Étude du Cycle de Carnot d’un Gaz Parfait

Comprendre le Cycle de Carnot

Le cycle de Carnot, conçu par Sadi Carnot en 1824, est un cycle thermodynamique théorique d'une importance fondamentale. Il décrit le fonctionnement d'un moteur thermique réversible opérant entre deux sources de chaleur à températures constantes (une source chaude et une source froide). Ce cycle est crucial car il établit la limite supérieure du rendement qu'un moteur thermique peut atteindre entre deux températures données. Il est composé de quatre transformations réversibles : deux transformations isothermes et deux transformations adiabatiques.

Description du Système et du Cycle

On considère \(n=1\) mole d'un gaz parfait monoatomique subissant un cycle de Carnot réversible entre une source chaude à la température \(T_H = 600 \, \text{K}\) et une source froide à la température \(T_C = 300 \, \text{K}\).

Le gaz est initialement dans un état 1 caractérisé par \(V_1 = 10 \, \text{L}\) et \(T_1 = T_H\).

Le cycle se compose des transformations suivantes :

1 \(\rightarrow\) 2 : Détente isotherme réversible au contact de la source chaude à \(T_H\), jusqu'à un volume \(V_2 = 2V_1\).
2 \(\rightarrow\) 3 : Détente adiabatique réversible, jusqu'à ce que la température du gaz atteigne \(T_C\).
3 \(\rightarrow\) 4 : Compression isotherme réversible au contact de la source froide à \(T_C\).
4 \(\rightarrow\) 1 : Compression adiabatique réversible, ramenant le gaz à son état initial.

Données :

Nombre de moles : \(n = 1 \, \text{mol}\)
Température de la source chaude : \(T_H = 600 \, \text{K}\)
Température de la source froide : \(T_C = 300 \, \text{K}\)
Volume initial : \(V_1 = 10 \, \text{L} = 0.01 \, \text{m}^3\)
Constante des gaz parfaits : \(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
Gaz parfait monoatomique : indice adiabatique \(\gamma = C_p/C_v = 5/3\). (On rappelle que pour un gaz parfait monoatomique, \(C_v = \frac{3}{2}R\) et \(C_p = \frac{5}{2}R\)).

Diagramme P-V du Cycle de Carnot

Diagramme Pression-Volume (P-V) d'un cycle de Carnot.

Questions à traiter

Calculer la pression \(P_1\) à l'état 1.
Pour la détente isotherme (1 \(\rightarrow\) 2) :
- a. Calculer la pression \(P_2\) à l'état 2.
- b. Calculer le travail \(W_{12}\) et la quantité de chaleur \(Q_{12}\) échangés par le gaz.
- c. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U_{12}\).
Pour la détente adiabatique (2 \(\rightarrow\) 3) :
- a. Calculer le volume \(V_3\) et la pression \(P_3\) à l'état 3.
- b. Calculer le travail \(W_{23}\) et la quantité de chaleur \(Q_{23}\) échangés.
- c. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U_{23}\).
Pour la compression isotherme (3 \(\rightarrow\) 4) :
- a. Calculer le volume \(V_4\) et la pression \(P_4\) à l'état 4. (Utiliser la propriété \(V_2/V_1 = V_3/V_4\))
- b. Calculer le travail \(W_{34}\) et la quantité de chaleur \(Q_{34}\) échangés.
- c. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U_{34}\).
Pour la compression adiabatique (4 \(\rightarrow\) 1) :
- a. Vérifier la cohérence des valeurs de l'état 1.
- b. Calculer le travail \(W_{41}\) et la quantité de chaleur \(Q_{41}\) échangés.
- c. Calculer la variation d'énergie interne \(\Delta U_{41}\).
Calculer le travail total \(W_{\text{cycle}}\) fourni par le gaz au cours du cycle.
Calculer la quantité de chaleur \(Q_H\) absorbée par le gaz depuis la source chaude et la quantité de chaleur \(Q_C\) cédée par le gaz à la source froide (en valeur absolue).
Calculer le rendement thermique \(\eta\) du cycle de deux manières :
- a. En utilisant \(W_{\text{cycle}}\) et \(Q_H\).
- b. En utilisant les températures \(T_H\) et \(T_C\). Comparer les résultats.

Correction : Étude du Cycle de Carnot

Question 1 : Pression à l'état 1 (\(P_1\))

Principe :

On utilise l'équation d'état des gaz parfaits \(PV = nRT\).

