Diffraction de Fraunhofer par une Fente

Exercice : Diffraction par une Fente Simple

Diffraction de Fraunhofer par une Fente

Contexte : L'étude de la diffractionPhénomène de déviation des ondes (lumineuses, sonores...) lorsqu'elles rencontrent un obstacle ou une ouverture. en optique ondulatoire.

Lorsque la lumière rencontre un obstacle ou une fente dont les dimensions sont comparables à sa longueur d'onde, elle ne se propage plus uniquement en ligne droite. On observe alors un étalement de la lumière : c'est la diffraction. Dans cet exercice, nous allons étudier la diffraction d'un faisceau laser monochromatique par une fente rectangulaire fine, un cas classique connu sous le nom de diffraction de Fraunhofer (ou diffraction à l'infini).

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous permettra de manipuler les concepts d'angle de diffraction, de largeur de tache centrale et de distribution d'intensité lumineuse, fondamentaux en photonique.

Objectifs Pédagogiques

Comprendre les conditions de la diffraction de Fraunhofer.
Calculer la position angulaire des minima d'intensité (tâches sombres).
Déterminer la largeur de la tâche centrale de diffraction sur un écran.
Analyser l'influence de la largeur de la fente et de la longueur d'onde.

Données de l'étude

On éclaire une fente fine verticale de largeur \(a\) avec un laser Hélium-Néon émettant une lumière rouge monochromatique. La figure de diffraction est observée sur un écran situé à une distance \(D\) de la fente. On suppose que la distance \(D\) est très grande devant \(a\) (condition de Fraunhofer).

Fiche Technique

Composant	Spécification
Source Lumineuse	Laser He-Ne
Milieu de propagation	Air (n ≈ 1)
Type de fente	Rectangulaire fine

Montage Expérimental

Paramètre	Description	Valeur	Unité
Longueur d'onde	\(\lambda\) (He-Ne)	633	nm
Largeur de fente	\(a\)	0.1	mm
Distance Fente-Écran	\(D\)	2.0	m

Questions à traiter

Calculer l'angle de diffraction \(\theta_{\text{1}}\) correspondant au premier minimum d'intensité (la première extinction).
En déduire la position linéaire \(y_{\text{1}}\) de ce premier minimum sur l'écran.
Calculer la largeur totale \(L\) de la tâche centrale de diffraction.
Discuter de l'évolution de la largeur de la tâche centrale si l'on double la largeur de la fente \(a\).

Les bases sur la Diffraction

Pour comprendre la diffraction, il faut abandonner l'idée que la lumière se déplace uniquement en ligne droite. Nous utilisons ici le modèle de l'optique ondulatoire.

1. Principe de Huygens-Fresnel
Chaque point de la fente éclairée se comporte comme une source secondaire émettant des ondelettes sphériques. Ces ondes se superposent (interfèrent) pour former la figure de diffraction observée sur l'écran.

2. Régime de Fraunhofer (Diffraction à l'infini)
Ce régime est atteint lorsque la distance Fente-Écran \(D\) est très grande par rapport à la largeur de la fente \(a\) (\(D \gg a^2/\lambda\)). Dans ce cas, on considère que les rayons qui interfèrent en un point de l'écran sont parallèles entre eux. C'est une simplification majeure qui permet des calculs trigonométriques simples.

3. Condition d'extinction (Minima d'intensité)
Pour une fente simple de largeur \(a\), une interférence destructive totale (un point noir) se produit lorsque la différence de marche entre le rayon du haut de la fente et celui du bas est un multiple entier de la longueur d'onde. La formule fondamentale est : \[ a \sin \theta = m \lambda \quad \text{où } m \in \mathbb{Z}^* \]

4. Approximation des petits angles
Comme la longueur d'onde de la lumière (centaines de nm) est souvent très petite devant la fente (dizaines de µm), l'angle de diffraction \(\theta\) est généralement minuscule. On utilise l'approximation des petits angles qui simplifie grandement les mathématiques : \[ \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta \text{ (en radians)} \]

Correction : Diffraction de Fraunhofer par une Fente

Question 1 : Angle du premier minimum (\(\theta_{\text{1}}\))

Principe

La lumière diffractée ne se répartit pas uniformément. Elle forme une tache centrale brillante entourée de taches plus faibles. Ces taches sont séparées par des zones d'ombre appelées "minima d'intensité". Le premier minimum (ordre \(m=1\)) marque la fin de la tache centrale et le début de la première zone sombre.

