Détente de Joule-Thomson et Coefficient

Contexte : Le processus de Joule-ThomsonUne détente adiabatique d'un fluide à travers une vanne ou un bouchon poreux, sans production de travail extérieur..

La détente de Joule-Thomson (ou Joule-Kelvin) est un processus fondamental en thermodynamique, particulièrement important pour la liquéfaction des gaz et la réfrigération. Elle décrit la variation de température d'un gaz "réel" lorsqu'il est forcé de passer d'une haute pression à une basse pression à travers une restriction (comme une vanne ou un bouchon poreux), dans des conditions adiabatiques.

Contrairement à un gaz parfaitUn modèle théorique où les particules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas. Sa température ne change pas lors d'une détente de Joule-Thomson. (dont la température resterait constante), un gaz réel subit une variation de température due aux forces intermoléculaires. Cet exercice vise à quantifier cet effet à l'aide du coefficient de Joule-ThomsonNoté $\mu_{JT}$, il mesure le changement de température par unité de changement de pression lors d'un processus isenthalpique. $\mu_{JT} = (\partial T / \partial P)_H$..

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à appliquer les principes de la thermodynamique des gaz réels pour calculer une propriété non idéale ($\mu_{JT}$) et prédire le comportement d'un fluide dans un processus industriel courant.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre la nature isenthalpiqueSignifie "à enthalpie constante" ($H = \text{constante}$). C'est la caractéristique clé de la détente de Joule-Thomson. du processus.
Définir et savoir exprimer le coefficient de Joule-Thomson ($\mu_{JT}$).
Appliquer une équation d'état de gaz réel (van der Waals) pour dériver $\mu_{JT}$.
Calculer numériquement $\mu_{JT}$ et estimer une variation de température.

Données de l'étude

On étudie la détente de Joule-Thomson d'une mole d'azote (N₂), considéré comme un gaz de van der Waals, d'un état initial ($P_1$, $T_1$) à un état final ($P_2$).

Fiche Technique

Caractéristique	Valeur
Fluide	Azote (N₂)
Modèle de gaz	Gaz de van der Waals
Processus	Détente de Joule-Thomson (isenthalpique)

Schéma Amélioré du Dispositif de Joule-Thomson

Paramètre	Description	Valeur	Unité
$P_1$	Pression initiale	100	bar
$T_1$	Température initiale	300	K
$P_2$	Pression finale	1	bar
$C_{p,m}$	Capacité thermique mol. (press. const.)	29.1	J·mol⁻¹·K⁻¹
$a$	Constante de van der Waals (N₂)	0.137	Pa·m⁶·mol⁻²
$b$	Constante de van der Waals (N₂)	3.87 × 10⁻⁵	m³·mol⁻¹
$R$	Constante des gaz parfaits	8.314	J·mol⁻¹·K⁻¹

Questions à traiter

Définir le coefficient de Joule-Thomson ($\mu_{JT}$). Quelle est la condition sur $\mu_{JT}$ pour qu'un gaz se refroidisse lors de cette détente ?
Démontrer la relation thermodynamique générale : $\mu_{JT} = \frac{1}{C_p} \left[ T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P - V \right]$.
En utilisant l'approximation pour un gaz de van der Waals $V_m \approx \frac{RT}{P} + b - \frac{a}{RT}$, dériver la formule approchée : $\mu_{JT} \approx \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right)$.
Calculer la valeur numérique de $\mu_{JT}$ pour l'azote dans les conditions initiales ($T_1$, $P_1$). Exprimer le résultat en K/bar.
En supposant $\mu_{JT}$ constant pendant la détente, estimer la température finale $T_2$ de l'azote.

Les bases sur la détente de Joule-Thomson

La détente de Joule-Thomson est un processus où un fluide s'écoule d'une région de haute pression vers une région de basse pression à travers une restriction, sans échange de chaleur ($Q=0$) ni de travail ($W=0$) avec l'extérieur. Le bilan énergétique sur le système ouvert (la vanne) en régime permanent montre que l'enthalpieUne fonction d'état $H = U + PV$, représentant l'énergie totale d'un système thermodynamique. massique (ou molaire) reste constante.

1. Processus Isenthalpique ($dH = 0$)
Pour un système ouvert en régime permanent, le premier principe s'écrit : $\Delta H + \Delta E_c + \Delta E_p = Q + W_{\text{utile}}$. Dans ce dispositif, $Q=0$ (adiabatique), $W_{\text{utile}}=0$, et on néglige les variations d'énergie cinétique ($\Delta E_c \approx 0$) et potentielle ($\Delta E_p \approx 0$). Il reste donc : \[ H_2 - H_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad H = \text{constante} \] C'est la caractéristique fondamentale de ce type de détente : elle se produit à enthalpie constante.

