ÉTUDE DE PHYSIQUE

Enregistrement et Restitution d’un Hologramme

Optique : Principe de l'Holographie - Enregistrement et Restitution d'un Hologramme de Gabor

Principe de l'Holographie : Enregistrement et Restitution d'un Hologramme de Gabor

Contexte : Enregistrer la Lumière en 3D

Contrairement à la photographie classique qui n'enregistre que l'intensité de la lumière (sa brillance), l'holographie est une technique révolutionnaire qui permet d'enregistrer et de restituer à la fois l'intensité et la phaseLa phase décrit la position d'un point dans le temps sur une forme d'onde. Enregistrer la phase permet de conserver l'information de profondeur et de relief de l'objet. de la lumière. C'est cette information de phase qui contient les données sur le relief et la profondeur de l'objet, permettant de créer des images tridimensionnelles. Le principe, inventé par Dennis Gabor, repose sur le phénomène d'interférence entre deux ondes lumineuses : une onde de référence et l'onde diffusée par l'objet.

Remarque Pédagogique : L'holographie est l'application la plus spectaculaire du principe d'interférence. En transformant l'information de phase (non visible) en une figure d'interférence (visible et enregistrable sur une plaque photographique), on "code" l'information 3D de l'objet. Cet exercice décortique ce processus de codage (enregistrement) et de décodage (restitution) pour le cas le plus simple, l'hologramme de Gabor.

Objectifs Pédagogiques

  • Comprendre la différence fondamentale entre la photographie (enregistrement d'intensité) et l'holographie (enregistrement d'amplitude et de phase).
  • Modéliser mathématiquement l'interférence entre une onde de référence et une onde objet.
  • Calculer l'intensité de la figure d'interférence (l'hologramme).
  • Modéliser le processus de restitution en illuminant l'hologramme.
  • Identifier les trois termes de l'onde restituée : l'ordre zéro, l'image réelle et l'image virtuelleImage qui se forme là où les rayons lumineux semblent diverger. On ne peut pas la projeter sur un écran. C'est l'image que l'on voit "à travers" l'hologramme..

Données de l'étude

On modélise l'enregistrement d'un hologramme de Gabor. Une onde plane cohérente, servant d'onde de référence d'amplitude complexe \(A_R\), éclaire une plaque photographique. Un petit objet ponctuel placé sur le trajet de l'onde diffuse une partie de la lumière, créant une onde objet sphérique, d'amplitude complexe \(A_O\), qui interfère avec l'onde de référence sur la plaque.

Schéma de l'Enregistrement et de la Restitution
Enregistrement Onde de référence A_R Objet Onde objet A_O Plaque Restitution Onde de référence A_R Hologramme Ordre 0 Image Virtuelle Image Réelle

Données :

  • On suppose que l'onde de référence a une amplitude réelle constante, notée \(A_R\).
  • L'onde objet a une amplitude complexe \(A_O\).
  • La plaque photographique enregistre l'intensité lumineuse \(I\).
  • Après développement, la transmittance en amplitude de l'hologramme, \(t\), est proportionnelle à l'intensité enregistrée : \(t = \beta I\), où \(\beta\) est une constante.

Questions à traiter

  1. Donner l'expression de l'intensité totale \(I\) reçue par la plaque en fonction de \(A_R\) et \(A_O\). Développer cette expression pour faire apparaître quatre termes distincts.
  2. Lors de la restitution, l'hologramme est éclairé par l'onde de référence \(A_R\). Donner l'expression de l'amplitude de l'onde transmise \(A_{\text{reconst}}\) juste après l'hologramme.
  3. Analyser les termes de l'expression de \(A_{\text{reconst}}\) et identifier physiquement à quoi correspond chacun d'eux (onde transmise, image réelle, image virtuelle).

