ÉTUDE DE PHYSIQUE

Détermination de la Nature et de la Densité des Porteurs

Effet Hall : Détermination de la Nature et de la Densité des Porteurs

Effet Hall : Détermination de la Nature et de la Densité des Porteurs

Comprendre l'Effet Hall en Électromagnétisme

Découvert par Edwin Hall en 1879, l'effet Hall est un phénomène fondamental qui apparaît lorsqu'un matériau conducteur ou semi-conducteur parcouru par un courant est placé dans un champ magnétique. La force de LorentzForce exercée par un champ électromagnétique sur une particule chargée en mouvement. Elle est donnée par \(\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\). Dans l'effet Hall, c'est la composante magnétique \(q(\vec{v} \times \vec{B})\) qui est à l'origine du phénomène. dévie les porteurs de charge (électrons ou trous), créant une accumulation de charges sur les faces latérales de l'échantillon. Cette séparation de charges engendre une différence de potentiel transverse, appelée tension de HallDifférence de potentiel électrique qui apparaît aux bornes d'un conducteur ou semi-conducteur lorsqu'il est soumis à un champ magnétique perpendiculaire au sens du courant. (\(V_{\text{H}}\)). La mesure de cette tension est un outil expérimental puissant pour déterminer la nature (positive ou négative) et la densité des porteurs de chargeLe nombre de porteurs de charge (électrons ou trous) par unité de volume dans un matériau. C'est une caractéristique essentielle, notamment pour les semi-conducteurs. dans un matériau.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre comment une mesure macroscopique (une tension en Volts) peut nous renseigner sur des propriétés microscopiques de la matière, comme la densité d'électrons libres. C'est un pont direct entre l'électromagnétisme classique et la physique du solide.

Données de l'étude

On étudie une plaque rectangulaire de Germanium (un semi-conducteur) dans une expérience d'effet Hall.

Caractéristiques de l'échantillon et de l'expérience :

  • Courant d'entrée (\(I_{\text{x}}\)) : \(20 \, \text{mA}\)
  • Champ magnétique (perpendiculaire à la plaque) (\(B_{\text{z}}\)) : \(0.5 \, \text{T}\)
  • Épaisseur de la plaque (\(t\)) : \(1.0 \, \text{mm}\)
  • Tension de Hall mesurée (\(V_{\text{H}}\)) : \(-5.0 \, \text{mV}\)

Constantes physiques :

  • Charge élémentaire (\(e\)) : \(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
Schéma de l'Expérience de l'Effet Hall
I B (sortant) - - - + + + V_H w (largeur) t (épaisseur)

Questions à traiter

  1. D'après le signe de la tension de Hall mesurée, quelle est la nature des porteurs de charge majoritaires (positifs ou négatifs) ?
  2. Calculer le coefficient de HallLe coefficient de Hall, \(R_H\), est une mesure de l'intensité de l'effet Hall dans un matériau. Il est défini par \(R_H = E_y / (J_x B_z)\), où \(E_y\) est le champ électrique de Hall, \(J_x\) la densité de courant et \(B_z\) le champ magnétique. (\(R_{\text{H}}\)) de l'échantillon.
  3. En déduire la densité volumique des porteurs de chargeLe nombre de porteurs de charge (électrons ou trous) par unité de volume dans un matériau. C'est une caractéristique essentielle, notamment pour les semi-conducteurs. (\(n\)).
  4. Calculer la vitesse de dériveLa vitesse moyenne que les particules chargées, comme les électrons, atteignent dans un matériau sous l'influence d'un champ électrique. (\(v_{\text{d}}\)) des porteurs de charge. (La largeur de la plaque \(w\) est de \(5.0 \, \text{mm}\)).