2. Le coefficient de Joule-Thomson ($\mu_{JT}$)
Ce coefficient mesure la variation de température résultant d'une variation de pression à enthalpie constante. Il est défini par la dérivée partielle : \[ \mu_{JT} = \left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_H \] Il quantifie la pente des courbes isenthalpiques dans un diagramme T-P. Pour un gaz parfait, $\mu_{JT} = 0$. Pour un gaz réel, son signe dépend de la température, de la pression et de la nature du gaz (forces intermoléculaires), déterminant s'il se refroidit ou s'échauffe lors de la détente. Il ne s'annule que pour les gaz parfaits (ou les gaz réels à la température d'inversionLa température $T_i$ à laquelle $\mu_{JT} = 0$. Au-dessus, le gaz s'échauffe ($\mu_{JT} < 0$), en-dessous, il se refroidit ($\mu_{JT} > 0$).).

Correction : Détente de Joule-Thomson et Coefficient $\mu_{JT}$

Question 1 : Définir le coefficient de Joule-Thomson ($\mu_{JT}$) et la condition de refroidissement.

Principe

Le coefficient de Joule-Thomson, $\mu_{JT}$, est une propriété thermodynamique d'un fluide qui décrit comment sa température change lorsque sa pression change pendant un processus à enthalpie constante (isenthalpique). C'est une mesure de l'écart du comportement du fluide par rapport à un gaz parfait lors d'une telle détente.

Mini-Cours

La détente de Joule-Thomson, typiquement réalisée en faisant passer un fluide sous pression à travers une valve ou un bouchon poreux sans échange de chaleur ni travail externe, est un processus fondamentalement isenthalpique ($H = \text{constante}$). La pression finale $P_2$ est toujours inférieure à la pression initiale $P_1$, donc la variation de pression $\Delta P = P_2 - P_1$ est négative. Le signe de la variation de température $\Delta T = T_2 - T_1$ dépend alors du signe de $\mu_{JT}$ dans les conditions de l'expérience.

Remarque Pédagogique

Ne pas confondre avec une détente adiabatique réversible (isentropique, $dS=0$), où le gaz produit du travail ($W \ne 0$) et où la température baisse généralement davantage. L'effet Joule-Thomson est dû aux interactions intermoléculaires et au volume propre des molécules (non idéalité).

Formule(s)

Définition de $\mu_{JT}$

\mu_{JT} = \left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_H

Mathématiquement, $\mu_{JT}$ est la dérivée partielle de la température par rapport à la pression, maintenue à enthalpie constante. Géométriquement, c'est la pente des courbes isenthalpiques dans un diagramme Température-Pression (T-P).

Calcul (Analyse de Signes)

Pour une petite détente finie, on peut approximer la variation de température par $\Delta T \approx \mu_{JT} \cdot \Delta P$.
Sachant que :

Pour une détente : $\Delta P = P_2 - P_1 < 0$
Pour un refroidissement : $\Delta T = T_2 - T_1 < 0$

Pour que le produit $\mu_{JT} \cdot \Delta P$ soit négatif ($\Delta T < 0$) alors que $\Delta P$ est négatif, il faut impérativement que $\mu_{JT}$ soit positif :

\underbrace{\Delta T}_{<0} \approx \underbrace{\mu_{JT}}_{?} \times \underbrace{\Delta P}_{<0} \quad \implies \quad \mu_{JT} > 0

Donc, la condition pour qu'un gaz se refroidisse lors d'une détente de Joule-Thomson est que son coefficient $\mu_{JT}$ soit positif dans les conditions de température et de pression considérées.

Schéma Conceptuel

Le diagramme T-P illustre la signification de $\mu_{JT}$ comme pente et la zone de refroidissement.

Courbe Isenthalpique et Pente $\mu_{JT}$

Réflexions

Pour les applications de réfrigération ou de liquéfaction utilisant cet effet, il est essentiel d'opérer dans des conditions ($T$, $P$) où $\mu_{JT}$ est positif. La courbe d'inversion délimite cette région favorable. Si la température initiale est trop élevée ($T > T_{inversion}$), le gaz s'échauffera ($\mu_{JT} < 0$) lors de la détente, ce qui est contre-productif pour le refroidissement.

Points de vigilance

Ne pas supposer qu'une détente conduit toujours à un refroidissement. Pour les gaz réels, si $T > T_{\text{inversion}}$, alors $\mu_{JT} < 0$ et le gaz s'échauffe lors de la détente Joule-Thomson ($\Delta T > 0$). Ne pas confondre non plus $\mu_{JT}$ avec le coefficient de compressibilité isotherme ou le coefficient de dilatation isobare.

Points à retenir

Joule-Thomson = Isenthalpique ($dH = 0$).
$\mu_{JT} = (\partial T / \partial P)_H$.
Refroidissement si $\mu_{JT} > 0$.

Résultat Final

Le coefficient de Joule-Thomson est $\mu_{JT} = \left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_H$. Un gaz se refroidit lors d'une détente ($\Delta P < 0$) si et seulement si $\mu_{JT} > 0$.

