Champ Magnétique d'un Câble Coaxial

Contexte : L'étude du champ magnétiqueChamp de force créé par des charges électriques en mouvement (courants électriques). Il est décrit par un vecteur B en chaque point de l'espace. dans un câble coaxialLigne de transmission composée d'un conducteur central (âme) et d'un conducteur extérieur (gaine), séparés par un isolant..

Les câbles coaxiaux sont omniprésents dans nos technologies de communication (Internet, télévision). Leur structure particulière, avec un conducteur central et une gaine conductrice externe, permet de confiner le champ électromagnétique et de protéger le signal des interférences. Cet exercice a pour but de calculer et de comprendre la distribution du champ magnétique à l'intérieur et à l'extérieur de ce type de câble en utilisant le théorème d'Ampère.

Remarque Pédagogique : Cet exercice est une application directe du théorème d'Ampère dans une géométrie à symétrie cylindrique. Il vous apprendra à choisir le bon contour d'Ampère et à calculer le courant enlacé pour déterminer le champ magnétique dans différentes régions de l'espace.

Objectifs Pédagogiques

Appliquer le théorème d'Ampère pour calculer un champ magnétostatique.
Analyser un problème à symétrie cylindrique.
Déterminer le champ magnétique dans toutes les régions de l'espace d'un câble coaxial.
Calculer une valeur numérique de champ et identifier sa valeur maximale.

Données de l'étude

On considère un câble coaxial infiniment long. Le conducteur central (âme) de rayon \(R_1\) est parcouru par un courant \(I\) uniforme, dirigé vers l'avant. La gaine conductrice extérieure, de rayon intérieur \(R_2\) et de rayon extérieur \(R_3\), est parcourue par le même courant \(I\) en sens inverse, également de manière uniforme.

Coupe transversale du câble coaxial

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Courant	\(I\)	5	A
Rayon du conducteur central	\(R_1\)	1	mm
Rayon interne de la gaine	\(R_2\)	3	mm
Rayon externe de la gaine	\(R_3\)	4	mm
Perméabilité du vide	\(\mu_0\)	\(4\pi \times 10^{-7}\)	T.m/A

Questions à traiter

Déterminer l'expression du champ magnétique \(B(r)\) pour \(r < R_1\) (dans l'âme).
Déterminer l'expression du champ magnétique \(B(r)\) pour \(R_1 < r < R_2\) (entre les conducteurs).
Déterminer l'expression du champ magnétique \(B(r)\) pour \(R_2 < r < R_3\) (dans la gaine).
Déterminer l'expression du champ magnétique \(B(r)\) pour \(r > R_3\) (à l'extérieur).
Calculer la valeur numérique du champ magnétique maximal et préciser à quelle position \(r\) il est atteint.

Les bases sur le Théorème d'Ampère

Le théorème d'Ampère est l'un des piliers de l'électromagnétisme. Il relie la circulation du champ magnétique le long d'un contour fermé à l'intensité du courant électrique qui traverse la surface délimitée par ce contour.

1. Énoncé du Théorème d'Ampère
La circulation du champ magnétique \(\vec{B}\) le long d'un contour fermé et orienté \(\mathcal{C}\) est égale au produit de la perméabilité du vide \(\mu_0\) par la somme algébrique des courants \(I_{\text{enlacés}}\) qui traversent la surface s'appuyant sur ce contour. \[ \oint_{\mathcal{C}} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{enlacé}} \]

2. Application aux symétries cylindriques
Pour un fil ou un câble infini, le champ magnétique est orthoradial (il "tourne" autour du fil). En choisissant un contour d'Ampère circulaire de rayon \(r\) centré sur l'axe du câble, le produit scalaire \(\vec{B} \cdot d\vec{l}\) se simplifie en \(B \cdot dl\), et le champ \(B\) est constant sur le contour. L'intégrale devient alors : \[ \oint B \cdot dl = B \oint dl = B \cdot (2\pi r) \]

Correction : Champ Magnétique d’un Câble Coaxial

Question 1 : Champ magnétique pour \(r < R_1\)

Principe (le concept physique)

