Conservation du Quadrivecteur Énergie-Impulsion
Comprendre la Conservation du Quadrivecteur Énergie-Impulsion
En relativité restreinte, l'énergie et l'impulsion (quantité de mouvement) ne sont pas conservées séparément lors d'un changement de référentiel inertiel. Elles sont les composantes d'un même objet mathématique : le quadrivecteur énergie-impulsion (ou quadri-impulsion). Ce vecteur à quatre dimensions, noté \(p^\mu\), s'écrit \(p^\mu = (E/c, \vec{p})\), où \(E\) est l'énergie totale de la particule et \(\vec{p}\) est son vecteur impulsion classique à trois dimensions.
Le postulat fondamental est que, dans toute interaction ou désintégration, le quadrivecteur énergie-impulsion total du système est conservé. Cela signifie que la somme des quadrivecteurs des particules avant l'événement est égale à la somme des quadrivecteurs des particules après. Cette unique loi de conservation unifie et remplace les lois de conservation de l'énergie et de l'impulsion de la mécanique classique, fournissant un outil extrêmement puissant pour analyser la cinématique des réactions à haute énergie.
Données de l'étude
- Masse du Kaon neutre (\(m_{K}\)) : \(497.6 \, \text{MeV}/c^2\)
- Masse du pion chargé (\(m_{\pi}\)) : \(139.6 \, \text{MeV}/c^2\) (les masses de \(\pi^+\) et \(\pi^-\) sont identiques).
Schéma : Désintégration d'un Kaon au Repos
Questions à traiter
- Écrire le quadrivecteur énergie-impulsion \(p^\mu_{K}\) du kaon avant sa désintégration, dans son propre référentiel (au repos).
- Écrire les quadrivecteurs \(p^\mu_{\pi^+}\) et \(p^\mu_{\pi^-}\) des deux pions après la désintégration en termes de leurs énergies \(E_{\pi}\) et de leurs vecteurs impulsion \(\vec{p}_{\pi^+}\) et \(\vec{p}_{\pi^-}\).
- Appliquer la loi de conservation du quadrivecteur énergie-impulsion à cette désintégration.
- De la conservation de la partie spatiale (l'impulsion), déduire la relation entre \(\vec{p}_{\pi^+}\) et \(\vec{p}_{\pi^-}\), ainsi que la relation entre leurs normes.
- De la conservation de la partie temporelle (l'énergie), calculer l'énergie totale \(E_{\pi}\) de chaque pion produit. (Note : comme leurs masses sont égales et leurs impulsions de même norme, leurs énergies seront égales).
- En utilisant la relation relativiste \(E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2\), calculer la norme de l'impulsion \(|p_{\pi}|\) de chaque pion en \(MeV/c\).
Correction : Conservation du Quadrivecteur Énergie-Impulsion
Question 1 : Quadrivecteur du Kaon Initial
Principe :
Le quadrivecteur énergie-impulsion s'écrit \(p^\mu = (E/c, \vec{p})\). Pour une particule de masse \(m_K\) au repos, son impulsion \(\vec{p}\) est nulle et son énergie totale \(E\) est son énergie de masse au repos, \(E = m_K c^2\).
Calcul :
Question 2 : Quadrivecteurs des Pions Finaux
Principe :
Après la désintégration, les deux pions sont en mouvement. Leurs quadrivecteurs s'écrivent donc sous la forme générale, avec une énergie totale \(E_{\pi}\) (qui inclut l'énergie cinétique) et un vecteur impulsion non nul \(\vec{p}_{\pi}\).
Formules :
Par symétrie (masses égales), on s'attend à ce que \(E_{\pi^+} = E_{\pi^-} = E_{\pi}\).
Question 3 : Loi de Conservation
Principe :
La conservation du quadrivecteur énergie-impulsion signifie que le quadrivecteur total avant l'interaction est égal au quadrivecteur total après.
Équation :
Question 4 : Conservation de l'Impulsion
Principe :
La conservation de la partie spatiale du quadrivecteur (les 3 dernières composantes) correspond à la conservation de l'impulsion.
Analyse :
En égalant les composantes spatiales de l'équation de conservation :
Cela signifie que les deux pions sont émis dans des directions exactement opposées. En prenant la norme de cette équation vectorielle, on obtient :
Les normes de leurs impulsions sont donc égales. Notons cette norme commune \(p_{\pi}\).
Question 5 : Conservation de l'Énergie
Principe :
La conservation de la partie temporelle du quadrivecteur (la première composante) correspond à la conservation de l'énergie.
Analyse et Calcul :
En égalant les composantes temporelles de l'équation de conservation :
Comme les masses et les normes d'impulsion des deux pions sont égales, leurs énergies totales le sont aussi : \(E_{\pi^+} = E_{\pi^-} = E_{\pi}\).
Question 6 : Calcul de la Norme de l'Impulsion (\(p_{\pi}\))
Principe :
On utilise la relation fondamentale entre l'énergie relativiste, l'impulsion et la masse au repos : \(E^2 = (pc)^2 + (m_0c^2)^2\). En isolant le terme d'impulsion \(pc\), on peut le calculer.
Calcul :
L'impulsion de chaque pion est donc de \(p_{\pi} \approx 205.9 \, \text{MeV}/c\).
Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)
1. Le quadrivecteur énergie-impulsion d'une particule au repos est :
2. La conservation du quadrivecteur énergie-impulsion dans une interaction implique :
3. Dans la désintégration à deux corps d'une particule initialement au repos, les deux particules filles :
Glossaire
- Quadrivecteur Énergie-Impulsion
- Vecteur à quatre dimensions de l'espace-temps de Minkowski qui combine l'énergie totale (\(E\)) et l'impulsion tridimensionnelle (\(\vec{p}\)) d'un objet. Sa conservation est un principe fondamental de la physique relativiste.
- Masse au Repos (\(m_0\))
- La masse d'un objet mesurée dans son propre référentiel, où il est immobile. C'est une quantité invariante, indépendante du référentiel de l'observateur.
- Énergie de masse au repos (\(E_0\))
- L'énergie intrinsèque d'une particule due à sa masse, donnée par \(E_0 = m_0 c^2\).
- Énergie totale relativiste (\(E\))
- La somme de l'énergie de masse au repos et de l'énergie cinétique d'une particule en mouvement. Elle est donnée par \(E = \gamma m_0 c^2\).
- Désintégration (de particule)
- Processus par lequel une particule subatomique instable se transforme en d'autres particules plus légères. La masse "perdue" lors de ce processus est convertie en énergie cinétique des produits.
D’autres exercices de Rélativité:
0 commentaires