ÉTUDE DE PHYSIQUE

Dispersion Modale dans une Fibre Optique

Dispersion Modale dans une Fibre Optique à Saut d'Indice

Dispersion Modale dans une Fibre Optique à Saut d'Indice

Contexte : La Limite de Vitesse des Télécommunications

Les fibres optiques transmettent l'information sous forme d'impulsions lumineuses. Idéalement, une impulsion courte envoyée à l'entrée de la fibre devrait arriver comme une impulsion courte à la sortie. Cependant, la dispersion provoque un "étalement" de l'impulsion. Dans une fibre multimodeFibre optique dont le cœur est suffisamment large pour permettre à la lumière de se propager selon plusieurs chemins, ou "modes". à saut d'indice, la lumière peut emprunter plusieurs chemins (ou "modes") pour traverser la fibre. Le chemin le plus court est celui en ligne droite le long de l'axe, tandis que les chemins les plus longs sont ceux qui ricochent sur les parois à l'angle critique. Ces différents temps de parcours créent la dispersion intermodaleÉtalement d'une impulsion lumineuse dans une fibre multimode, dû aux différences de temps de parcours entre les différents modes de propagation., qui limite la vitesse maximale à laquelle on peut envoyer des impulsions sans qu'elles ne se chevauchent.

Remarque Pédagogique : Cet exercice illustre un compromis fondamental en ingénierie. Les fibres multimodes sont plus faciles à fabriquer et à connecter, mais leur débit est limité par la dispersion intermodale. Les fibres monomodes, qui ne permettent qu'un seul chemin, n'ont pas ce problème mais sont plus contraignantes. Comprendre et quantifier cette dispersion est la première étape pour concevoir des réseaux de communication à haute performance.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre le principe du guidage par réflexion totale interne.
  • Définir et calculer l'ouverture numérique (ON) d'une fibre.
  • Identifier les chemins de propagation extrêmes dans une fibre multimode.
  • Calculer le retard temporel dû à la dispersion intermodale.
  • Estimer la bande passante et le débit binaire maximal d'une fibre.

Données de l'étude

On considère une fibre optique à saut d'indice de longueur \(L\). L'indice de réfraction du cœur est \(n_1\) et celui de la gaine est \(n_2\). L'indice de l'air environnant est \(n_0 = 1\).

Schéma d'une Fibre à Saut d'Indice
Gaine (n2) Cœur (n1) Mode axial Mode guidé

Données :

  • Indice du cœur : \(n_1 = 1.480\)
  • Indice de la gaine : \(n_2 = 1.460\)
  • Longueur de la fibre : \(L = 1 \, \text{km}\)
  • Vitesse de la lumière dans le vide : \(c \approx 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)

Questions à traiter

  1. Calculer l'ouverture numérique (ON) de la fibre.
  2. Calculer les temps de propagation minimal (\(t_{\text{min}}\)) et maximal (\(t_{\text{max}}\)) pour un rayon lumineux.
  3. En déduire l'élargissement temporel de l'impulsion dû à la dispersion intermodale, \(\Delta t\).
  4. Estimer le débit binaire maximal théorique pour cette fibre.

Correction : Dispersion Modale dans une Fibre Optique

Question 1 : Ouverture Numérique (ON)

Principe :
n1n2 Cône d'acceptance θa

L'ouverture numérique (ON) est une caractéristique essentielle d'une fibre optique qui mesure sa capacité à collecter la lumière. Elle est définie comme le sinus de l'angle d'acceptance maximal (\(\theta_a\)), qui est l'angle maximal par rapport à l'axe sous lequel un rayon peut entrer dans la fibre et être guidé par réflexion totale interne. L'ON ne dépend que des indices de réfraction du cœur et de la gaine.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Une grande ouverture numérique signifie que la fibre peut accepter la lumière provenant d'un cône plus large, ce qui la rend plus facile à "éclairer" et moins sensible aux désalignements. Cependant, nous verrons que cela se paie par une plus grande dispersion intermodale.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \text{ON} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2} \]
Donnée(s) :
  • \(n_1 = 1.480\)
  • \(n_2 = 1.460\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \text{ON} &= \sqrt{(1.480)^2 - (1.460)^2} \\ &= \sqrt{2.1904 - 2.1316} \\ &= \sqrt{0.0588} \\ &\approx 0.2425 \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Indice du milieu extérieur : La formule \(\text{ON} = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}\) suppose que la fibre est dans l'air (\(n_0=1\)). La définition complète est \(\text{ON} = n_0 \sin\theta_a\). Si la fibre était plongée dans l'eau, son angle d'acceptance diminuerait.