Pour trouver le champ à l'intérieur du conducteur central, nous devons appliquer le théorème d'AmpèreLoi fondamentale reliant le champ magnétique circulant le long d'un contour fermé au courant électrique qui le traverse.. La symétrie cylindriquePropriété d'un système qui reste inchangé par rotation autour d'un axe. Idéal pour analyser les fils et les câbles. du problème suggère d'utiliser un contour d'AmpèreBoucle fermée imaginaire utilisée pour appliquer le théorème d'Ampère. Son choix judicieux simplifie grandement les calculs. circulaire de rayon \(r < R_1\). La difficulté principale est de ne compter que la fraction du courant enlacéQuantité de courant électrique qui traverse la surface délimitée par le contour d'Ampère. par ce contour.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

La notion clé ici est la densité de courantCourant électrique par unité de surface (A/m²). Elle décrit comment le courant est réparti dans un conducteur. (J). Comme le courant \(I\) est supposé uniformément réparti dans le conducteur de section \(\pi R_1^2\), la densité de courant est constante et vaut \(J = I / (\pi R_1^2)\). Le courant enlacé par un contour de rayon \(r\) est alors le produit de cette densité par la surface du contour : \(I_{\text{enlacé}} = J \cdot (\pi r^2)\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Face à un problème de distribution de courant, ayez toujours le réflexe de vous demander : "Quel est le courant réellement enlacé par mon contour ?". C'est l'étape la plus source d'erreurs. Ne prenez pas aveuglément le courant total \(I\) si votre contour ne l'englobe pas entièrement.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est une application directe des lois de MaxwellEnsemble de quatre équations fondamentales qui régissent tous les phénomènes électromagnétiques., qui constituent le fondement de l'électromagnétisme classique. Plus spécifiquement, nous utilisons le théorème d'Ampère en régime magnétostatique (courants continus).

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du Théorème d'Ampère simplifié

B(r) \cdot (2\pi r) = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Formule du courant enlacé

\begin{aligned} I_{\text{enlacé}} &= I \frac{\text{Surface du contour}}{\text{Surface totale du conducteur}} \\ &= I \frac{\pi r^2}{\pi R_1^2} \\ &= I \frac{r^2}{R_1^2} \end{aligned}

Hypothèses (le cadre du calcul)

Le câble est considéré comme infiniment long pour ignorer les effets de bord.
Le courant \(I\) est continu (stationnaire).
La densité de courant \(J\) est uniforme sur la section du conducteur.
Le milieu est le vide, de perméabilité magnétiqueCapacité d'un matériau à canaliser les lignes de champ magnétique. Pour le vide, elle est notée μ₀. \(\mu_0\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour le calcul littéral de cette question, nous utilisons les symboles \(I\), \(R_1\), \(\mu_0\) et la variable \(r\). Pour l'exercice "À vous de jouer", les données numériques spécifiques sont :

Courant, \(I = 5 \text{ A}\)
Rayon de l'âme, \(R_1 = 1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-3} \text{ m}\)
Distance radiale, \(r = 0.5 \text{ mm} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ m}\)
Perméabilité du vide, \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Pour vérifier votre résultat, faites un test aux limites. Pour \(r=0\), le courant enlacé est nul, donc le champ \(B\) doit être nul. Pour \(r=R_1\), votre formule doit donner le même résultat que la formule pour la région suivante (\(R_1 < r < R_2\)). C'est un excellent moyen de détecter une erreur.

Schéma (Avant les calculs)

Contour d'Ampère pour \(r < R_1\)

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Substitution du courant enlacé

B(r) \cdot (2\pi r) = \mu_0 \left(I \frac{r^2}{R_1^2}\right)

Étape 2 : Résolution pour B(r)

B(r) = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R_1^2}

Schéma (Après les calculs)

