ÉTUDE DE PHYSIQUE

Énergie Électrostatique d’une Sphère

Énergie Électrostatique d'une Sphère Uniformément Chargée

Énergie Électrostatique d'une Sphère Uniformément Chargée

Comprendre l'Énergie Électrostatique

L'énergie électrostatique d'une distribution de charges représente le travail qu'il a fallu fournir pour assembler cette distribution en amenant les charges depuis l'infini. Une autre façon de la concevoir est de la voir comme l'énergie stockée dans le champ électrique que cette distribution crée. Cette énergie est localisée dans l'espace avec une densité volumique \(u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\). L'énergie totale est obtenue en intégrant cette densité sur tout l'espace où le champ électrique est non nul. Ce calcul est un excellent exercice pour appliquer le théorème de Gauss et manipuler les intégrales volumiques.

Données de l'étude

On considère une sphère de rayon \(R\) portant une charge totale \(Q\) répartie uniformément dans son volume.

Objectif :

  • Calculer l'énergie électrostatique totale \(U_e\) de cette distribution de charge.

Constantes :

  • Permittivité du vide : \(\varepsilon_0\).
Schéma : Sphère Uniformément Chargée
R Charge Totale Q Densité ρ

Questions à traiter

  1. Exprimer la densité volumique de charge \(\rho\) en fonction de \(Q\) et \(R\).
  2. Utiliser le théorème de Gauss pour trouver l'expression du champ électrique \(E(r)\) à l'intérieur (\(r < R\)) et à l'extérieur (\(r > R\)) de la sphère.
  3. Écrire les expressions de la densité d'énergie électrostatique \(u_e(r)\) dans les deux régions.
  4. Calculer l'énergie électrostatique totale \(U_e\) en intégrant la densité d'énergie sur tout l'espace.

Correction : Énergie Électrostatique d'une Sphère Uniformément Chargée

Question 1 : Densité Volumique de Charge (\(\rho\))

Principe :

La densité volumique de charge \(\rho\) est la charge totale \(Q\) divisée par le volume total de la sphère, \(V = \frac{4}{3}\pi R^3\).

Calcul :
\[ \rho = \frac{Q}{V} = \frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^3} = \frac{3Q}{4\pi R^3} \]

Question 2 : Champ Électrique \(E(r)\)

Principe :

On utilise le théorème de Gauss, \(\oint_S \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}\), avec une surface de Gauss sphérique de rayon \(r\) centrée à l'origine. Par symétrie, le champ \(\vec{E}\) est radial : \(\vec{E}(r) = E(r)\vec{u}_r\).

Calcul pour \(r < R\) (intérieur) :

Charge intérieure : \(Q_{\text{int}} = \rho \times V(r) = \frac{3Q}{4\pi R^3} \times \frac{4}{3}\pi r^3 = Q\frac{r^3}{R^3}\).

\[ \begin{aligned} E(r) \cdot (4\pi r^2) &= \frac{1}{\varepsilon_0} Q\frac{r^3}{R^3} \\ E_{\text{int}}(r) &= \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3} \end{aligned} \]
Calcul pour \(r > R\) (extérieur) :

Charge intérieure : \(Q_{\text{int}} = Q\) (toute la charge de la sphère).

\[ \begin{aligned} E(r) \cdot (4\pi r^2) &= \frac{Q}{\varepsilon_0} \\ E_{\text{ext}}(r) &= \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \end{aligned} \]

Question 3 : Densité d'Énergie (\(u_e\))

Principe :

La densité d'énergie électrostatique est donnée par \(u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\). On l'exprime pour les deux régions.

Expressions :

Pour \(r < R\) :

\[ u_{e, \text{int}}(r) = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left( \frac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 R^3} \right)^2 = \frac{Q^2 r^2}{32\pi^2\varepsilon_0 R^6} \]

Pour \(r > R\) :

\[ u_{e, \text{ext}}(r) = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \left( \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2} \right)^2 = \frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 r^4} \]

Question 4 : Énergie Électrostatique Totale (\(U_e\))

Principe :

L'énergie totale est l'intégrale de la densité d'énergie sur tout l'espace. On sépare l'intégrale en une partie intérieure (de 0 à R) et une partie extérieure (de R à \(\infty\)). L'élément de volume en coordonnées sphériques est \(dV = 4\pi r^2 dr\).

Formule(s) :
\[ U_e = \int_{\text{espace}} u_e dV = \int_0^R u_{e, \text{int}}(r) (4\pi r^2) dr + \int_R^\infty u_{e, \text{ext}}(r) (4\pi r^2) dr \]
Calcul :

Énergie intérieure (\(U_{\text{int}}\)) :

\[ \begin{aligned} U_{\text{int}} &= \int_0^R \frac{Q^2 r^2}{32\pi^2\varepsilon_0 R^6} (4\pi r^2) dr \\ &= \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^6} \int_0^R r^4 dr \\ &= \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^6} \left[\frac{r^5}{5}\right]_0^R = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R^6} \frac{R^5}{5} = \frac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0 R} \end{aligned} \]

Énergie extérieure (\(U_{\text{ext}}\)) :

\[ \begin{aligned} U_{\text{ext}} &= \int_R^\infty \frac{Q^2}{32\pi^2\varepsilon_0 r^4} (4\pi r^2) dr \\ &= \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0} \int_R^\infty \frac{1}{r^2} dr \\ &= \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0} \left[-\frac{1}{r}\right]_R^\infty = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0} \left(0 - (-\frac{1}{R})\right) = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} \end{aligned} \]

Énergie totale :

\[ U_e = U_{\text{int}} + U_{\text{ext}} = \frac{Q^2}{40\pi\varepsilon_0 R} + \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 R} = \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R} \left(\frac{1}{10} + \frac{1}{2}\right) = \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R} \left(\frac{6}{10}\right) \]
Résultat Question 4 : L'énergie électrostatique totale de la sphère est \(U_e = \frac{3}{5} \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 R}\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Comment l'énergie électrostatique \(U_e\) d'une sphère chargée dépend-elle de son rayon \(R\) ?

2. Où le champ électrique est-il maximal ?

3. Si la charge totale \(Q\) est doublée, l'énergie électrostatique \(U_e\) est :

Glossaire

Énergie électrostatique (\(U_e\))
Énergie potentielle associée à une configuration de charges statiques. Elle représente le travail nécessaire pour assembler ces charges depuis une séparation infinie.
Densité volumique de charge (\(\rho\))
Quantité de charge électrique par unité de volume. Unité SI : Coulombs par mètre cube (\(\text{C/m}^3\)).
Théorème de Gauss
Loi fondamentale de l'électrostatique qui relie le flux du champ électrique à travers une surface fermée à la charge électrique totale contenue à l'intérieur de cette surface.
Densité d'énergie électrostatique (\(u_e\))
Énergie stockée dans le champ électrique par unité de volume. Elle est donnée par \(u_e = \frac{1}{2}\varepsilon_0 E^2\).
Énergie Électrostatique - Exercice d'Application

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