Énergie Électrostatique d'une Sphère

Contexte : L'Énergie ÉlectrostatiqueL'énergie potentielle stockée dans une configuration de charges électriques. C'est le travail nécessaire pour assembler ces charges depuis l'infini..

L'énergie électrostatique est une notion fondamentale en électromagnétisme, représentant l'énergie nécessaire pour assembler un système de charges. Une sphère conductrice en équilibre, portant une charge totale \(Q\), est un modèle de base pour comprendre comment cette énergie est stockée. Les charges se répartissent uniformément à sa surface, créant un champ électrique et un potentiel. Cet exercice vise à calculer l'énergie totale emmagasinée par une telle configuration, une valeur cruciale dans de nombreuses applications, de la conception de condensateurs à la physique des particules.

Remarque Pédagogique : Cet exercice vous apprendra à calculer l'énergie d'un système de charges en utilisant deux méthodes différentes : l'une basée sur le potentiel et la charge, l'autre sur l'intégration de la densité d'énergie du champ électrique dans tout l'espace. Cela illustre la dualité et l'équivalence des approches en physique.

Objectifs Pédagogiques

Calculer le potentiel électriqueLe travail par unité de charge nécessaire pour déplacer une charge depuis un point de référence (souvent l'infini) jusqu'à un point donné. Son unité est le Volt (V). à la surface d'une sphère conductrice.
Déterminer l'énergie électrostatique de la sphère à partir de son potentiel et de sa charge.
Calculer le champ électriqueChamp de force créé par des particules chargées. Il décrit la force qui s'exercerait sur une charge test. Son unité est le Volt par mètre (V/m). créé par la sphère en tout point de l'espace.
Retrouver l'énergie électrostatique en intégrant la densité volumique d'énergie du champ électrique.

Données de l'étude

On considère une sphère conductrice de rayon \(R\), placée dans le vide, portant une charge électrique totale \(Q\) répartie uniformément sur sa surface. On cherche à déterminer l'énergie électrostatique \(W_e\) associée à cette configuration.

Sphère conductrice chargée

Nom du Paramètre	Symbole	Valeur	Unité
Charge totale de la sphère	\(Q\)	10	nanoCoulomb (nC)
Rayon de la sphère	\(R\)	5	cm
Permittivité du vide	\(\epsilon_0\)	\(8.854 \times 10^{-12}\)	F/m

Questions à traiter

Calculer le potentiel électrique \(V(R)\) à la surface de la sphère.
En déduire l'énergie électrostatique \(W_e\) de la sphère en utilisant la relation entre l'énergie, la charge et le potentiel.
Déterminer l'expression du champ électrique \(E(r)\) créé par la sphère pour \(r > R\).
Calculer l'énergie électrostatique \(W_e\) en intégrant la densité d'énergie \(w_e = \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2\) sur tout l'espace extérieur à la sphère (de \(r=R\) à l'infini). Vérifier que le résultat est identique à celui de la question 2.

Les bases sur l'Énergie Électrostatique

Pour résoudre cet exercice, il faut maîtriser les concepts de potentiel, de champ électrique pour une distribution sphérique, et les différentes manières de calculer l'énergie.

1. Potentiel d'une sphère conductrice
Une sphère conductrice de rayon \(R\) portant une charge \(Q\) crée à sa surface et à l'extérieur un potentiel identique à celui d'une charge ponctuelle \(Q\) placée en son centre. \[ V(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r} \quad (\text{pour } r \ge R) \]

2. Énergie d'un conducteur
L'énergie électrostatique d'un conducteur unique portant une charge \(Q\) à un potentiel \(V\) est donnée par : \[ W_e = \frac{1}{2} Q V \]

3. Énergie et Champ Électrique
L'énergie électrostatique peut aussi être vue comme étant stockée dans le champ électrique lui-même. La densité volumique d'énergie (énergie par unité de volume) en un point où règne un champ \(\vec{E}\) est : \[ w_e = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \] L'énergie totale est obtenue en intégrant cette densité sur tout le volume où le champ existe.

Correction : Énergie Électrostatique d’une Sphère

Question 1 : Calcul du potentiel électrique \(V(R)\)

Principe

Une sphère conductrice chargée en équilibre électrostatique se comporte, pour un observateur extérieur, exactement comme si toute sa charge était concentrée en un point unique en son centre. Le potentiel à sa surface est donc celui créé par cette charge ponctuelle à une distance égale au rayon de la sphère.