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q1 : Définition $\mu_{JT}$, condition $\mu_{JT} > 0$ pour refroidissement.

Question 2 : Démontrer la relation : $\mu_{JT} = \frac{1}{C_p} \left[ T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P - V \right]$.

Principe

Le but est d'exprimer $\mu_{JT} = (\partial T / \partial P)_H$ en termes de grandeurs plus facilement accessibles (comme $C_p$, $V$, $T$ et le coefficient de dilatation isobare $\alpha = \frac{1}{V}(\partial V / \partial T)_P$). On partira de la différentielle totale de l'enthalpie $H(T, P)$ et on utilisera la condition $dH=0$.

Mini-Cours

La démonstration s'appuie sur des outils mathématiques (différentielles totales, règle de la chaîne implicite) et des relations fondamentales de la thermodynamique :
1. La différentielle de l'enthalpie : $dH = TdS + VdP$.
2. La définition de la capacité thermique à pression constante : $C_p = (\partial H / \partial T)_P = T (\partial S / \partial T)_P$.
3. Une relation de Maxwell, issue de l'égalité des dérivées secondes croisées du potentiel de Gibbs $dG = -SdT + VdP$ : $(\partial S / \partial P)_T = - (\partial V / \partial T)_P$. Ces relations permettent de manipuler les dérivées partielles pour passer d'une expression à une autre.

Remarque Pédagogique

Cette démonstration est un exercice classique d'application des relations thermodynamiques. L'objectif est de substituer les grandeurs "difficiles" comme $(\partial H / \partial P)_T$ par des expressions impliquant $V(T,P)$ et ses dérivées. Suivre attentivement les étapes de substitution est la clé.

Normes

Les "normes" ici sont les lois de la thermodynamique (Premier Principe, relations entre fonctions d'état) et les règles du calcul différentiel pour les fonctions de plusieurs variables.

Formule(s)

Différentielle totale de H(T, P)

dH = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_P dT + \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T dP

Hypothèses

On suppose que $H$, $S$, $V$, $T$, $P$ sont des fonctions d'état continues et différentiables dans le domaine considéré (pas de transition de phase).

Astuces

Utiliser directement $C_p = (\partial H / \partial T)_P$ simplifie le premier terme de $dH$. Ensuite, il faut trouver une expression pour $(\partial H / \partial P)_T$ en utilisant $dH = TdS + VdP$ et la relation de Maxwell.

Schéma (Avant les calculs)

Le carré thermodynamique est un outil mnémonique utile pour retrouver la relation de Maxwell $(\partial S / \partial P)_T = - (\partial V / \partial T)_P$.

Carré Thermodynamique (Mnémonique Amélioré)

Permet de vérifier : $(\partial S / \partial P)_T = - (\partial V / \partial T)_P$.

Calcul(s)

Étape 1 : Exprimer dH en fonction de dT et dP

On part de la différentielle totale de $H$ vue comme une fonction de $T$ et $P$ : $dH = (\partial H / \partial T)_P dT + (\partial H / \partial P)_T dP$. On remplace le premier terme par sa définition, $C_p$:

dH = C_p dT + \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T dP \quad (*)

Il faut maintenant trouver une autre expression pour $(\partial H / \partial P)_T$.

Étape 2 : Transformer le terme $(\partial H / \partial P)_T$

On utilise la différentielle $dH = TdS + VdP$. En considérant une variation à $T$ constante, on divise par $dP$ :

\left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T = T \left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T + V \quad (**)

Cette équation relie la variation d'enthalpie avec la pression (à T cste) à la variation d'entropie avec la pression (à T cste).

Étape 3 : Utiliser une relation de Maxwell

On utilise la relation de Maxwell $(\partial S / \partial P)_T = - (\partial V / \partial T)_P$ pour remplacer le terme d'entropie dans (**):

\begin{aligned} \left(\frac{\partial H}{\partial P}\right)_T &= T \left( - \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P \right) + V \\ &= V - T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P \end{aligned}

On a ainsi exprimé $(\partial H / \partial P)_T$ uniquement en fonction de $T$, $V$ et de la dérivée du volume par rapport à la température.

Étape 4 : Recombiner pour obtenir dH(T, P)

On injecte l'expression de $(\partial H / \partial P)_T$ trouvée à l'étape 3 dans l'équation (*) de l'étape 1 :

dH = C_p dT + \left[ V - T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P \right] dP

Cette équation exprime la variation totale d'enthalpie $dH$ en fonction des variations de température $dT$ et de pression $dP$.

Étape 5 : Appliquer la condition d'isenthalpie (dH = 0)

Dans le processus de Joule-Thomson, $dH = 0$. L'équation précédente devient :

0 = C_p dT + \left[ V - T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P \right] dP

On réarrange pour isoler le rapport $dT / dP$ lorsque $H$ est constante :

\begin{aligned} C_p dT &= - \left[ V - T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P \right] dP \\ \implies C_p dT &= \left[ T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P - V \right] dP \end{aligned}

En divisant par $dP$ (en supposant $dP \ne 0$) et par $C_p$ (en supposant $C_p \ne 0$), on obtient :

\left(\frac{dT}{dP}\right)_H = \frac{1}{C_p} \left[ T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P - V \right]

Le membre de gauche est exactement la définition de $\mu_{JT}$, ce qui achève la démonstration.

