Étude de la Variation de Pression dans un Liquide
Contexte : Pourquoi la pression augmente-t-elle avec la profondeur ?
Que ce soit en plongée sous-marine, dans la construction de barrages ou en géologie, comprendre comment la pression varie dans un fluide est essentiel. La loi fondamentale de l'hydrostatiquePrincipe selon lequel la différence de pression entre deux points d'un fluide au repos est égale au poids de la colonne de fluide qui les sépare. nous dit que la pression dans un liquide au repos augmente linéairement avec la profondeur. Cette augmentation est due au poids de la colonne de liquide qui se trouve au-dessus du point de mesure. Chaque couche de liquide doit supporter le poids de toutes les couches situées au-dessus d'elle, en plus de la pression exercée à la surface, comme la pression atmosphérique.
Remarque Pédagogique : Cet exercice vous guidera à travers le calcul de la pression à différentes profondeurs dans un réservoir contenant deux liquides non miscibles (de l'huile et de l'eau). Vous apprendrez à appliquer la loi de l'hydrostatique de manière successive pour déterminer la pression absolue à n'importe quel point.
Objectifs Pédagogiques
- Comprendre et appliquer la loi fondamentale de l'hydrostatique : \(\Delta P = \rho g h\).
- Distinguer la pression relative de la pression absolue.
- Calculer la pression à l'interface entre deux liquides non miscibles.
- Déterminer la pression totale au fond d'un récipient contenant plusieurs fluides.
- Manipuler correctement les unités de pression (Pascals, bars).
Données de l'étude
- Hauteur de la couche d'huile : \(h_{\text{huile}} = 2,0 \, \text{m}\).
- Hauteur de la couche d'eau : \(h_{\text{eau}} = 5,0 \, \text{m}\).
- Masse volumique de l'huile : \(\rho_{\text{huile}} = 920 \, \text{kg/m}^3\).
- Masse volumique de l'eau : \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\).
Schéma du réservoir de liquides
- Pression atmosphérique à la surface : \(P_{\text{atm}} = 101325 \, \text{Pa}\).
- Accélération de la pesanteur : \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\).
- Conversion : \(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\).
Questions à traiter
- Calculer la pression absolue \(P_B\) à l'interface entre l'huile et l'eau.
- Calculer la variation de pression \(\Delta P_{BC}\) dans la couche d'eau (entre le point B et le point C).
- En déduire la pression absolue \(P_C\) au fond du réservoir.
- Exprimer la pression relative au fond du réservoir en bars.
Correction : Étude de la Variation de Pression dans un Liquide
Question 1 : Calculer la pression absolue \(P_B\) à l'interface
Principe (le concept physique)
La pression en un point B situé à une profondeur \(h\) sous la surface d'un liquide est égale à la pression à la surface (\(P_A\)) plus le poids de la colonne de liquide de hauteur \(h\) située au-dessus de ce point. C'est l'essence de la loi fondamentale de l'hydrostatiquePrincipe selon lequel la différence de pression entre deux points d'un fluide au repos est égale au poids de la colonne de fluide qui les sépare..
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La pression est une force par unité de surface (\(P=F/S\)). La force exercée par la colonne de liquide est son poids, \(F = m \cdot g\). La masse de la colonne est sa masse volumique multipliée par son volume, \(m = \rho \cdot V\). Le volume est la section \(S\) multipliée par la hauteur \(h\), soit \(V = S \cdot h\). En combinant tout, on obtient \(P = (\rho \cdot S \cdot h \cdot g) / S\), ce qui se simplifie en \(P = \rho g h\). La pression ne dépend donc que de la profondeur et de la nature du liquide, pas de la forme du récipient.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Il faut bien distinguer la pression absoluePression totale en un point, incluant la pression atmosphérique. C'est la pression par rapport au vide parfait. (qui inclut la pression atmosphérique) de la pression relativeDifférence entre la pression absolue et la pression atmosphérique. C'est la surpression due au fluide seul. (ou manométrique), qui est la surpression due uniquement au liquide. Ici, on demande la pression absolue, il ne faut donc pas oublier d'ajouter \(P_{\text{atm}}\).