Mini-Cours

Dans le modèle de Fraunhofer, nous additionnons les contributions de toutes les petites sources élémentaires le long de la fente. Lorsque l'angle est tel que le déphasage total entre le haut et le bas de la fente est de \(2\pi\) (ce qui correspond à une différence de marche de \(\lambda\)), chaque rayon de la moitié supérieure de la fente est annulé par un rayon de la moitié inférieure. C'est l'interférence destructive.

Remarque Pédagogique

Essayez de visualiser la fente coupée en deux. Au premier minimum, le rayon tout en haut interfère destructivement avec le rayon au milieu de la fente. Le rayon juste en dessous du haut interfère avec le rayon juste en dessous du milieu, et ainsi de suite.

Normes

L'angle \(\theta\) est toujours mesuré par rapport à l'axe optique central (la ligne droite qui part du centre de la fente vers le centre de l'écran).

Formule(s)

Condition du premier minimum (\(m=1\))

\sin \theta_{\text{1}} = \frac{\lambda}{a}

Hypothèses

Nous supposons que :
1. La lumière est parfaitement monochromatique (une seule longueur d'onde).
2. La fente est infiniment longue verticalement, ramenant le problème à 1 dimension horizontale.
3. Nous sommes bien en champ lointain (conditions de Fraunhofer).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Longueur d'onde	\(\lambda\)	633	nm
Largeur fente	\(a\)	0.1	mm

Astuces

Un piège classique est d'oublier les puissances de 10. Rappelez-vous :
1 nm = \(10^{-9}\) m
1 mm = \(10^{-3}\) m.
Le rapport \(\lambda/a\) doit être sans unité !

Schéma (Avant les calculs)

Rayons parallèles et angle θ

Calcul(s)

Étape 1 : Conversion des unités

Pour commencer, il est impératif de convertir toutes les grandeurs dans le système international (mètres) afin d'éviter les erreurs d'ordres de grandeur.

\begin{aligned} \lambda &= 633 \text{ nm} = 633 \times 10^{-9} \text{ m} \\ a &= 0.1 \text{ mm} = 0.1 \times 10^{-3} \text{ m} = 1 \times 10^{-4} \text{ m} \end{aligned}

Étape 2 : Calcul du rapport (sinus)

Appliquons maintenant la condition du premier minimum d'intensité. Nous cherchons la valeur du sinus de l'angle en divisant la longueur d'onde par la largeur de la fente.

\sin \theta_{\text{1}} \] \[ \sin = \frac{633 \times 10^{-9}}{10^{-4}} \] \[ \sin = 633 \times 10^{-5}

Le résultat intermédiaire est \(6.33 \times 10^{-3}\). C'est une valeur sans dimension, petite devant 1, ce qui est cohérent pour un sinus.

633 \times 10^{-5} = 6.33 \times 10^{-3}

Étape 3 : Calcul de l'angle

Pour obtenir l'angle \(\theta_{\text{1}}\) lui-même, il faut appliquer la fonction arc sinus (\(\sin^{-1}\)) au résultat précédent. Comme la valeur est très faible, l'angle en radians sera quasiment identique au sinus.

\theta_{\text{1}} = \arcsin(0.00633) \approx 0.00633 \text{ rad}

Schéma (Après les calculs)

Illustration de la différence de marche

Le schéma illustre le triangle rectangle formé par la largeur de la fente et la différence de marche \(\delta\). Pour la première extinction, \(\delta\) doit être exactement égale à une longueur d'onde \(\lambda\).

Réflexions

L'angle calculé est d'environ 6 milliradians. C'est très petit ! Cela signifie que si vous ne placez pas l'écran assez loin, la diffraction sera à peine visible. Cela justifie pleinement l'approximation des petits angles utilisée souvent en physique.

Points de vigilance

Attention : Votre calculatrice doit être en mode RADIAN si vous utilisez les approximations (\(\sin x \approx x\)) ou les fonctions inverses trigonométriques pour obtenir des résultats physiques cohérents.

Points à retenir

Plus la fente est étroite (\(a\) petit), plus la lumière "s'ouvre" ( \(\theta\) grand). C'est le comportement typique des ondes : confiner une onde spatialement élargit son spectre en directions.

Le saviez-vous ?

Ce phénomène limite la résolution des instruments optiques comme les télescopes et les microscopes. On ne peut pas distinguer deux détails séparés par un angle inférieur à cet angle de diffraction : c'est le fameux critère de Rayleigh.