Correction : Principe de l'Holographie : Enregistrement et Restitution d'un Hologramme de Gabor

Question 1 : Intensité Enregistrée sur la Plaque

Principe :
Onde Référence (A_R) Onde Objet (A_O) + Interférence

Les détecteurs optiques (comme une plaque photographique ou l'œil) sont sensibles à l'intensité de la lumière, et non à son amplitude. L'intensité est proportionnelle au carré du module de l'amplitude du champ électrique total. Lorsque les deux ondes, référence et objet, arrivent sur la plaque, leurs amplitudes s'ajoutent. L'intensité enregistrée est donc le module au carré de cette somme.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : La magie de l'holographie est là : l'interférence convertit l'information de phase de l'onde objet, qui n'est pas directement enregistrable, en une variation d'intensité (les franges d'interférence), qui, elle, est enregistrable. C'est le terme croisé \(A_R^* A_O\) qui contient cette précieuse information de phase.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ I = |A_{\text{total}}|^2 \quad \text{avec} \quad A_{\text{total}} = A_R + A_O \]
\[ |Z|^2 = Z \cdot Z^* \quad \text{où } Z^* \text{ est le conjugué complexe de } Z. \]
Donnée(s) :
  • Amplitude de référence : \(A_R\) (supposée réelle)
  • Amplitude objet : \(A_O\) (complexe)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} I &= |A_R + A_O|^2 \\ &= (A_R + A_O)(A_R + A_O)^* \\ &= (A_R + A_O)(A_R^* + A_O^*) \\ &= A_R A_R^* + A_R A_O^* + A_O A_R^* + A_O A_O^* \\ &= |A_R|^2 + |A_O|^2 + A_R A_O^* + A_R^* A_O \end{aligned} \]

Puisque \(A_R\) est supposée réelle, \(A_R^* = A_R\). L'expression devient :

\[ I = A_R^2 + |A_O|^2 + A_R A_O^* + A_R A_O \]
Points de vigilance :

Ne pas oublier le conjugué : Une erreur fréquente est d'écrire \(|A_R+A_O|^2\) comme \(A_R^2 + A_O^2 + 2A_R A_O\). Ceci n'est vrai que si les amplitudes sont des nombres réels. En optique, les phases sont cruciales, et il faut impérativement utiliser le module au carré \(|Z|^2 = Z Z^*\).

Le saviez-vous ?

Dennis Gabor a reçu le prix Nobel de physique en 1971 pour son invention de l'holographie. Il a eu l'idée en 1947 en travaillant sur l'amélioration des microscopes électroniques, bien avant l'invention du laser qui a rendu l'holographie vraiment pratique.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la lumière doit-elle être cohérente ?

Pour que des interférences stables et bien définies puissent se former, les deux ondes (référence et objet) doivent avoir une relation de phase constante dans le temps et l'espace. C'est la définition de la cohérence. C'est pourquoi les lasers, qui produisent une lumière très cohérente, sont la source idéale pour l'holographie.

Résultat : L'intensité enregistrée est \(I = |A_R|^2 + |A_O|^2 + A_R^* A_O + A_R A_O^*\).

Question 2 : Amplitude de l'Onde Restituée

Principe :
A_R Hologramme (t) A_reconst = t * A_R

Lors de la restitution, l'hologramme développé agit comme un masque de diffraction complexe. Sa transmittance en amplitude \(t\) module l'onde de lecture, qui est la même que l'onde de référence originale \(A_R\). L'onde qui émerge juste derrière l'hologramme est donc le produit de l'amplitude de l'onde de lecture par la fonction de transmittance de l'hologramme.

Remarque Pédagogique :

Point Clé : On "rejoue" la scène de l'enregistrement, mais cette fois sans l'objet. L'hologramme, qui a mémorisé la figure d'interférence, se charge de "ressusciter" l'onde objet en diffractant l'onde de lecture de la bonne manière.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_{\text{reconst}} = t \times A_R \quad \text{avec} \quad t = \beta I \]
Donnée(s) :
  • Onde de lecture : \(A_R\)
  • Intensité enregistrée : \(I = |A_R|^2 + |A_O|^2 + A_R^* A_O + A_R A_O^*\)
Calcul(s) :
\[ \begin{aligned} A_{\text{reconst}} &= (\beta I) \times A_R \\ &= \beta A_R \left( |A_R|^2 + |A_O|^2 + A_R^* A_O + A_R A_O^* \right) \\ &= \beta \left( A_R(|A_R|^2 + |A_O|^2) + A_R A_R^* A_O + A_R^2 A_O^* \right) \\ &= \beta \left( A_R(|A_R|^2 + |A_O|^2) + |A_R|^2 A_O + A_R^2 A_O^* \right) \end{aligned} \]
Points de vigilance :

Distribution des termes : Il faut être méticuleux lors de la distribution du terme \(A_R\) sur chaque partie de l'intensité \(I\). Une attention particulière est requise pour les termes contenant \(A_R^*\), où le produit devient \(A_R A_R^* = |A_R|^2\).