Schéma (Après les calculs)

Ce schéma illustre la relation démontrée, liant $\mu_{JT}$ à $C_p$ et au terme lié à l'expansion thermique.

Relation Générale pour $\mu_{JT}$ (Amélioré)

Points de vigilance

L'erreur la plus fréquente est une erreur de signe lors de l'application de la relation de Maxwell ou lors du réarrangement final pour isoler $dT/dP$. Une autre erreur est de confondre $C_p = (\partial H / \partial T)_P$ avec $C_v = (\partial U / \partial T)_V$.

Points à retenir

La démonstration repose sur l'expression de $dH$ en fonction de $dT$ et $dP$, et l'utilisation d'une relation de Maxwell ($(\partial S / \partial P)_T = - (\partial V / \partial T)_P$).
Le résultat final est une formule générale reliant $\mu_{JT}$ à $C_p$, $V$, $T$ et la dérivée $(\partial V / \partial T)_P$, qui est liée au coefficient de dilatation thermique isobare $\alpha = \frac{1}{V}(\partial V / \partial T)_P$.
Cette formule montre que $\mu_{JT}$ est nul pour un gaz parfait car $T(\partial V / \partial T)_P - V = T(nR/P) - (nRT/P) = 0$.

Le saviez-vous ?

Les relations de Maxwell, découvertes par James Clerk Maxwell, sont un ensemble de quatre équations fondamentales en thermodynamique. Elles découlent du fait que l'ordre des dérivations partielles secondes d'un potentiel thermodynamique (comme U, H, F, G) ne dépend pas de l'ordre de dérivation (théorème de Schwarz). Elles sont extrêmement utiles pour relier des grandeurs difficilement mesurables (comme les dérivées de l'entropie) à des grandeurs mesurables (comme $(\partial V / \partial T)_P$).

FAQ

Questions courantes sur cette démonstration :

Résultat Final

La relation est démontrée : $\mu_{JT} = \left( \frac{\partial T}{\partial P} \right)_H = \frac{1}{C_p} \left[ T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P - V \right]$.

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q2 : Démonstration via $dH(T, P)=0$ et Maxwell.

Question 3 : Dériver $\mu_{JT} \approx \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right)$ avec l'approximation de van der Waals.

Principe

L'objectif est de particulariser la formule générale de $\mu_{JT}$ (démontrée en Q2) au cas d'un gaz de van der Waals, en utilisant l'équation d'état approchée fournie : $V_m \approx \frac{RT}{P} + b - \frac{a}{RT}$. Il faut calculer le terme $ T (\partial V_m / \partial T)_P - V_m $ à partir de cette équation d'état.

Mini-Cours

L'équation d'état $V_m \approx \frac{RT}{P} + b - \frac{a}{RT}$ est une simplification de l'équation de van der Waals $\left(P + \frac{a}{V_m^2}\right)(V_m - b) = RT$. Elle est obtenue par un développement limité et est plus facile à manipuler pour le calcul des dérivées partielles. Elle capture l'essentiel des effets non-idéaux : le terme $b$ représente le covolume (volume propre des molécules), et le terme $a$ représente les forces d'attraction intermoléculaires.

Remarque Pédagogique

Cette étape montre comment un modèle microscopique (van der Waals, avec $a$ et $b$) permet de prédire une propriété macroscopique ($\mu_{JT}$). La physique des interactions moléculaires ($a$, $b$) détermine si le gaz se refroidit ou s'échauffe.

Normes

Les règles de dérivation des fonctions (somme, produit par constante, puissance) sont appliquées ici.

Formule(s)

Expression générale de $\mu_{JT}$

\mu_{JT} = \frac{1}{C_{p,m}} \left[ T \left(\frac{\partial V_m}{\partial T}\right)_P - V_m \right]

Équation d'état approchée (molaire)

V_m(T, P) \approx \frac{RT}{P} + b - \frac{a}{RT}

Hypothèses

On utilise l'équation d'état approchée comme si elle était exacte pour effectuer la dérivation.

Astuces

Lorsqu'on dérive $V_m$ par rapport à $T$ à $P$ constant ($(\partial / \partial T)_P$), $P$ est traité comme une constante. Rappel : la dérivée de $T^{-1}$ par rapport à $T$ est $-T^{-2}$.

Schéma (Avant les calculs)

La stratégie est claire : calculer $(\partial V_m / \partial T)_P$, puis $T(\partial V_m / \partial T)_P$, puis $T(\partial V_m / \partial T)_P - V_m$, et enfin substituer.