Le saviez-vous ?

L'ouverture numérique est un paramètre crucial pour le couplage de la lumière dans la fibre. Les lasers, qui ont un faisceau très directif, sont faciles à coupler même dans une fibre à faible ON. Les LED, qui émettent dans un cône large, nécessitent une fibre avec une grande ON pour collecter efficacement la lumière.

FAQ en rapport avec la question :
L'ouverture numérique dépend-elle de la longueur de la fibre ?

Non. L'ON est une propriété intrinsèque de l'interface cœur/gaine de la fibre, elle ne dépend que des indices de réfraction. Elle définit comment la lumière peut entrer dans la fibre, quelle que soit sa longueur.

Résultat : L'ouverture numérique de la fibre est \(\text{ON} \approx 0.24\).

Question 2 : Temps de Propagation Extrêmes

Principe :
t_min = L / v_min t_max = L_max / v_min

Le temps de propagation d'un rayon est \(t = \text{distance} / \text{vitesse}\). La vitesse de la lumière dans le cœur est constante : \(v_1 = c/n_1\). Cependant, la distance parcourue dépend du chemin. Le chemin le plus court est celui du rayon axial (\(L\)), donnant \(t_{\text{min}}\). Le chemin le plus long est celui du rayon qui se propage à l'angle critique de réflexion totale, \(\theta_c\). La longueur de ce chemin en zigzag est plus grande, donnant \(t_{\text{max}}\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : C'est l'essence même de la dispersion intermodale : bien que la vitesse de la lumière soit constante dans le cœur, les différents "modes" (chemins) ont des longueurs différentes. Les modes d'ordre élevé (grands angles) parcourent plus de distance et arrivent donc plus tard que le mode fondamental (axial).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ t_{\text{min}} = \frac{L}{v_1} = \frac{L n_1}{c} \]
\[ t_{\text{max}} = \frac{L_{\text{max}}}{v_1} = \frac{L/ \sin\theta_c}{c/n_1} = \frac{L n_1}{c \sin\theta_c} = \frac{L n_1^2}{c n_2} \]

(car \(\sin\theta_c = n_2/n_1\))

Donnée(s) :
  • \(L = 1 \, \text{km} = 1000 \, \text{m}\)
  • \(n_1 = 1.480\), \(n_2 = 1.460\)
  • \(c = 3 \times 10^8 \, \text{m/s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} t_{\text{min}} &= \frac{1000 \times 1.480}{3 \times 10^8} \\ &\approx 4.9333 \times 10^{-6} \, \text{s} = 4.9333 \, \mu\text{s} \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} t_{\text{max}} &= \frac{1000 \times (1.480)^2}{(3 \times 10^8) \times 1.460} \\ &= \frac{2190.4}{4.38 \times 10^8} \\ &\approx 5.0009 \times 10^{-6} \, \text{s} = 5.0009 \, \mu\text{s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Vitesse dans le milieu : Ne pas oublier de diviser la vitesse de la lumière \(c\) par l'indice de réfraction \(n_1\) pour obtenir la vitesse de propagation réelle dans le cœur de la fibre. C'est une erreur fréquente.

Le saviez-vous ?

La lumière met près de 5 microsecondes pour parcourir 1 km de fibre optique. Bien que très rapide, ce délai n'est pas négligeable. Pour une communication entre New York et Tokyo via un câble sous-marin de 18 000 km, le temps de parcours aller simple est d'environ 90 millisecondes, sans compter les délais dans les équipements électroniques !

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi le rayon à l'angle critique est-il le plus lent ?

Tous les rayons voyagent à la même vitesse \(v_1 = c/n_1\). Le rayon à l'angle critique est dit "le plus lent" non pas en termes de vitesse instantanée, mais en termes de temps de parcours total, car il emprunte le chemin géométrique le plus long (en zigzag) pour couvrir la distance L de la fibre.