Le saviez-vous ?

Les hologrammes sur les cartes de crédit ou les billets de banque sont des "hologrammes arc-en-ciel", un type d'hologramme de transmission conçu pour être visible en lumière blanche non cohérente, en décomposant la lumière comme un prisme.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi la transmittance est-elle proportionnelle à l'intensité ?

C'est une modélisation simplifiée du processus photographique. Dans la région linéaire de la courbe de réponse d'une émulsion photographique, les zones les plus exposées (intensité forte) deviennent plus sombres après développement, et donc transmettent moins de lumière. En utilisant un négatif, on peut obtenir une transmittance directement proportionnelle à l'intensité.

Résultat : \(A_{\text{reconst}} = \beta \left( A_R(|A_R|^2 + |A_O|^2) + |A_R|^2 A_O + A_R^2 A_O^* \right)\).

Question 3 : Analyse Physique des Termes Restitués

Principe :
Hologramme Ordre 0 (Onde transmise) Image virtuelle (α A_O) Image réelle (α A_O*)

Chaque terme de l'expression de l'onde restituée a une signification physique distincte. On les identifie en comparant leur forme mathématique à celle des ondes connues (l'onde de référence, l'onde objet et son conjugué).

Remarque Pédagogique :

Point Clé : Le principal défaut de l'hologramme de Gabor est que ces trois termes se superposent spatialement. L'observateur voit donc l'image virtuelle (l'hologramme) à travers le "brouillard" de l'onde transmise et de l'image réelle défocalisée. Les hologrammes modernes (de type Leith-Upatnieks) utilisent une onde de référence inclinée, ce qui permet de séparer physiquement les trois faisceaux en sortie, donnant une image claire.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ A_{\text{reconst}} = \underbrace{\beta A_R(|A_R|^2 + |A_O|^2)}_{\text{Terme 1}} + \underbrace{\beta |A_R|^2 A_O}_{\text{Terme 2}} + \underbrace{\beta A_R^2 A_O^*}_{\text{Terme 3}} \]
Donnée(s) :

On analyse l'expression de \(A_{\text{reconst}}\) obtenue à la question précédente.

Calcul(s) :

Il s'agit d'une analyse terme à terme :

  • Terme 1 : \(\beta A_R(|A_R|^2 + |A_O|^2)\). Ce terme est proportionnel à l'onde de référence \(A_R\). Il correspond à l'onde de lecture qui traverse l'hologramme en étant simplement atténuée. C'est l'onde transmise, ou ordre de diffraction zéro.
  • Terme 2 : \(\beta |A_R|^2 A_O\). Ce terme est proportionnel à l'onde objet originale \(A_O\). Un observateur qui regarde à travers l'hologramme verra cette onde comme si elle provenait de la position originale de l'objet. C'est l'image virtuelle, qui constitue l'effet holographique 3D.
  • Terme 3 : \(\beta A_R^2 A_O^*\). Ce terme est proportionnel au conjugué complexe de l'onde objet, \(A_O^*\). Une onde sphérique divergente (\(A_O\)) devient, en prenant son conjugué, une onde sphérique convergente. Ce terme forme donc une image réelle, qui peut être projetée sur un écran, située symétriquement à l'objet par rapport à la plaque.
Points de vigilance :

Réel vs. Virtuel : Il est essentiel de comprendre la différence physique. L'image virtuelle est vue "en relief" à travers la plaque, à l'emplacement de l'objet original. L'image réelle se forme de l'autre côté de la plaque et peut être captée sur un écran. Le conjugué complexe (\(e^{-i\phi}\)) est la clé mathématique qui transforme une onde divergente en une onde convergente, créant ainsi l'image réelle.

Le saviez-vous ?

Un hologramme contient l'information de l'objet dans son intégralité sur chaque partie de sa surface. Si vous cassez un hologramme en deux, chaque moitié peut encore restituer l'image entière de l'objet, mais avec une perspective plus limitée et une résolution légèrement dégradée.