Stratégie de Dérivation Améliorée

Calcul(s) avec Explications

Étape 1 : Calculer la dérivée partielle $(\partial V_m / \partial T)_P$

On dérive chaque terme de l'équation $V_m \approx \frac{RT}{P} + b - \frac{a}{RT}$ par rapport à $T$, en traitant $P$ comme une constante :

\begin{aligned} \left(\frac{\partial V_m}{\partial T}\right)_P &= \frac{\partial}{\partial T} \left( \frac{R}{P} T \right)_P + \frac{\partial}{\partial T} (b)_P - \frac{\partial}{\partial T} \left( \frac{a}{R} T^{-1} \right)_P \\ &= \frac{R}{P} \cdot (1) + 0 - \frac{a}{R} \cdot (-1 \cdot T^{-2}) \\ &= \frac{R}{P} + \frac{a}{RT^2} \end{aligned}

La dérivée de $T$ est 1, la dérivée de la constante $b$ est 0, et la dérivée de $T^{-1}$ est $-T^{-2}$.

Étape 2 : Calculer le terme $T (\partial V_m / \partial T)_P$

On multiplie le résultat précédent par $T$ :

\begin{aligned} T \left(\frac{\partial V_m}{\partial T}\right)_P &= T \left( \frac{R}{P} + \frac{a}{RT^2} \right) \\ &= T \frac{R}{P} + T \frac{a}{RT^2} \\ &= \frac{RT}{P} + \frac{a}{RT} \end{aligned}

Le facteur $T$ simplifie le $T^2$ au dénominateur dans le second terme.

Étape 3 : Calculer l'expression complète $ T (\partial V_m / \partial T)_P - V_m $

On soustrait l'expression de $V_m$ de l'équation d'état au résultat de l'étape 2 :

\begin{aligned} T \left(\frac{\partial V_m}{\partial T}\right)_P - V_m &= \left( \frac{RT}{P} + \frac{a}{RT} \right) - \left( \frac{RT}{P} + b - \frac{a}{RT} \right) \\ &= \frac{RT}{P} + \frac{a}{RT} - \frac{RT}{P} - b + \frac{a}{RT} \\ &= \cancel{\frac{RT}{P}} - \cancel{\frac{RT}{P}} + \frac{a}{RT} + \frac{a}{RT} - b \\ &= \frac{2a}{RT} - b \end{aligned}

Les termes en $RT/P$ s'annulent, et les termes en $a/RT$ s'additionnent.

Étape 4 : Substituer dans l'expression de $\mu_{JT}$

On remplace le résultat $\frac{2a}{RT} - b$ dans la formule générale $ \mu_{JT} = \frac{1}{C_{p,m}} [ \dots ] $ :

\mu_{JT} = \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right)

C'est la formule approchée demandée pour le coefficient de Joule-Thomson d'un gaz de van der Waals.

Schéma (Après les calculs)

Le résultat est la formule simplifiée pour $\mu_{JT}$ pour un gaz de van der Waals.

Formule Approchée Obtenue (Amélioré)

Réflexions

Cette formule montre bien la compétition entre les forces attractives (terme $2a/RT$) qui tendent à refroidir le gaz lors de la détente, et le covolume $b$ (répulsion à courte portée) qui tend à l'échauffer. Le refroidissement domine à basse température, l'échauffement à haute température.

Points de vigilance

Ne pas oublier que cette formule découle d'une approximation de l'équation de van der Waals. Elle est généralement valable à des pressions modérées, loin du point critique et de la liquéfaction. Utiliser l'équation complète de van der Waals donnerait une expression plus complexe, dépendant aussi de la pression.

Points à retenir

La formule $\mu_{JT} \approx \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right)$ est un résultat important pour le modèle de van der Waals (approximation basse pression).
Elle permet de prédire le signe de $\mu_{JT}$ et la température d'inversion $T_i = 2a/Rb$.
Le terme $a$ (attraction) favorise le refroidissement, le terme $b$ (répulsion/volume propre) favorise l'échauffement.

Le saviez-vous ?

L'équation de van der Waals, proposée en 1873 par Johannes Diderik van der Waals, fut la première tentative réussie de modéliser le comportement des gaz réels en tenant compte du volume des molécules ($b$) et des forces attractives entre elles ($a$). Elle a permis d'expliquer qualitativement la liquéfaction et le point critique, ce qui lui valut le prix Nobel de physique en 1910.

FAQ

Questions sur cette dérivation :

Résultat Final

La formule approchée pour le coefficient de Joule-Thomson d'un gaz de van der Waals est bien : $\mu_{JT} \approx \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right)$.

A vous de jouer

Quelle est la température d'inversion $T_i$ (en K) pour l'azote, en utilisant la formule $T_i = 2a / (Rb)$ et les données de l'énoncé ? (Arrondir à l'entier le plus proche)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q3 : Dérivation $\mu_{JT} \propto (\frac{2a}{RT} - b)$ via éq. état approchée.