Données spécifiques :

\(n = 1 \, \text{mol}\)
\(R = 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\)
\(T_1 = T_H = 600 \, \text{K}\)
\(V_1 = 0.01 \, \text{m}^3\)

Calcul :

\begin{aligned} P_1 &= \frac{nRT_1}{V_1} \\ &= \frac{1 \, \text{mol} \times 8.314 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1} \times 600 \, \text{K}}{0.01 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{4988.4 \, \text{J}}{0.01 \, \text{m}^3} \\ &= 498840 \, \text{Pa} \end{aligned}

Soit \(P_1 \approx 4.99 \times 10^5 \, \text{Pa}\) ou \(498.84 \, \text{kPa}\).

Résultat Question 1 : La pression à l'état 1 est \(P_1 = 498840 \, \text{Pa}\).

Question 2 : Détente Isotherme (1 \(\rightarrow\) 2)

a. Pression \(P_2\) :

La transformation est isotherme, donc \(T_2 = T_1 = T_H = 600 \, \text{K}\). On utilise \(P_1V_1 = P_2V_2\).

\(V_2 = 2V_1 = 2 \times 0.01 \, \text{m}^3 = 0.02 \, \text{m}^3\)

\begin{aligned} P_2 &= \frac{P_1V_1}{V_2} \\ &= \frac{498840 \, \text{Pa} \times 0.01 \, \text{m}^3}{0.02 \, \text{m}^3} \\ &= \frac{4988.4}{0.02} \, \text{Pa} \\ &= 249420 \, \text{Pa} \end{aligned}

b. Travail \(W_{12}\) et Chaleur \(Q_{12}\) :

Pour une détente isotherme réversible d'un gaz parfait : \(W_{12} = -nRT_H \ln(V_2/V_1)\). Comme la transformation est isotherme, \(\Delta U_{12} = 0\), donc d'après le premier principe \(Q_{12} = -W_{12}\).

\begin{aligned} W_{12} &= -nRT_H \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) \\ &= -1 \times 8.314 \times 600 \times \ln\left(\frac{0.02}{0.01}\right) \\ &= -4988.4 \times \ln(2) \\ &\approx -4988.4 \times 0.693147 \\ &\approx -3457.8 \, \text{J} \end{aligned}

Q_{12} = -W_{12} \approx 3457.8 \, \text{J}

Le travail est négatif (effectué par le système, détente), la chaleur est positive (absorbée par le système).

c. Variation d'Énergie Interne \(\Delta U_{12}\) :

Pour un gaz parfait, l'énergie interne ne dépend que de la température. Comme la transformation est isotherme (\(T_1=T_2\)), la variation d'énergie interne est nulle.

\Delta U_{12} = nC_v(T_2 - T_1) = nC_v(0) = 0 \, \text{J}

Résultats Question 2 :

\(P_2 = 249420 \, \text{Pa}\)
\(W_{12} \approx -3457.8 \, \text{J}\)
\(Q_{12} \approx 3457.8 \, \text{J}\)
\(\Delta U_{12} = 0 \, \text{J}\)

Quiz Intermédiaire 1 : Lors d'une détente isotherme réversible d'un gaz parfait :

La chaleur absorbée est égale au travail fourni par le gaz.
Le travail fourni par le gaz est nul.
L'énergie interne augmente.
Aucune chaleur n'est échangée.

Question 3 : Détente Adiabatique (2 \(\rightarrow\) 3)

a. Volume \(V_3\) et Pression \(P_3\) :

Transformation adiabatique réversible : \(T V^{\gamma-1} = \text{constante}\) et \(P V^{\gamma} = \text{constante}\). \(Q_{23} = 0\).

On sait \(T_2 = T_H = 600 \, \text{K}\), \(V_2 = 0.02 \, \text{m}^3\), \(T_3 = T_C = 300 \, \text{K}\), \(\gamma = 5/3\).

T_2 V_2^{\gamma-1} = T_3 V_3^{\gamma-1} \Rightarrow V_3 = V_2 \left(\frac{T_2}{T_3}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}

\begin{aligned} \frac{1}{\gamma-1} &= \frac{1}{(5/3)-1} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2} = 1.5 \\ V_3 &= 0.02 \, \text{m}^3 \times \left(\frac{600 \, \text{K}}{300 \, \text{K}}\right)^{1.5} \\ &= 0.02 \times (2)^{1.5} \\ &= 0.02 \times 2\sqrt{2} \\ &\approx 0.02 \times 2.828427 \\ &\approx 0.0565685 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Soit \(V_3 \approx 56.57 \, \text{L}\).

