.02477 \times 10^{-24} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} v_{L, \text{roton}} &\approx \frac{1.1942 \times 10^{-22} \, \text{J}}{2.02477 \times 10^{-24} \, \text{kg} \cdot \text{m/s}} \\ &\approx 58.98 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La vitesse critique de Landau due aux rotons est \(v_{L, \text{roton}} \approx 59.0 \, \text{m/s}\).

Question 5 : Vitesse critique de Landau (\(v_{L, \text{phonon}}\)) due aux phonons

Principe :

Pour les phonons, la relation de dispersion est \(E_{ph}(p) = c_1 p\), où \(c_1\) est la vitesse du premier son.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ v_{L, \text{phonon}} = \min \left( \frac{E_{ph}(p)}{p} \right) = \min \left( \frac{c_1 p}{p} \right) = c_1 \]
Données spécifiques :
  • \(c_1 = 238 \, \text{m/s}\)
Calcul :
\[ v_{L, \text{phonon}} = 238 \, \text{m/s} \]
Résultat Question 5 : La vitesse critique de Landau due aux phonons est \(v_{L, \text{phonon}} = 238 \, \text{m/s}\).

Question 6 : Comparaison des vitesses critiques

Principe :

La vitesse critique globale de Landau est la plus petite des vitesses critiques associées aux différentes excitations possibles.

Données spécifiques :
  • \(v_{L, \text{roton}} \approx 59.0 \, \text{m/s}\)
  • \(v_{L, \text{phonon}} = 238 \, \text{m/s}\)
Comparaison :

On observe que \(v_{L, \text{roton}} (59.0 \, \text{m/s})\) est significativement plus faible que \(v_{L, \text{phonon}} (238 \, \text{m/s})\).

Par conséquent, la vitesse critique de Landau pour l'Hélium-4 superfluide est déterminée par la création de rotons :

\[ v_L = \min(v_{L, \text{roton}}, v_{L, \text{phonon}}) = v_{L, \text{roton}} \approx 59.0 \, \text{m/s} \]

Ce sont donc les excitations de type roton qui limitent en premier la superfluidité lorsque la vitesse d'écoulement augmente.

Résultat Question 6 : \(v_{L, \text{roton}} < v_{L, \text{phonon}}\). Ce sont les rotons qui limitent la superfluidité. La vitesse critique de Landau est d'environ \(59.0 \, \text{m/s}\).

Question 7 : Conséquence d'une perturbation locale

Explication :

Si l'hélium superfluide s'écoule à une vitesse juste en dessous de la vitesse critique de Landau (\(v_L \approx 59.0 \, \text{m/s}\)), il s'écoule sans dissipation d'énergie (viscosité nulle).

Une impureté ou une rugosité de la paroi du nano-canal peut agir comme un centre de nucléation pour la création d'excitations. Si cette perturbation locale provoque une fluctuation de vitesse qui dépasse momentanément \(v_L\), ou si elle fournit l'énergie et la quantité de mouvement nécessaires, des excitations (principalement des rotons, car leur seuil est plus bas) peuvent être créées.

La création de ces excitations (rotons) correspond à un transfert d'énergie et de quantité de mouvement du flux de superfluide vers ces excitations. Cela se manifeste macroscopiquement par :

  • Apparition d'une dissipation d'énergie : Le fluide perd de l'énergie cinétique, ce qui se traduit par une résistance à l'écoulement.
  • Perte de la superfluidité : Si suffisamment d'excitations sont créées, la viscosité effective du fluide augmente, et le comportement superfluide (écoulement sans friction) est perdu localement, voire globalement si les perturbations sont importantes.

En pratique, la vitesse critique observée expérimentalement dans des canaux étroits est souvent inférieure à la vitesse critique de Landau théorique, car des mécanismes plus complexes comme la nucléation de vortex quantiques peuvent également conduire à la dissipation avant que la création de rotons ne devienne le mécanisme dominant.

Résultat Question 7 : Une perturbation locale pourrait initier la création d'excitations (rotons), conduisant à une dissipation d'énergie et à une perte locale de la superfluidité, même si la vitesse moyenne d'écoulement est légèrement inférieure à \(v_L\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La superfluidité de l'Hélium-4 se manifeste par :

2. Le critère de Landau pour la vitesse critique est basé sur :

3. Les rotons et les phonons dans l'Hélium-4 superfluide sont :

4. Si la vitesse d'écoulement d'un superfluide dépasse sa vitesse critique de Landau :

Glossaire

Hélium-4 Superfluide (Hélium II)
Phase de l'hélium liquide qui existe en dessous de la température lambda (\(\approx 2.17 \, \text{K}\)) et qui présente des propriétés quantiques macroscopiques, notamment une viscosité nulle.
Superfluidité
État de la matière caractérisé par un écoulement sans friction (viscosité nulle) et d'autres effets quantiques macroscopiques.
Critère de Landau
Condition théorique qui détermine la vitesse maximale (vitesse critique \(v_L\)) à laquelle un superfluide peut s'écouler sans dissipation d'énergie due à la création d'excitations élémentaires.
Excitations Élémentaires
Quanta d'énergie et de quantité de mouvement qui peuvent exister dans un système de nombreuses particules en interaction, comme les phonons et les rotons dans l'hélium superfluide.
Phonon
Quantum d'une onde sonore ou d'une vibration dans un solide ou un liquide. Dans l'hélium superfluide, ce sont des excitations de type compressif.
Roton
Type spécifique d'excitation élémentaire dans l'hélium-4 superfluide, caractérisé par un minimum d'énergie \(\Delta\) pour une quantité de mouvement non nulle \(p_0\).
Relation de Dispersion
Relation entre l'énergie \(E(p)\) d'une excitation et sa quantité de mouvement \(p\).
Constante de Boltzmann (\(k_B\))
Constante physique reliant l'énergie cinétique moyenne des particules d'un gaz à sa température absolue.
Constante de Planck Réduite (\(\hbar\))
\(\hbar = h / (2\pi)\), où \(h\) est la constante de Planck.
Ångström (Å)
Unité de longueur égale à \(10^{-10}\) mètres, souvent utilisée pour les dimensions atomiques.
Calcul du Passage d’Hélium-4 Superfluide - Exercice d'Application

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