Profil du champ pour \(r < R_1\)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le champ magnétique à l'intérieur du conducteur central augmente linéairement avec la distance \(r\) à l'axe. Il est nul au centre (\(r=0\)), ce qui est logique car il n'y a pas de courant enlacé, et il atteint sa valeur maximale à la surface du conducteur (\(r=R_1\)).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus commune est d'oublier que le courant est réparti. Ne jamais utiliser le courant total \(I\) pour \(I_{\text{enlacé}}\) lorsque le contour est plus petit que le conducteur. Pensez toujours en termes de densité de courant.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Symétrie → Contour : La symétrie cylindrique impose un contour d'Ampère circulaire.
Courant enlacé : Pour une distribution volumique uniforme, \(I_{\text{enlacé}}\) est proportionnel au rapport des surfaces (\(r^2/R^2\)).
Comportement du champ : Le champ \(B\) croît linéairement depuis le centre (\(B \propto r\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

En courant alternatif à haute fréquence, le courant ne se répartit pas uniformément mais se concentre à la surface du conducteur. C'est l'effet de peauTendance du courant alternatif à se répartir de manière non uniforme dans un conducteur, en se concentrant près de la surface.. Dans ce cas, le champ magnétique à l'intérieur du conducteur serait quasi nul, car le courant enlacé serait nul.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Pour \(r < R_1\), le champ magnétique est donné par : \(B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi R_1^2} r\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Avec les données de l'énoncé, que vaut le champ magnétique à mi-rayon, c'est-à-dire pour \(r = 0.5 \text{ mm}\) ?

Question 2 : Champ magnétique pour \(R_1 < r < R_2\)

Principe (le concept physique)

Nous sommes maintenant dans l'espace isolant entre les deux conducteurs. On choisit un contour d'Ampère circulaire de rayon \(r\) dans cette région. Ce contour enlace la totalité du courant \(I\) du conducteur central, mais pas encore le courant de retour de la gaine.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Dans cette configuration, le problème est équivalent à celui d'un fil conducteur infini unique parcouru par un courant \(I\). La présence de la gaine extérieure n'a aucune influence sur le champ magnétique à l'intérieur de sa cavité, un principe connu sous le nom de blindage électrostatique/magnétostatique.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Une fois que votre contour d'Ampère a complètement "avalé" un conducteur, le courant enlacé provenant de ce conducteur devient constant et égal à son courant total. Ici, pour tout \(r > R_1\), le conducteur central contribue pour une valeur fixe de \(+I\) au courant enlacé.

Normes (la référence réglementaire)

Le calcul repose toujours sur le théorème d'Ampère. Le résultat obtenu, \(B(r) = \mu_0 I / (2\pi r)\), est une des formules les plus fondamentales de la magnétostatique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du Théorème d'Ampère

B(r) \cdot (2\pi r) = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Formule du courant enlacé

I_{\text{enlacé}} = I

Hypothèses (le cadre du calcul)

Les hypothèses de la question 1 (câble infini, courant continu, etc.) restent valables.
L'espace entre les conducteurs est un isolant parfait (assimilé au vide).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour le calcul littéral, nous utilisons les symboles \(I\), \(\mu_0\) et la variable \(r\). Pour l'exercice "À vous de jouer", les données numériques spécifiques sont :

Courant, \(I = 5 \text{ A}\)
Distance radiale, \(r = 2 \text{ mm} = 2 \times 10^{-3} \text{ m}\)
Perméabilité du vide, \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Vérifiez la continuité du champ à la frontière \(r=R_1\). La formule de la question 1 pour \(r=R_1\) donne \(B(R_1) = \mu_0 I R_1 / (2\pi R_1^2) = \mu_0 I / (2\pi R_1)\). La formule de cette question pour \(r=R_1\) donne \(B(R_1) = \mu_0 I / (2\pi R_1)\). Les résultats coïncident, c'est un signe de cohérence !