Correction : Effet Hall : Détermination de la Nature et de la Densité des Porteurs

Question 1 : Nature des Porteurs de Charge

Principe :
e⁻ Porteur Négatif v B F_L = q(v x B) (déviation vers le bas)

La force de LorentzForce exercée par un champ électromagnétique sur une particule chargée en mouvement. Elle est donnée par \(\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\). Dans l'effet Hall, c'est la composante magnétique \(q(\vec{v} \times \vec{B})\) qui est à l'origine du phénomène. \(\vec{F}_{\text{L}} = q(\vec{v} \times \vec{B})\) régit la déviation. En utilisant la règle de la main droite pour \(\vec{v} \times \vec{B}\) (vers le haut), on voit que pour une charge \(q\) positive, la force est vers le haut. Pour une charge négative (\(q < 0\)), la force est inversée, donc vers le bas. La tension de Hall est \(V_{\text{H}} = V_{\text{haut}} - V_{\text{bas}}\). Si \(V_{\text{H}} < 0\), cela signifie que le potentiel en haut est plus bas que le potentiel en bas, donc des charges négatives se sont accumulées en haut.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le signe de la tension de Hall est l'un des rares moyens directs de savoir si les porteurs de charge majoritaires dans un matériau sont des électrons (négatifs) ou des "trous" (considérés comme positifs). C'est une information cruciale en physique des semi-conducteurs.

Données(s) :
  • Tension de Hall mesurée (\(V_{\text{H}}\)) : \(-5.0 \, \text{mV}\) (valeur négative)
Raisonnement :

Une tension de Hall négative (\(V_{\text{H}} < 0\)) indique que le potentiel sur la face supérieure est inférieur à celui sur la face inférieure. Cela est dû à une accumulation de charges négatives sur la face supérieure. D'après la règle de la main droite et le sens de la force de LorentzForce exercée par un champ électromagnétique sur une particule chargée en mouvement. Elle est donnée par \(\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\). Dans l'effet Hall, c'est la composante magnétique \(q(\vec{v} \times \vec{B})\) qui est à l'origine du phénomène., cela ne peut se produire que si les porteurs de charge \(q\) sont négatifs.

Résultat Question 1 : Le signe négatif de \(V_{\text{H}}\) indique que les porteurs de charge majoritaires sont des électrons (charge négative).

Test de Compréhension : Si on inversait le sens du courant (\(I_{\text{x}}\)), qu'adviendrait-il de \(V_{\text{H}}\) pour le même matériau ?

Question 2 : Coefficient de Hall (\(R_{\text{H}}\))

Principe :
V_H t I_x B_z R_H

Le coefficient de HallLe coefficient de Hall, \(R_H\), est une mesure de l'intensité de l'effet Hall dans un matériau. Il est défini par \(R_H = E_y / (J_x B_z)\), où \(E_y\) est le champ électrique de Hall, \(J_x\) la densité de courant et \(B_z\) le champ magnétique. est une propriété intrinsèque du matériau qui relie la tension de Hall mesurée aux conditions expérimentales (courant, champ magnétique) et à la géométrie de l'échantillon (épaisseur).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_{\text{H}} = \frac{V_{\text{H}} \cdot t}{I_{\text{x}} \cdot B_{\text{z}}} \]
Données(s) :
  • Tension de Hall (\(V_{\text{H}}\)) : \(-5.0 \, \text{mV} = -5.0 \times 10^{-3} \, \text{V}\)
  • Épaisseur (\(t\)) : \(1.0 \, \text{mm} = 1.0 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • Courant (\(I_{\text{x}}\)) : \(20 \, \text{mA} = 20 \times 10^{-3} \, \text{A}\)
  • Champ magnétique (\(B_{\text{z}}\)) : \(0.5 \, \text{T}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} R_{\text{H}} &= \frac{(-5.0 \times 10^{-3} \, \text{V}) \cdot (1.0 \times 10^{-3} \, \text{m})}{(20 \times 10^{-3} \, \text{A}) \cdot (0.5 \, \text{T})} \\ &= \frac{-5.0 \times 10^{-6}}{10 \times 10^{-3}} \, \frac{\text{V} \cdot \text{m}}{\text{A} \cdot \text{T}} \\ &= -5.0 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{C} \end{aligned} \]
Résultat Question 2 : Le coefficient de Hall est \(R_{\text{H}} = -5.0 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{C}\).