Question 4 : Calculer $\mu_{JT}$ pour l'azote à $T_1 = 300$ K (en K/bar).

Principe

Il s'agit d'appliquer numériquement la formule $\mu_{JT} \approx \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right)$ dérivée à la question 3, en utilisant les valeurs des constantes $a$, $b$, $R$, $C_{p,m}$ pour l'azote et la température donnée $T = 300$ K.

Mini-Cours

La formule obtenue à la question précédente montre que, dans cette approximation, $\mu_{JT}$ dépend principalement de la température $T$. Les termes $a$ (attraction) et $b$ (répulsion) sont des constantes spécifiques au gaz (ici, l'azote). $C_{p,m}$ est également supposé constant. Le calcul consiste donc à évaluer le terme $\frac{2a}{RT} - b$ et à le diviser par $C_{p,m}$.

Remarque Pédagogique

L'étape cruciale ici est la gestion cohérente des unités. Il est fortement recommandé d'effectuer tous les calculs intermédiaires dans le Système International (SI) : Pascals (Pa) pour la pression, mètres cubes (m³) pour le volume, Joules (J) pour l'énergie, Kelvin (K) pour la température, moles (mol). La conversion finale en K/bar se fait à la toute dernière étape.

Normes

Utilisation des unités SI pour la cohérence des calculs physiques. Application des règles de l'arithmétique pour l'évaluation numérique.

Formule(s)

Formule à utiliser

\mu_{JT} \approx \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right)

Donnée(s)

Valeurs à T=300 K:

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité SI
Température	$T$	300	K
Capacité thermique	$C_{p,m}$	29.1	J·mol⁻¹·K⁻¹
Constante vdW a	$a$	0.137	Pa·m⁶·mol⁻²
Constante vdW b	$b$	3.87 × 10⁻⁵	m³·mol⁻¹
Constante gaz parfaits	$R$	8.314	J·mol⁻¹·K⁻¹

Astuces

Faire tous les calculs en unités SI (Pa, m³, J, K, mol) d'abord. Convertir le résultat final de K/Pa en K/bar en multipliant par $10^5$ (car 1 bar = 10⁵ Pa).

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'application numérique.

Application Numérique Améliorée

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer $2a/RT$

\begin{aligned} \frac{2a}{RT} &= \frac{2 \times 0.137}{8.314 \times 300} \frac{\text{Pa·m⁶·mol⁻²}}{\text{J·mol⁻¹}} \\ &\approx 1.0985 \times 10^{-4} \text{ m³·mol⁻¹} \quad (\text{car J = Pa·m³}) \end{aligned}

Étape 2 : Calculer $(2a/RT - b)$

\begin{aligned} \left( \frac{2a}{RT} - b \right) &= (1.0985 \times 10^{-4}) - (3.87 \times 10^{-5}) \text{ m³·mol⁻¹} \\ &= (1.0985 - 0.387) \times 10^{-4} \\ &\approx 0.7115 \times 10^{-4} \text{ m³·mol⁻¹} \end{aligned}

Étape 3 : Calculer $\mu_{JT}$ en K/Pa

\begin{aligned} \mu_{JT} &= \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right) \\ &= \frac{1}{29.1 \text{ J·mol⁻¹·K⁻¹}} \times (0.7115 \times 10^{-4} \text{ m³·mol⁻¹}) \\ &\approx 2.445 \times 10^{-6} \frac{\text{K}}{\text{J/m³}} \quad (\text{car mol⁻¹ s'annule}) \\ &\approx 2.445 \times 10^{-6} \text{ K/Pa} \quad (\text{car J/m³ = Pa}) \end{aligned}

Étape 4 : Conversion en K/bar

Comme $1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}$, on multiplie par $10^5$:

\begin{aligned} \mu_{JT} &= (2.445 \times 10^{-6} \text{ K/Pa}) \times (10^5 \text{ Pa/bar}) \\ &\approx 0.245 \text{ K/bar} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Le calcul donne la valeur numérique de la pente à 300K.

Résultat Numérique pour $\mu_{JT}$ à 300K (Amélioré)

Réflexions

La valeur positive confirme notre attente (300 K < Tᵢ ≈ 850 K). Ce chiffre quantifie le taux de refroidissement par bar de détente pour l'azote dans ces conditions : environ 0.245 Kelvin de baisse de température pour chaque bar de pression perdu.

Points de vigilance

La principale difficulté est la gestion rigoureuse des unités SI (Pa, m³, J, K, mol) tout au long du calcul, en utilisant notamment $J = Pa \cdot m^3$. La conversion finale en K/bar ($\times 10^5$) doit être effectuée sans erreur de puissance de 10. Vérifier l'ordre de grandeur : $\mu_{JT}$ est souvent de l'ordre de 0.1 à 1 K/bar pour de nombreux gaz dans des conditions usuelles de refroidissement.