Normes (la référence réglementaire)
Unités SI : L'unité du Système International pour la pression est le Pascal (Pa), défini comme un Newton par mètre carré (\(1 \, \text{Pa} = 1 \, \text{N/m}^2\)). Le bar est une unité usuelle très pratique car \(1 \, \text{bar}\) est très proche de la pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que le liquide est incompressible (sa masse volumique \(\rho\) est constante) et qu'il est au repos (statique). On suppose également que l'accélération de la pesanteur \(g\) est constante sur toute la hauteur du réservoir.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Loi fondamentale de l'hydrostatique :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(P_A = P_{\text{atm}} = 101325 \, \text{Pa}\)
- \(\rho_{\text{huile}} = 920 \, \text{kg/m}^3\)
- \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
- \(h_{\text{huile}} = 2,0 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la pression à l'interface \(P_B\) :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La pression à l'interface est d'environ 119 kPa. La contribution de la colonne d'huile est d'environ 18 kPa. On constate que même une hauteur de liquide de seulement 2 mètres a un effet non négligeable sur la pression totale.
Point à retenir
La pression en un point d'un fluide est la somme de la pression en surface et du poids de la colonne de fluide située directement au-dessus de ce point.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul de la pression à l'interface est une étape cruciale car cette pression devient la "pression de surface" pour la couche de liquide suivante (l'eau). La pression se transmet de couche en couche.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
S'assurer que toutes les données sont en unités SI avant de commencer le calcul : hauteurs en mètres, masses volumiques en kg/m³, etc. Utiliser des centimètres ou des grammes conduirait à un résultat incorrect.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Question 2 : Calculer la variation de pression \(\Delta P_{BC}\) dans l'eau
Principe (le concept physique)
La variation de pression entre deux points d'un même fluide est indépendante de la pression qui règne au-dessus. Elle ne dépend que de la différence de hauteur entre ces deux points, de la masse volumique du fluide et de la gravité. On calcule donc l'augmentation de pression due uniquement à la colonne d'eau.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La relation \(\Delta P = \rho g h\) est une forme différentielle de la loi de l'hydrostatique, \(dP = \rho g dz\), où \(dz\) est une variation infinitésimale de profondeur. Pour un fluide incompressible (\(\rho\) constant), l'intégration de cette relation entre deux profondeurs donne directement la formule que nous utilisons.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Cette question demande la **variation** de pression, c'est-à-dire la pression relative à l'interface B. Il ne faut donc pas inclure la pression \(P_B\) dans ce calcul spécifique, mais seulement la contribution de la colonne d'eau.
Normes (la référence réglementaire)
Principe de Pascal : Cette loi est une conséquence directe du principe de Pascal, qui stipule qu'une variation de pression en un point d'un fluide incompressible au repos est transmise intégralement à tous les points du fluide.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On continue de supposer que l'eau est un fluide incompressible et au repos, et que \(g\) est constant.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la variation de pression hydrostatique :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(\rho_{\text{eau}} = 1000 \, \text{kg/m}^3\)
- \(g = 9,81 \, \text{m/s}^2\)
- \(h_{\text{eau}} = 5,0 \, \text{m}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la variation de pression \(\Delta P_{BC}\) :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La colonne d'eau de 5 mètres ajoute une pression de 49 050 Pa, soit environ 0,49 bar. C'est presque la moitié d'une atmosphère. On voit que la pression augmente significativement avec la profondeur, même sur des distances modestes.
Point à retenir
La surpression due à une colonne de fluide ne dépend que de la hauteur et de la masse volumique de ce fluide, pas de la pression au-dessus.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Calculer la variation de pression dans la deuxième couche est l'étape nécessaire pour pouvoir ensuite déterminer la pression totale au fond, en l'ajoutant à la pression déjà présente à l'interface.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas utiliser la masse volumique de l'huile pour ce calcul. Chaque couche de fluide contribue à la pression avec sa propre masse volumique. C'est une erreur courante dans les problèmes à plusieurs fluides.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Question 3 : En déduire la pression absolue \(P_C\) au fond
Principe (le concept physique)
La pression en un point est la somme de la pression au-dessus de ce point et du poids de la colonne de fluide supplémentaire. Pour trouver la pression au fond (point C), il suffit donc d'ajouter la surpression due à la colonne d'eau (\(\Delta P_{BC}\)) à la pression qui existe déjà à l'interface (point B).