Calcul de \(P_3\) avec \(P_3V_3 = nRT_3\) :

\begin{aligned} P_3 &= \frac{nRT_3}{V_3} \\ &= \frac{1 \times 8.314 \times 300}{0.0565685} \\ &= \frac{2494.2}{0.0565685} \\ &\approx 44091.5 \, \text{Pa} \end{aligned}

b. Travail \(W_{23}\) et Chaleur \(Q_{23}\) :

Pour une transformation adiabatique, \(Q_{23} = 0\). D'après le premier principe, \(\Delta U_{23} = W_{23}\) (si W est le travail reçu par le système). Ou \(W_{23,\text{par le gaz}} = -\Delta U_{23}\).

Q_{23} = 0 \, \text{J}

c. Variation d'Énergie Interne \(\Delta U_{23}\) :

\(C_v = \frac{3}{2}R = \frac{3}{2} \times 8.314 = 12.471 \, \text{J} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\).

\begin{aligned} \Delta U_{23} &= nC_v(T_3 - T_2) \\ &= 1 \times 12.471 \times (300 - 600) \\ &= 12.471 \times (-300) \\ &= -3741.3 \, \text{J} \end{aligned}

Donc, \(W_{23} = \Delta U_{23} = -3741.3 \, \text{J}\) (travail reçu par le gaz, car il se détend et son énergie interne diminue).

Résultats Question 3 :

\(V_3 \approx 0.05657 \, \text{m}^3\) (\(56.57 \, \text{L}\))
\(P_3 \approx 44091.5 \, \text{Pa}\)
\(Q_{23} = 0 \, \text{J}\)
\(\Delta U_{23} = -3741.3 \, \text{J}\)
\(W_{23} = -3741.3 \, \text{J}\)

Question 4 : Compression Isotherme (3 \(\rightarrow\) 4)

a. Volume \(V_4\) et Pression \(P_4\) :

Transformation isotherme à \(T_4 = T_3 = T_C = 300 \, \text{K}\). Pour un cycle de Carnot, on a la relation \(V_2/V_1 = V_3/V_4\).

\begin{aligned} V_4 &= V_3 \left(\frac{V_1}{V_2}\right) \\ &= 0.0565685 \, \text{m}^3 \times \left(\frac{0.01}{0.02}\right) \\ &= 0.0565685 \times 0.5 \\ &= 0.02828425 \, \text{m}^3 \end{aligned}

Soit \(V_4 \approx 28.28 \, \text{L}\).

Calcul de \(P_4\) avec \(P_4V_4 = nRT_4\) :

\begin{aligned} P_4 &= \frac{nRT_4}{V_4} \\ &= \frac{1 \times 8.314 \times 300}{0.02828425} \\ &= \frac{2494.2}{0.02828425} \\ &\approx 88183 \, \text{Pa} \end{aligned}

b. Travail \(W_{34}\) et Chaleur \(Q_{34}\) :

\(W_{34} = -nRT_C \ln(V_4/V_3)\). \(\Delta U_{34} = 0\), donc \(Q_{34} = -W_{34}\).

\begin{aligned} W_{34} &= -nRT_C \ln\left(\frac{V_4}{V_3}\right) \\ &= -1 \times 8.314 \times 300 \times \ln\left(\frac{0.02828425}{0.0565685}\right) \\ &= -2494.2 \times \ln(0.5) \\ &\approx -2494.2 \times (-0.693147) \\ &\approx 1728.9 \, \text{J} \end{aligned}

Q_{34} = -W_{34} \approx -1728.9 \, \text{J}

Le travail est positif (reçu par le système, compression), la chaleur est négative (cédée par le système).

c. Variation d'Énergie Interne \(\Delta U_{34}\) :

\Delta U_{34} = 0 \, \text{J} \quad (\text{transformation isotherme})

Résultats Question 4 :

\(V_4 \approx 0.02828 \, \text{m}^3\) (\(28.28 \, \text{L}\))
\(P_4 \approx 88183 \, \text{Pa}\)
\(W_{34} \approx 1728.9 \, \text{J}\)
\(Q_{34} \approx -1728.9 \, \text{J}\)
\(\Delta U_{34} = 0 \, \text{J}\)

Question 5 : Compression Adiabatique (4 \(\rightarrow\) 1)

a. Vérification de l'état 1 :

On vérifie si \(T_4 V_4^{\gamma-1} = T_1 V_1^{\gamma-1}\).