Mini-Cours

Le potentiel \(V\) créé par une charge ponctuelle \(q\) à une distance \(r\) est donné par \(V(r) = q / (4\pi\epsilon_0 r)\). Le théorème de Gauss permet de démontrer que ce résultat s'applique à toute distribution de charge à symétrie sphérique pour les points extérieurs à la distribution.

Remarque Pédagogique

C'est un résultat très puissant. Peu importe la complexité de la distribution des charges sur la surface, tant que la symétrie est sphérique, le calcul du potentiel extérieur est simple. C'est une simplification clé à toujours avoir en tête.

Normes

Ce calcul est une application directe de l'électrostatique et du théorème de Gauss, qui sont des piliers de la physique fondamentale.

Formule(s)

Potentiel d'une sphère chargée

V(R) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{R}

Hypothèses

On suppose que la sphère est parfaitement conductrice et isolée dans le vide. La charge \(Q\) est en équilibre, c'est-à-dire qu'elle ne bouge plus et est répartie uniformément sur la surface.

Donnée(s)

Nous utilisons les valeurs numériques fournies :

\(Q = 10 \text{ nC} = 10 \times 10^{-9} \text{ C}\)
\(R = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}\)
\(\epsilon_0 = 8.854 \times 10^{-12} \text{ F/m}\)

Astuces

Le terme \(1/(4\pi\epsilon_0)\) apparaît très souvent. Il est égal à la constante de Coulomb, \(k_e \approx 9 \times 10^9 \text{ N} \cdot \text{m}^2/\text{C}^2\). Utiliser cette valeur approchée peut accélérer les calculs mentaux ou les estimations.

Schéma (Avant les calculs)

Potentiel à la surface de la sphère

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} V(R) &= \frac{1}{4\pi(8.854 \times 10^{-12})} \frac{10 \times 10^{-9}}{0.05} \\ &\approx (9 \times 10^9) \cdot \frac{10^{-8}}{0.05} \\ &\approx 1799 \text{ V} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Profil du Potentiel Électrique

Réflexions

Un potentiel de 1800 V est une tension très élevée. Cela montre qu'une charge même faible (10 nanocoulombs) peut créer des potentiels importants si elle est confinée dans un petit volume. C'est le principe de base des générateurs de Van de Graaff.

Points de vigilance

Assurez-vous que toutes les unités sont dans le Système International avant de faire le calcul : les charges en Coulombs (C), les distances en mètres (m). L'oubli de la conversion des nC en C ou des cm en m est une source d'erreur très fréquente.

Points à retenir

Le potentiel à la surface d'une sphère conductrice de charge \(Q\) et de rayon \(R\) est \(V = Q / (4\pi\epsilon_0 R)\). Ce potentiel est constant à l'intérieur de la sphère.

Le saviez-vous ?

La foudre est un phénomène électrostatique à grande échelle. Les nuages se chargent comme d'immenses conducteurs. Lorsque la différence de potentiel entre un nuage et le sol (ou un autre nuage) devient suffisamment grande (des millions de volts), l'air, normalement isolant, "claque" et devient conducteur, permettant une décharge électrique massive.

FAQ

Résultat Final

Le potentiel électrique à la surface de la sphère est d'environ 1799 V.

A vous de jouer

Si le rayon de la sphère était doublé (10 cm), quel serait le nouveau potentiel à sa surface (en Volts) ?

Question 2 : Calcul de l'énergie électrostatique \(W_e\)

Principe

L'énergie électrostatique d'un conducteur est le travail qu'il a fallu fournir pour amener progressivement la charge depuis l'infini jusqu'à sa surface. Cette énergie est directement liée à la charge finale \(Q\) et au potentiel final \(V\) du conducteur.

Mini-Cours

Pour charger un conducteur, on amène des petites quantités de charge \(dq\). Le travail pour amener \(dq\) à un potentiel \(v(q)\) est \(dW = v(q)dq\). Comme \(v(q) = q/(4\pi\epsilon_0 R)\), l'énergie totale est l'intégrale de 0 à \(Q\) de \( (q/C)dq \), où \(C=4\pi\epsilon_0 R\) est la capacité de la sphère. On trouve \(W_e = Q^2/(2C)\), ce qui est équivalent à \(W_e = (1/2)QV\).

