Champ Électrique d'une Distribution Linéique de Charge Finie
Comprendre le Champ des Distributions Continues
Pour calculer le champ électrique créé par une distribution continue de charges (comme un fil ou une plaque), on ne peut plus simplement additionner les champs de charges ponctuelles. On doit utiliser le calcul intégral. Le principe de superposition reste valable : on découpe mentalement la distribution en une infinité d'éléments de charge infinitésimaux (\(dq\)), on calcule le champ élémentaire (\(d\vec{E}\)) créé par chaque \(dq\) en utilisant la loi de Coulomb, puis on somme (on intègre) les contributions de tous ces éléments pour obtenir le champ électrique total \(\vec{E}\). Les arguments de symétrie sont souvent cruciaux pour simplifier le calcul avant même de commencer l'intégration.
Données de l'étude
- Déterminer le champ électrique \(\vec{E}\) créé par ce segment en un point \(P\) situé sur l'axe de médiatrice, à une ordonnée \(y > 0\).
- Permittivité du vide : \(\varepsilon_0\).
Schéma de la Configuration
Questions à traiter
- Exprimer le champ électrique élémentaire \(d\vec{E}\) créé au point P par un élément de charge \(dq = \lambda dx\) situé à l'abscisse \(x\).
- Décomposer \(d\vec{E}\) en ses composantes \(dE_x\) et \(dE_y\). Utiliser un argument de symétrie pour déterminer la direction du champ total \(\vec{E}\).
- Exprimer la composante utile du champ (\(dE_y\)) en fonction de \(y\), \(x\), \(\lambda\), et \(dx\).
- Intégrer l'expression de \(dE_y\) sur toute la longueur du fil pour trouver la norme du champ total \(E\).
- Quelle est l'expression du champ si le fil devient infiniment long (\(L \to \infty\)) ?
Correction : Champ Électrique d'une Distribution Linéique de Charge Finie
Question 1 : Champ Électrique Élémentaire \(d\vec{E}\)
Principe :
On applique la loi de Coulomb pour une charge ponctuelle, en remplaçant la charge ponctuelle \(q\) par l'élément de charge \(dq\). Le vecteur position \(\vec{r}\) va de la source (l'élément \(dq\)) au point P.
Calcul :
La position de \(dq\) est \((x, 0)\). La position de P est \((0, y)\). Le vecteur \(\vec{r}\) de \(dq\) à P est :
La norme de ce vecteur est \(r = |\vec{r}| = \sqrt{(-x)^2 + y^2} = \sqrt{x^2+y^2}\). Le vecteur unitaire est \(\vec{u}_r = \vec{r}/r\).
Question 2 : Décomposition et Symétrie
Principe :
On analyse les contributions des éléments de charge symétriques par rapport à l'origine. Pour chaque élément \(dq\) en \(x\), il existe un élément symétrique en \(-x\). On somme leurs champs pour voir quelles composantes s'annulent.
Analyse :
Les composantes sont :
Pour un élément de charge en \(-x\), la composante \(dE_x\) est de signe opposé, tandis que la composante \(dE_y\) est de même signe. Lors de l'intégration de \(-L\) à \(+L\), toutes les composantes en \(x\) vont s'annuler deux à deux. Le champ résultant sera donc uniquement selon l'axe \(y\).
Question 3 : Expression de la Composante Utile
Principe :
La seule composante à intégrer est \(dE_y\). On peut aussi la trouver en utilisant la trigonométrie : \(dE_y = |d\vec{E}| \cos\theta\), où \(\theta\) est l'angle entre l'axe y et le vecteur \(\vec{r}\).
Calcul :
On a \(|d\vec{E}| = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{\lambda dx}{x^2+y^2}\) et \(\cos\theta = \frac{y}{r} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\).
Ceci est la même expression que celle obtenue à la question 2.
Question 4 : Intégration et Champ Total
Principe :
On intègre l'expression de \(dE_y\) de \(x = -L\) à \(x = +L\).
Calcul :
La primitive de \(\frac{1}{(x^2+y^2)^{3/2}}\) est \(\frac{x}{y^2\sqrt{x^2+y^2}}\).
Question 5 : Cas du Fil Infini (\(L \to \infty\))
Principe :
On examine la limite de l'expression trouvée lorsque \(L\) devient très grand par rapport à \(y\).
Calcul :
Lorsque \(L \to \infty\), le terme \((y/L)^2 \to 0\). L'expression devient :
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. Si la charge \(\lambda\) est négative, le champ électrique au point P sera dirigé :
2. Pour un point P très loin du fil fini (\(y \gg L\)), le champ électrique se comporte approximativement comme :
3. Pourquoi la composante \(E_x\) du champ total est-elle nulle au point P ?
Glossaire
- Champ électrique (\(\vec{E}\))
- Champ vectoriel qui décrit la force électrique exercée sur une charge d'essai positive. Il est créé par d'autres charges (sources) et se mesure en Newtons par Coulomb (N/C) ou en Volts par mètre (V/m).
- Distribution linéique de charge (\(\lambda\))
- Charge électrique répartie le long d'une ligne. Sa densité, \(\lambda\), est la quantité de charge par unité de longueur, mesurée en Coulombs par mètre (C/m).
- Principe de superposition
- Principe selon lequel le champ électrique total créé par plusieurs charges sources est la somme vectorielle des champs créés individuellement par chaque charge.
- Loi de Coulomb
- Loi qui décrit la force (ou le champ) exercée par une charge ponctuelle sur une autre. Pour une distribution continue, on l'applique à un élément de charge infinitésimal \(dq\).
- Argument de symétrie
- Utilisation des propriétés géométriques d'un système pour simplifier un problème physique. En électromagnétisme, il permet souvent de déterminer la direction du champ résultant ou d'annuler certaines composantes avant le calcul.
D’autres exercices d’electromagnétisme:
0 commentaires