Test de Compréhension : L'unité du coefficient de Hall, \(\text{m}^3/\text{C}\), peut aussi s'exprimer en :

  • \(\text{C} / \text{m}^3\)

Question 3 : Densité des Porteurs de Charge (\(n\))

Principe :
Volume ~ 1/n R_H

Le coefficient de HallLe coefficient de Hall, \(R_H\), est une mesure de l'intensité de l'effet Hall dans un matériau. Il est défini par \(R_H = E_y / (J_x B_z)\), où \(E_y\) est le champ électrique de Hall, \(J_x\) la densité de courant et \(B_z\) le champ magnétique. est inversement proportionnel à la densité des porteurs de chargeLe nombre de porteurs de charge (électrons ou trous) par unité de volume dans un matériau. C'est une caractéristique essentielle, notamment pour les semi-conducteurs. \(n\) et à leur charge \(q\). Cette relation simple est au cœur de l'utilité de l'effet Hall pour sonder la structure électronique des matériaux.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ R_{\text{H}} = \frac{1}{n \cdot q} \quad \Rightarrow \quad n = \frac{1}{R_{\text{H}} \cdot q} \]
Données(s) :
  • Coefficient de Hall (\(R_{\text{H}}\)) : \(-5.0 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{C}\)
  • Charge du porteur (\(q\)) : \(-e = -1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\) (puisque ce sont des électrons)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} n &= \frac{1}{(-5.0 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{C}) \cdot (-1.602 \times 10^{-19} \, \text{C})} \\ &= \frac{1}{8.01 \times 10^{-23}} \, \text{m}^{-3} \\ &\approx 1.25 \times 10^{22} \, \text{m}^{-3} \end{aligned} \]
Résultat Question 3 : La densité des porteurs de charge est \(n \approx 1.25 \times 10^{22} \, \text{porteurs}/\text{m}^3\).

Test de Compréhension : Si un matériau a une densité de porteurs beaucoup plus élevée (comme un métal), que peut-on dire de sa tension de Hall, toutes choses égales par ailleurs ?

Question 4 : Vitesse de Dérive (\(v_{\text{d}}\))

Principe :
A_T v_d

La vitesse de dériveLa vitesse moyenne que les particules chargées, comme les électrons, atteignent dans un matériau sous l'influence d'un champ électrique. est la vitesse moyenne des porteurs de charge dans la direction du courant. Elle est généralement très faible, mais elle est directement liée à la densité de courant et à la densité des porteurs. On peut la calculer à partir de la définition du courant électrique.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I_{\text{x}} = n \cdot |q| \cdot v_{\text{d}} \cdot A_{\text{T}} \quad \Rightarrow \quad v_{\text{d}} = \frac{I_{\text{x}}}{n \cdot |q| \cdot A_{\text{T}}} \]

Où \(A_{\text{T}} = w \cdot t\) est l'aire de la section transverse.

Données(s) :
  • Courant (\(I_{\text{x}}\)) : \(20 \times 10^{-3} \, \text{A}\)
  • Densité des porteurs (\(n\)) : \(1.25 \times 10^{22} \, \text{m}^{-3}\)
  • Charge du porteur (\(|q|\)) : \(1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}\)
  • Largeur (\(w\)) : \(5.0 \, \text{mm} = 5.0 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
  • Épaisseur (\(t\)) : \(1.0 \, \text{mm} = 1.0 \times 10^{-3} \, \text{m}\)
Calcul(s) :

1. Calcul de l'aire de la section (\(A_{\text{T}}\))

\[ \begin{aligned} A_{\text{T}} &= w \cdot t \\ &= (5.0 \times 10^{-3} \, \text{m}) \cdot (1.0 \times 10^{-3} \, \text{m}) \\ &= 5.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2 \end{aligned} \]

2. Calcul de la vitesse de dérive (\(v_{\text{d}}\))

\[ \begin{aligned} v_{\text{d}} &= \frac{20 \times 10^{-3} \, \text{A}}{(1.25 \times 10^{22} \, \text{m}^{-3}) \cdot (1.602 \times 10^{-19} \, \text{C}) \cdot (5.0 \times 10^{-6} \, \text{m}^2)} \\ &= \frac{20 \times 10^{-3}}{1.00125 \times 10^{-2}} \, \text{m/s} \\ &\approx 2.0 \, \text{m/s} \end{aligned} \]
Résultat Question 4 : La vitesse de dérive des électrons est \(v_{\text{d}} \approx 2.0 \, \text{m/s}\).