Remarque Pédagogique

Le facteur 1/2 est crucial. Il vient du fait que le potentiel n'est pas constant pendant la charge. On charge la sphère progressivement, et le potentiel augmente avec la charge. L'énergie est le produit de la charge totale par le potentiel *moyen* durant la charge, qui est \(V/2\).

Normes

Ceci est une application directe des définitions de l'énergie potentielle en électrostatique.

Formule(s)

Énergie d'un conducteur

W_e = \frac{1}{2} Q V(R)

Hypothèses

On utilise le modèle du conducteur parfait à l'équilibre. On considère que le potentiel de référence est nul à l'infini.

Donnée(s)

On utilise les données de l'énoncé et le résultat de la question précédente :

\(Q = 10 \times 10^{-9} \text{ C}\)
\(V(R) \approx 1799 \text{ V}\)

Astuces

Pour éviter les erreurs d'arrondi, il est souvent préférable de faire le calcul littéral jusqu'au bout avant l'application numérique. En remplaçant \(V(R)\) par son expression, on obtient \(W_e = Q^2 / (8\pi\epsilon_0 R)\), une formule qui ne dépend que des données initiales.

Schéma (Avant les calculs)

Assemblage des charges

Calcul(s)

Application numérique

\begin{aligned} W_e &= \frac{1}{2} (10 \times 10^{-9} \text{ C}) \cdot (1799 \text{ V}) \\ &\approx 8.995 \times 10^{-6} \text{ J} \end{aligned}

Schéma (Après les calculs)

Énergie stockée dans le système

Réflexions

L'énergie calculée, environ 9 microjoules, peut sembler faible, mais elle est stockée dans un volume infini (le champ électrique s'étend à l'infini). Cette énergie sera libérée si la sphère se décharge, par exemple via une étincelle.

Points de vigilance

Ne pas oublier le facteur 1/2 est l'erreur la plus commune. L'énergie n'est pas simplement \(Q \cdot V\). Pensez à l'analogie avec un ressort : l'énergie stockée est \((1/2)kx^2\), pas \(F \cdot x\), car la force n'est pas constante pendant l'étirement.

Points à retenir

L'énergie d'un conducteur chargé est \(W_e = (1/2)QV\). C'est une formule générale qui s'applique à tout conducteur, quelle que soit sa forme.

Le saviez-vous ?

Un condensateur est un dispositif conçu spécifiquement pour stocker de l'énergie électrostatique. Il est généralement constitué de deux conducteurs proches l'un de l'autre. L'énergie stockée est \(W_e = (1/2)CV^2\), où C est sa capacité. Les "supercondensateurs" peuvent stocker suffisamment d'énergie pour alimenter des bus électriques.

FAQ

Résultat Final

L'énergie électrostatique de la sphère est d'environ \(9.0 \times 10^{-6}\) Joules (ou 9.0 µJ).

A vous de jouer

Si la charge était doublée (20 nC) sur la même sphère, par quel facteur l'énergie stockée serait-elle multipliée ? (Calculez la nouvelle énergie en µJ)

Question 3 : Expression du champ électrique \(E(r)\)

Principe

Tout comme pour le potentiel, le théorème de Gauss nous assure qu'à l'extérieur de la sphère (\(r > R\)), le champ électrique est identique à celui qui serait créé par une charge ponctuelle \(Q\) placée au centre de la sphère.

Mini-Cours

Le théorème de Gauss stipule que le flux du champ électrique à travers une surface fermée est proportionnel à la charge totale enfermée par cette surface : \(\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = Q_{int}/\epsilon_0\). En choisissant une surface de Gauss sphérique de rayon \(r > R\), on trouve facilement que \(E \cdot 4\pi r^2 = Q/\epsilon_0\), ce qui mène directement à la formule du champ.

Remarque Pédagogique

Comprendre ce résultat est fondamental. Il signifie que de l'extérieur, on ne peut pas faire la différence entre une sphère creuse chargée en surface et une charge ponctuelle. La symétrie sphérique simplifie énormément le problème.

Normes

C'est une application directe du théorème de Gauss, une des quatre équations de Maxwell.

Formule(s)

Champ électrique d'une sphère (extérieur)

E(r) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{Q}{r^2} \quad (\text{pour } r > R)

Hypothèses

La charge est en équilibre et la distribution est parfaitement sphérique. Le milieu extérieur est le vide.

Donnée(s)

Seules les grandeurs littérales \(Q\) et \(R\) sont nécessaires pour cette question, qui demande une expression et non une application numérique.

