ÉTUDE DE PHYSIQUE

Force de Laplace sur une Spire Rectangulaire

Force de Laplace sur une Spire Rectangulaire

Force de Laplace sur une Spire Rectangulaire

Comprendre la Force de Laplace

La force de Laplace est la force électromagnétique qu'un champ magnétique \(\vec{B}\) exerce sur un conducteur parcouru par un courant électrique \(I\). Pour un élément de fil infinitésimal \(d\vec{l}\), cette force est donnée par \(d\vec{F} = I(d\vec{l} \times \vec{B})\). Si le champ magnétique est uniforme, la force nette sur une boucle de courant fermée est nulle. Cependant, si le champ n'est pas uniforme, les forces sur les différents segments de la boucle peuvent ne pas se compenser, ce qui peut résulter en une force nette non nulle, capable de mettre la boucle en mouvement.

Données de l'étude

On considère une spire rectangulaire de côtés \(a\) et \(b\), placée dans le plan \(xy\). Ses sommets sont en (0,0), (a,0), (a,b), et (0,b). La spire est parcourue par un courant constant \(I\) dans le sens anti-horaire.

Champ Magnétique :

  • La spire est plongée dans un champ magnétique non uniforme, dirigé selon l'axe \(z\), dont l'intensité dépend de la position \(x\).
\[ \vec{B}(x) = B_0 \left(1 - \frac{x}{a}\right) \vec{u}_z \]

où \(B_0\) est une constante positive.

Schéma : Spire dans un Champ Magnétique Non Uniforme
x y O B(x) Le champ diminue avec x a b I → I ↑ I ← I ↓

Questions à traiter

  1. Calculer la force de Laplace \(\vec{F}_1\) sur le segment allant de (0,0) à (a,0).
  2. Calculer la force de Laplace \(\vec{F}_2\) sur le segment allant de (a,0) à (a,b).
  3. Calculer la force de Laplace \(\vec{F}_3\) sur le segment allant de (a,b) à (0,b).
  4. Calculer la force de Laplace \(\vec{F}_4\) sur le segment allant de (0,b) à (0,0).
  5. Déterminer la force résultante \(\vec{F}_{\text{tot}}\) exercée sur la spire. Commenter le résultat.

Correction : Force de Laplace sur une Spire Rectangulaire

Question 1 : Force sur le Segment 1 (bas)

Principe :

Le segment est sur l'axe des x. L'élément de longueur est \(d\vec{l} = dx\,\vec{u}_x\). On intègre la force élémentaire \(d\vec{F}_1 = I(d\vec{l} \times \vec{B})\) de \(x=0\) à \(x=a\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} d\vec{F}_1 &= I (dx\,\vec{u}_x) \times \left(B_0 (1 - \frac{x}{a}) \vec{u}_z\right) \\ &= I B_0 \left(1 - \frac{x}{a}\right) dx (\vec{u}_x \times \vec{u}_z) \\ &= -I B_0 \left(1 - \frac{x}{a}\right) dx \,\vec{u}_y \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \vec{F}_1 &= \int_0^a -I B_0 \left(1 - \frac{x}{a}\right) dx \,\vec{u}_y \\ &= -I B_0 \left[x - \frac{x^2}{2a}\right]_0^a \,\vec{u}_y \\ &= -I B_0 \left(a - \frac{a^2}{2a}\right) \,\vec{u}_y = -\frac{I B_0 a}{2} \vec{u}_y \end{aligned} \]

Question 2 : Force sur le Segment 2 (droit)

Principe :

Sur ce segment vertical, l'abscisse est constante : \(x=a\). Le champ magnétique est donc uniforme sur toute la longueur du segment : \(\vec{B}(a) = B_0(1-a/a)\vec{u}_z = \vec{0}\). L'élément de longueur est \(d\vec{l} = dy\,\vec{u}_y\).