FAQ

Résultat Final

L'angle du premier minimum est \(\theta_{\text{1}} \approx 6.33 \text{ mrad}\) (milliradians) ou \(0.36^\circ\).

A vous de jouer

Si la longueur d'onde était de 532 nm (laser vert), quel serait le sinus de l'angle ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse : \(\theta \approx \lambda / a\).

Question 2 : Position linéaire du premier minimum (\(y_{\text{1}}\))

Principe

L'angle de diffraction est une grandeur angulaire. Pour mesurer quelque chose sur un écran de laboratoire, il faut convertir cet angle en une distance linéaire (en millimètres ou centimètres). C'est de la géométrie simple.

Mini-Cours

Nous avons un triangle rectangle formé par :
1. La distance Fente-Écran \(D\) (le côté adjacent).
2. La position sur l'écran \(y\) (le côté opposé).
La relation trigonométrique est \(\tan \theta = \text{opposé} / \text{adjacent} = y/D\). Pour les angles très petits, on peut confondre la tangente avec l'angle lui-même (en radians).

Remarque Pédagogique

La distance \(D\) agit comme un "amplificateur". Un angle minuscule \(\theta\) peut donner une distance \(y\) mesurable si l'écran est suffisamment loin. C'est pour cela qu'on place l'écran à plusieurs mètres dans les TP d'optique.

Normes

On définit généralement \(y\) comme la distance algébrique par rapport au centre de la figure de diffraction (le point d'impact du laser sans diffraction).

Formule(s)

Relation géométrique

\tan \theta_{\text{1}} = \frac{y_{\text{1}}}{D} \Rightarrow y_{\text{1}} = D \tan \theta_{\text{1}}

Approximation petits angles (\(\tan \theta \approx \theta\)) : \(y_{\text{1}} \approx D \theta_{\text{1}}\).

Hypothèses

On suppose que l'écran est plan et parfaitement perpendiculaire à l'axe optique. L'approximation des petits angles est valide car nous avons calculé \(\theta_{\text{1}} \approx 0.006\) rad, ce qui est bien inférieur à 0.1 rad (environ 5°).

Donnée(s)

Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Distance Fente-Écran	\(D\)	2.0	m
Angle (Q1)	\(\theta_{\text{1}}\)	0.00633	rad

Astuces

Pour les angles inférieurs à 5 degrés, l'erreur commise en remplaçant \(\tan \theta\) par \(\theta\) est inférieure à 0.3%. C'est largement acceptable pour la plupart des applications physiques courantes.

Schéma (Avant les calculs)

Géométrie du calcul (D, y, θ)

Calcul(s)

Nous utilisons l'approximation des petits angles où \(\tan \theta \approx \theta\) (en radians). Cela simplifie le calcul linéaire en une simple multiplication :

\begin{aligned} y_{\text{1}} &\approx 2.0 \text{ m} \times (6.33 \times 10^{-3}) \text{ rad} \\ &= (2.0 \times 6.33) \times 10^{-3} \text{ m} \\ &= 12.66 \times 10^{-3} \text{ m} \end{aligned}

Le résultat brut est en mètres. Pour une meilleure interprétation physique à l'échelle du laboratoire, convertissons-le en millimètres (\(1 \text{ m} = 1000 \text{ mm}\)) :

y_{\text{1}} = 12.66 \text{ mm} \approx 12.7 \text{ mm}

Schéma (Après les calculs)

Visualisation réaliste sur l'écran

Le schéma ci-dessus simule ce que vous verriez réellement sur l'écran : une tache centrale très brillante et large, bordée de zones d'extinction (noir) à ±12.7 mm.

Réflexions

Une distance de 12.7 mm est une grandeur très confortable à mesurer avec une simple règle graduée ou sur du papier millimétré. Cela nous montre qu'avec un montage simple, on peut mesurer des phénomènes ondulatoires microscopiques.

Points de vigilance

Attention aux unités ! Si vous faites le calcul directement en mètres (0.0127 m), n'oubliez pas de convertir le résultat final en millimètres pour qu'il soit plus "parlant" physiquement.

Points à retenir

La position sur l'écran est linéairement proportionnelle à la distance \(D\). Si vous doublez la distance écran-fente, la figure de diffraction deviendra deux fois plus grande.

Le saviez-vous ?

Ce principe de mesure est utilisé en cristallographie aux rayons X pour déterminer la structure des molécules (comme l'ADN), bien que la géométrie soit alors en 3D.