Résultat : \(t_{\text{min}} \approx 4.93 \, \mu\text{s}\) et \(t_{\text{max}} \approx 5.00 \, \mu\text{s}\).

Question 3 : Élargissement Temporel de l'Impulsion (\(\Delta t\))

Principe :
Entrée Sortie Delta t

L'élargissement temporel de l'impulsion (ou dispersion intermodale) est simplement la différence entre le temps d'arrivée du mode le plus lent et celui du mode le plus rapide. C'est cette durée qui détermine de combien une impulsion "s'étale" à la sortie de la fibre.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : L'élargissement \(\Delta t\) est souvent exprimé en "nanosecondes par kilomètre" (ns/km). C'est une métrique de performance cruciale fournie par les fabricants de fibres optiques, car elle permet aux ingénieurs de calculer l'élargissement total pour n'importe quelle longueur de liaison.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta t = t_{\text{max}} - t_{\text{min}} = \frac{L n_1}{c} \left( \frac{n_1}{n_2} - 1 \right) \]
Donnée(s) :
  • \(t_{\text{min}} \approx 4.9333 \, \mu\text{s}\) (de Q2)
  • \(t_{\text{max}} \approx 5.0009 \, \mu\text{s}\) (de Q2)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} \Delta t &= 5.0009 \times 10^{-6} - 4.9333 \times 10^{-6} \\ &= 0.0676 \times 10^{-6} \, \text{s} \\ &= 67.6 \times 10^{-9} \, \text{s} = 67.6 \, \text{ns} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Modèle Simplifié : Ce calcul suppose que tous les modes, jusqu'à l'angle critique, sont excités avec la même intensité. En pratique, le couplage de la lumière et les micro-courbures de la fibre peuvent privilégier certains modes, rendant l'élargissement réel légèrement différent.

Le saviez-vous ?

La dispersion intermodale a été le principal obstacle au développement des communications par fibre optique dans les années 1970. La solution a été l'invention de la fibre monomode par les chercheurs de Corning Glass Works, qui ne guide qu'un seul mode et élimine donc complètement ce type de dispersion.

FAQ en rapport avec la question :
Cette dispersion dépend-elle de la couleur de la lumière ?

La dispersion *intermodale* ne dépend, en première approximation, que de la géométrie (les indices \(n_1\) et \(n_2\)). Cependant, il existe un autre type de dispersion, la dispersion *chromatique*, qui est due au fait que \(n_1\) et \(n_2\) varient eux-mêmes avec la longueur d'onde. Dans une fibre monomode, la dispersion intermodale est nulle et seule la dispersion chromatique subsiste.

Résultat : L'élargissement temporel par kilomètre est de \(67.6 \, \text{ns/km}\).

Question 4 : Débit Binaire Maximal Théorique

Principe :
Db ~ 1 / Delta t

Pour que deux impulsions successives puissent être distinguées à la sortie, il faut que l'élargissement de la première impulsion ne vienne pas empiéter sur la seconde. Une estimation simple du débit binaire maximal (\(D_b\)) est de considérer qu'on peut envoyer une nouvelle impulsion juste après que la précédente ait fini de s'étaler. Le débit est donc l'inverse de l'élargissement temporel \(\Delta t\).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Cette relation \(D_b \approx 1/\Delta t\) est une "règle du pouce" très utilisée en ingénierie pour une première estimation. Elle met en évidence le lien direct entre un phénomène physique (la dispersion) et une performance de communication (le débit).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ D_b \approx \frac{1}{\Delta t} \]
Donnée(s) :
  • \(\Delta t \approx 67.6 \times 10^{-9} \, \text{s}\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} D_b &\approx \frac{1}{67.6 \times 10^{-9}} \\ &\approx 1.48 \times 10^7 \, \text{bit/s} \\ &= 14.8 \, \text{Mbit/s} \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Débit Théorique : Il s'agit d'une limite théorique. En pratique, le débit est également limité par le bruit dans le récepteur, l'atténuation du signal, et les non-linéarités de la fibre. Le débit réel sera toujours inférieur à cette valeur.

Le saviez-vous ?

Un débit de 15 Mbit/s était considéré comme très rapide à l'époque des premières connexions Internet ADSL. Aujourd'hui, les liaisons par fibre optique atteignent des débits de plusieurs Térabits par seconde (Tbit/s), soit 100 000 fois plus, grâce à l'utilisation de fibres monomodes et de techniques de multiplexage avancées.

