ÉTUDE DE PHYSIQUE

Étude de la Variation de Pression dans un Liquide

Étude de la Variation de Pression dans un Liquide (Physique des Matières Condensées)

Étude de la Variation de Pression dans un Liquide

Comprendre la Variation de Pression dans un Liquide

La pression au sein d'un liquide au repos, appelée pression hydrostatique, n'est pas uniforme ; elle augmente avec la profondeur. Ce phénomène est une conséquence directe de la force de gravité agissant sur la masse du liquide. La loi fondamentale de l'hydrostatique stipule que la variation de pression entre deux points d'un fluide incompressible au repos est proportionnelle à la différence de hauteur verticale entre ces points, à la masse volumique du fluide et à l'accélération de la gravité. Comprendre cette variation est crucial pour de nombreuses applications en hydraulique, comme la conception de réservoirs de stockage, de barrages, de sous-marins, ou encore pour le fonctionnement d'instruments de mesure de pression comme les manomètres à liquide.

Données de l'étude

On considère un grand réservoir cylindrique ouvert à l'atmosphère, rempli d'huile.

Caractéristiques du réservoir et du liquide (huile) :

  • Hauteur totale de l'huile dans le réservoir (\(H_{\text{totale}}\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
  • Masse volumique de l'huile (\(\rho_{\text{huile}}\)) : \(850 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Pression atmosphérique à la surface libre de l'huile (\(P_{\text{atm}}\)) : \(101325 \, \text{Pa}\)
Schéma : Variation de Pression dans un Réservoir d'Huile
Pression dans un Liquide {/* */} {/* */} {/* Couleur pêche pour l'huile */} {/* Couleur chocolat pour surface */} Surface libre (P_atm) {/* */} A (h1) h1 {/* */} B (h2) h2 {/* */} H_totale = 5m Fond du réservoir

Schéma illustrant un réservoir d'huile avec des points à différentes profondeurs pour l'analyse de la pression.

Questions à traiter

  1. Calculer la pression hydrostatique relative (\(P_{\text{rel,A}}\)) au point A, situé à une profondeur \(h_1 = 1.5 \, \text{m}\) sous la surface libre.
  2. Calculer la pression hydrostatique absolue (\(P_{\text{abs,A}}\)) au point A.
  3. Calculer la pression hydrostatique relative (\(P_{\text{rel,B}}\)) au point B, situé au fond du réservoir (à une profondeur \(h_2 = H_{\text{totale}} = 5.0 \, \text{m}\)).
  4. Calculer la différence de pression hydrostatique (\(\Delta P = P_B - P_A\)) entre le point B et le point A, en utilisant les pressions relatives. Vérifier que \(\Delta P = \rho_{\text{huile}} \cdot g \cdot (h_2 - h_1)\).

Correction : Étude de la Variation de Pression dans un Liquide

Question 1 : Pression Hydrostatique Relative (\(P_{\text{rel,A}}\)) au Point A

Principe :

La pression hydrostatique relative en un point d'un fluide au repos est la pression exercée par la colonne de fluide située au-dessus de ce point. Elle est donnée par la loi fondamentale de l'hydrostatique : \(P_{\text{rel}} = \rho \cdot g \cdot h\), où \(\rho\) est la masse volumique du fluide, \(g\) l'accélération de la gravité, et \(h\) la profondeur du point par rapport à la surface libre.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{rel,A}} = \rho_{\text{huile}} \cdot g \cdot h_1 \]
Données spécifiques :
  • Masse volumique de l'huile (\(\rho_{\text{huile}}\)) : \(850 \, \text{kg/m}^3\)
  • Accélération due à la gravité (\(g\)) : \(9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Profondeur du point A (\(h_1\)) : \(1.5 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,A}} &= 850 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 1.5 \, \text{m} \\ &= 8338.5 \, \text{kg/(m}\cdot\text{s}^2\text{)} \times 1.5 \\ &= 12507.75 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(P_{\text{rel,A}} \approx 12508 \, \text{Pa}\) (ou \(12.51 \, \text{kPa}\)).

Résultat Question 1 : La pression hydrostatique relative au point A est \(P_{\text{rel,A}} \approx 12508 \, \text{Pa}\).

Question 2 : Pression Hydrostatique Absolue (\(P_{\text{abs,A}}\)) au Point A

Principe :

La pression absolue en un point d'un fluide est la somme de la pression relative en ce point et de la pression qui s'exerce à la surface libre du fluide. Si le réservoir est ouvert à l'atmosphère, cette pression de surface est la pression atmosphérique (\(P_{\text{atm}}\)).

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{abs,A}} = P_{\text{rel,A}} + P_{\text{atm}} \]
Données spécifiques :
  • \(P_{\text{rel,A}} \approx 12507.75 \, \text{Pa}\) (valeur non arrondie de Q1)
  • \(P_{\text{atm}} = 101325 \, \text{Pa}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{abs,A}} &= 12507.75 \, \text{Pa} + 101325 \, \text{Pa} \\ &= 113832.75 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Arrondissons à \(P_{\text{abs,A}} \approx 113833 \, \text{Pa}\) (ou \(113.83 \, \text{kPa}\)).