Schéma (Avant les calculs)

Contour d'Ampère pour \(R_1 < r < R_2\)

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Application du théorème

B(r) \cdot (2\pi r) = \mu_0 I

Étape 2 : Résolution pour B(r)

B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}

Schéma (Après les calculs)

Profil du champ pour \(R_1 < r < R_2\)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Entre les deux conducteurs, le champ magnétique décroît de manière hyperbolique (en \(1/r\)). C'est le comportement caractéristique du champ créé par un fil infini. L'énergie électromagnétique est confinée et guidée dans cet espace.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Ne soyez pas tenté d'inclure le courant de la gaine tant que votre contour d'Ampère ne l'a pas atteinte. Le champ en un point \(r\) ne dépend que des sources (courants) situées à des distances inférieures à \(r\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Courant enlacé : Une fois un conducteur entièrement englobé, son courant est intégralement compté (\(I_{\text{enlacé}} = I\)).
Comportement du champ : Le champ décroît en \(1/r\), comme pour un fil infini.
Continuité : La valeur du champ est continue à la traversée de la surface \(r=R_1\).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

L'impédance caractéristique d'un câble coaxial, une de ses propriétés les plus importantes pour la transmission de signaux, dépend directement des rayons \(R_1\) et \(R_2\) et des propriétés de l'isolant entre eux. La maîtrise de ce champ est donc cruciale pour la conception.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Pour \(R_1 < r < R_2\), le champ magnétique est donné par : \(B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Avec les données de l'énoncé, que vaut le champ magnétique à \(r = 2 \text{ mm}\) ?

Question 3 : Champ magnétique pour \(R_2 < r < R_3\)

Principe (le concept physique)

Dans cette région, le contour d'Ampère se trouve à l'intérieur de la gaine conductrice. Il enlace donc la totalité du courant de l'âme (\(+I\)) ainsi qu'une fraction du courant de retour (\(-I\)) qui circule dans la gaine. Le calcul du champ nécessite de déterminer précisément cette fraction de courant de retour.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

Le courant de retour \(-I\) est uniformément réparti sur une section annulaire (en forme de "donut") d'aire \(S_{\text{gaine}} = \pi(R_3^2 - R_2^2)\). La densité de courant dans la gaine est \(J_{\text{gaine}} = -I / S_{\text{gaine}}\). Le courant de la gaine enlacé par un contour de rayon \(r\) est le produit de \(J_{\text{gaine}}\) par l'aire de l'anneau compris entre \(R_2\) et \(r\), soit \(S_{\text{partiel}} = \pi(r^2 - R_2^2)\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

C'est le cas le plus délicat. Décomposez le problème : \(I_{\text{enlacé total}} = I_{\text{enlacé par l'âme}} + I_{\text{enlacé par la gaine}}\). Le premier terme est simple (\(+I\)), le second demande un calcul de proportionnalité sur des aires annulaires. Soyez méthodique.

Normes (la référence réglementaire)

Ce calcul est une application plus fine du théorème d'Ampère, démontrant sa puissance pour traiter des distributions de courant non triviales, à condition que la symétrie soit préservée.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du courant partiel dans la gaine

\begin{aligned} I_{\text{gaine, partiel}} &= (-I) \frac{\text{Surface de l'anneau } (R_2, r)}{\text{Surface totale de l'anneau } (R_2, R_3)} \\ &= -I \frac{\pi(r^2 - R_2^2)}{\pi(R_3^2 - R_2^2)} \end{aligned}

Formule du courant total enlacé

\begin{aligned} I_{\text{enlacé}} &= I + I_{\text{gaine, partiel}} \\ &= I \left( 1 - \frac{r^2 - R_2^2}{R_3^2 - R_2^2} \right) \\ &= I \frac{(R_3^2 - R_2^2) - (r^2 - R_2^2)}{R_3^2 - R_2^2} \\ &= I \frac{R_3^2 - r^2}{R_3^2 - R_2^2} \end{aligned}

Hypothèses (le cadre du calcul)

En plus des hypothèses précédentes, on suppose que la densité de courant est aussi uniforme dans la gaine.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour le calcul littéral, nous utilisons les symboles \(I, R_2, R_3, \mu_0\) et la variable \(r\). Pour l'exercice "À vous de jouer", les données numériques spécifiques sont :

Courant, \(I = 5 \text{ A}\)
Rayon interne gaine, \(R_2 = 3 \text{ mm} = 3 \times 10^{-3} \text{ m}\)
Rayon externe gaine, \(R_3 = 4 \text{ mm} = 4 \times 10^{-3} \text{ m}\)
Distance radiale, \(r = 3.5 \text{ mm} = 3.5 \times 10^{-3} \text{ m}\)
Perméabilité du vide, \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

Testez encore les limites ! Pour \(r=R_2\), le terme \(\frac{r^2 - R_2^2}{...}\) est nul, \(I_{\text{enlacé}} = I\), et on doit retrouver la formule de la question 2. Pour \(r=R_3\), le terme vaut 1, \(I_{\text{enlacé}} = I(1-1)=0\), ce qui annonce un champ nul à l'extérieur.