FAQ

Résultat Final

Le premier minimum se trouve à \(y_{\text{1}} \approx 12.7 \text{ mm}\) du centre.

A vous de jouer

Si la distance \(D\) était de 4 m (double), quelle serait la position \(y_{\text{1}}\) en mm ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse : \(y = D \theta \approx D \lambda / a\).

Question 3 : Largeur de la tâche centrale (\(L\))

Principe

La tâche centrale est la partie la plus visible de la diffraction. Elle correspond à toute la zone lumineuse principale située entre le premier minimum d'intensité à gauche et le premier minimum à droite.

Mini-Cours

La largeur totale \(L\) est simplement la distance géométrique physique sur l'écran qui sépare les deux zones d'extinction de part et d'autre du pic central. C'est une grandeur purement géométrique une fois que \(y_1\) est connu.

Remarque Pédagogique

Ne confondez pas la demi-largeur (distance centre-minimum, soit \(y_1\)) et la largeur totale de la tache (\(L\)). Dans les problèmes d'ingénierie, on s'intéresse souvent à l'encombrement total du faisceau, donc à \(L\).

Normes

Pas de norme ISO spécifique, mais \(L\) ou \(W\) (Width) sont les notations standard pour une largeur.

Formule(s)

L = 2 y_{\text{1}}

Ou en combinant les résultats précédents pour avoir une formule générale : \(L = \frac{2 \lambda D}{a}\).

Hypothèses

On suppose une symétrie parfaite de la figure de diffraction par rapport à l'axe optique, ce qui est le cas pour une fente rectangulaire uniforme.

Donnée(s)

Paramètre	Valeur
\(y_{\text{1}}\) (calculé précédemment)	12.66 mm

Astuces

Si vous avez déjà calculé \(y_{\text{1}}\) avec précision, inutile de repartir de la formule complexe. Multipliez simplement votre résultat précédent par 2. C'est plus rapide et moins source d'erreurs.

Schéma (Avant les calculs)

Définition de la largeur L

La largeur \(L\) est visuellement définie comme l'écartement horizontal entre les deux "trous" d'intensité.

Calcul(s)

Le calcul est numérique et direct :

L = 2 \times 12.66 \text{ mm} = 25.32 \text{ mm}

Nous pouvons aussi vérifier ce résultat en repartant de la formule complète combinée : \(L = \frac{2 \times (633 \times 10^{-9}) \times 2.0}{10^{-4}}\).

L = \frac{2532 \times 10^{-9}}{10^{-4}} \] \[ L = 2532 \times 10^{-5} \text{ m} \] \[ L = 25.32 \text{ mm}

Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui confirme nos calculs précédents.

Schéma (Après les calculs)

Visualisation du résultat

Réflexions

Obtenir une tache de 2.5 cm de large à partir d'une fente de 0.1 mm montre à quel point la diffraction "étale" la lumière. Ce facteur d'agrandissement est énorme (x250 dans cet exemple), ce qui fait de la diffraction un outil très sensible.

Points de vigilance

L'intensité lumineuse n'est pas constante sur toute cette largeur \(L\). Elle est maximale au centre et décroît vers les bords. Ne pensez pas que c'est un rectangle de lumière uniforme !

Points à retenir

La tâche centrale de diffraction contient la majorité de l'énergie lumineuse (environ 90%). Les franges secondaires sont beaucoup moins visibles.

Le saviez-vous ?

La largeur de cette tache détermine la "divergence" d'un faisceau laser. Pour envoyer un laser sur la Lune, on utilise un télescope inversé pour élargir le faisceau au départ (grand \(a\)) afin qu'il s'étale le moins possible à l'arrivée (petit \(\theta\)).

FAQ

Résultat Final

La largeur de la tâche centrale est \(L \approx 25.3 \text{ mm}\).

A vous de jouer

Quelle serait la largeur L si on utilisait une fente deux fois plus large ? (Répondez en mm)

Mini Fiche Mémo

Synthèse : \(L = 2 \lambda D / a\).

Question 4 : Influence de la largeur de fente \(a\)

Principe

Nous allons maintenant faire une analyse de tendance (analyse qualitative). Il s'agit de comprendre comment la géométrie de la source (la fente) influence la géométrie de la figure de diffraction (la tache sur l'écran).

Mini-Cours

En physique ondulatoire, il existe une relation de réciprocité fondamentale (liée à la transformée de Fourier) : plus une source est confinée dans l'espace (petit \(a\)), plus son spectre en fréquences spatiales (angles) est étendu. Inversement, une source large est très directive.