Calcul :
\[ \vec{F}_2 = \int_0^b I (dy\,\vec{u}_y) \times \vec{B}(a) = \int_0^b I (dy\,\vec{u}_y) \times \vec{0} = \vec{0} \]

Question 3 : Force sur le Segment 3 (haut)

Principe :

Ce segment est parallèle à l'axe des x, mais parcouru en sens inverse. L'élément de longueur est \(d\vec{l} = -dx\,\vec{u}_x\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} d\vec{F}_3 &= I (-dx\,\vec{u}_x) \times \left(B_0 (1 - \frac{x}{a}) \vec{u}_z\right) \\ &= -I B_0 \left(1 - \frac{x}{a}\right) dx (\vec{u}_x \times \vec{u}_z) \\ &= +I B_0 \left(1 - \frac{x}{a}\right) dx \,\vec{u}_y \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} \vec{F}_3 &= \int_a^0 I B_0 \left(1 - \frac{x}{a}\right) dx \,\vec{u}_y \\ &= I B_0 \left[x - \frac{x^2}{2a}\right]_a^0 \,\vec{u}_y \\ &= I B_0 \left( (0-0) - (a - \frac{a^2}{2a}) \right) \,\vec{u}_y = -\frac{I B_0 a}{2} \vec{u}_y \end{aligned} \]

Note : Les forces \(\vec{F}_1\) et \(\vec{F}_3\) sont identiques ! Elles sont toutes deux dirigées vers le bas.

Question 4 : Force sur le Segment 4 (gauche)

Principe :

Sur ce segment vertical, l'abscisse est constante : \(x=0\). Le champ magnétique est donc uniforme sur sa longueur : \(\vec{B}(0) = B_0(1-0/a)\vec{u}_z = B_0 \vec{u}_z\). L'élément de longueur est \(d\vec{l} = -dy\,\vec{u}_y\).

Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{F}_4 &= \int_b^0 I (-dy\,\vec{u}_y) \times (B_0 \vec{u}_z) \\ &= -I B_0 (\vec{u}_y \times \vec{u}_z) \int_b^0 dy \\ &= -I B_0 \vec{u}_x [y]_b^0 \\ &= -I B_0 \vec{u}_x (0-b) = +I B_0 b \,\vec{u}_x \end{aligned} \]

Question 5 : Force Résultante (\(\vec{F}_{\text{tot}}\))

Principe :

La force totale est la somme vectorielle des forces sur les quatre segments.

Calcul :
\[ \begin{aligned} \vec{F}_{\text{tot}} &= \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \vec{F}_4 \\ &= \left(-\frac{I B_0 a}{2} \vec{u}_y\right) + (\vec{0}) + \left(-\frac{I B_0 a}{2} \vec{u}_y\right) + (I B_0 b \,\vec{u}_x) \\ &= I B_0 b \,\vec{u}_x - I B_0 a \,\vec{u}_y \end{aligned} \]
Commentaire :

Contrairement au cas d'un champ uniforme où la force nette est nulle, ici la force résultante n'est pas nulle. Le gradient du champ magnétique (\(\vec{B}\) varie avec \(x\)) est à l'origine de cette force. La spire est à la fois tirée dans la direction des \(x\) positifs (vers les champs faibles) et vers les \(y\) négatifs.

Résultat Question 5 : La force nette sur la spire est \(\vec{F}_{\text{tot}} = I B_0 (b\,\vec{u}_x - a\,\vec{u}_y)\).

Quiz Rapide : Testez vos connaissances

1. Si le champ magnétique était uniforme (\(\vec{B} = B_0 \vec{u}_z\)), quelle serait la force totale sur la spire ?

2. La force de Laplace sur un fil est toujours :

3. Dans cet exercice, pourquoi les forces sur les segments haut et bas ne s'annulent-elles pas ?

Glossaire

Force de Laplace
Force exercée par un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant. Pour un élément de fil \(d\vec{l}\), elle est donnée par \(d\vec{F} = I(d\vec{l} \times \vec{B})\).
Spire de courant
Boucle fermée de fil conducteur parcourue par un courant électrique.
Champ magnétique non uniforme
Champ magnétique dont l'intensité et/ou la direction varient en fonction de la position dans l'espace.
Produit vectoriel
Opération mathématique entre deux vecteurs qui produit un troisième vecteur perpendiculaire au plan formé par les deux premiers. Sa direction est donnée par la règle de la main droite.
Force de Laplace - Exercice d'Application

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