Schéma (Avant les calculs)

Contour d'Ampère pour \(R_2 < r < R_3\)

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Application du théorème d'Ampère

B(r) \cdot (2\pi r) = \mu_0 I \frac{R_3^2 - r^2}{R_3^2 - R_2^2}

Étape 2 : Résolution pour B(r)

B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \left( \frac{R_3^2 - r^2}{R_3^2 - R_2^2} \right)

Schéma (Après les calculs)

Profil du champ pour \(R_2 < r < R_3\)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

À l'intérieur de la gaine, le champ magnétique continue de décroître. Le courant de retour, de sens opposé, "érode" progressivement l'effet du courant central, jusqu'à l'annuler complètement lorsque \(r=R_3\).

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur classique est de mal calculer l'aire de l'anneau. C'est bien \(\pi(r_{\text{ext}}^2 - r_{\text{int}}^2)\), et non \(\pi(r_{\text{ext}} - r_{\text{int}})^2\). Soyez également très rigoureux avec les signes des courants.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Superposition : Le courant enlacé est la somme des contributions de chaque conducteur.
Courant annulaire : Le courant dans une section annulaire est proportionnel à \(r^2 - R_{\text{int}}^2\).
Annulation : Le champ devient nul à la surface externe de la gaine (\(r=R_3\)).

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les applications de forte puissance, la gestion de la chaleur due à l'effet Joule (\(P=RI^2\)) dans la gaine est un enjeu de conception majeur. La densité de courant doit être limitée pour éviter la surchauffe.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Pour \(R_2 < r < R_3\), le champ magnétique est : \(B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \left( \frac{R_3^2 - r^2}{R_3^2 - R_2^2} \right)\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Avec les données de l'énoncé, que vaut le champ magnétique à \(r=3.5 \text{ mm}\) ?

Question 4 : Champ magnétique pour \(r > R_3\)

Principe (le concept physique)

Pour un point situé à l'extérieur du câble, le contour d'Ampère de rayon \(r > R_3\) enlace la totalité des deux conducteurs. Il faut donc sommer algébriquement le courant de l'âme (\(+I\)) et celui de la gaine (\(-I\)).

Mini-Cours (approfondissement théorique)

C'est le principe du blindage ampérienPropriété d'une structure coaxiale où le champ magnétique externe est nul car les courants aller et retour s'annulent.. Lorsqu'un conducteur de retour entoure complètement le conducteur aller, leurs champs magnétiques externes se superposent et s'annulent exactement. Le courant total enlacé par tout contour extérieur est nul, ce qui implique un champ magnétique externe nul.

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Faites très attention aux signes des courants ! L'orientation du contour d'Ampère (par exemple, sens trigonométrique) définit quel sens de courant est positif. Ici, si le courant de l'âme est \(+I\), celui de la gaine, qui circule en sens inverse, est nécessairement \(-I\).

Normes (la référence réglementaire)

Ce résultat est une conséquence directe du théorème d'Ampère et du principe de superpositionLe champ total créé par plusieurs sources est la somme vectorielle des champs créés par chaque source individuelle.. Il est fondamental pour la compatibilité électromagnétique (CEM)Discipline visant à ce que les appareils électroniques fonctionnent sans générer ni subir de perturbations électromagnétiques., qui vise à s'assurer que les appareils électroniques ne se perturbent pas mutuellement.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Formule du Théorème d'Ampère

B(r) \cdot (2\pi r) = \mu_0 I_{\text{enlacé}}

Formule du courant total enlacé

\begin{aligned} I_{\text{enlacé}} &= I_{\text{âme}} + I_{\text{gaine}} \\ &= (+I) + (-I) \\ &= 0 \end{aligned}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que le courant de retour est exactement égal au courant aller, ce qui est le cas dans un circuit fermé simple.