Astuces

Le champ électrique et le potentiel sont liés par \(E = -dV/dr\). Vous pouvez retrouver l'expression du champ en dérivant l'expression du potentiel trouvée à la question 1 par rapport à \(r\).

Schéma (Avant les calculs)

Champ électrique radial

Calcul(s)

Expression du champ pour r ≥ R

E(r) = \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}

Il est important de préciser que cette formule n'est valable que pour \(r \ge R\). Pour \(r < R\), le champ est nul : \(E(r) = 0\).

Schéma (Après les calculs)

Décroissance du Champ Électrique

Réflexions

Le champ électrique est maximal à la surface de la sphère (en \(r=R\)) et décroît ensuite rapidement, en \(1/r^2\). Cette décroissance rapide est caractéristique des sources de type ponctuel.

Points de vigilance

Ne jamais appliquer cette formule pour des points à l'intérieur de la sphère conductrice. À l'intérieur d'un conducteur en équilibre, le champ électrique est toujours nul.

Points à retenir

Le champ électrique d'une sphère de charge \(Q\) et de rayon \(R\) est nul pour \(r < R\) et vaut \(E(r) = Q / (4\pi\epsilon_0 r^2)\) pour \(r \ge R\).

Le saviez-vous ?

Le fait que le champ soit nul à l'intérieur d'un conducteur creux est le principe de la cage de Faraday. C'est pourquoi on est en sécurité dans une voiture pendant un orage : la carrosserie métallique agit comme une cage de Faraday, et le champ électrique de la foudre ne pénètre pas à l'intérieur.

FAQ

Résultat Final

Le champ électrique pour \(r>R\) est \(E(r) = Q / (4\pi\epsilon_0 r^2)\).

A vous de jouer

En utilisant les données de l'énoncé, calculez la valeur du champ électrique (en V/m) à une distance \(r = 10\) cm du centre de la sphère.

Question 4 : Énergie par intégration de la densité d'énergie

Principe

Une autre façon de concevoir l'énergie électrostatique est de la considérer comme étant stockée dans le volume de l'espace où le champ électrique existe. En calculant la densité d'énergie en chaque point, puis en intégrant sur tout l'espace, on doit retrouver l'énergie totale du système.

Mini-Cours

La densité volumique d'énergie (énergie par unité de volume) en un point où règne un champ \(\vec{E}\) est \( w_e = \frac{1}{2} \epsilon_0 E^2 \). Pour obtenir l'énergie totale \(W_e\), on doit calculer l'intégrale de cette quantité sur tout le volume où le champ n'est pas nul : \( W_e = \int_{\text{espace}} w_e \, dV \).

Remarque Pédagogique

Cette méthode est plus complexe mathématiquement, mais elle est très puissante et conceptuellement importante. Elle montre que le champ électrique n'est pas juste un outil de calcul, mais une entité physique qui transporte de l'énergie.

Normes

Les concepts de densité d'énergie et d'intégration volumique sont des outils standards en physique théorique et en ingénierie électromagnétique.

Formule(s)

Énergie totale par intégration

W_e = \int_{R}^{\infty} \left( \frac{1}{2}\epsilon_0 E(r)^2 \right) (4\pi r^2 dr)

Hypothèses

Les mêmes hypothèses que précédemment s'appliquent. Le champ électrique est nul à l'intérieur de la sphère, donc l'intégrale de volume ne doit être calculée que pour l'espace extérieur, de \(r=R\) à l'infini.

Donnée(s)

On utilise l'expression du champ trouvée à la question 3 : \(E(r) = Q / (4\pi\epsilon_0 r^2)\) pour \(r \ge R\).

Astuces

Lors de l'intégration, regroupez tous les termes constants et sortez-les de l'intégrale. L'intégrale restante est souvent une forme simple comme \(\int r^n dr\).