Points à retenir

La conversion $1 \text{ J} = 1 \text{ Pa} \cdot \text{m³}$ est essentielle pour l'homogénéité dimensionnelle.
La conversion $1 \text{ bar} = 10^5 \text{ Pa}$ est nécessaire pour obtenir le résultat dans l'unité usuelle.
Le signe positif ($+0.245$ K/bar) confirme un refroidissement pour l'azote à 300 K lors d'une détente Joule-Thomson.
Dans cette approximation, le résultat ne dépend pas de la pression initiale $P_1$.

Le saviez-vous ?

Les valeurs expérimentales de $\mu_{JT}$ pour l'azote à 300 K varient légèrement avec la pression. À 1 bar, elle est d'environ 0.21 K/bar, tandis qu'à 100 bar, elle monte à environ 0.25 K/bar. Notre calcul (0.245 K/bar), bien que basé sur une approximation, donne donc un ordre de grandeur très correct, surtout à haute pression.

FAQ

Questions sur ce calcul :

Résultat Final

Le coefficient de Joule-Thomson de l'azote à 300 K est $\mu_{JT} \approx 0.245$ K/bar.

A vous de jouer

Recalculez $\mu_{JT}$ (en K/bar) si la température initiale était $T_1 = 600 \text{ K}$ (Arrondir à 3 décimales).

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q4 : Calcul numérique $\mu_{JT}(300K) \approx 0.245$ K/bar.

Question 5 : Estimer la température finale $T_2$ de l'azote.

Principe

On utilise la définition du coefficient de Joule-Thomson pour estimer la variation totale de température $\Delta T$ lors de la détente de $P_1$ à $P_2$. L'approximation clé consiste à supposer que $\mu_{JT}$ reste constant pendant toute la détente et égal à la valeur calculée à la température initiale $T_1$.

Mini-Cours

Puisque $\mu_{JT} = (\partial T / \partial P)_H$, pour une variation finie de pression $\Delta P = P_2 - P_1$ à enthalpie constante, la variation de température est donnée par l'intégrale : $\Delta T = T_2 - T_1 = \int_{P_1}^{P_2} \mu_{JT}(T, P) dP$. Si on fait l'approximation que $\mu_{JT}$ est constant et égal à sa valeur en $T_1$, l'intégrale devient une simple multiplication : $\Delta T \approx \mu_{JT}(T_1) \times (P_2 - P_1)$.

Remarque Pédagogique

Cette approximation est raisonnable si la variation de température $\Delta T$ n'est pas trop grande, car $\mu_{JT}$ dépend de la température. Si $\Delta T$ est important, la valeur réelle de $T_2$ pourrait différer notablement de cette estimation. C'est néanmoins une première approche utile.

Normes

Application de l'intégration (simplifiée par l'hypothèse de constance) pour calculer une variation d'état finie à partir d'une dérivée partielle.

Formule(s)

Formule d'estimation

T_2 \approx T_1 + \mu_{JT} \cdot (P_2 - P_1)

Hypothèses

Hypothèse principale : $\mu_{JT}$ est constant pendant la détente et égal à la valeur calculée à $T_1 = 300$ K ($\approx 0.245$ K/bar). Le processus est parfaitement isenthalpique.

Donnée(s)

Valeurs pertinentes :

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Température initiale	$T_1$	300	K
Pression initiale	$P_1$	100	bar
Pression finale	$P_2$	1	bar
Coeff. J-T (estimé)	$\mu_{JT}$	0.245	K/bar

Astuces

Calculer $\Delta P = P_2 - P_1$. Le résultat doit être négatif.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisation de l'approximation linéaire sur le diagramme T-P.

Visualisation de l'Estimation de $T_2$ (Amélioré)

Calcul(s)

Étape 1 : Calculer $\Delta P$

\Delta P = P_2 - P_1 = 1 - 100 = -99 \text{ bar}

La pression chute de 99 bar.

Étape 2 : Estimer $\Delta T$

\begin{aligned} \Delta T &\approx \mu_{JT} \times \Delta P \\ &= (0.245 \text{ K/bar}) \times (-99 \text{ bar}) \\ &\approx -24.26 \text{ K} \end{aligned}

La température devrait baisser d'environ 24.26 K.

Étape 3 : Calculer $T_2$

\begin{aligned} T_2 &= T_1 + \Delta T \\ &\approx 300 \text{ K} - 24.26 \text{ K} \\ &\approx 275.74 \text{ K} \end{aligned}

La température finale estimée est d'environ 275.7 K.

Schéma (Après les calculs)

Le calcul fournit une estimation de la température finale.

Estimation de la Température Finale (Amélioré)

Réflexions

Le refroidissement obtenu ($\approx 24$ K ou $24^\circ C$) est notable et démontre l'efficacité de ce processus pour abaisser la température d'un gaz réel comme l'azote dans ces conditions.

Points de vigilance

Rappelez-vous que c'est une estimation. La valeur réelle de $T_2$ sera légèrement différente car $\mu_{JT}$ varie avec la température pendant la détente.