Mini-Cours (approfondissement théorique)
Ce calcul illustre le principe de superpositionEn physique, principe selon lequel l'effet total de plusieurs influences est la somme des effets individuels. Ici, la pression totale est la somme des pressions exercées par chaque couche.. La pression totale au fond est la somme de la pression atmosphérique et des pressions exercées par chaque couche de fluide : \(P_C = P_{\text{atm}} + \rho_{\text{huile}}gh_{\text{huile}} + \rho_{\text{eau}}gh_{\text{eau}}\). C'est une approche directe qui mène au même résultat.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Le calcul par étapes (calculer la pression à chaque interface successive) est une méthode robuste qui fonctionne pour n'importe quel nombre de couches de fluides superposées. C'est une bonne pratique à retenir.
Normes (la référence réglementaire)
Principe d'Archimède : Bien que non utilisé directement ici, ce principe est une autre conséquence fondamentale de la variation de pression avec la profondeur. C'est parce que la pression au bas d'un objet immergé est plus forte qu'en haut qu'il subit une poussée vers le haut.
Hypothèses (le cadre du calcul)
On suppose que l'interface entre l'huile et l'eau est une surface plane et horizontale. En réalité, des effets de tension superficielle pourraient légèrement courber cette interface (ménisque), mais cet effet est négligeable à l'échelle d'un grand réservoir.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la pression totale au fond :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(P_B = 119370,6 \, \text{Pa}\)
- \(\Delta P_{BC} = 49050 \, \text{Pa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la pression absolue \(P_C\) :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La pression au fond du réservoir est d'environ 168 kPa, soit environ 1,66 fois la pression atmosphérique. Cela signifie que chaque centimètre carré du fond du réservoir subit une force d'environ 16,8 Newtons (le poids d'une masse de 1,7 kg).
Point à retenir
Dans une superposition de fluides, la pression totale au fond est la somme de la pression de surface et des contributions de pression de chaque couche de fluide.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
Le calcul de la pression au fond est souvent l'objectif final en ingénierie (par exemple, pour dimensionner l'épaisseur de la paroi d'un barrage ou d'une cuve) ou en océanographie (pour comprendre les conditions de vie en haute mer).
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Attention à ne pas additionner les hauteurs avant de faire le calcul. On ne peut pas faire \(\rho_{\text{moyen}} \cdot g \cdot (h_1+h_2)\) car les masses volumiques sont différentes. Il faut impérativement calculer la contribution de chaque couche séparément.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Question 4 : Exprimer la pression relative au fond en bars
Principe (le concept physique)
La pression relative (ou manométrique) est la surpression par rapport à la pression atmosphérique. Elle représente la pression exercée uniquement par la colonne de fluide. Pour la calculer, on soustrait simplement la pression atmosphérique de la pression absolue.
Mini-Cours (approfondissement théorique)
La plupart des manomètres (comme ceux pour la pression des pneus) mesurent la pression relative. Lorsqu'un pneu est "à plat", le manomètre indique 0 bar, même si la pression absolue à l'intérieur est en réalité de 1 bar (la pression atmosphérique). Une pression de 2,5 bars au manomètre signifie donc une pression absolue de 3,5 bars.
Remarque Pédagogique (le conseil du professeur)
Point Clé : Cette question combine deux étapes : le calcul de la pression relative, puis la conversion d'unités de Pascals en bars. Il faut être attentif à bien réaliser les deux opérations dans le bon ordre.
Normes (la référence réglementaire)
Bureau International des Poids et Mesures (BIPM) : Le bar n'est pas une unité du SI, mais son usage est accepté en raison de sa commodité. Le BIPM définit \(1 \, \text{bar} = 100 \, 000 \, \text{Pa}\) exactement. La pression atmosphérique standard (1 atm) est légèrement différente : \(1 \, \text{atm} = 101325 \, \text{Pa}\).
Hypothèses (le cadre du calcul)
On utilise la valeur de la pression atmosphérique standard donnée dans l'énoncé. En pratique, cette valeur varie légèrement avec les conditions météorologiques.
Formule(s) (l'outil mathématique)
Formule de la pression relative :
Donnée(s) (les chiffres d'entrée)
- \(P_C = 168420,6 \, \text{Pa}\)
- \(P_{\text{atm}} = 101325 \, \text{Pa}\)
- \(1 \, \text{bar} = 10^5 \, \text{Pa}\)
Calcul(s) (l'application numérique)
Calcul de la pression relative en Pascals :
Conversion en bars :
Réflexions (l'interprétation du résultat)
La surpression totale due aux 7 mètres de liquide (2m d'huile + 5m d'eau) est d'environ 0,67 bar. C'est cette pression relative qui s'exercerait sur les parois du réservoir si l'on ne tenait pas compte de la pression de l'air environnant.