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Aucune valeur numérique n'est nécessaire pour ce calcul, le résultat est littéralement nul quelle que soit la valeur de \(I\).

Astuces (Pour aller plus vite)

Dès que vous voyez une géométrie coaxiale avec des courants aller-retour égaux, vous pouvez conclure immédiatement que le champ externe est nul sans même poser le calcul. C'est la fonction première de ce type de câble.

Schéma (Avant les calculs)

Contour d'Ampère pour \(r > R_3\)

Calcul(s) (l'application numérique)

Étape 1 : Application du théorème

B(r) \cdot (2\pi r) = \mu_0 \cdot 0

Étape 2 : Résolution pour B(r)

\[ B(r) = 0 \]

Schéma (Après les calculs)

Profil du champ pour \(r > R_3\)

Réflexions (l'interprétation du résultat)

Le champ magnétique à l'extérieur d'un câble coaxial idéal est rigoureusement nul. C'est cette propriété de confinement qui le rend si efficace pour transporter des signaux sans perturber son environnement et sans être perturbé par lui.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

Attention, ce résultat n'est vrai que si les courants sont parfaitement égaux et opposés et si le câble est parfaitement cylindrique. Dans la réalité, de légers défauts peuvent créer un petit champ de fuite.

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Courant enlacé total : La somme des courants aller et retour est nulle (\(I_{\text{total}} = I - I = 0\)).
Champ externe : Le champ magnétique à l'extérieur d'un coaxial parfait est nul.
Principe de blindage : C'est l'application directe du blindage ampérien.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Le concept de confinement du champ a été développé par le mathématicien et physicien anglais Oliver Heaviside en 1880, qui a été le premier à analyser la propagation des ondes électromagnétiques dans les câbles coaxiaux.

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Pour \(r > R_3\), le champ magnétique est nul : \(B(r) = 0\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Un second câble est placé à côté du coaxial. Subira-t-il une force magnétique due au coaxial ?

Question 5 : Calcul du champ magnétique maximal

Principe (le concept physique)

Le champ magnétique n'est pas constant, il varie avec la distance \(r\). Pour trouver son maximum, il faut étudier les variations de la fonction \(B(r)\) sur l'ensemble des régions que nous avons calculées.

Mini-Cours (approfondissement théorique)

L'étude de fonction est un outil mathématique standard. On analyse le comportement de \(B(r)\) dans chaque intervalle :

Pour \(r < R_1\), \(B(r) \propto r\), la fonction est croissante.
Pour \(R_1 < r < R_2\), \(B(r) \propto 1/r\), la fonction est décroissante.

Le maximum est donc nécessairement atteint à la jonction de ces deux régions, c'est-à-dire en \(r=R_1\).

Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)

Quand une fonction est définie par morceaux, son maximum global est soit un maximum local à l'intérieur d'un intervalle, soit la valeur à l'une des bornes. Ici, les fonctions sont monotones sur chaque intervalle, le maximum est donc forcément à une borne. La logique physique (croissance puis décroissance) suffit à l'identifier.

Normes (la référence réglementaire)

Pas de norme spécifique, il s'agit d'une analyse mathématique appliquée à un résultat physique.

Formule(s) (l'outil mathématique)

Expression du champ maximal

B_{\text{max}} = B(r=R_1) = \frac{\mu_0 I}{2\pi R_1}

Hypothèses (le cadre du calcul)

On suppose que les fonctions calculées sont continues aux frontières, ce que nous avons vérifié. Cela garantit que le maximum n'est pas infini et qu'il est bien atteint en \(r=R_1\).

Donnée(s) (les chiffres d'entrée)

Pour le calcul numérique du champ maximal et pour l'exercice "À vous de jouer", les données de l'énoncé sont utilisées :

Courant, \(I = 5 \text{ A}\)
Rayon de l'âme, \(R_1 = 1 \text{ mm} = 1 \times 10^{-3} \text{ m}\)
Perméabilité du vide, \(\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}\)

Astuces (Pour aller plus vite)

La formule \(B = \frac{\mu_0 I}{2\pi R}\) est celle d'un fil infini mesurée à sa surface. C'est logique : à la surface de l'âme (\(r=R_1\)), on est au plus près de la totalité du courant \(I\), c'est donc là que son influence est la plus forte.