FAQ en rapport avec la question :
Comment peut-on atteindre des débits de Tbit/s alors ?

En utilisant des fibres monomodes pour éliminer la dispersion intermodale, et en utilisant le multiplexage en longueur d'onde (WDM - Wavelength Division Multiplexing). Cette technique consiste à envoyer simultanément des dizaines, voire des centaines, de signaux indépendants sur la même fibre, chacun utilisant une couleur (longueur d'onde) légèrement différente. C'est comme avoir des centaines d'autoroutes parallèles dans le même câble de verre.

Résultat : Le débit binaire maximal théorique est d'environ 14.8 Mbit/s pour 1 km de fibre.

Simulation de la Dispersion Modale

Faites varier les indices du cœur et de la gaine pour observer l'influence sur l'ouverture numérique et l'élargissement de l'impulsion.

Paramètres de la Fibre
Performances (pour L=1km)
Ouverture Numérique (ON)
Dispersion (\(\Delta t\))
Débit Maximal

Pour Aller Plus Loin : La Fibre à Gradient d'Indice

Comment réduire la dispersion intermodale ? La solution la plus élégante est la fibre à gradient d'indice. Dans ce type de fibre, l'indice de réfraction n'est pas constant dans le cœur, mais diminue progressivement du centre vers la périphérie. Les rayons qui s'éloignent de l'axe voyagent dans des zones où l'indice est plus faible, et donc leur vitesse est plus grande ! Cette augmentation de vitesse compense presque parfaitement la distance supplémentaire qu'ils parcourent. Tous les modes arrivent ainsi quasiment en même temps, ce qui réduit drastiquement la dispersion intermodale et permet des débits bien plus élevés.

Le Saviez-Vous ?

Les câbles sous-marins transcontinentaux qui forment l'épine dorsale d'Internet utilisent des fibres optiques monomodes pour éviter totalement la dispersion intermodale. Cependant, ils doivent encore composer avec la dispersion chromatique (le fait que l'indice du verre dépende de la longueur d'onde), qui devient le facteur limitant. Des techniques de compensation complexes sont utilisées tous les 80-100 km pour "recompresser" les impulsions lumineuses.

Foire Aux Questions (FAQ)

Qu'est-ce qu'un "mode" dans une fibre optique ?

En optique ondulatoire, un mode est une configuration stable du champ électromagnétique qui peut se propager le long de la fibre sans se déformer. Chaque mode correspond à une "trajectoire" de rayon spécifique. Une fibre est dite "multimode" si son cœur est assez large pour autoriser plusieurs de ces configurations stables, et "monomode" si son cœur est si fin (quelques micromètres) qu'une seule configuration (le mode axial) peut se propager.

La dispersion est-elle toujours un problème ?

Non ! Bien qu'elle soit le principal ennemi des télécommunications, la dispersion est utile dans d'autres domaines. Les spectromètres à prisme ou à réseau utilisent la dispersion pour séparer les couleurs et analyser la composition chimique d'un objet. En optique ultra-rapide, on utilise des composants dispersifs pour étirer ou compresser des impulsions laser de l'ordre de la femtoseconde.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Pour diminuer la dispersion intermodale d'une fibre à saut d'indice, il faut :

2. Une fibre optique monomode :

Glossaire

Dispersion Intermodale
Étalement d'une impulsion lumineuse dans une fibre multimode, causé par la différence des temps de parcours entre les différents modes (chemins) de propagation.
Fibre à Saut d'Indice
Type de fibre optique où il y a une transition brusque de l'indice de réfraction entre le cœur (\(n_1\)) et la gaine (\(n_2\)).
Mode de Propagation
En optique guidée, un mode est une solution de l'équation d'onde qui se propage le long de la fibre sans changer de forme. Il correspond à un chemin de lumière spécifique.
Ouverture Numérique (ON)
Paramètre qui caractérise le cône d'acceptance d'une fibre optique. \(\text{ON} = n_0 \sin\theta_a = \sqrt{n_1^2 - n_2^2}\).
Dispersion Modale dans une Fibre Optique à Saut d'Indice

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