Points à retenir

L'estimation simple de la variation de température se fait par $\Delta T \approx \mu_{JT} \cdot \Delta P$.
Cette approximation suppose $\mu_{JT}$ constant durant la détente.
Le signe de $\Delta T$ dépend du signe de $\mu_{JT}$ (car $\Delta P < 0$).

Le saviez-vous ?

Tous les réfrigérateurs domestiques et les systèmes de climatisation fonctionnent sur un cycle de compression-détente. La détente du fluide frigorigène à travers un "détendeur" (capillaire ou vanne) est une détente de Joule-Thomson qui provoque le refroidissement intense nécessaire pour produire du froid.

FAQ

Questions sur cette estimation :

Résultat Final

En supposant $\mu_{JT}$ constant, la température finale de l'azote est estimée à $T_2 \approx 275.7$ K.

A vous de jouer

Quelle serait la température finale $T_2$ (en K) si la pression initiale $P_1$ n'était que de 50 bar ? (Garder $\mu_{JT} = 0.245$ K/bar). (Arrondir à 1 décimale)

Mini Fiche Mémo

Synthèse Q5 : Estimation $T_2 \approx T_1 + \mu_{JT} \Delta P \approx 275.7$ K.

Outil Interactif : Simulateur de détente de l'Azote (vdW)

Utilisez les curseurs pour changer la température initiale ($T_1$) et la pression initiale ($P_1$) de l'azote. Le simulateur calcule $\mu_{JT}$ à $T_1$ et la température finale $T_2$ après détente à $P_2 = 1$ bar (en supposant $\mu_{JT}$ constant).

Paramètres d'Entrée (État 1)

Température Initiale $T_1$ (K) 300 K

Pression Initiale $P_1$ (bar) 100 bar

Résultats Clés (État 2 : $P_2 = 1$ bar)

Coeff. $\mu_{JT}$ (à $T_1$) - K/bar

Température Finale $T_2$ - K

Glossaire

Coefficient de Joule-Thomson ($\mu_{JT}$): Mesure de la variation de température par unité de variation de pression lors d'un processus à enthalpie constante. $\mu_{JT} = (\partial T / \partial P)_H$.
Enthalpie ($H$): Fonction d'état thermodynamique définie comme $H = U + PV$. Elle représente l'énergie "totale" d'un fluide en écoulement.
Gaz de van der Waals: Modèle de gaz réel qui améliore le gaz parfait en introduisant deux constantes : $a$ (pour l'attraction intermoléculaire) et $b$ (pour le volume propre des molécules).
Processus Isenthalpique: Un processus thermodynamique qui se déroule à enthalpie constante ($dH = 0$ ou $\Delta H = 0$).
Température d'Inversion ($T_i$): La température spécifique (pour une pression donnée) à laquelle $\mu_{JT} = 0$. Au-dessus, $\mu_{JT} < 0$ (échauffement), en-dessous, $\mu_{JT} > 0$ (refroidissement).

Détente de Joule-Thomson et Coefficient

Objectifs Pédagogiques

Données de l'étude

Fiche Technique

Schéma Amélioré du Dispositif de Joule-Thomson

Questions à traiter

Les bases sur la détente de Joule-Thomson

Correction : Détente de Joule-Thomson et Coefficient \(\mu_{JT}\)

Question 1 : Définir le coefficient de Joule-Thomson (\(\mu_{JT}\)) et la condition de refroidissement.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Formule(s)

Calcul (Analyse de Signes)

Schéma Conceptuel

Courbe Isenthalpique et Pente \(\mu_{JT}\)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Résultat Final

Mini Fiche Mémo

Question 2 : Démontrer la relation : \(\mu_{JT} = \frac{1}{C_p} \left[ T \left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P - V \right]\).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Carré Thermodynamique (Mnémonique Amélioré)

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Relation Générale pour \(\mu_{JT}\) (Amélioré)

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

Mini Fiche Mémo

Question 3 : Dériver \(\mu_{JT} \approx \frac{1}{C_{p,m}} \left( \frac{2a}{RT} - b \right)\) avec l'approximation de van der Waals.

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Hypothèses

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Stratégie de Dérivation Améliorée

Calcul(s) avec Explications

Schéma (Après les calculs)

Formule Approchée Obtenue (Amélioré)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final

A vous de jouer

Mini Fiche Mémo

Question 4 : Calculer \(\mu_{JT}\) pour l'azote à \(T_1 = 300\) K (en K/bar).

Principe

Mini-Cours

Remarque Pédagogique

Normes

Formule(s)

Donnée(s)

Astuces

Schéma (Avant les calculs)

Application Numérique Améliorée

Calcul(s)

Schéma (Après les calculs)

Résultat Numérique pour \(\mu_{JT}\) à 300K (Amélioré)

Réflexions

Points de vigilance

Points à retenir

Le saviez-vous ?

FAQ

Résultat Final