Résultat Question 2 : La pression hydrostatique absolue au point A est \(P_{\text{abs,A}} \approx 113833 \, \text{Pa}\).

Quiz Intermédiaire 1 : Si la pression atmosphérique diminuait (par exemple, en altitude), la pression relative au point A :

Question 3 : Pression Hydrostatique Relative (\(P_{\text{rel,B}}\)) au Point B (Fond)

Principe :

Le point B est situé au fond du réservoir, donc à une profondeur \(h_2 = H_{\text{totale}}\) par rapport à la surface libre. On applique la même formule que pour le point A.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ P_{\text{rel,B}} = \rho_{\text{huile}} \cdot g \cdot h_2 \]
Données spécifiques :
  • \(\rho_{\text{huile}} = 850 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • Profondeur du point B (\(h_2\)) : \(5.0 \, \text{m}\)
Calcul :
\[ \begin{aligned} P_{\text{rel,B}} &= 850 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 5.0 \, \text{m} \\ &= 8338.5 \, \text{kg/(m}\cdot\text{s}^2\text{)} \times 5.0 \\ &= 41692.5 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Soit \(P_{\text{rel,B}} = 41.69 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 3 : La pression hydrostatique relative au point B (fond) est \(P_{\text{rel,B}} = 41692.5 \, \text{Pa}\).

Question 4 : Différence de Pression Hydrostatique (\(\Delta P\)) entre B et A

Principe :

La différence de pression hydrostatique relative entre deux points dans un même fluide au repos est directement proportionnelle à la différence de profondeur verticale entre ces deux points : \(\Delta P = \rho \cdot g \cdot \Delta h\), où \(\Delta h = h_2 - h_1\). On peut calculer cette différence directement ou en soustrayant les pressions relatives calculées précédemment.

Formule(s) utilisée(s) :
\[ \Delta P = P_{\text{rel,B}} - P_{\text{rel,A}} \] \[ \Delta P = \rho_{\text{huile}} \cdot g \cdot (h_2 - h_1) \]
Données spécifiques :
  • \(P_{\text{rel,B}} = 41692.5 \, \text{Pa}\) (résultat Q3)
  • \(P_{\text{rel,A}} \approx 12507.75 \, \text{Pa}\) (valeur non arrondie de Q1)
  • \(\rho_{\text{huile}} = 850 \, \text{kg/m}^3\)
  • \(g = 9.81 \, \text{m/s}^2\)
  • \(h_1 = 1.5 \, \text{m}\)
  • \(h_2 = 5.0 \, \text{m}\)
Calcul (Méthode 1 : Soustraction des pressions) :
\[ \begin{aligned} \Delta P &= 41692.5 \, \text{Pa} - 12507.75 \, \text{Pa} \\ &= 29184.75 \, \text{Pa} \end{aligned} \]
Calcul (Méthode 2 : Loi fondamentale) :
\[ \begin{aligned} h_2 - h_1 &= 5.0 \, \text{m} - 1.5 \, \text{m} = 3.5 \, \text{m} \\ \Delta P &= 850 \, \text{kg/m}^3 \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 3.5 \, \text{m} \\ &= 8338.5 \times 3.5 \, \text{Pa} \\ &= 29184.75 \, \text{Pa} \end{aligned} \]

Les deux méthodes donnent le même résultat, ce qui confirme la validité des calculs.

Résultat Question 4 : La différence de pression hydrostatique relative entre le point B et le point A est \(\Delta P = 29184.75 \, \text{Pa}\).

Quiz Intermédiaire 2 : La différence de pression absolue entre les points B et A serait :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

1. La pression hydrostatique relative dans un liquide :

2. La pression absolue est égale à :

3. La différence de pression hydrostatique entre deux points d'un même liquide au repos dépend :

Glossaire

Pression Hydrostatique
Pression exercée par un fluide au repos, due à la force de gravité. Elle augmente avec la profondeur.
Pression Relative (Manométrique)
Pression mesurée par rapport à la pression atmosphérique locale. C'est la pression due uniquement à la colonne de fluide (\(P_{\text{rel}} = \rho g h\)).
Pression Absolue
Pression totale en un point, égale à la somme de la pression relative et de la pression à la surface libre du fluide (souvent la pression atmosphérique).
Masse Volumique (\(\rho\))
Masse d'une substance par unité de volume. Unité SI : \(\text{kg/m}^3\).
Loi Fondamentale de l'Hydrostatique
Principe stipulant que la différence de pression entre deux points d'un fluide incompressible au repos est égale au produit de la masse volumique du fluide, de l'accélération de la gravité et de la différence de hauteur verticale entre ces deux points (\(\Delta P = \rho g \Delta h\)).
Pascal (Pa)
Unité de pression du Système International, équivalente à un Newton par mètre carré (\(\text{N/m}^2\)).
Étude de la Variation de Pression dans un Liquide - Exercice d'Application

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