Champ Magnétique Créé par un Tore
Comprendre le Champ Magnétique d'un Tore
Un tore, ou solénoïde torique, est un enroulement de fil conducteur en forme de beignet. Cette géométrie est particulièrement intéressante en électromagnétisme car elle permet de confiner presque parfaitement le champ magnétique à l'intérieur de l'enroulement. À l'extérieur, le champ est idéalement nul. Le calcul du champ à l'intérieur du tore est un cas d'école pour l'application du théorème d'Ampère, qui relie la circulation du champ magnétique le long d'une boucle fermée au courant total qui traverse la surface délimitée par cette boucle.
Données de l'étude
- On néglige l'épaisseur du fil par rapport aux dimensions du tore.
- On se place dans le vide, de perméabilité magnétique \(\mu_0\).
Schéma : Coupe d'un Tore et Contours d'Ampère
Les cercles représentent les courants entrants (croix) et sortants (points). C₁, C₂, C₃ sont les contours d'Ampère utilisés pour l'analyse.
Questions à traiter
- Analyser les symétries de la distribution de courant pour déterminer la direction et les dépendances du champ magnétique \(\vec{B}\).
- Appliquer le théorème d'Ampère sur un contour circulaire \(C_1\) de rayon \(r\) à l'intérieur du tore (région 1 : \(r < R_{\text{interne}}\)).
- Appliquer le théorème d'Ampère sur un contour circulaire \(C_2\) de rayon \(r\) à travers les enroulements (région 2 : \(R_{\text{interne}} < r < R_{\text{externe}}\)).
- Appliquer le théorème d'Ampère sur un contour circulaire \(C_3\) de rayon \(r\) à l'extérieur du tore (région 3 : \(r > R_{\text{externe}}\)).
- Conclure sur l'expression du champ magnétique dans les trois régions.
Correction : Champ Magnétique Créé par un Tore
Question 1 : Symétries et Direction du Champ
Principe :
On utilise les symétries de la distribution de courant. Le système possède une symétrie de révolution autour de l'axe central du tore. En tout point, le champ magnétique doit être invariant par rotation autour de cet axe. De plus, tout plan contenant l'axe de révolution est un plan de symétrie pour la distribution, ce qui impose que le champ soit perpendiculaire à ce plan.
Analyse :
La combinaison de ces symétries impose que le champ magnétique soit orthoradial (tangent aux cercles centrés sur l'axe du tore) et que sa norme ne dépende que de la distance radiale \(r\) à cet axe.
Où \((r, \theta, z)\) sont les coordonnées cylindriques.
Question 2 : Champ à l'Intérieur du Tore (\(r < R_{\text{interne}}\))
Principe :
On applique le théorème d'Ampère : \(\oint_C \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}}\). On choisit pour contour \(C_1\) un cercle de rayon \(r\) situé entièrement à l'intérieur de la "cavité" du tore.
Calcul :
Calcul de la circulation :
Calcul du courant enlacé :
Le contour \(C_1\) n'enlace aucun des fils de l'enroulement.
Application du théorème :
Question 3 : Champ dans l'Enroulement (\(R_{\text{interne}} < r < R_{\text{externe}}\))
Principe :
On choisit maintenant le contour \(C_2\), un cercle de rayon \(r\) passant à travers l'enroulement.
Calcul :
La circulation est la même que précédemment : \(\oint_{C_2} \vec{B} \cdot d\vec{l} = 2\pi r B(r)\).
Calcul du courant enlacé :
Le contour \(C_2\) enlace les \(N\) spires du tore, chacune parcourue par le courant \(I\).
Application du théorème :
Question 4 : Champ à l'Extérieur du Tore (\(r > R_{\text{externe}}\))
Principe :
On choisit le contour \(C_3\), un cercle de rayon \(r\) englobant entièrement le tore.
Calcul :
La circulation est toujours \(2\pi r B(r)\).
Calcul du courant enlacé :
Le contour \(C_3\) enlace tous les fils. Pour chaque spire, il enlace une fois le courant \(I\) dans un sens (ex: entrant) et une fois dans l'autre sens (sortant). Le courant total enlacé est donc nul.
Application du théorème :
Question 5 : Conclusion
- Pour \(r < R_{\text{interne}}\) : \(\vec{B} = \vec{0}\)
- Pour \(R_{\text{interne}} < r < R_{\text{externe}}\) : \(\vec{B} = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r} \vec{u}_\theta\)
- Pour \(r > R_{\text{externe}}\) : \(\vec{B} = \vec{0}\)
Cette propriété de confinement du champ rend les tores très utiles dans de nombreuses applications, comme les transformateurs ou les dispositifs de fusion nucléaire (tokamaks).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances
1. Le champ magnétique à l'intérieur d'un tore idéal :
2. Pour calculer le champ d'un tore, le théorème d'Ampère est puissant car :
3. Si on double le nombre de spires (\(N\)) et qu'on divise le courant (\(I\)) par deux, le champ magnétique à l'intérieur du tore :
Glossaire
- Tore
- Solénoïde (bobine) dont l'axe a été refermé sur lui-même pour former un anneau. Cette géométrie est conçue pour confiner le champ magnétique.
- Théorème d'Ampère
- Loi fondamentale de la magnétostatique qui relie la circulation du champ magnétique \(\vec{B}\) le long d'une boucle fermée au courant total \(I_{\text{enlacé}}\) qui traverse la surface s'appuyant sur cette boucle.
- Circulation d'un champ vectoriel
- Intégrale curviligne d'un champ de vecteurs le long d'un chemin fermé. Pour le champ magnétique, c'est \(\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}\).
- Perméabilité du vide (\(\mu_0\))
- Constante fondamentale de l'électromagnétisme qui caractérise la capacité du vide à "laisser passer" les lignes de champ magnétique. \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{T} \cdot \text{m} \cdot \text{A}^{-1}\).
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