Test de Compréhension : La vitesse de dérive calculée est :

Est-ce une vitesse élevée ?

Oui, pour une vitesse de dérive, c'est assez élevé ! Dans les métaux usuels comme le cuivre, la vitesse de dérive est de l'ordre du mm/s. La densité de porteurs bien plus faible dans les semi-conducteurs impose une vitesse beaucoup plus grande pour transporter le même courant.

Tableau Récapitulatif Interactif

Cliquez sur les cases grisées pour révéler les résultats clés de l'exercice.

Paramètre Valeur Calculée
Nature des porteurs Cliquez pour révéler
Coefficient de Hall (\(R_{\text{H}}\)) Cliquez pour révéler
Densité des porteurs (\(n\)) Cliquez pour révéler
Vitesse de dérive (\(v_{\text{d}}\)) Cliquez pour révéler

À vous de jouer ! (Défi)

Nouveau Scénario : On remplace l'échantillon par du Cuivre, un métal. Dans les mêmes conditions (\(I_{\text{x}}=20 \, \text{mA}\), \(B_{\text{z}}=0.5 \, \text{T}\), \(t=1 \, \text{mm}\)), la tension de Hall mesurée est de \(-1.1 \times 10^{-6} \, \text{V}\). Calculez la nouvelle densité de porteurs \(n\) pour le cuivre.

Pièges à Éviter

Unités : Le piège principal ! Assurez-vous que toutes les longueurs sont en mètres (m), les tensions en Volts (V) et les courants en Ampères (A) avant de commencer les calculs.

Signes : Le signe de \(V_{\text{H}}\) et de \(q\) est crucial pour déterminer la nature des porteurs et le signe de \(R_{\text{H}}\). Ne l'oubliez pas dans les calculs.

Géométrie : La tension \(V_{\text{H}}\) dépend de l'épaisseur \(t\), pas de la largeur \(w\). La vitesse de dérive \(v_{\text{d}}\) dépend de l'aire transverse \(A_{\text{T}} = w \cdot t\).

Simulation Interactive de l'Effet Hall

Variez les conditions expérimentales pour observer leur influence sur les grandeurs mesurées.

Paramètres de Simulation
Résultats Calculés
Coefficient de Hall (\(R_{\text{H}}\))
Tension de Hall (\(V_{\text{H}}\))
Vitesse de dérive (\(v_{\text{d}}\))

Pour Aller Plus Loin : Scénarios de Réflexion

1. Effet Hall Quantique :

À très basse température et sous champ magnétique intense, la résistance de Hall ne varie plus continûment mais par plateaux quantifiés. Ces plateaux sont définis par des constantes fondamentales de la physique (\(h\) et \(e\)) avec une précision extraordinaire, au point d'être utilisés comme étalon de résistance électrique. Cette découverte a valu le prix Nobel de physique 1985 à Klaus von Klitzing.

2. Applications des Capteurs à Effet Hall :

La proportionnalité entre \(V_{\text{H}}\) et \(B\) fait de l'effet Hall la base de nombreux capteurs magnétiques (magnétomètres). On les retrouve partout : dans les smartphones (pour la boussole), les voitures (capteurs de position d'arbre à cames, systèmes ABS), et les ampèremètres à pince sans contact (qui mesurent le champ magnétique créé par le courant).

3. L'Effet Hall de Spin :

Il existe un analogue de l'effet Hall qui ne dévie pas les charges électriques, mais les spins des électrons. Dans certains matériaux, un courant électrique peut générer un "courant de spin" transverse. Ce phénomène, au cœur de la spintronique, ouvre la voie à des dispositifs électroniques plus rapides et moins énergivores.