FAQ en rapport avec la question :
Pourquoi l'hologramme de Gabor est-il dit "en ligne" ?

Il est dit "en ligne" (in-line) car l'onde de référence, l'objet et la plaque sont tous alignés sur le même axe. C'est la configuration la plus simple, mais elle mène à la superposition des trois ondes restituées. Les hologrammes "hors-axe" (off-axis) de Leith et Upatnieks, où l'onde de référence arrive avec un angle, ont résolu ce problème.

Résultat : L'onde restituée contient l'onde transmise (ordre 0), une onde proportionnelle à \(A_O\) (image virtuelle) et une onde proportionnelle à \(A_O^*\) (image réelle).

Simulation Interactive : Contraste des Franges

L'intensité de l'onde objet est généralement beaucoup plus faible que celle de l'onde de référence. Faites varier le rapport des amplitudes \(A_O / A_R\) et observez comment cela affecte le contraste des franges d'interférence enregistrées.

Paramètres d'Enregistrement
Contraste des Franges (Visibilité)
Profil d'Intensité Enregistré (Coupe 1D)

Pour Aller Plus Loin : Holographie Numérique

L'holographie sans plaque photographique : Aujourd'hui, on peut réaliser de l'holographie numériquement. On remplace la plaque photographique par un capteur de caméra (CCD ou CMOS) pour enregistrer la figure d'interférence. Le processus de restitution n'est plus optique mais entièrement numérique : un ordinateur calcule, à partir de l'hologramme enregistré, ce que serait l'onde restituée en appliquant les lois de la diffraction. Cela permet de faire la mise au point numériquement sur différentes profondeurs de l'objet après l'enregistrement !

Le Saviez-Vous ?

Le stockage de données holographique est une technologie émergente qui promet des capacités de stockage bien supérieures à celles des disques Blu-ray. En superposant plusieurs hologrammes dans le volume d'un cristal photosensible, on peut stocker des térabytes de données dans un espace de la taille d'un sucre.

Foire Aux Questions (FAQ)

Un hologramme fonctionne-t-il avec de la lumière blanche ?

Un hologramme classique (comme celui de Gabor) doit être éclairé avec la même lumière laser cohérente que celle utilisée pour l'enregistrement pour que l'image soit nette. Si on l'éclaire en lumière blanche, chaque longueur d'onde sera diffractée sous un angle légèrement différent, produisant une image floue et irisée, un "arc-en-ciel". Des types spéciaux d'hologrammes (hologrammes de réflexion, hologrammes arc-en-ciel) sont conçus pour être visibles en lumière blanche.

Quelle est la différence entre l'image réelle et l'image virtuelle ?

L'image virtuelle est celle que l'on voit en regardant "à travers" l'hologramme. Elle apparaît en 3D, à l'endroit où se trouvait l'objet original. On ne peut pas la projeter sur un écran. L'image réelle, elle, se forme de l'autre côté de l'hologramme. C'est une véritable concentration de lumière que l'on peut capturer sur un écran placé au bon endroit. Elle est "pseudoscopique", c'est-à-dire que son relief est inversé.

Quiz Final : Testez vos connaissances

1. Quelle information essentielle l'holographie enregistre-t-elle que la photographie n'enregistre pas ?

2. Dans l'onde restituée par un hologramme, le terme proportionnel à l'onde objet originale \(A_O\) correspond à :

Glossaire

Holographie
Technique permettant d'enregistrer le volume d'un objet en 3D. Elle enregistre l'intensité et la phase de la lumière diffusée par l'objet en la faisant interférer avec une onde de référence.
Interférence
Phénomène où deux ou plusieurs ondes se superposent pour former une onde résultante d'amplitude plus grande, plus faible ou égale. C'est le principe de base de l'holographie.
Onde de Référence
Onde cohérente, généralement une onde plane simple, qui interfère avec l'onde objet pour créer l'hologramme. Elle sert aussi d'onde de lecture lors de la restitution.
Image Virtuelle
Image tridimensionnelle que l'on observe en regardant à travers l'hologramme. Elle apparaît à l'emplacement de l'objet original.
Image Réelle
Image tridimensionnelle formée par la convergence de la lumière après l'hologramme. Elle peut être projetée sur un écran.
Principe de l'Holographie : Enregistrement et Restitution d'un Hologramme de Gabor

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