\(T_4 = 300 \, \text{K}\), \(V_4 \approx 0.02828425 \, \text{m}^3\)
\(T_1 = 600 \, \text{K}\), \(V_1 = 0.01 \, \text{m}^3\)
\(\gamma-1 = 2/3\)

T_4 V_4^{\gamma-1} = 300 \times (0.02828425)^{2/3} \approx 300 \times (0.0008000...)^{1/3 \times 2} \approx 300 \times (0.09283...)^2 \approx 300 \times 0.0928317... \approx 27.8495

T_1 V_1^{\gamma-1} = 600 \times (0.01)^{2/3} \approx 600 \times (0.0001)^{1/3} \approx 600 \times 0.0464158... \approx 27.8495

Les valeurs sont cohérentes.

b. Travail \(W_{41}\) et Chaleur \(Q_{41}\) :

Transformation adiabatique, \(Q_{41} = 0\).

Q_{41} = 0 \, \text{J}

c. Variation d'Énergie Interne \(\Delta U_{41}\) :

\begin{aligned} \Delta U_{41} &= nC_v(T_1 - T_4) \\ &= 1 \times 12.471 \times (600 - 300) \\ &= 12.471 \times 300 \\ &= 3741.3 \, \text{J} \end{aligned}

Donc, \(W_{41} = \Delta U_{41} = 3741.3 \, \text{J}\) (travail reçu par le gaz).

Résultats Question 5 :

L'état 1 est cohérent.
\(Q_{41} = 0 \, \text{J}\)
\(\Delta U_{41} = 3741.3 \, \text{J}\)
\(W_{41} = 3741.3 \, \text{J}\)

Question 6 : Travail Total du Cycle (\(W_{\text{cycle}}\))

Principe :

Le travail total du cycle est la somme des travaux échangés lors de chaque transformation. \(W_{\text{cycle}}\) est le travail reçu par le gaz. Le travail fourni par le gaz est \(-W_{\text{cycle}}\).

\begin{aligned} W_{\text{cycle}} &= W_{12} + W_{23} + W_{34} + W_{41} \\ &\approx -3457.8 - 3741.3 + 1728.9 + 3741.3 \\ &\approx -1728.9 \, \text{J} \end{aligned}

Le travail total reçu par le gaz est négatif, ce qui signifie que le gaz a fourni du travail au milieu extérieur. Le travail fourni par le cycle est \(W_{\text{fourni}} = -W_{\text{cycle}} \approx 1728.9 \, \text{J}\).

Résultat Question 6 : Le travail total fourni par le gaz au cours du cycle est \(W_{\text{fourni}} \approx 1728.9 \, \text{J}\).

Question 7 : Chaleurs Échangées (\(Q_H, Q_C\))

Principe :

\(Q_H\) est la chaleur absorbée à la source chaude (transformation isotherme 1 \(\rightarrow\) 2). \(Q_C\) est la valeur absolue de la chaleur cédée à la source froide (transformation isotherme 3 \(\rightarrow\) 4).

Q_H = Q_{12} \approx 3457.8 \, \text{J}

Q_C = |Q_{34}| \approx |-1728.9 \, \text{J}| = 1728.9 \, \text{J}

Vérification : \(W_{\text{fourni}} = Q_H - Q_C = 3457.8 - 1728.9 = 1728.9 \, \text{J}\), ce qui correspond bien au travail calculé.

Résultats Question 7 :

Chaleur absorbée à la source chaude : \(Q_H \approx 3457.8 \, \text{J}\)
Chaleur cédée à la source froide : \(Q_C \approx 1728.9 \, \text{J}\)

Question 8 : Rendement Thermique (\(\eta\))

a. Avec \(W_{\text{cycle}}\) et \(Q_H\) :

\begin{aligned} \eta &= \frac{W_{\text{fourni}}}{Q_H} \\ &\approx \frac{1728.9 \, \text{J}}{3457.8 \, \text{J}} \\ &\approx 0.5 \end{aligned}

b. Avec \(T_H\) et \(T_C\) :

\begin{aligned} \eta_{\text{Carnot}} &= 1 - \frac{T_C}{T_H} \\ &= 1 - \frac{300 \, \text{K}}{600 \, \text{K}} \\ &= 1 - 0.5 \\ &= 0.5 \end{aligned}

Les deux calculs donnent le même résultat, \(\eta = 0.5\) ou \(50\%\), ce qui est attendu pour un cycle de Carnot réversible.