Le Saviez-Vous ?

Edwin Hall a fait sa découverte en 1879 alors qu'il était encore doctorant à l'université Johns-Hopkins. Sa thèse, qui décrivait ce nouvel "effet sur les courants électriques de l'action magnétique", remettait en question l'idée de Maxwell selon laquelle le champ magnétique n'agissait que sur le conducteur dans son ensemble, et non directement sur le courant lui-même. Sa persévérance a payé, ouvrant un tout nouveau champ d'étude de la matière.

Foire Aux Questions (FAQ)

Pourquoi l'effet Hall est-il bien plus mesurable dans les semi-conducteurs que dans les métaux ?

Comme le montre la formule \(V_{\text{H}} = R_{\text{H}} I B / t = (1/nq) I B / t\), la tension de Hall est inversement proportionnelle à la densité des porteurs \(n\). Les métaux ont une très grande densité de porteurs (~\(10^{28} \, \text{m}^{-3}\)), ce qui rend \(V_{\text{H}}\) extrêmement faible et difficile à mesurer. Les semi-conducteurs ont une densité bien plus faible (~\(10^{20} \, \text{à} \, 10^{23} \, \text{m}^{-3}\)), ce qui produit une tension de Hall des milliers de fois plus grande et donc facilement détectable.

Que se passe-t-il si le champ magnétique n'est pas parfaitement perpendiculaire ?

Seule la composante du champ magnétique qui est perpendiculaire à la vitesse des porteurs (\(\vec{v}\)) contribue à la force de Lorentz et donc à l'effet Hall. Si le champ \(\vec{B}\) forme un angle \(\theta\) avec la normale à la plaque, on doit utiliser la composante \(B_{\perp} = B \cos(\theta)\) dans les calculs.

Comment la température affecte-t-elle l'effet Hall ?

La température a un impact majeur, surtout dans les semi-conducteurs. En augmentant la température, on excite thermiquement plus de porteurs de charge (paires électron-trou), ce qui augmente la densité \(n\). Comme \(V_{\text{H}}\) est inversement proportionnelle à \(n\), une augmentation de température mène généralement à une diminution de la tension de Hall.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Un coefficient de Hall \(R_{\text{H}}\) positif et élevé est caractéristique d'un matériau :

2. Pour une expérience d'effet Hall donnée, si on double le courant \(I\) qui traverse l'échantillon, la tension de Hall \(V_{\text{H}}\) va :

Glossaire

Force de Lorentz
Force exercée par un champ électromagnétique sur une particule chargée en mouvement. Elle est donnée par \(\vec{F}_{\text{L}} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\). Dans l'effet Hall, c'est la composante magnétique \(q(\vec{v} \times \vec{B})\) qui est à l'origine du phénomène.
Tension de Hall (\(V_{\text{H}}\))
Différence de potentiel électrique qui apparaît aux bornes d'un conducteur ou semi-conducteur lorsqu'il est soumis à un champ magnétique perpendiculaire au sens du courant.
Coefficient de Hall (\(R_{\text{H}}\))
Le coefficient de Hall, \(R_{\text{H}}\), est une mesure de l'intensité de l'effet Hall dans un matériau. Il est défini par \(R_{\text{H}} = E_{\text{y}} / (J_{\text{x}} B_{\text{z}})\), où \(E_{\text{y}}\) est le champ électrique de Hall, \(J_{\text{x}}\) la densité de courant et \(B_{\text{z}}\) le champ magnétique.
Densité des porteurs de charge (\(n\))
Le nombre de porteurs de charge (électrons ou trous) par unité de volume dans un matériau. C'est une caractéristique essentielle, notamment pour les semi-conducteurs.
Vitesse de dérive (\(v_{\text{d}}\))
La vitesse moyenne que les particules chargées, comme les électrons, atteignent dans un matériau sous l'influence d'un champ électrique.
Effet Hall - Exercice d'Application

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