Point à retenir
La pression relative est la pression "ressentie" par le fluide lui-même, tandis que la pression absolue est la pression totale par rapport au vide.
Justifications (le pourquoi de cette étape)
En ingénierie, on travaille souvent avec la pression relative car c'est elle qui détermine les contraintes mécaniques sur une structure (la pression atmosphérique s'exerçant des deux côtés, ses effets s'annulent). La conversion en bars est une question de commodité et de communication standard dans de nombreux domaines techniques.
Points de vigilance (les erreurs à éviter)
Ne pas confondre les deux types de pression. Si la question demande une pression relative, il faut penser à soustraire la pression atmosphérique. Si elle demande une pression absolue, il faut penser à l'ajouter si la surface est libre.
Le saviez-vous ? (la culture de l'ingénieur)
À vous de jouer !
Mini Fiche Mémo : L'essentiel à retenir
Formules Clés
- Pression Hydrostatique : \(P = P_{\text{surface}} + \rho g h\)
- Variation de Pression : \(\Delta P = \rho g h\)
- Pression Relative : \(P_{\text{rel}} = P_{\text{abs}} - P_{\text{atm}}\)
Points Cruciaux
- La pression augmente linéairement avec la profondeur \(h\).
- La pression à une interface dépend de toutes les couches de fluide au-dessus.
- Toujours vérifier la cohérence des unités (Pa, kg/m³, m, s) avant tout calcul.
Outil Interactif : Calculateur de Pression Hydrostatique
Modifiez les paramètres pour calculer la pression au fond.
Paramètres du Fluide
Pression Calculée
Pour Aller Plus Loin : La Poussée d'Archimède
Pourquoi les objets flottent-ils ? La loi de la variation de pression est à l'origine de la poussée d'Archimède. Un objet immergé subit une pression plus forte sur sa face inférieure que sur sa face supérieure. La résultante de ces forces de pression est une force nette dirigée vers le haut, égale au poids du volume de fluide déplacé par l'objet. Si cette poussée est supérieure au poids de l'objet, celui-ci flotte.
Le Saviez-Vous ?
La pression sanguine est une mesure de pression relative. Une tension artérielle de "12/8" (systolique/diastolique) est mesurée en centimètres de mercure (cmHg) par rapport à la pression atmosphérique. 12 cmHg correspond à environ 16 000 Pa, soit 0,16 bar de surpression par rapport à l'air ambiant.
Foire Aux Questions (FAQ)
La température du liquide a-t-elle une influence ?
Oui, indirectement. La masse volumique \(\rho\) d'un liquide dépend de sa température (la plupart des liquides se dilatent et deviennent moins denses quand ils chauffent). Pour des calculs de haute précision, il faudrait donc connaître la température et utiliser la valeur de \(\rho\) correspondante. Pour cet exercice, on suppose une température standard.
Que se passe-t-il si le fluide est un gaz, comme l'air ?
La loi \(\Delta P = \rho g h\) est toujours valable, mais pour un gaz, la masse volumique \(\rho\) n'est pas constante : elle dépend fortement de la pression elle-même. Les gaz sont compressibles. Le calcul de la variation de pression avec l'altitude dans l'atmosphère nécessite donc une loi plus complexe (la loi de l'hydrostatique pour un gaz parfait).
Quiz Final : Testez vos connaissances
1. La pression au fond d'une piscine de 3m de profondeur est :
2. Deux points sont à la même profondeur dans un même liquide au repos. Leurs pressions sont :
- Pression Absolue
- Pression totale mesurée par rapport au vide parfait. Elle inclut la pression atmosphérique et la pression due au fluide.
- Pression Relative
- Aussi appelée pression manométrique, c'est la différence entre la pression absolue et la pression atmosphérique locale. C'est la surpression exercée par le fluide seul.
- Loi de l'Hydrostatique
- Principe physique qui stipule que la variation de pression entre deux points dans un fluide au repos est proportionnelle à la masse volumique du fluide, à la gravité et à la différence de hauteur verticale entre les deux points.
- Pascal (Pa)
- L'unité de pression du Système International, équivalente à un Newton par mètre carré (N/m²).
D’autres exercices de physique de la matière condensée:
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