Schéma (Avant les calculs)

Allure du champ B(r) et position du maximum

Calcul(s) (l'application numérique)

Calcul de la valeur maximale

\begin{aligned} B_{\text{max}} &= \frac{(4\pi \times 10^{-7} \text{ T} \cdot \text{m/A}) \cdot (5 \text{ A})}{2\pi \cdot (1 \times 10^{-3} \text{ m})} \\ &= \frac{2 \times 10^{-7} \cdot 5}{10^{-3}} \text{ T} \\ &= 10 \times 10^{-4} \text{ T} \\ &= 1000 \times 10^{-6} \text{ T} \\ &= 1000 \text{ µT} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Allure du champ B(r) avec valeur maximale

Réflexions (l'interprétation du résultat)

La valeur de 1000 µT (ou 1 mT) est un champ magnétique non négligeable, comparable à celui d'un petit aimant. Il est concentré à la surface du fil central et décroît rapidement ensuite. C'est ce champ intense qui est responsable du stockage de l'énergie magnétique dans le câble.

Points de vigilance (les erreurs à éviter)

L'erreur la plus fréquente est la conversion d'unités. Le rayon \(R_1\) doit impérativement être converti en mètres, unité du Système International, pour être cohérent avec les unités de \(\mu_0\).

Points à retenir (permettre a l'apprenant de maitriser la question)

Localisation du maximum : Le champ B est maximal à la surface du conducteur intérieur (\(r=R_1\)).
Analyse qualitative : L'étude du sens de variation (croissant puis décroissant) suffit à trouver la position du maximum.
Conversion d'unités : Toujours travailler dans le Système International (mètres, ampères, teslas) pour les applications numériques.

Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)

Dans les applications de forte puissance comme l'IRM (Imagerie par Résonance Magnétique), on utilise des câbles supraconducteurs qui peuvent transporter des courants des centaines de fois plus élevés. Le champ magnétique à la surface du conducteur peut alors atteindre plusieurs teslas, des valeurs énormes !

FAQ (pour lever les doutes)

Résultat Final (la conclusion chiffrée)

Le champ magnétique maximal vaut \(B_{\text{max}} = 1000 \text{ µT}\) et est atteint en \(r = R_1 = 1 \text{ mm}\).

A vous de jouer (pour verifier la comprehension de l'etudiant)

Si on double le rayon de l'âme (\(R_1 = 2 \text{ mm}\)) sans changer le courant, que devient le champ maximal ?

Outil Interactif : Simulateur de Champ Magnétique

Utilisez le slider ci-dessous pour faire varier la distance radiale \(r\) et observer l'évolution du champ magnétique \(B(r)\) calculé à partir des formules établies. Le graphique montre le profil du champ dans toutes les régions du câble.

Paramètres d'Entrée

Distance radiale \(r\) (mm) 2.0 mm

Courant \(I\) (A) 5.0 A

Résultats Clés

Région -

Champ Magnétique \(B(r)\) (µT) -

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Comment varie le champ magnétique à l'intérieur du conducteur central (\(r < R_1\))?

Il est constant.
Il augmente linéairement avec r.
Il diminue en 1/r.

2. Quel est le courant total enlacé par un contour d'Ampère de rayon \(r > R_3\)?

I
-I
0

3. Où le champ magnétique est-il maximal ?

À la surface de l'âme (\(r=R_1\)).
Au centre du câble (\(r=0\)).
À la surface de la gaine (\(r=R_3\)).

Théorème d'Ampère: Loi fondamentale de l'électromagnétisme qui relie le champ magnétique à sa source, le courant électrique.
Symétrie Cylindrique: Une situation où les propriétés physiques ne changent pas si l'on effectue une rotation autour d'un axe. Cela simplifie grandement les calculs.
Perméabilité du vide (\(\mu_0\)): Constante physique qui décrit la capacité du vide à "laisser passer" les lignes de champ magnétique.