Remarque Pédagogique

C'est un point souvent contre-intuitif pour les débutants. En optique géométrique (comme une fenêtre), une plus grande ouverture laisse passer un plus gros faisceau. En diffraction, c'est l'inverse : "Plus c'est petit, plus ça étale".

Normes

Cette analyse se base sur la lecture de la formule algébrique établie précédemment.

Formule(s)

L = \frac{2 \lambda D}{a}

Hypothèses

Nous supposons que la longueur d'onde \(\lambda\) et la distance \(D\) restent constantes. Seule la largeur \(a\) varie.

Donnée(s)

On passe d'une largeur initiale \(a\) à une nouvelle largeur \(2a\).

Astuces

Pour répondre à ce genre de question sans calculatrice, regardez simplement la position de la variable \(a\) dans la fraction. Elle est au dénominateur (en bas). Si le dénominateur augmente, le résultat global diminue.

Schéma (Avant les calculs)

Visualisez la formule comme une balance : si je mets plus de poids en bas (dénominateur), la valeur descend.

Calcul(s)

Faisons une analyse par proportionnalité :

a \rightarrow 2a \implies L' = \frac{2 \lambda D}{2a} = \frac{1}{2} \underbrace{\frac{2 \lambda D}{a}}_{L} = \frac{L}{2}

Pour être sûr, vérifions cette prédiction théorique par un calcul numérique direct en prenant \(a = 0.2 \text{ mm}\) (soit \(2 \times 10^{-4}\) m) au lieu de 0.1 mm.

L' = \frac{2 \times (633 \times 10^{-9}) \times 2.0}{2 \times 10^{-4}} \] \[ L' = \frac{2532 \times 10^{-9}}{2 \times 10^{-4}} \] \[ L' = 12.66 \text{ mm}

On retrouve bien exactement la moitié de 25.32 mm. La largeur de la tache est divisée par deux.

Schéma (Après les calculs)

Comparaison des profils d'intensité

Le graphe rouge montre la diffraction large pour une fente fine. Le graphe bleu (en pointillés) montre la diffraction étroite pour une fente large.

Réflexions

Le faisceau devient deux fois plus "pointu" ou directif. C'est un principe général : pour envoyer une onde très loin sans qu'elle bave (comme un radar ou un laser), il faut que l'émetteur soit grand par rapport à la longueur d'onde.

Points de vigilance

Attention, si la tache devient plus étroite, le pic d'intensité au centre augmente (car toute l'énergie lumineuse est concentrée sur une surface plus petite).

Points à retenir

La diffraction est inversement proportionnelle à la dimension de l'ouverture. Grande ouverture = Petite diffraction.

Le saviez-vous ?

C'est la raison pour laquelle les antennes paraboliques sont grandes. Pour avoir une bonne directivité (un faisceau fin) avec des ondes radio (grande longueur d'onde), il faut une ouverture d'antenne \(a\) très grande.

FAQ

Résultat Final

Si on double la largeur de la fente, la largeur de la tâche centrale est divisée par deux.

A vous de jouer

Si la fente devient très très large (\(a \gg \lambda\)), vers quelle valeur tend \(L\) (en théorie de diffraction pure) ?

Mini Fiche Mémo

Synthèse : Plus \(a\) est grand, plus \(L\) est petit.

Simulateur de Diffraction

Visualisez l'intensité lumineuse \(I(\theta) = I_0 \text{sinc}^2(\beta)\) avec \(\beta = \frac{\pi a \sin \theta}{\lambda}\).

Paramètres

Largeur fente \(a\) (\(\mu m\)) 100 \(\mu m\)

Longueur d'onde \(\lambda\) (nm) 633 nm

Calculs Instantanés

Angle 1er min (mrad) -

Largeur tache à 2m (mm) -

Glossaire

Diffraction: Comportement des ondes lorsqu'elles rencontrent un obstacle, se traduisant par un étalement de la direction de propagation.
Monochromatique: Qualifie une lumière composée d'une seule fréquence (ou longueur d'onde), donc d'une seule couleur spectrale.
Sinus Cardinal (\(\text{sinc}\)): Fonction mathématique définie par \(\text{sinc}(x) = \sin(x)/x\). Elle décrit le profil d'amplitude de la diffraction par une fente rectangulaire.
Ordre de diffraction (\(m\)): Entier relatif indiquant le rang du minimum ou du maximum d'interférence par rapport au centre.

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