Schéma (Avant les calculs)

Intégration sur des coquilles sphériques

Calcul(s)

Étape 1 : Expression de la densité d'énergie \(w_e\)

\begin{aligned} w_e(r) &= \frac{1}{2}\epsilon_0 \left( \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2} \right)^2 \\ &= \frac{1}{2}\epsilon_0 \frac{Q^2}{16\pi^2\epsilon_0^2 r^4} \\ &= \frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 r^4} \end{aligned}

Étape 2 : Intégration de \(w_e\) sur le volume extérieur

\begin{aligned} W_e &= \int_{R}^{\infty} w_e(r) \cdot (4\pi r^2 dr) \\ &= \int_{R}^{\infty} \frac{Q^2}{32\pi^2\epsilon_0 r^4} \cdot 4\pi r^2 dr \\ &= \frac{4\pi Q^2}{32\pi^2\epsilon_0} \int_{R}^{\infty} \frac{r^2}{r^4} dr \\ &= \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0} \int_{R}^{\infty} \frac{1}{r^2} dr \end{aligned}

Calcul de l'intégrale

\begin{aligned} W_e &= \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{R}^{\infty} \\ &= \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0} \left( -\frac{1}{\infty} - (-\frac{1}{R}) \right) \\ &= \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0} \left( 0 + \frac{1}{R} \right) \\ &= \frac{Q^2}{8\pi\epsilon_0 R} \end{aligned}

Vérification et application numérique

On retrouve bien \(W_e = \frac{1}{2} Q \left( \frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R} \right) = \frac{1}{2}QV(R)\). L'application numérique donne le même résultat qu'à la question 2 :

W_e \approx 9.0 \times 10^{-6} \text{ J}

Schéma (Après les calculs)

Décroissance de la densité d'énergie

Réflexions

Le fait que deux approches aussi différentes (l'une basée sur le potentiel au niveau du conducteur, l'autre sur le champ dans tout l'espace) donnent exactement le même résultat est une vérification puissante de la cohérence de la théorie électromagnétique. Cela confirme que l'énergie peut être pensée comme localisée dans le champ.

Points de vigilance

L'erreur principale ici est mathématique. Il faut bien poser l'intégrale, en n'oubliant pas l'élément de volume \(4\pi r^2 dr\) et en intégrant sur les bonnes bornes (de \(R\) à l'infini, là où le champ existe).

Points à retenir

L'énergie électrostatique est contenue dans le champ électrique. Sa densité est proportionnelle au carré du champ (\(w_e \propto E^2\)). L'énergie totale est l'intégrale de cette densité sur tout le volume de l'espace.

Le saviez-vous ?

La célèbre équation d'Einstein, \(E=mc^2\), a une analogie en électromagnétisme. La "masse électromagnétique" d'un électron peut être calculée en supposant que toute sa masse au repos est due à l'énergie de son propre champ électrique. Ce calcul, bien que simplifié, donne un ordre de grandeur étonnamment correct pour le rayon classique de l'électron.

FAQ

Résultat Final

Le champ électrique pour \(r>R\) est \(E(r) = Q / (4\pi\epsilon_0 r^2)\). L'intégration de la densité d'énergie donne bien \(W_e = Q^2 / (8\pi\epsilon_0 R) \approx 9.0\) µJ.

A vous de jouer

La densité d'énergie \(w_e\) décroît comme \(1/r^4\). Si on double la distance \(r\) à la sphère, par quel facteur la densité d'énergie est-elle divisée ?

Outil Interactif : Simulateur d'Énergie

Utilisez les curseurs pour faire varier la charge et le rayon de la sphère. Observez l'impact sur le potentiel de surface et l'énergie électrostatique stockée. Le graphique montre comment l'énergie varie en fonction de la charge pour un rayon donné.

Paramètres d'Entrée

Charge Totale (\(Q\)) 10 nC

Rayon de la sphère (\(R\)) 5 cm

Résultats Clés

Potentiel de Surface (\(V\)) - V

Énergie Stockée (\(W_e\)) - µJ

Glossaire

Énergie Électrostatique (\(W_e\)): L'énergie potentielle stockée dans une configuration de charges électriques. C'est le travail nécessaire pour assembler ces charges depuis une séparation infinie. Son unité est le Joule (J).
Potentiel Électrique (\(V\)): Le travail par unité de charge nécessaire pour déplacer une charge depuis un point de référence (souvent l'infini) jusqu'à un point donné. Son unité est le Volt (V).
Champ Électrique (\(\vec{E}\)): Champ de force créé par des particules chargées. Il décrit la force qui s'exercerait sur une charge test positive. Son unité est le Volt par mètre (V/m) ou le Newton par Coulomb (N/C).
Permittivité du vide (\(\epsilon_0\)): Constante physique qui représente la capacité du vide à "permettre" la propagation des lignes de champ électrique. Elle est fondamentale dans les lois de l'électrostatique.