Résultat Question 8 : Le rendement thermique du cycle est \(\eta = 0.5\) (ou \(50\%\)).

Quiz Intermédiaire 2 : Le rendement d'un cycle de Carnot ne dépend que :

Du type de gaz parfait utilisé.
Des températures des sources chaude et froide.
Des volumes extrêmes atteints par le gaz.
De la quantité de chaleur échangée lors des transformations adiabatiques.

Glossaire

Cycle Thermodynamique: Suite de transformations subies par un système qui le ramènent à son état initial. Dans un moteur, un cycle permet de convertir de la chaleur en travail.
Transformation Isotherme: Transformation au cours de laquelle la température du système reste constante.
Transformation Adiabatique: Transformation au cours de laquelle le système n'échange aucune chaleur avec le milieu extérieur (\(Q=0\)).
Transformation Réversible: Transformation idéale qui peut être inversée en repassant par les mêmes états d'équilibre. Elle se déroule de manière infiniment lente.
Gaz Parfait: Modèle théorique d'un gaz dont les molécules n'ont pas de volume propre et n'interagissent pas entre elles, sauf par des collisions élastiques. Il obéit à l'équation d'état \(PV=nRT\).
Énergie Interne (\(U\)): Somme des énergies cinétiques et potentielles microscopiques des particules constituant le système. Pour un gaz parfait, elle ne dépend que de sa température.
Travail (\(W\)): Énergie transférée entre un système et le milieu extérieur due à une déformation macroscopique (ex: variation de volume). Convention : \(W>0\) si le travail est reçu par le système, \(W<0\) s'il est fourni par le système.
Chaleur (\(Q\)): Énergie transférée entre un système et le milieu extérieur due à une différence de température. Convention : \(Q>0\) si la chaleur est reçue par le système, \(Q<0\) si elle est cédée.
Rendement Thermique (\(\eta\)): Pour un moteur thermique, rapport entre le travail utile fourni par le cycle et la quantité de chaleur absorbée à la source chaude. \(\eta = W_{\text{utile}} / Q_H\).
Indice Adiabatique (\(\gamma\)): Rapport des capacités thermiques à pression constante et à volume constant (\(\gamma = C_p/C_v\)). Pour un gaz parfait monoatomique, \(\gamma = 5/3\).

Étude du Cycle de Carnot d’un Gaz Parfait

Description du Système et du Cycle

Diagramme P-V du Cycle de Carnot

Questions à traiter

Correction : Étude du Cycle de Carnot

Question 1 : Pression à l'état 1 (\(P_1\))

Principe :

Données spécifiques :

Calcul :

Question 2 : Détente Isotherme (1 \(\rightarrow\) 2)

a. Pression \(P_2\) :

b. Travail \(W_{12}\) et Chaleur \(Q_{12}\) :

c. Variation d'Énergie Interne \(\Delta U_{12}\) :

Question 3 : Détente Adiabatique (2 \(\rightarrow\) 3)

a. Volume \(V_3\) et Pression \(P_3\) :

b. Travail \(W_{23}\) et Chaleur \(Q_{23}\) :

c. Variation d'Énergie Interne \(\Delta U_{23}\) :

Question 4 : Compression Isotherme (3 \(\rightarrow\) 4)

a. Volume \(V_4\) et Pression \(P_4\) :

b. Travail \(W_{34}\) et Chaleur \(Q_{34}\) :

c. Variation d'Énergie Interne \(\Delta U_{34}\) :

Question 5 : Compression Adiabatique (4 \(\rightarrow\) 1)

a. Vérification de l'état 1 :

b. Travail \(W_{41}\) et Chaleur \(Q_{41}\) :

c. Variation d'Énergie Interne \(\Delta U_{41}\) :

Question 6 : Travail Total du Cycle (\(W_{\text{cycle}}\))

Principe :

Question 7 : Chaleurs Échangées (\(Q_H, Q_C\))

Principe :

Question 8 : Rendement Thermique (\(\eta\))

a. Avec \(W_{\text{cycle}}\) et \(Q_H\) :

b. Avec \(T_H\) et \(T_C\) :

Quiz Rapide : Testez vos connaissances (Récapitulatif)

Glossaire

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